高中数学必修一函数大题(含详细解答)

高中函数大题专练
１、已知关于
x
的不等式
(k x?k
2
?4)(x?4)?0
，其中
k?R
。
⑴试求不等式的解集
A
；
⑵对于不等式的解集
A
，若满足
A?Z?B
（其中
Z
为整数集）。试探究集合
B
能否为有< br>限集？若能，求出使得集合
B
中元素个数最少的
k
的所有取值，并用列 举法表示集合
B
；若不能，请说明理由。

２、对定义在
[0,1 ]
上，并且同时满足以下两个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2?1
时，总有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1< br>)?f(x
2
)
成立。
已知函数
g(x)?x
2< br>与
h(x)?a?2
x
?1
是定义在
[0,1]
上的 函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2
x
?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。

1
.
2
|x|
（1）若
f(x)?2
，求
x
的值；
3.已知函数
f(x )?2
x
?
（2）若
2
t
f(2t)?mf(t)?0对于
t?[2,3]
恒成立，求实数
m
的取值范围.

?1
?
1?,
x?0;
4.设函数
f(x)
是定义在R
上的偶函数.若当
x?0
时，
f(x)?
?

x
?
0,
x?0.
?
（1）求
f(x)
在
(??,0)
上的解析式.
（2）请你作出函数
f(x)
的大致图像.
（3）当
0?a?b
时，若
f(a)?f(b)
，求
ab< br>的取值范围.
（4）若关于
x
的方程
f
2
(x)? bf(x)?c?0
有7个不同实数解，求
b,c
满足的条件.

5．已知函数
f(x)?a?
b
(x?0)
。
|x|
（1）若函数
f(x)
是
(0,??)
上的增 函数，求实数
b
的取值范围；
（2）当
b?2
时，若不等式
f(x)?x
在区间
(1,??)
上恒成立，求实数
a
的取 值范围；
（3）对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](m?n)
，使
x?[m,n]
时，函数
g(x)
的值域也是
[m,n ]
，则称
g(x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x )
是某区间上的闭函数，试探
求
a,b
应满足的条件。

6、设
f(x)?

求满足下列条件的实数
a
的值：至少有一个正实数
b
，使函数
f(x)
ax
2< br>?bx
，
的定义域和值域相同。
7．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
（1）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的
取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。

8．设函数
f(x)?x?1
，(x?0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对称的图象为
C
2
，
x
C
2
对应的函数为
g(x)
.
（1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线
y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的值并求出交点的坐标.

9．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；
③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
（1）求
f(1)及f()
的值；
（2）求证：
f(x)在(0,??)
上是减函数.

10． 已知函数< br>f(x)
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x? [?2,0)
时，
f(x)?tx?
常数）。
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）当
t?[2,6]
时，求
f(x)
在
?
?2,0
?
上的最小值，及取得最小 值时的
x
，并猜想
f(x)
在
?
0,2
?
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明：函数
y?f( x)
的图象上至少有一个点落在直线
y?14
上。

1
2
1
3
x
（
t
为
2

11.记函数
f
?
x
?
?2?
x?7
的定义域为
A
，
g
?
x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1
?
?
?
b?0,a?R
?
的定
x?2
义域为
B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围


12、．对于在
?
a,b
?
上有意义的两个函数
f(x)
与
g(x)
，如果对任意的
x?[a,,b]
，均有
?1?f(x)?g(x)?1
，则称
f(x)
与
g(x)
在?
a,b
?
上是接近的，否则称
f(x)
与
g(x)< br>在
?
a,b
?
上是非接近的.现在有两个函数
f(x?)t
lo?xg
与
(t
g(x)?log
t
(
1
)(t?0且t?1)
，现给定区间
[t?2,t?3]
.
x?t
1
(1)若
t?
，判断
f(x)
与
g(x)
是否在给定区间上接近；
2
(2)若
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]
上都有意义，求
t
的取值范围；
(3)讨论
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]上是否是接近的.

