2017年高考数学函数真题汇编

2017年高考数学《不等式》真题汇编
xx
1.（2017北京）已知函数
f(x)?3?()
，则
f(x)
（A）
1
3


（A）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数
（B）是偶函数，且在R上是增函数
（D）是偶函数，且在R上是减函数
2.（2017北京）已知函数
f(x)?e
x
cosx?x

（Ⅰ）求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[0,
x
?
2
]
上的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）
f(x)?ecosx?x

∴
f
?
(x)?e(cosx?sinx)?1

∴曲线< br>y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线斜率为
k?e(cos0 ?sin0)?1?0

切点为
(0,1)
，∴曲线
y?f(x)< br>在点
(0,f(0))
处的切线方程为
y?1

（Ⅱ）
f
?
(x)?e(cosx?sinx)?1
，
令
g(x)?f
?
(x)
，则
g
?
(x)?e(co sx?sinx?sinx?cosx)??2esinx

当
x?[0,
x x
x
0
x
?
2
]
，可得
g
?(x)??2e
x
sinx?0
，
即有
g(x)
在< br>[0,
所以
f(x)
在
[0,
?
2
]
上单调递减，可得
g(x)?g(0)?0
，
]
上单调递减，
?
2
所以函数
f(x)
在区间
[0,
?
2
]
上的最大值为
f(0)?e
0
cos0?0?1
；
最小 值为
f()?e
2
cos
?
?
?
22
?< br>?
2
??
?
2


3.（2017全国卷Ⅰ ）函数
f(x)
在
(??,??)
单调递减，且为奇函数．若
f(1 )??1
，则满足
?1?f(x?2)?1
的
x
的取值范围是（D）
A．
[?2,2]


B．
[?1,1]


C．
[0,4]
D．
[1,3]

1

4.（2017全国卷Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 c m，该纸片上的等边三角形
ABC
的
中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△< br>ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
CA
，< br>AB
为底边的等腰
三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当 △
ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_______
3
415cm
3




2xx
f(x)?ae?(a?2)e?x
5.（2017全国卷Ⅰ）已知函数
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
解：（ 1）
f(x)
的定义域为
(??,??)
，
f
?
( x)?2ae
2x
?(a?2)e
x
?1?(ae
x
?1) (2e
x
?1)

（i）若
a?0
，则
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在
(??,??)
单调递减
（ii）若
a?0
，则由
f
?
(x)?0
的
x??lna

当
x?(??,?lna)
时，
f
?
(x)?0
；
当
x?(?lna,??)
时，
f
?
(x)?0

所以
f(x)
在
(??,?lna)
单调递减，在
(?ln a,??)
单调递增。
（2）（i）若
a?0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点 < br>（ii）若
a?0
，由（1）知，当
x??lna
时，
f(x )
取得最小值，最小值为
f(?lna)?1?
当
a?1
时，由于< br>f(?lna)?0
，故
f(x)
只有一个零点；
当
a?( 1,??)
时，由于
1?
当
a?(0,1)
时，
1?
1
?lna

a
1
?lna?0
，即
f(?ln a)?0
，故
f(x)
没有零点；
a
1
?lna?0
，即
f(?lna)?0
又
a
2

又
f(?2)?ae
?4
?(a?2)e
?2
?2??2e
?2
?2?0
，故
f(x )
在
(??,?lna)
有一个零点。
设正整数
n
0
满足
n
0
?ln(?1)
，
则
f(n
0
)?e
n
0
(ae
n
0
?a?2)?n
0
?e
n
0
?n
0
?2
n
0
?n
0
?0

由于
ln(?1)?? lna
，因此
f(x)
在
(?lna,??)
有一个零点
综上，
a
的取值范围为
(0,1)


3
a
3
a
y?
6.（2017全国卷Ⅰ）函数
sin2x
1? cosx
的部分图像大致为（C）

7.（2017全国卷Ⅰ）已知函数
f (x)?lnx?ln(2?x)
，则（
C
）

A.
f(x)
在（
0,2
）单调递增
B.
f(x)
在（
0,2
）单调递减

D.y=
f(x)
的图像关于点（
1,0
）对称
C.y=
f(x)
的图像关于直线
x=1
对称


8.（2017全国卷Ⅰ）已知函数
f(x)
=e
x
(e
x
﹣a)﹣a
2
x．
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（
2
）若
f(x)?0
，求
a
的取值范围．

