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高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 21:07
tags:高中数学选修4-4

孟祥飞 高中数学-人教版高中数学教材课后答案及解析

2020年10月5日发(作者:施立明)


1.(2013·新课标Ⅰ高考理科·T23)已知曲线C
1
的参数方程为?
?
x?4?5cost,

t

?
y?5 ?5sint,
参数),以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C
2
的极坐标方
程为
?
?2s
?
i
.
(Ⅰ)把C
1
的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C
1
与C
2
交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。 < br>【解析】将
?
?
x?4?5cost
消去参数
t
,化 为普通方程
(
x?
4)
2
?
(
y?
5)< br>2
?
25
,
?
y?5?5sint

C< br>1

x
2
?y
2
?8x?10y?16?0
.
?
x?
?
cos
?

?
代入
x
2
?y
2
?
8
x?
10
y?
1 6
?
0

?
y?
?
sin
?
?
2
?8
?
cos
?
?10
?
sin
?
?16?0
.
(Ⅱ)
C
2
的普通方程为
x< br>2
?y
2
?2y?0
.
22
?
?
x?1
?
x?0
?
x?y?8x?10y?16?0

?< br>22
,解得
?

?
.
y?1
y?2
?
?
?
?
x?y?2y?0
所以
C
1

C
2
交点的极坐标分别为
(2,)

(2,
)
42
?
?
2.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T23)已知动点 P,Q都在曲线C:
?
x?2cost

?
t为参数
?
上,对应参数分别为
t=
α
?
?
y?2sint

t
=2α(0<α<2π),M为P Q的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程.
(2)将M到坐标原点的距离d表示为
?
的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.


【解题指南】(1)借助中点坐标公式,用参数
?
表示出点M的坐标, 可得参数方程.
(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过
原点.
【解析】(1)依题意有
P
?
2cos
?
,2sin
?
?
,Q
?
2cos2
?
,2sin2
?
?
,
因此
M
?
cos
?
?cos2
?
,sin
?
?sin2
?
?
.
M的轨迹的参数 方程为
?
?
x?cos
?
?cos2
?
?
?
为参数,0?
?
?2
?
?

y?sin
?
?sin2
?
?
(2)M点到坐标原点的距离
d?x
2
?y
2
?2?2cos
?
,
?< br>0?
?
?2
?
?
.

?
?
?
时,
d?0
,故M的轨迹过坐标原点.
11.(2012·新课标全国高考文科·T23)与(2012·新课标全国高考理科·
T23)相同
?
x?2cos
?
(
?
为参数)< br>?
已知曲线
C
1
的参数方程是
?
y?3sin
?
,以坐标原点为极点,
x
轴的正半轴为极
轴建立坐标系,曲线
C
2
的极坐标方程是
?
?2
,正方形
ABCD
的顶点 都在
C
2
上,且
(2,)
A,B,C,D
依逆时针次序排列 ,点
A
的极坐标为
3
.
?
(1)求点
A,B,C,D
的直角坐标.
(2)设
P< br>为
C
1
上任意一点,求
PA?PB?PC?PD
的取值范围.
【解题指南】(1)利用极坐标的定义求得A,B,C,D的坐标.
(2)由
C
1
方程的参数式表示出|PA|
2
+ |PB|
2
+ |PC|
2
+ |PD|
2
关于
?
的函数式,利用函
2222


数的知识求取值范围.
【解析】(1)由已知可得
??
?
?
??
??
? ?
??
?
?
A
?
2cos,2sin
?
, B
?
2cos
?
?
?
,2sin
?
??
?
33
?
?
??
32
??
32?
?

?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
3
?
C
?
2cos
?
?< br>?
?
,2sin
?
?
?
?
?
,D< br>?
2cos
?
?
?
3
??
3
???
?
32
?
??
?
3
?
?
?
,2sin
??
?
?
?
??
32
??