13．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
是否属于集合A？并简
2
要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
， 不等式
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
，
是否对于任意的
x?0< br>总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

14、设函数f(x)=a x+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
?
2
?
f(x)(x?0)
?f(x)(x?0)
?
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)
?0
成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x
?
?
?2,2
?
时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。 < br>（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)> 0。

15．函数f(x)=
x
(a，b是非零实常数)，满足f(2)= 1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。

函数大题专练答案
１、已知关于
x
的不等式
(kx?k
2
?4)(x?4)?0
，其中
k?R
。
⑴试求不等式的解集
A
；
⑵对于不等式的解集
A，若满足
A?Z?B
（其中
Z
为整数集）。试探究集合
B
能否为有
限集？若能，求出使得集合
B
中元素个数最少的
k
的所有 取值，并用列举法表示集合
B
；若不能，请说明理由。
解：（1）当
k?0
时，
A?(??,4)
；当
k?0
且
k?2
时，< br>A?(??,4)?(k?
4
,??)
；
k
当
k? 2
时，
A?(??,4)?(4,??)
；（不单独分析
k?2
时的 情况不扣分）
4
,4)
。
k
（2） 由（1）知：当
k?0
时，集合
B
中的元素的个数无限；
当
k?0
时，集合
B
中的元素的个数有限，此时集合
B
为有限集。
4
因为
k???4
，当且仅当
k??2
时取等号，
k
所以当
k??2
时，集合
B
的元素个数最少。
此时
A?
?
?4,4
?
，故集合
B?
?
? 3,?2,?1,0,1,2,3
?
。
２、对定义在
[0,1]
上 ，并且同时满足以下两个条件的函数
f(x)
称为
G
函数。
① 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；
② 当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1时，总有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f (x
2
)
成立。
当
k?0
时，
A?(k?
已知函数
g(x)?x
2
与
h(x)?a?2
x
?1是定义在
[0,1]
上的函数。
（1）试问函数
g(x)
是否为
G
函数？并说明理由；
（2）若函数
h(x)
是
G
函数，求实数
a
的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程
g(2?1)?h(x)?m
(m?R)
解的个数情况。
解：（1） 当
x?
?
0,1
?
时，总有
g(x)?x?0
，满足①，
2
x
当
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x
2
?1< br>时，
g(x
1
?x
2
)?x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
?x
1
2
?x
2
2
?g(x
1
)?g(x
2
)，满足②
（2）若
a?1
时，
h(0)?a?1?0
不 满足①，所以不是
G
函数；
若
a?1
时，
h( x)
在
x?[0,1]
上是增函数，则
h(x)?0
，满足①
x?xxx
由
h(x
1
?x
2
)?h(x
1
)?h(x
2
)
，得
a?2
12
?1?a?2
1
?1?a?2
2
?1
，
即
a[1?(2
1
?1)(2
2
?1)]?1
，
因为
x
1
?0,x
2
?0,x
1
?x< br>2
?1

所以
0?2
1
?1?1

0?2
2
?1?

1

x
1
与
x
2
不同时等于1
?0?(2
1
?1)(2
1
?1)?1

xx
xx
xx
?a?
1

1?(2
x
1
?1)(2
x
1
?1)
1
当
x
1
?x
2
?0
时，
()
min
?1
?a?1
，
1?(2
x
1
?1)(2
x
1
?1)
综合上述：
a?{1}

xx
（3）根据（２）知： a=1，方程为
4?2?m
，

?
0?2
x
?1?1
由
?
得
x?[0,1]

?
0?x?1< br>1
2
1
2
令
2
x
?t?[1,2]
，则
m?t?t?(t?)?

