高考数学函数专题习题集答案

函数专题练习
（一） 选择题(12个)
1.函数
y?e
x?1
(x?R)
的反函数是( )
A．
y?1?lnx(x?0)
B．
y?1?lnx(x?0)

C．
y??1?lnx(x?0)
D．
y??1?lnx(x?0)


2.已知
f(x)?
?
(A)
(0,1)

?(3a?1)x?4a,x?1
是
(??,??)
上的减函数，那么
a< br>的取值范围是
?
log
a
x,x?1
1
3
11
73
(D)
[,1)
(B)
(0,)
(C)
[,)

1
7
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区 间
(1,2
上
)
的任意
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，
|f(x
1
)?f( x
2
)|?|x
2
?x
1
|
恒成立”的只有
(A)
f(x)?
1

x
(B)
f
?
x
?
?|x|
(C)
f(x)?2
x

2
(D)
f(x)?x
2

4.已知
f(x)是周期为的奇函数，当
0?x?1
时，
f(x)?lgx
设
63 5
a?f(),b?f(),c?f(),
则
522
(A)
a?b?c
(B)
b?a?c
(C)
c?b?a
(D)
c?a?b

5.函数
f( x)?
3x
2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域是
A.
(?,??)
B.
(?,1)
C.
(?,)
D.
(??,?)

6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.
y??x
3
,x?R
B.
y?sinx ,x?R
C.
y?x ,x?R
D.
y?()
x
,x?R

7、函数
y?f(x)
的 反函数
y?f
?1
(x)
的图像与
y
轴交于点
1
3
1
3
11
33
1
3
1
y
2
P(0,2)
(如右图所示)，则方程
f(x)?0
在
[1,4 ]
上的根是
x?

A.4 B.3 C. 2 D.1
8、设
f(x)
是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
4
2
?1
O


3
y?f
?1
(x)

x

(A)
f(x)f(?x)
是奇函数 (B)
f(x)f(?x)
是奇函数
(C)
f(x)?f(?x)
是偶函数 (D)
f(x)?f(?x)
是偶函数
x
9、已知函数
y?e
的 图象与函数
y?f
?
x
?
的图象关于直线
y?x
对 称，则
A．
f
?
2x
?
?e(x?R)
B．
f
?
2x
?
?ln2?lnx(x?0)

2x

C．
f
?
2x
?
?2e(x?R)
D．
f
?
2x
?
?lnx?ln2(x?0)

x
x?1
?
?
2e,x＜2，
10、设
f(x)?
?
则f(f(2))的值为

2
?
?
log
3
(x?1)，x?2.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
?
a,a ?b
11、对a
，
b
?
R，记max{a，b}＝
?
，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x
?
R)的最小值
b,a＜ b
?
是
(A)0 (B)
13
(C) (D)3
22
222
12、关于
x
的方程
(x?1)?x?1?k?0
，给出下列四个命题：
①存在实数
k
，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数
k
，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数
k
，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数
k
，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
．
A．0 B．1 C．2 D．3
（二） 填空题(4个)
1.函数
f
?
x
?对于任意实数
x
满足条件
f
?
x?2
?
?1
，若
f
?
1
?
??5,
则
f
?
x
?
f
?
f
?
5
?
?
?
_______________。
?
e
x
,x?0.
1
2设
g(x)?
?
则
g(g())?
________ __
2
?
lnx,x?0.
3.已知函数
f
?
x
?
?a?
1
,
，若
f
?
x
?为奇函数，则
a?
________。
x
2?1
4. 设a?0,a?1
，函数
f(x)?log
a
(x
2
?2 x?3)
有最小值，则不等式
log
a
(x?1)?0
的解
集为 。
（三） 解答题(6个)
1. 设函数
f(x)?x
2
?4x?5
.
(1)在区间
[?2,6]
上画出函数
f(x)
的图像；
(2)设集合
A?xf(x)?5,
的关系，并给出证明；
(3)当
k?2
时，求证：在区间
[?1,5]
上，
y?kx?3k
的图像 位于函数
f(x)
图像的上方.
??
B?(??,?2]?[0,4]?[6,??)
. 试判断集合
A
和
B
之间