2xx2xx
解：（1）函数
f(x)
的定义域为
(??,??),f?
(x)?2e?ae?a?(2e?a)(e?a)

2x
①若
a?0
，则
f(x)?e
，在
(??,??)
单调递增
3

②若
a?0
，则由
f
?(x)?0
得
x?lna

当
x?(??,lna)
时，
f
?
(x)?0
；
当
x?(lna,??)
时，
f
?
(x)?0
；
故
f(x)
在
(??,lna)
单调递减，在
(lna,? ?)
单调递增
③若
a?0
，则由
f
?
(x)?0
得
x?ln(?)

当
x?(??,ln(?))
时，f
?
(x)?0
；
当
x?(ln(?),??)
时，
f
?
(x)?0
；
故
f(x)
在
(?? ,ln(?))
单调递减，在
(ln(?),??)
单调递增
2x
（2）①若
a?0
，则
f(x)?e
，所以
f(x)?0

a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
②若
a?0
，则由（1）得，当
x?lna
时，
f(x)< br>取得最小值，
2
最小值为
f(lna)??alna
，从而当且仅当
?alna?0
，即
a?1
时，
f(x)?0

2
③若
a?0
，则由（1）得，当
x?ln(?)
时，
f(x )
取得最小值，
最小值为
f(ln(?))?a[?ln(?)]
， 3
3a
从而当且仅当
a[?ln(?)]?0
，即
a??2e< br>4
时，
f(x)?0

42
2
a
2
a
2
2
3
4
a
2
综上，
a
的取值 范围是
[?2e,1]


9.（2017全国卷Ⅱ）若
x??2< br>是函数
f(x)?(x?ax?1)e
则
f(x)
的极小值为（C）
A.
?1
B.
?2e
C.
5e
D.1

?3?3
3
4
2x?1`
的极值点，
4

10.（2017全国卷Ⅱ）已知函数
f
?
x
?
?ax?ax?xlnx
，且
f
?
x
?
?0
。
2
（1）求
a
的值；
（2）证明：
f
?
x
?
存在唯一的极大值点
x
0
，且
e
解：（1）< br>f(x)
的定义域为
(0,??)

设
g(x)?ax?a? lnx
，则
f(x)?xg(x),f(x)?0
等价于
g(x)?0

因为
g(1)?0,g(x)?0
，故
g
?
(1)?0
，
?2
?f
?
x
0
?
?2
?2
.
1
,g
?
(1)?a?1
，得
a?1

x
1
若
a?1
，则
g
?
(x)?1?
x
而
g
?
(x)?a?
当
0?x?1
时，g
?
(x)?0,g(x)
单调递减；
当
x?1
时，
g
?
(x)?0,g(x)
单调递增
所以
x?1
是
g(x)
的极小值点，故
g(x)?g(1) ?0
，综上，
a?1

（2）由（1）知
f(x)?x?x?xln x,f
?
(x)?2x?2?lnx

设
h(x)?2x?2?ln x
，则
h
?
(x)?2?
2
1

x
当
x?(0,)
时，
h
?
(x)?0
；当
x?( ,??)
时，
h
?
(x)?0
.
1
2
1
2
11
22
111
?2
)
有唯一零点1，又
h(e)?0,h()?0,h(1)?0
，所以
h(x)
在
(0,)有唯一零点
x
0
，在
[,??
222
所以
h( x)
在
(0,)
单调递减，在
(,??)
单调递增.
且当
x?(0,x
0
)
时，
h(x)?0
；当
x?(x
0
,1)
时，
h(x)?0
；当
x?(1,??)
时，
h(x)?0
.
因为
f
?
(x)?h(x)
，所以
x?x
0
是
f(x)
的唯一极大值点.
由
f
?
(x
0
)?0
得
lnx
0
?2(x< br>0
?1)
，故
f(x
0
)?x
0
(1?x< br>0
)
.
由
x
0
?(0,1)
得
f (x
0
)?
1
.
4
?1?1
因为
x?x
0
是
f(x)
在
(0,1)
的最大值点，由
e?( 0,1),f
?
(e)?0
得
f(x
0
)?f(e
?1
)?e
?2
.所以
e
?2
?f(x
0
)?2
?2