24
由图形可知：当
m?[0,2]
时，有一解；
当
m?(??,0)?(2,??)
时，方程无解。
1
.
|x|
2
（1）若
f(x)?2
，求
x
的值；
３.已知函数
f( x)?2
x
?
（2）若
2
t
f(2t)?mf(t)?0< br>对于
t?[2,3]
恒成立，求实数
m
的取值范围.
[解] （1）当
x?0
时，
f(x)?0
；当
x?0
时，
f(x)?2
x
?
由条件可知
2
x
?
1
?2
，即
2
2x
?2?2
x
?1?0
，
x
2
1
.
x
2
解得
2
x
?1?2
.
?
2
x
?0
，
?x?
log
2
1
?
2
.
??
（2）当
t?[1,2]
时，
2
t
?
2
2t
?
即
m
?
2
2t
?1
?
??
?
2
4t
?1
?
.
?
2
2t
?1?0
，
?

m??
?
2
2t
?
1
?
.
故
m
的取值范围是
[?17,??)
.

?
?< br>1
??
t
1
?
?m
??
2?
t?
?0
，
2t
2
?
2
??
?t?[ 2,3],??
?
1?2
2t
?
?[?65,?17]
，
?1
?
1?,
x?0;
４.设函数
f(x)
是定义 在
R
上的偶函数.若当
x?0
时，
f(x)?
?

x
?
0,
x?0.
?
（1）求
f(x)
在
(??,0)
上的解析式.
（2）请你作出函数
f(x)
的大致图像.
（3）当
0?a?b< br>时，若
f(a)?f(b)
，求
ab
的取值范围.
（4）若 关于
x
的方程
f(x)?bf(x)?c?0
有7个不同实数解，求
b,c
满足的条件.
2
[解]（1）当
x?(??,0)
时，f(x)?f(?x)?1?
（2）
f(x)
的大致图像如下：.


11
?1?
.
?xx

43
2
1
-4-2246
-1
（3）因为
0?a?b，所以
f(a)?f(b)


2
1111
?
1
??
1
?
?1??1??
?
1?
?
?< br>?
1?
?
???2
，
abab
?
a
??
b
?
?a?b?2ab?2ab

解得
ab
的取值范围是
(1,??)
.
（4）由（2）， 对于方程
f(x)?a
，当
a?0
时，方程有3个根；当
0?a?1
时，方程
有4个根，当
a?1
时，方程有2个根；当
a?0
时，方程无解.…15分
2
f
x
所以，要使关于的方程
(x)?b f(x)?c?0
有7个不同实数解，关于
f(x)
的方程
f
2(x)?bf(x)?c?0
有一个在区间
(0,1)
的正实数根和一个等于零的 根。
2
所以
c?0,f(x)??b?(0,1)
，即
?1?b? 0,c?0
.
５．已知函数
f(x)?a?
b
(x?0)
。
|x|
（1）若函数
f(x)
是
(0,??)
上的增 函数，求实数
b
的取值范围；
（2）当
b?2
时，若不等式
f(x)?x
在区间
(1,??)
上恒成立，求实数
a
的取 值范围；
（3）对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](m?n)
，使
x?[m,n]
时，函数
g(x)
的值域也是
[m,n ]
，则称
g(x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x )
是某区间上的闭函数，试探
求
a,b
应满足的条件。
解：（1） 当
x?(0,??)
时，
f(x)?a?

b

x
设
x
1
,x
2
?(0,??)
且
x
1
?x
2
，由
f(x)
是
(0,??)
上的增函 数，则
f(x
1
)?f(x
2
)

f(x
1
)?f(x
2
)?
b(x
1
?x
2
)< br>?0

x
1
x
2

由
x
1
?x
2
，
x
1
,x
2
?(0,??)< br>知
x
1
?x
2
?0,x
1
x
2?0
，所以
b?0
，即
b?(0,??)