2、设f(x)
＝
3ax
?2bx?c.若a?b?c?0
，f(0 )＞0，f(1)＞0，求证：
b
(Ⅰ)a＞0且－2＜
a
＜－1；
b
(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.
?2
x
?b
3. 已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数。
2?a
(Ⅰ)求
a,b
的值；
(Ⅱ)若对任意的
t?R< br>，不等式
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k)?0
恒成立，求
k
的取值范围；
c
2
,
其中a为实数. 4. 设函数f(x)＝
2
x?ax?a
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

5. 已知定义在正 实数集上的函数
f(x)?
1
2
x?2ax
，
g(x)?3 a
2
lnx?b
，其中
a?0
．设
2
两曲线
y?f(x)
，
y?g(x)
有公共点，且在该点处的切线相同．
(I)用
a
表示
b
，并求
b
的最大值；
(II)求证：
f(x)≥g(x)
(
x?0
)．


6. 已知函数
f(x)?x
2
?x?1
，
?< br>,
?
是方程f(x)＝0的两个根
(
?
?
?
)
，
f'(x)
是f(x)的导数；设
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?
f(a
n
)
( n＝1，2，??)
f'(a
n
)
(1)求
?
,
?
的值；
(2)证明：对任意的正整数n，都有
a
n
＞a；
a?
?
(3)记
b
n
?ln
n
(n＝1，2，??)，求数列{b
n
}的前n项和S
n
。
a
n
?a



（四） 创新试题
1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段， 单位时间进出路口
A,B,C
的机

动车辆数如图 所示，图中
x
1
,x
2
,x
3
分别表示该时段单位 时间通过路段、、的机
动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相 等)，则
(A)
x
1
?x
2
?x
3
(B)
x
1
?x
3
?x
2
(C)
x
2
?x
3
?x
1
(D)
x
3
?x
2
?x
1









2. 设函数f(x)＝3sinx ＋2cosx＋1。若实数a、b、c使得af(x)
＋
bf(x?c)＝1对任意实数x恒成
bcosc
的值等于( )
a
11
A.
?
B.
22
立，则

















解答：
一、选择题
1解：由
y?e
x?1
C. ?1 D. 1
得：
x?1 ?lny,即x=-1+lny
，所以
y??1?lnx(x?0)
为所求，故选D。
２解：依题意，有0?a?1且3a－1?0，解得0?a?
当x?1时，log
a< br>x?0，所以7a－1?0解得x?
３解：
|
1
，又当x?1时，(3 a－1)x＋4a?7a－1，
3
1
故选C
7
x－x
111
1
?1?
－|＝|
21
|＝|x
1
－x
2
|
?x
1
，x
2
?（1，2）?x
1
x
2
?1
?
x
1
x
2
x
1
x
2
|x
1
x
2
|
x
1
x
2

|
11
－
|?|x
1
－x
2
|故选A < br>x
1
x
2
.
４解：已知
f(x)
是周期为2 的奇函数，当
0?x?1
时，
f(x)?lgx
设
64431151
a?f()?f(?)??f()
，
b?f()?f(?)??f()
，c?f()?f()
＜0，∴
55522222
c?a?b
，选D. < br>５解：由
?
?
1?x?0
1
???x?1
，故选B.
3
?
3x?1?0
６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义 域内既是奇函数又是增函数;D在
其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.
７解：
f(x)?0
的根是
x?
2，故选C
８解：A中< br>F(x)?f(x)f(?x)
则
F(?x)?f(?x)f(x)?F(x)
，
即函数
F(x)?f(x)f(?x)
为偶函数，B中
F(x)?f(x )f(?x)
，
F(?x)?f(?x)f(x)
此
时
F(x)与
F(?x)
的关系不能确定，即函数
F(x)?f(x)f(?x)
的 奇偶性不确定，
C中
F(x)?f(x)?f(?x)
，
F(?x)?f( ?x)?f(x)??F(x)
，即函数
F(x)?f(x)?f(?x)
为
奇函数，D中
F(x)?f(x)?f(?x)
，
F(?x)?f(?x)?f(x) ?F(x)
，即函数
F(x)?f(x)?f(?x)
为偶函数，故选择答案D。 < br>９解：函数
y?e
x
的图象与函数
y?f
?
x
?
的图象关于直线
y?x
对称，所以
的反函数，即
f(x)
是
y?e
x
f(x)
＝
lnx
，∴
f
?
2x
?
?ln2x?lnx?ln2(x?0)
，选D.
１０解：f(f(2))＝f(1)＝2，选C
１１解：当x?－1时，|x＋1|＝－x－ 1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－3?0，所以
2－x?－x－1；当－1 ?x?
x＋1?2－x；当
－2；
1
时，|x＋1|＝x＋1，|x－2| ＝2－x，因为(x＋1)－(2－x)＝2x－1?0，
2
1
?x?2时，x＋1? 2－x；当x?2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1?x
2