5

11.（2017全国卷Ⅱ） 函数
f(x)?ln(x
2
?2x?8)
的单调递增区间是（D）
A.(-
?
,-2)

12.（2017全国卷Ⅱ）设函数< br>f(x)?(1?x
2
)e
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）当
x?0
时，f(x)?ax?1
，求
a
的取值范围.
解：（1）
f
?
(x)?(1?2x?x
2
)e
x

令
f
?
(x)?0
得
x??1?2,x??1?2

当
x?(??,?1?2)
时，
f
?
(x)?0
；
当
x?(?1?2,?1?2)
时，
f
?
(x)?0
；
当
x?(?1?2,??)
时，
f
?
(x)?0
.
所以
f(x)
在
(??,?1?2),(?1?2,??)
单调递减 ，在
(?1?2,?1?2)
单调递增.
（2）
f(x)?(1?x)(1 ?x)e
x
，当
a?1
时，
设函数
h(x)?(1?x) e,h
?
(x)??xe?0(x?0)
，
因此
h(x)
在
[0,??)
单调递减，而
h(0)?1
，故
h(x)?1
，
所以
f(x)?(x?1)h(x)?x?1?ax?1

当
0?a?1
时，
设函数
g(x)?e?x?1,g
?< br>(x)?e?1?0(x?0)
，所以
g(x)
在
[0,??)
单调递增，
而
g(0)?0
，故
e?x?1

222< br>当
0?x?1
时，
f(x)?(1?x)(1?x)
，
(1? x)(1?x)?ax?1?x(1?a?x?x）
，
x
B. (-
?
,-1) C.(1,+
?
) D. (4,+
?
)
xx
xx
取
x
0
?
5?4a?1
，则
x
0
?(0,1),(1?x
0
)(1 ?x
0
)
2
?ax
0
?1?0
，故
f(x
0
)?ax
0
?1

2
5?1
，则
x
0
?(0,1),f(x
0
)?(1?x
0
)(1?x
0
)
2
?1?ax
0
?1

2
6
当
a?0
时，取
x
0
?

综上，
a
的取值范围是
[1,??)
.

13.（2017全国卷Ⅲ）已知函数
f(x)?x
2
?2x?a(e
x?1
?e
?x?1
)
有唯一零点，则
a?
（C）
A．
?
1

2
B．
1

3
C．
1

2
D．1
?
x?1,x?0,
1
14.（2017全国卷Ⅲ）设函数
f(x)?
?
x
则满足
f(x)?f(x?)?1
的
x
的取值范围
2< br>?
2,　x?0
是________
(?
1
,??)

4
15.（2017全国卷Ⅲ）函数
y?1?x?
sinx
的部分图 像大致为（D）
x
2
A． B．
C． D．
16 .（2017全国卷Ⅲ）已知函数
f(x)?x?2x?a(e
A．
?
2x? 1
?e
?x?1
)
有唯一零点，则
a
=（C）
D．1
1

2
B．
1

3

2
C．
1

2
17.（2017全国卷Ⅲ）已知函数f(x)?lnx?ax?
?
2a?1
?
x．

（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）当
a?0
时，证明
f(x)??
3
?2
．
4a
1(x?1)(2ax?1)
?2ax?2a?1?

xx解：（1）f(x)的定义域为
(0,??)
，
f
?
(x)?< br>若
a?0
，则当
x?(0,??)
时，
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
(0,??)
单调递增
7

11
)
时，
f
?
(x)?0；当
x?(?,??)
时，
f
?
(x)?0

2a2a
11
)
单调递增，在
(?,??)
单调递减。 故
f(x)
在
(0,?
2a2a
1
（2）由（1）知，当a?0
时，
f(x)
在
x??
取得最大值，最大值为
2a
111
f(?)?ln(?)?1?

2a2a4a
3 11311
?2
等价于
ln(?)?1????2
，即
ln(?)? ?1?0
所以
f(x)??
4a2a4a4a2a2a
1
设
g(x)?lnx?x?1
，则
g
?
(x)??1

x< br>若
a?0
，则当
x?(0,?
当
x?(0,1)
时，
g
?
(x)?0
；当
x?(1,??)
，
g
?
(x)?0
。
所以
g(x)
在（0,1）单调递增，在
(1,??)
单调递减。
故当
x?1
时，
g(x)
取得最大值，最大值为
g(1)? 0
，所以当
x?0
时，
g(x)?0

从而当
a?0
时，
ln(?