（2）当
b?2
时，
f(x)?a?
2
2
?x
在
x?(1,??)
上恒成立，即
a?x?
x
|x|


因为
x?
22
?2 2
，当
x?
即
x?2
时取等号，
xx
2
2?(1,??)
，所以
x?
在
x?(1,??)
上的最小值为< br>22
。则
a?22

x

（3）
因为f(x)?a?
b
的定义域是
(??,0)?(0,??)
，设
f(x)
是区间
[m,n]
上的闭函
|x|
数，则
mn?0
且
b?0

（4） ①若
0?m?n


?
f(m)?m
b
当
b?0
时，
f(x)?a?
是
(0,??)
上的增函数，则
?
，
|x|
f(n)?n
?
所以方程
a?
2


b
?x
在
(0,??)
上有两不等实根，
x
即< br>x?ax?b?0
在
(0,??)
上有两不等实根，所以

?
a
2
?4b?0
?
2
?
x
1
? x
2
?a?0
，即
a?0,b?0
且
a?4b?0

?
x?x?b?0
?
12
当
b?0
时，
f (x)?a?


?
f(m)?n
b?b
?a?
在
(0,??)
上递减，则
?
，即
|x|x
?
f(n )?m

b
?
a??n
?
?
a?0
?m
?
，所以
a?0,b?0

??
?
a?b
?m
?
mn??b
?
n
?

②若
m?n?0

?
f(m)?n
bb
?a?是
(??,0)
上的减函数，所以
?
当
b?0
时，f(x)?a?
，即
|x|x
f(n)?m
?
b
?a??n
?
?
a?0
?
m
?
，所以
a ?0,b?0

??
bmn?b
?
a??m
?
?< br>n
?
６、设
f(x)?

ax
2
?bx，求满足下列条件的实数
a
的值：至少有一个正实数
b
，使函数
f(x)
的定义域和值域相同。

解：（1）若
a?0，则对于每个正数
b
，
f(x)?bx
的定义域和值域都是
[0 ,??)

故
a?0
满足条件
（2）若
a?0
，则对于正数
b
，
f(x)?
b< br>??

ax
2
?bx
的 定义域为
D
?
?
??,?
?
?
?
0,??
?
，
a
??
但
f(x)
的值域
A?
?
0,??
?
，故
D?A
，即
a?0
不合条件；
（3）若
a?0
，则对正数
b
，定义域
D?[0,?]
(f(x))
max
?
b
a
b
2?a
，
?
a?0
bb
?
?
?a??4

f(x )
的值域为
[0,]
，
??
a
2?a2?a
?2?a??a
b
综上所述：
a
的值为0或
?4

７．对于函数
f(x)
，若存在
x
0
?R
，使< br>f(x
0
)?x
0
成立，则称点
(x
0
,x
0
)
为函数的不动点。
（1）已知函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
有不动点（1，1）和（-3，-3）求
a
与
b
的值；
（2）若对于任意实数
b
，函数
f(x)?ax
2
?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，求
a
的
取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数
g(x)
存在（有限的）
n
个不动点，求证：
n
必为奇数。
解：（1）由不动点的定义：
f(x)?x ?0
，∴
ax?(b?1)x?b?0

代入
x?1
知a?1
，又由
x??3
及
a?1
知
b?3
。
∴
a?1
，
b?3
。
（2）对任意实数b
，
f(x)?ax?bx?b(a?0)
总有两个相异的不动点，即是对任意的 实
数
b
，方程
f(x)?x?0
总有两个相异的实数根。
∴
ax?(b?1)x?b?0
中
??(b?1)?4ab?0
，
22
即
b?(4a?2)b?1?0
恒成立。故
?
1
?(4a?2)?4?0
，∴
0?a?1
。
22
2
2< br>故当
0?a?1
时，对任意的实数
b
，方程
f(x)
总有两个相异的不动
点。 ………...................1’
（3）< br>g(x)
是R上的奇函数，则
g(0)?0
，∴（0，0）是函数
g( x)
的不动点。
若
g(x)
有异于（0，0）的不动点
(x
0
,x
0
)
，则
g(x
0
)?x
0。
又
g(?x
0
)??g(x
0
)??x
0
，∴
(?x
0
,?x
0
)
是函数
g(x)
的不动点。