?
2?x(x?(??,?1)
?
?
2? x(x?[?1,
1
))
?
2
据此求得最小值为
3
。选C 故
f(x)?
?
2
?
x?1(x?[
1
, 2))
?
2
?
x?1(x?[2,??))
?
（x－）1? k?（0x?1或x?－）1
?(1) １２解：关于x的方程
x?1?x?1?k?0
可化为
x?1?
1?k?0
(－1?x?1)????(2) 或
x?1＋（x－）
① 当k＝－2时，方程(1)的解为?
3
，方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根
?
2
?
2
2
?
2
?
2
2
?
2
?
2
2
② 当k＝
1
62
时，方程 (1)有两个不同的实根?，方程(2)有两个不同的实根?，即原方
4
22
程恰有4 个不同的实根
③ 当k＝0时，方程(1)的解为－1，＋1，?
2
，方程(2)的 解为x＝0，原方程恰有5个不同
的实根
④ 当k＝
2
152336
时，方程(1)的解为?，?，方程(2)的解为?，?，即原方程恰
9
3333
有 8个不同的实根
选A
二、填空题。
１解：由
f
?
x? 2
?
?
11
得
f
?
x?4
?
?? f(x)
，所以
f(5)?f(1)??5
，则
f
?
x?
f
?
x?2
?
11
f
?
f
?
5
?
?
?f(?5)?f(?1)???
。
f(?1? 2)5
1
ln
111
２解：
g(g())?g(ln)?e
2
?
.
222
３解：函数
f(x)?a?
11
1
.a??0
f(x)f(0)?0
若为奇函数，则，即，a＝.
x0
2?12?12
４解：由
a?0,a?1
，函数
f(x)?log
有最小值可知a?1，所以不等式
x
2
?2x?3)
a
(
l og
a
(x?1)?0
可化为x－1?1，即x?2.
三、解答题

１解：(1)










( 2)方程
f(x)?5
的解分别是
2?14,0,4
和
2?14，由于
f(x)
在
(??,?1]
和
[2,5]
上单调 递减，在
[?1,2]
和
[5,??)
上单调递增，因此
A???,2?14?[0,4]?2?14,??
.
由于
2?14?6,2?14??2,?B?A
.
(3)[解法一] 当
x?[?1,5]
时，
f(x)??x
2
?4x?5
.

g(x)?k(x?3)?(?x
2
?4x?5)


?x
2
?(k?4)x?(3k?5)

?
??
?
4?k
?
k
2
?20k?36
?

?
?
x?
，
?
?
2
?
4?
2
4?k
?1
. 又
?1?x?5
，
2
4?k4?k
① 当
?1?
，
?1< br>，即
2?k?6
时，取
x?
22
k
2
?20 k?361
2
??
?
k?10
?
?64
.
g(x)
min
??
44

?k?2,?
??

?16?(k?10)
2
?64,?(k?10)
2
?64?0
，
则
g(x)
min
?0
.
② 当
4?k
??1
，即
k?6
时，取
x??1
，
g(x)
mi
＝
n
2k?0
.
2
由 ①、②可知，当
k?2
时，
g(x)?0
，
x?[?1,5]< br>.
因此，在区间
[?1,5]
上，
y?k(x?3)
的图像位于函数
f(x)
图像的上方.
[解法二] 当
x?[?1,5]
时，
f(x)??x
2
?4x?5
.