18.（2017山东）已知 当
x?
?
0,1
?
时，函数
y?
?
mx? 1
?
的图象与
y?
2
113
)??1?0
，即f(x)???2

2a2a4a
x?m
的图象有且只有
一个交点，则正实数
m
的取值范围是（B）
（A）
?
0, 1
?
?
?
23,??
（B）
?
0,1
?< br>?
?
3,??
?

?
?
（C）
0, 2
?
?
?
23,??
（D）
0,2
?
?< br>?
3,
??
?

?
??
?
?
?

19.（2017山东）若函数< br>e
x
f(x)
（
e?2.71828?
是自然对数的底数）在
f
?
x
?
的定义域上单调递
增，则称函数
f?
x
?
具有
M
性质.下列函数中所有具有
M
性 质的函数的序号为.①④
①


f
?
x
?
=2
-x
②
f
?
x
?
?3
?x
③
f
?
x
?
?x
3
④
f
?
x
?
?x
2
?2

8

20.（2017山东）已知函数
f
?
x
?
?x
2
?2cosx
，其中
e?2.71828?
g
?
x
?
?e
x
?
cosx?sinx?2x ?2
?
，
是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线
y?f
?x
?
在点
(
?
,f(x))
处的切线方程；
（Ⅱ）令
h
?
x
?
?g
?
x
?
? af
?
x
??
a?R
?
，讨论
h
?
x
?
的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
解：（Ⅰ）由题意
f (
?
)?
?
2
?2
，又
f
?
?< br>x
?
?2x?2sinx
，
所以
f
?
?< br>?
?
?2
?
，因此，曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?
,f
?
?
?
?
处的 切线方程为
y?
?
?
2
?2
?
?2
?< br>?
x?
?
?
，即
y?2
?
x?
?
2
?2
.
（Ⅱ）由题意得
h
?
x
?
?e
2
?
cosx?sinx?2x?2
?
?ax
2
?2cosx
，
因为
h
?
?
x
?
?e
x
?
cosx?sinx?2x?2
?
?e
x
?
?sinx?cosx ?2
?
?a
?
2x?2sinx
?

??
?2e
x
?
x?sinx
?
?2a
?
x?sinx
?
?2e
x
?a
?
x?sinx
?
， < br>令
m
?
x
?
?x?sinx
，则
m
?
?
x
?
?1?cosx?0
。所以
m
?
x
?
在
R
上单调递增.
所以 当
x?0
时，< br>m(x)?0
；当
x?0
时，
m
?
x
??0

（1）当
a?0
时，
e
x
?a?0
，
当
x?0
时，
h
?
(x)?0,h(x)
单调递减，
当
x?0
时，
h
?
(x)?0,h(x)
单调递增，
所以 当
x?0
时，
h(x)
取到极小值，极小值是
h(0 )??2a?1
；
（2）当
a?0
时，
h
?
?< br>x
?
?2e
x
?e
lna
由
h
?
?
x
?
?0
得
x
1
?lna
，
x
2
=0

①当
0?a?1
时，
lna?0
，
当
x?
?
??,lna
?
时，
e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递增；
当
x?
?
lna,0
?
时 ，
e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递减；
当x?
?
0,??
?
时，
e
x
?e
ln a
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递增.
所以 当
x?lna
时
h
?
x
?
取得极大值.
??
??
?
x?sinx
?

9

极大值为
h
?
lna
?
??a
?
ln
2
a?2lna?sin
?
lna
?
?cos
?
lna
?
?2
?
，
??
??
当x?0
时
h
?
x
?
取到极小值，极小值是
h
?
0
?
??2a?1
；
②当
a?1
时，
lna?0
，
所以 当
x??
??,??
?
时，
h
?
?
x
??0
，函数
h
?
x
?
在
?
??,??
?
上单调递增，无极值；
③当
a?1
时，
lna?0，所以当
x?
?
??,0
?
时，
e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，h
?
x
?
单调递增；
当
x?
?
0, lna
?
时，
e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递减；
当
x?
?
lna,??
?
时，
ex
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递增.
所以当
x?0< br>时
h
?
x
?
取到极大值，极大值是
h
?
0
?
??2a?1
；
当
x?lna
时
h
?
x
?
取得极小值，极小值是
h
?< br>lna
?
??a
?
ln
2
a?2lna?sin?
lna
?
?cos
?
lna
?
?2
?