∴
g(x)
的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有2k
个（
k?N
），加上原点，共有
n?2k?1
个。即
n
必为奇数
８．设函数
f(x)?x?
1
，(x? 0)
的图象为
C
1
、
C
1
关于点A（2，1）的对 称的图象为
C
2
，
x
C
2
对应的函数为
g (x)
.
（1）求函数
y?g(x)
的解析式；
（2）若直线
y?b
与
C
2
只有一个交点，求
b
的 值并求出交点的坐标.
解．（1）设
p(u,v)
是
y?x?
11
上任意一点，
?v?u?
①
xu
设P关于A（2，1）对 称的点为
Q(x,y),?
?
代入①得
2?y?4?x?
?
u?x?4
?
u?4?x

?
?
?
v?y?2< br>?
v?2?y
11
?y?x?2?

4?xx?4
? g(x)?x?2?
1
(x?(??,4)?(4,??));

x?4
?
y?b
?
2
（2）联立
?
1
?x?(b?6)x?4b?9?0,

y?x?2 ?
?
x?4
?
???(b?6)
2
?4?(4b?9)?b
2
?4b?0?b?0
或
b?4,

（1）当
b?0
时得交点（3，0）； （2）当
b?4
时得交点（5，4）.
9．设定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对于任意正实数
a
、
b
，都有
f(a?b)?f(a)? f(b)?1
；
②
f(2)?0
；
③当
x?1
时，总有
f(x)?1
.
（1）求
f(1)及f()
的值；
（2）求证：
f(x)在(0,??)
上是减函数.
解（1）取a=b=1，则
f(1)?2f(1)?1.故f(1)?1

又
f(1)?f(2?
1
)?f(2)?f(
1
)?1
. 且
f(2)?0
.
22
1
2

得：
f(
1
)?f(1)?f(2)?1?1?1?2

2
（2）设
0?x
1
?x
2
,
则：< br>f(x
2
)?f(x
1
)?f(
x
2
?x< br>1
)?f(x
1
)?[f(
x
2
)?f(x
1
)?1]
?f(x
1
)

x
1
x
1
?f(
x
x
2
)?1
依
0?x
1
?x
2
,可得
2
?1

x
1
x
1
x
2
)?1

x1
再依据当
x?1
时，总有
f(x)?1
成立，可得
f (
即
f(x
2
)?f(x
1
)?0
成立，故
f(x)在(0,??)
上是减函数。
10． 已知函数
f(x)
是定义 在
?
?2,2
?
上的奇函数，当
x?[?2,0)
时，f(x)?tx?
常数）。
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）当
t?[2,6]
时，求
f(x)
在
?
?2,0< br>?
上的最小值，及取得最小值时的
x
，并猜想
f(x)
在?
0,2
?
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
t?9
时，证明：函数
y?f(x)
的图象上至少有一个点落在直线
y?14
上。
1
3
x
（
t
为
2
11
( ?x)
3
??tx?x
3
， ∵函
22
1
3
数
f(x)
是定义在
?
?2,2
?
上的奇函数，即
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，∴
?f
?
x
?
??tx?x
，即
2
11
f(x)?tx?x
3
，又可知
f
?0
?
?0
，∴函数
f(x)
的解析式为
f(x)?tx?x
3
，
22
解：（1）
x?
?
0,2
?
时，
?x?
?
?2,0
?
， 则
f(?x)?t(?x)?
x?
?
?2,2
?
；
（2）
f
?
x
?
?x
?
t?
?
?
1
1
2
?
x
?
，∵
t?[2,6]
，
x?
?
?2,0
?
，∴
t?x
2
?0
，
2
2
?
3
∵
?
f
?
x
?
?
2
11
??
2
2
x?t?x2
?t?x
2
??
3
1
2
?
?
8t
1
2
2
?
2
22
?
??x
?
t?x
?
?
，∴
x?t?x
，
327
2
?
?
2
?
?
??
??
即
x< br>2
?
6t
26
2t6t
?
?
?2,0
?
)
时，
f
min
??tt
。
,x??(?
3
33
9
?
?
6t
?
?
。
3
?
猜想
f(x)
在
?
0,2
?上的单调递增区间为
?
0,
（3）
t?9
时，任取
?2 ?x
1
?x
2
?2
，∵