?
y?k(x?3),
由
?
得
x
2
?(k?4)x?(3k?5)?0
，
2
?
y??x?4x?5,
令
??(k?4)
2
?4(3k?5)?0
，解得
k?2
或
k?18
，
在区间
[?1,5]
上， 当
k?2
时，
y?2(x?3)
的图像与函数
f(x)
的图 像只交于一点
(1,8)
； 当
k?18
时，
y?18(x?3)< br>的图像与函数
f(x)
的图像没有交点.
如图可知，由于直线
y? k(x?3)
过点
(?3,0)
，当
k?2
时，直线
y?k (x?3)
是由直
线
y?2(x?3)
绕点
(?3,0)
逆 时针方向旋转得到. 因此，在区间
[?1,5]
上，
y?k(x?3)
的< br>图像位于函数
f(x)
图像的上方.
2(I)证明：因为
f(0 )?0,f(1)?0
，所以
c?0,3a?2b?c?0
.
由条件
a?b?c?0
，消去
b
，得
a?c?0
；
由条件
a?b?c?0
，消去
c
，得
a?b?0
，
2a?b?0
.
故
?2?
b
??1
.
a
2
b3ac?b
2
,)
， (II)抛物线
f( x)?3ax?2bx?c
的顶点坐标为
(?
3a3a
在
?2?b11b2
??1
的两边乘以
?
，得
???
.
a333a3
ba
2
?c
2
?ac
?0,
又因为
f(0)?0,f(1)?0,
而
f(?)??
3a3a
所以 方程
f(x)?0
在区间
(0,?
bb
)
与
(?, 1)
内分别有一实根。
3a3a
故方程
f(x)?0
在
(0,1)
内有两个实根.
b?11?2
x
?0?b?1?f(x)?
3解：(Ⅰ)因为
f(x )
是奇函数，所以
f(0)
＝0，即
a?2a?2
x?1
1
1?2
又由f(1)＝ －f(－1)知
??
2
?a?2.

a?4a?1
1?
1?2
x
11
???
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知
f(x)?
，易知
f(x)
在
(??,? ?)
上
2?2
x?1
22
x
?1
22
为 减函数。又因
f(x)
是奇函数，从而不等式：
f(t?2t)?f(2t?k)?0

222
等价于
f(t?2t )??f(2t?k)?f(k?2t)
，因
f(x)
为减函数，由上式推得： t
2
?2t?k?2t
2
．即对一切
t?R
有：
3t
2
?2t?k?0
，

从而判别式
??4?12k?0?k??.

1
3
解法二： 由(Ⅰ)知
22
1?2
x
f(x)?
2?2
x?1
．又由题设条件得：
1?2
t
2?2
?2t
t< br>2
?2t?1
?
2
1?2
2t
2?2
?k< br>2t
2
?k?1
?0
，
即 ：
(2
2t
整理得
2
3t
2
?k?1
? 2)(1?2
t
2
?2t
)?(2
t
2
?2t?1
?2)(1?2
2t
2
?k
)?0
，
?2t?k
?1,因底数2>1,故:
3t
2
?2t?k?0

13
上式对一切
t?R
均成立，从而判别式
??4?12k?0?k??.

4解：(Ⅰ)
f(x)
的定义域为
R
，
?x?a x?a?0
恒成立，
???a?4a?0
，
22
?0?a?4，即当
0?a?4
时
f(x)
的定义域为
R
．
x(x?a?2)e
x
(Ⅱ)
f
?
(x)?
2
， 令
f
?
(x)≤0
，得
x(x?a?2)≤0
．
(x?ax?a)
2
由
f
?
(x)?0
，得
x?0
或
x?2?a
，又
?0?a?4
，
?0?a?2
时，由
f
?
(x)?0
得
0?x?2?a
；
当< br>a?2
时，
f
?
(x)≥0
；当
2?a?4
时，由
f
?
(x)?0
得
2?a?x?0
，
2?a)
； 即当
0?a?2
时，
f(x)
的单调减区间为
(0，
0)
． 当
2?a?4
时，
f(x)
的单调 减区间为
(2?a，
5解：(Ⅰ)设
y?f(x)
与
y?g(x)( x?0)
在公共点
(x
0
，y
0
)
处的切线相同．
3a
2
∵f
?
(x)?x?2a
，
g
?< br>(x)?
，由题意
f(x
0
)?g(x
0
)
，
f
?
(x
0
)?g
?
(x
0
)
．
x
?
1
22
x?2ax?3alnx
0
?b，
00
?
3a
2
?
2
即
?
由
x
0
?2a?
得：
x
0
?a
，或
x
0
??3a
(舍去)．
2
3a
x
0
?
x
0
?2a?，
?
x
0
?
即有
b?
1
2
5
a?2a
2
?3a
2
lna? a
2
?3a
2
lna
．
22