??
??
综上所述：
当
a?0
时，
h
?
x
?
在
?
??,0
?
上单调递减，在
?
0,??
?
上单调递增，
函数
h
?
x
?
有极小值，极小值是
h
?
0
?
??2a?1；
当
0?a?1
时，函数
h
?
x
?
在
?
??,lna
?
和
?
0,lna
?
和
?
0,??
?
上单调递增，在
?
lna,0
?上单调递减，
2
函数
h
?
x
?
有极大值，也有 极小值，极大值是
h
?
lna
?
??a
?
?
lna?2lna?sin
?
lna
?
?cos
?
lna
?
?2
?
?

极小值是
h
?
0
?
??2a?1
；
当< br>a?1
时，函数
h
?
x
?
在
?
?? ,??
?
上单调递增，无极值；
当
a?1
时，函数
h?
x
?
在
?
??,0
?
和
?
lna,??
?
上单调递增，
在
?
0,lna
?
上单调递减，函数
h
?
x
?
有极大值，也有极小值，极大值是
h
?
0
?
??2a?1
；
2
极小值是
h
?
lna
?
??a
?
ln
?
a?2ln a?sin
?
lna
?
?cos
?
lna
?
?2
?
?
.

23.（2017山东）已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且
f(x?4)?f(x?2)
.
若当
x?[?3,0]
时，
f(x)?6
，则
f(919)?
6

10

?x

24.（2017山东）已知函数
f(x)?
1
3
1
2
x?ax,a?R
，
32
（1）当a?2
时，求曲线
y?f(x)
在点
(3,f(3))
处的切线 方程；
（2）设函数
g(x)?f(x)?(x?a)cosx?sinx
，讨论< br>g(x)
的单调性并判断有无极值，有极值
时求出极值.
解：（1）由题意
f
?
(x)?x
2
?ax
，所以 当
a?2
时，
f(3)?0,f
?
(x)?x
2
? 2x

所以
f
?
(3)?3

因此，曲线
y?f(x)
在点
(3,f(3))
处的切线方程是
y?3(x?3)
，即
3x?y?9?0

（2）因为
g(x)?f(x)?(x?a)co sx?sinx
，所以
g
?
(x)?f
?
(x)?cosx ?(x?a)sinx?cosx

?x(x?a)?(x?a)sinx?(x?a)(x?sinx)

令
h (x)?x?sinx
，则
h
?
(x)?1?cosx?0
，所以< br>h(x)
在R上单调递增
因为
h(0)?0
，所以当
x?0
时，
h(x)?0
；当
x?0
时，
h(x)?0



11

?
x< br>2
?x?3,x?1,
?
25.（2017天津）已知函数
f(x)?
?
设
a?R
，
2
?
x?,x?1.
x< br>?
若关于x的不等式
f(x)?|
（A）
[?
x
?a |
在R上恒成立，则a的取值范围是（A）
2








（B）
[?
47
,2]

16




4739
,]

1616
39

]
16
432
（C）
[?23,2]
（D）
[? 23,
26.（2017天津）设
a?Z
，已知定义在R上的函数
f(x)? 2x?3x?3x?6x?a
在区间
(1,2)
内有一个零点
x
0< br>，
g(x)
为
f(x)
的导函数.
（Ⅰ）求
g(x)
的单调区间；
（Ⅱ）设
m?[1,x
0
)?(x
0
,2]
，函数
h(x)?g(x)(m?x
0< br>)?f(m)
，求证：
h(m)h(x
0
)?0
；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数
A
，使得对于任意的正整数
p,q
，且
p
?[1,x
0
)?(x
0
,2],
满足
q|

p1
?x
0
|?
.
qAq
4
12

（Ⅰ）解：由
f(x)?2x
4
?3x
3
?3x
2
?6x?a
，可得
g(x) ?f
?
(x)?8x
3
?9x
2
?6x?6
， < br>进而可得
g
?
(x)?24x
2
?18x?6
.令< br>g
?
(x)?0
，解得
x??1
，或
x?
当 x变化时，
g
?
(x),g(x)
的变化情况如下表：
x
1
.
4
(??,?1)

+
↗
1
(?1,)

4
-
↘
1
(,??)