?
1
22
?
f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
?
?
x
1
?x
2
?
?
t?x
1
?x
1
x
2
?x
2< br>?
?0
，
?
2
?
∴
f
?
x
?
在
?
?2,2
?
上单调递增，即
f
?
x
?
?
?
f
?
?2
?
,f?
2
?
?
，即
f
?
x
?
?< br>?
4?2t,2t?4
?
，
t?9
，
∴
4? 2t??14,2t?4?14
，
∴
14?
?
4?2t,2t?4
?
，∴当
t?9
时，函数
y?f(x)
的图象上至少有一个 点落在直线
??
y?14
上。
11.记函数
f
?
x
?
?2?
x?7
的定义域为
A
，
g
?< br>x
?
?lg
?
?
2x?b
??
ax?1?
?
?
b?0,a?R
?
的定
x?2
义域为< br>B
，
（1）求
A
：
（2）若
A?B
，求
a
、
b
的取值范围
x?7
??
x?3
?
?0
?
?
?
x?0< br>?
?
?
??,?2
?
?
?
3,??
?
，
x?2
??
x?2
?
b1
（2）
?
2x?b
??
ax?1
?
?0
，由
A?B
，得
a?0
，则
x?orx??
，即
2a
b
?< br>1
0??3
?
?
a?
1b
?
?
?? ??
2
。
B?
?
??,?
?
?
?
,??
?
，
?
?
?
2
a
??
2
??
?
?2??
1
?0
?
?
0?b? 6
?
a
?
解：（1）
A?
?
x2?
??

12对于在
?
a,b
?
上有意义的两个函数
f(x)
与
g(x)
，如果对任意的
x?[a,,b]
，均有?1?f(x)?g(x)?1
，则称
f(x)
与
g(x)
在< br>?
a,b
?
上是接近的，否则称
f(x)
与
g(x)
在
?
a,b
?
上是非接近的.现在有两个函数
f(x?)< br>t
lo?xg
与
(t
1
)(t?0且t?1)
，现给 定区间
[t?2,t?3]
.
x?t
1
(1)若
t?，判断
f(x)
与
g(x)
是否在给定区间上接近；
2
(2)若
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]上都有意义，求
t
的取值范围；
(3)讨论
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]
上是否是接近的.
1
3 11
2
解：（1）当
t?
时，
f(x)?g(x)?log
1
[(x?)(x?)]?log
1
[(x?1)?]

22
2
224
157
2
令
h(x)?log
1
[(x ?1)?]
，当
x?[,]
时，
h(x)?[log
1
6, ?1]

2
2
422
即
|f(x)?g(x)|?1
，
f(x)
与
g(x)
是否在给定区间上是非接近的. ………………4分
(2)由题意知，
t?0
且
t?1
，
t?2?3t?0
，
t?2?t?0

g(x)?log
t
(

?0?t?1
………………4分
(3)
?|f(x)?g(x)|?|log
t
(x2
?4tx?3t
2
)|

假设
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]
上是接近的，则有
|log
t
(x
2
?4tx?3t
2
)|?1

? ?1?log
t
(x
2
?4tx?3t
2
)?1
…………（*）
令G（x）=
log
t
(x
2
?4tx? 3t
2
)
，当
?0?t?1
时，
[t?2,t?3]
在
x?2t
的右侧，
即G（x）=
log
t
(x
2
?4tx?3t
2
)
，在
[t?2,t?3]
上为减函 数，
?G(x)
max
?log
t
(4?4t)
，
?G(x)
min
?log
t
(9?6t)

所以由（*）式可得
?
0?t?1
9?57
?
log(4?4t)?1
，解得
0?t?
?
t
12
?
log(9?6t)??1
?
t
因此，当
0?t?
当
t?
9?57
时 ，
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]
上是 接近的；
12
9?57
时，
f(x)
与
g(x)
在给定区间
[t?2,t?3]
上是非接近的. ………14分
12