令
h(t)?
5
2
t?3t
2< br>lnt(t?0)
，则
h
?
(t)?2t(1?3lnt)
． 于是
2
1
3
当
t(1?3lnt)?0
，即
0? t?e
时，
h
?
(t)?0
；
当
t(1?3ln t)?0
，即
t?e
时，
h
?
(t)?0
． 11
????
33
0，ee，?∞
故
h(t)
在
??
为增函数，在
??
为减函数，
????
2
?
1
?
3
于是
h(t)
在
(0，?∞)
的最大值为
h
?
e
3
?
?e
3
．
??2
1
3
(Ⅱ)设
F(x)?f(x)?g(x)?
1
2
x?2ax?3a
2
lnx?b(x?0)
，
2
3a
2
(x?a)(x?3a)
?(x?0)
． 则
F
?
(x)
?x?2a?
xx
?∞)
为增函数， 故
F(x)
在
(0，a)
为减函数，在
(a，
?∞)
上的最小值是
F(a)?F(x
0
)?f(x
0
)?g(x
0
)?0
． 于是函数
F(x)
在
(0，
故当
x ?0
时，有
f(x)?g(x)
≥
0
，即当
x?0
时，
f(x)
≥
g(x)
．
6解析：(1)∵
f(x)? x
2
?x?1
，
?
,
?
是方程f(x)＝0的两个 根
(
?
?
?
)
，
∴
?
?
?1?5?1?5
；
,
?
?22
115
a
n
(2a
n
?1)?(2a
n< br>?1)?
a?a
n
?1
44

?a
n
??a
n
?
2
2a
n
?12a
n
?1< br>2
n
(2)
f'(x)?2x?1
，
a
n?15
4
＝
(2a
n
?1)?
1
4
15?1
5?1
，∵
a
1
?1
，∴有基本不等式可知a
2
??0
(当且仅当
a
1
?
2a
n
?12
2
2
?
5?15?1
5?1
，??，
a
n
??
?
(n＝1，2，??)，
?0
同，样
a
3
?
2
22
(a?
?
)(a
n
?
?
)a
n
?
?
?(a
n
?1?
?
)
，而
?
?
?
??1
，即
?
?1??
?
， (3)
a
n?1
?
?
?a
n
?
?
?
n
2a
n
?12a
n
?1
时取等号)，∴
a
2
?
(a
n
?
?< br>)
2
(a
n
?
?
)
2
1?
?
3?5
a
n?1
?
?
?
n?ln2?ln
，同理
a
n?1
?
?
?
，
b
n?1?2b
n
，又
b
1
?l
2a
n
?12 a
n
?1
1?
?
3?5
3?5
2

S
n
?2(2
n
?1)ln
3?5

2
四、创新试题
１解：依题意，有x
1
＝50＋x
3－55＝x
3
－5，?x
1
?x
3
，同理，x
2
＝30＋x
1
－20＝x
1
＋10?x
1
?x< br>2
，

同理，x
3
＝30＋x2
－35＝x
2
－5?x
3
?x
2
故选C < br>2解：令c
＝
π，则对任意的x∈R，都有f(x)
＋
f(x?c)＝ 2，于是取
a?b?
意的x∈R，af(x)
＋
bf(x?c)＝1，由此得
1
，c
＝
π，则对任
2
bcosc
??1
。选
Ｃ
。
a