4
+
↗
g
?
(x)

g(x)

所以，
g(x)
的单调递增区间是
(??,?1)
，
(,??)
，单调递减区间是< br>(?1,)
.
（Ⅱ）证明：由
h(x)?g(x)(m?x
0
)?f(m)
，得
h(m)?g(m)(m?x
0
)?f(m)
，
1
4
1
4
h(x
0
)?g(x
0
)(m?x
0
)?f(m)
.
令函数
H
1
(x) ?g(x)(x?x
0
)?f(x)
，则
H
1
?
( x)?g
?
(x)(x?x
0
)
.
由（Ⅰ）知，当
x?[1,2]
时，
g
?
(x)?0
，
故当
x ?[1,x
0
)
时，
H
1
?
(x)?0
，
H
1
(x)
单调递减；
当
x?(x
0
, 2]
时，
H
1
?
(x)?0
，
H
1
(x)
单调递增.
因此，当
x?[1,x
0
)?(x
0
,2]
时，
H
1
(x)?H
1
(x
0)??f(x
0
)?0
，
可得
H
1
(m)?0,即h(m)?0
.
令函数
H
2
(x)?g(x
0
)(x?x
0
)?f(x)
，则
H
2
?
(x)?g
?
(x
0
)?g( x)
.
由（Ⅰ）知，
g(x)
在
[1,2]
上单调递增，
故当
x?[1,x
0
)
时，
H
2
?
(x)?0
，
H
2
(x)
单调递增；
当
x?( x
0
,2]
时，
H
2
?
(x)?0
，H
2
(x)
单调递减.
因此，当
x?[1,x
0)?(x
0
,2]
时，
H
2
(x)?H
2(x
0
)?0
，
可得
H
2
(m)?0,即h(x
0
)?0
.
所以，
h(m)h(x
0
)?0
.
13

（III）对于任意的正整数
p
，
q
，且
p
?[1,x
0
)?(x
0
,2]
，
q
令
m?
p
，函数
h(x)?g(x)(m?x
0
)?f(m )
.
q
由（II）知，当
m?[1,x
0
)
时，
h(x)
在区间
(m,x
0
)
内有零点；
当m?(x
0
,2]
时，
h(x)
在区间
(x
0
,m)
内有零点.
所以
h(x)
在
(1,2)
内 至少有一个零点，不妨设为
x
1
，则
h(x
1
)?g(x< br>1
)(
由（I）知
g(x)
在
[1,2]
上单调递增 ，故
0?g(1)?g(x
1
)?g(2)
，
pp
?x
0
)?f()?0
.
qq
pp
f()|f()|
p|2p
4
?3p
3
q?3p
2
q
2
?6pq
3
?aq
4
|
qq
|??< br>于是
|?x
0
|?|
.
4
qg(x
1)g(2)g(2)q
因为当
x?[1,2]
时，
g(x)?0
，故
f(x)
在
[1,2]
上单调递增，
所以
f(x)< br>在区间
[1,2]
上除
x
0
外没有其他的零点，而
p
p
?x
0
，故
f()?0
.
q
q
432234
又因为
p
，
q
，
a
均为整数，所以
|2p?3pq?3pq?6pq?aq|
是正整数，
432234
从而
|2p?3pq?3pq?6pq?aq|?1
.
所以
|

p1p1
?x
0
|?|?x|?
A?g(2)
.所以，只要取，就有.
0
qg(2)q
4
qAq< br>4
?
|x|?2,x?1,
x
?
a?R
f(x)?| ?a|
在 27.（2017天津）已知函数
f(x)?
?
设，若关于的不等 式
2
2
x?,x?1.
?
x
?
R
上恒成立 ，则
a
的取值范围是（ A ）
（A）
[?2,2]









（B）
[?23,2]

（D）
[?23,23]

（C）
[?2,23]


