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高中数学 选修4-4知识点
第一讲 坐标系
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
1．伸缩变换：设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换
?
:
?
?
y
?
?
?
?y, (
?
?0).
的作用下，点
P(x,y)
对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐 标系中的坐标伸缩变换，简称
伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点
O
引一条射线
Ox
叫做极
轴；再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，
这样就建立了一个极坐 标系。
3．点
M
的极坐标：设
M
是平面内一点，极点
O< br>与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径，记
为
?
；以极轴
Ox
为始边，射线
OM
为终边的
?x OM
叫做点
M
的极角，记为
?
。有序数对
(
?,
?
)
叫做点
M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)表示同一个点。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称，即
(?
?
,
?)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示< br>同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示；
同时，极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一 确定的。

?
2
?x
2
?y
2
,x?
?
cos
?
,
互化：
5．极坐标与直角坐标的


y

y?
?
sin
?
,tan
?
?(x?0)

x

6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
在极坐标系中，以
C(a,
)
(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
? 2asin
?
；
2
7.在极坐标系中，
?
?
?< br>(
?
?0)
表示以极点为起点的一条射线；
?
?
?< br>(
?
?R)
表示过极点的
一条直线.
在极坐标系中，过点< br>A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
?
cos?
?a
.

第二讲 参数方程

1．参数方程的概 念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
?
x?f(t),
t
的函数
?
并且对于
t
的每一个允许值， 由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在这条曲
?
y?g(t),
线 上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x,y
的变数
t
叫做 参变数，简称
参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
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?

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?
x?a?rcos
?
,
2．圆
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?r
2
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)
.
?
y?b?rsin
?
.
?
x?a cos
?
,
x
2
y
2
3. 椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)
.
ab
?
y?bsin
?
.
?
x?2px
2
,
4． 抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
(t为参数)
.
?
y?2pt.
2
?
x?x
o
?tcos
?
,
5. 经过点
M
O
(x
o
,y
o
)< br>，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
（t
为参
?
y?y
o
?tsin
?
.
数 ）.
6．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互
化中，必须使
x,y
的取值范围保持一致.
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