13．集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
，及
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
是否属于集合A？并简
2
要说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数
f(x)
， 不等式
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
，
是否对于任意的
x?0< br>总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数
f
1
(x)?x?2
不属于集合A. 因为
f
1
(x)
的值域是
[?2,??)
,所以函数
f
1
(x)?x?2
不属于集合A.(或
?当x?49?0时,f
1
( 49)?5?4
，不满足条件.)
1
f
2
(x)?4?6?()< br>x
(x?0)
在集合A中, 因为: ① 函数
f
2
(x)
的定义域是
[0,??)
；② 函
2
数
f
2
(x)
的值域是
[?2,4)
；③ 函数
f
2
(x)
在
[0,??)
上是增函数．
1
x
1
（2）
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?)?0
，
24
?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
对于任意的x?0
总成立



?
f(x)(x?0)
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=
?

?f(x )(x?0)
?
（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)
?0
成 立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x
?
?
?2,2?
时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
2
（3） （理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

解：（1）
?
f(-1)=0 ∴
b
2
?a?1
由f(x)
?
0恒成立 知△=b
2
-4a=(a+1)
2
-4a=(a-1)
2
?
0 < br>(x?0)
(x?0)
2
?
(x?1)
∴a=1从而f(x) =x+2x+1 ∴F(x)=
?
2
?
?(x?1)
2
，
（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+ 1，由于g(x)在
?
?2,2
?
上是
2?k2?k
??2
或-
?2
，得k
?
-2或k
?
6 ，
2 2
（3）
?
f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴
f(x)
在
?
0,??
?
上为增函数
单调函数,知-
对于 F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，
F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴F(x)是奇函数且F(x)在
?
0
，
??
?
上为增函数，
?
m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
15．函数f(x)=
x
(a，b是非零实 常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax?b
(1)求a、b的值；
(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。
解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程
所以
x
=x的解， ax?b
1
=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解 为0，则
ax?b
1
b=1，所以a=。
2
2x
(2) f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?2
2m
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，
m?2
2x2(?4?x)
?
f(x)+ f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定
x?2?4?x?2
义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x?2
2
)，设x+2=t，t≠0， 则
x?2
t?4
2 2
816164444
|AP|
2
=(t+1)
2
+()= t+2t+2–+
2
=(t
2
+
2
)+2(t–)+2=( t–)
2
+2(t–)+10=( t–+1)
2
+9
tt
t
tttt
t
(3)|AP|
2
=(x+3)
2
+ (
，
4
?1?17?5?17
+1=0时即t=，也就是x=时，|AP|
min
= 3 。
t
22
21?mx
16、已知函数< br>f(x)??log
2
是奇函数。
x1?x
所以当t–
（1）求
m
的值；
（2）请讨论它的单调性，并给予证明。
解（1）
?
f(x)
是奇 函数，
?f(?x)?f(x)?0
；
即
(?
21?mx21?m x
?log
2
)?(?log
2
)?0
，解得：
m ?1
，其中
m??1
（舍）；
x1?xx1?x

经验证当
m?1
时，
f(x)?
21?x
?log
2
(x?
?
?1,0
?
?
?
0,1
?)
确是奇函数。
x1?x
（2）先研究
f(x)
在（0，1） 内的单调性，任取x
1
、x
2
∈（0，1），且设x
1
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)?
? (
由
1?x
1
2
1?x
2
2
?log2
??log
2
x
1
1?x
1
x
2< br>1?x
2
2222
?)?[log
2
(?1)?log
2
(?1)],

x
1
x
2
1?x
2< br>1?x
1
2222
??0,log
2
(?1)?log
2
(?1)?0,
x
1
x
2
1?x
2
1 ?x
1
得
f(x
1
)?f(x
2
)
>0， 即
f(x)
在（0，1）内单调递减；
由于
f(x)
是奇函数，其 图象关于原点对称，所以函数
f(x)
在（－1，0）内单调递减。