14

28.（2017天津）设
a,b?R
，
|a|?1
.已知函数
f(x)?x
3
?6x
2
?3a(a?4)x?b
，
g(x )?e
x
f(x)

（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间； （Ⅱ）已知函数
y?g(x)
和
y?e
x
的图象在公共点（x
0
,y
0
）处有相同的切线，
（ⅰ）求证：
f(x)
在
x?x
0
处的导数等于0； （ⅱ）若关于
x
的不等式
g(x)?e
x
在区间
[x< br>0
?1,x
0
?1]
上恒成立，求
b
的取值范围.
（Ⅰ）解：由
f(x)?x
3
?6x
2
?3a(a?4)x ?b

可得
f
?
(x)?3x?12x?3a(a?4)?3(x? a)[x?(4?a)]

令
f
?
(x)?0
，解得
x?a
，或
x?4?a
，由
|a|?1
，得
a?4?a< br>
当
x
变化时，
f
?
(x),f(x)
的变 化情况如下表：
2
x

f
?
(x)

f(x)

(??,a)

+
(a,4?a)

-
(4?a,??)

+
?

?

?

所以，
f(x)
的单调递增区间为
(??,a)
，
(4?a,??)
，单调递减区间为
(a,4?a)

x
0
?
g(x)?e,
?
0
x
（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为g
?
(x)?e(f(x)?f
?
(x))
，由题意知
?
，
x
0
?
?
g
?
(x
0)?e,
xx
?
?
f(x
0
)?1,
?
f(x
0
)e
0
?e
0
,
所以
?
x
，解得，所以，
f(x)
在
x?x
0
处的导数等于0
?
x
00
?
?
f
?
(x
0
)?0
?
e(f(x
0
)?f
?
(x
0
))?e,
x
（ⅱ）解：因为
g(x)?e
，
x?[x
0< br>?1,x
0
?1]
，由
e?0
，可得
f(x)?1< br>.
x
又因为
f(x
0
)?1
，
f'(x< br>0
)?0
，故
x
0
为
f(x)
的极大值点， 由（Ⅰ）知
x
0
?a
.
另一方面，由于
|a|?1
，故
a?1?4?a
，
由（Ⅰ ）知
f(x)
在
(a?1,a)
内单调递增，在
(a,a?1)内单调递减，
故当
x
0
?a
时，
f(x)?f(a) ?1
在
[a?1,a?1]
上恒成立，
从而
g(x)?e
在
[x
0
?1,x
0
?1]
上恒成立.
x
15

由
f(a)?a
3
?6 a
2
?3a(a?4)a?b?1
，得
b?2a?6a?1
，
?1?a?1
。
32
令
t(x)?2x
3
?6x
2
?1
，
x?[?1,1]
，所以
t'(x)?6x
2< br>?12x
，
令
t'(x)?0
，解得
x?2
（舍去 ），或
x?0
.
因为
t(?1)??7
，
t(1)??3
，
t(0)?1
，因此
t(x)
的值域为
[?7,1].
所以，
b
的取值范围是
[?7,1]
.

1
，其中
e
是自然数对数的底数，
x
e
1
2
若
f(a?1)?f(2a)?0
，则实数
a
的取值范围是[?1,]

2
29.（2017江苏）已知函数
f(x)?x?2x? e?
3x
?
x
2
,x?D,
30.（2017江苏）设f(x)
是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1）上，
f(x)?
?
?
x,x?D
其中集合
D?{x|x?

31.（2 017江苏）已知函数
f(x)?x?ax?bx?1(a?0,b?R)
有极值，且导函数< br>f
?
(x)
的极
值点是
f(x)
的零点。（极值点是 指函数取极值时对应的自变量的值）
（1） 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2） 证明：
b?3a
；
（3） 若
f(x)
，
f
?
(x)
这两个函数的所有极值之和不小于
?
32
2< br>2
n?1
,n?N
*
}
，则方程
f(x)?lgx? 0
的解的个数是8
n
32
7
，求
a
的取值范围。
2
a
2
a
2
解：（1）由
f(x)?x?ax?b x?1
，得
f
?
(x)?3x?2ax?b?3(x?)?b?
< br>33
a
2
a
当
x??
时，
f
?(x)
有极小值
b?
，因为
f
?
(x)
的极值 点是
f(x)
的零点，
3
3
aa
3
a
3
ab
2a
2
3
???1?0
，又
a?0
， 故
b??
所以
f(?)??
32793
9a
a
2
1
?(27?a
3
)?0
，即
a?3
因为
f(x)
有极值，故
f
?
(x)?0
有实根，从而
b?< br>39a
16

当
a?3
时，
f?
(x)?0(x??1)
，故
f(x)
在
R
上是增函 数，
f(x)
没有极值；
?a?a
2
?3b?a?a
2< br>?3b
当
a?3
，
f
?
(x)?0
有两个相 异的实根
x
1
?

,x
2
?
33
列表如下：
x

f
?
(x)

f(x)

(??,x
1
)

+
↗
x
1

0
极大值
(x
1
,x
2
)

-
↘

x
2

0
极小值

(x
2
,??)

+
↗
故
f(x)< br>的极值点是
x
1
，
x
2
，从而
a?3

2a
2
3
?
，定义域为
(3,??)
因此
b?
9a
（2）由（1）知，
b2aa3

??
9
aaa
232t
2
?27
2t3
?
，则
g
?
(t)??
2
?
设
g(t)?

2
9t
9t9t
当
t?(
3636
,??)
时，g
?
(t)?0
，从而
g(t)
在
(,??)
上单调递增
22
b
?3

a
因为
a?3
，所以
aa?33
，故
g(aa)?g(33)?3
，即
因此
b?3a

2
24a
2
?6b
22
（3）由（1 ）知，
f(x)
的极值点是
x
1
，
x
2
， 且
x
1
?x
2
??a,x
1
?x
2
?

39
332
从而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
?ax
1
2
?bx
1
?1? x
2
?ax
2
?bx
2
?1

?
x
1
x
12
22
(3x
1
2
?3ax1
?b)?
2
(3x
2
?3ax
2
?b)?( x
1
2
?x
2
)?b(x
1
?x
2
)?2

3333
4a
3
?6ab4ab
??2?0

27 9
记
f(x),f
?
(x)
所有极值之和为
h(a)
，
17

a
2
13
13
?? a
2
?
，所以
h(a)??a
2
?,a?3
因为
f
?
(x)
的极值为
b?
9a
39a
23
a?
2
?0
，于是
h(a)
在
(3,??)
上单调递减
9a
7
因为
h(6)??
，于是
h(a)? h(6)
，故
a?6

2
因为
h
?
(a) ??
因此
a
的取值范围为
(3,6]


32.（ 2017江苏）若函数
f(x)?x
2
?ax?b
在区间[0,1]上的最大 值是M，最小值是m，
则M – m
（
B
）

A．与a有关，且与b有关
C．与a无关，且与b无关

33.（20 17江苏）函数
y?f(x)
的导函数
y?f
?
(x)
的图 像如图所示，则函数
y?f(x)
的图像
可能是（D）





B．与a有关，但与b无关
D．与a无关，但与b有关


34.（2017江苏）已知α
?
R，函数
f(x)? |x?
值范围是___________.
(??,]

35.（2017 江苏）已知函数
f(x)?(x?2x?1)e(x?
（Ⅰ）求
f(x)
的导 函数；
?x
4
?a|?a
在区间[1,4]上的最大值是5，则α的取x
9
2
1
)

2
+?)
上的取值范围. （Ⅱ）求
f(x)
在区间
[，< br>解：（Ⅰ）因为
(x?2x?1)
?
?1?
1
2
1< br>,(e
?x
)
?
??e
?x

2x?1
18

1
(1?x)(2x?1?2)e
?x
1
?x?x
)e?(x?2x?1)e
?
所以
f
?
(x)?(1?
(x?)

2
2x?1
2x? 1
5
(1?x)(2x?1?2)e
?x
（Ⅱ）由
f
?(x)??0
，解得
x?1
或
x?

2
2x?1
因为
x

f
?
(x)

f(x)

1

2

1
(,1)

2
-
1
0
5
(1,)

2
+
5

2
0
5
(,??)

2
-
1
?
1
e
2

2
↘
0
↗
1
?
5
e
2

2
↘
1
?
1
11
2?x
又
f(x)?(2x?1?1)e?0
，所以
f(x)
在区间
[,??)
上的取值范围是
[0,e
2
]

22
2

19