A1,3,B?3,1,C?1,?3,D
?????
??
3,?1
2
?
.
22
(2)设
P
?
2cos
?
,3sin
?
?
,
S? PA?PB?PC?PD
2
,则
S?16cos
2
?
?3 6sin
2
?
?16

?32?20sin
2
?
.
2
0?sin
??1,
所以
S
的取值范围是
?
32,52
?
.
因为
?
x?2cos
?

12.(2011·新课标全国高 考理科·T23)在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
的参数方程为
?

?

?
y?2?2sin
?
参数), M是C
1
上的动点,P点满足
OP?2OM
,P点的轨迹为曲线
C< br>2
.
(Ⅰ)求
C
2
的方程.
(Ⅱ)在以
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线< br>?
?
极点的交点为
B
,求
AB
.
?
3

C
1
的异于极点的交点为
A
,与
C
2
的异于
【思路点拨】第(Ⅰ)问,
OP?2OM
意味着


O,P
的中点,设出点
P
的坐标,可由点
M
的参数方程( 曲
线
C
1
的方程)求得点
P
的参数方程;
第(Ⅱ )问,先求曲线
C
1

C
2
的极坐标方程,然后通过极坐标 方程,求得射线
?

求得射线
?

?
3

C
1
的交点
A
的极径
?
1

?< br>3

?
2
?
?
1
|
即可. 与C
2
的交点
B
的极径
?
2
,最后只需求=|AB|


【精讲精析】(I)设P(x,y),则由条件知M(
xy
,
).由于M点在C
1
上,所以
22
?
x
?2 cos
?
,
?
?
x?4cos
?
,
?2

?

?
y
y?4?4si n
?
,
?
?
?2?2sin
?
?
?2从而
C
2
的参数方程为
?
x?4cos
?


?
为参数).
?
?
y?4?4sin
?
(Ⅱ)曲线
C
1
的极坐标方 程为
?
?4sin
?
,曲线
C
2
的极坐标方程为< br>?
?8sin
?
.
射线
?
?
?
3

C
1
的交点
A
的极径为
?
1
? 4sin
?
3

射线
?
?
?
3

C
2
的交点
B
的极径为
?
2
?8sin
?
3
.
所以.
11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数 学·T23)(本小题满分10分)选修
4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中, 以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈
?
0,
?
?
?
.
?
2
??
(1)求C的参数方程.
(2)设点D在C上,C在D处 的切线与直线l:y=
3
x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
【解题提示】(1)先求出C的普通方程,然后再化为参数方程.
(2)利用C的参数方程设 出点D的坐标,利用切线与直线l垂直,可得直线GD与直线l的斜率相同,求得点D的坐
标.


【解析】(1)
C
的普通方程为
?
x?1
?
?y?1
(0≤
y
≤1).
2
2
可得
C的参数方程为
?
?
x?1?cost
(
t
为参数,0≤
t
≤π).
y?sint
?
(2)设
D
(1+cos
t
,sin
t
),由(1)知
C
是以
G
(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为
C
在点
D
处的切线
与< br>l
垂直,所以直线
GD

l
的斜率相同,tan
t
=
3
,
t
=
?
.
3

D
的直角坐标为
?
1
?
cos
?
??
3
,sin
?
?
3
?
?
,即?
?
33
?
?
2
,
2
?
?< br> .
??
10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23) 在直角坐标系xOy中,曲线
C
1
:
?
?
x?tcos
?
,
(t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的
?
y?tsin
?
,

cos θ. 极坐标系中,曲线C
2
:ρ=2sin θ,C
3
:ρ=2
(1)求 C
2
与C
3
交点的直角坐标.
(2)若C
1
与C
2
相交于点A,C
1
与C
3
相交于点B,求|AB|的最大 值.
【解析】(1)曲线C
2
的直角坐标方程为x
2
+y
2
-2y=0,曲线C
3
的直角坐标方程为x
2
+y
2-2x=0.
?
??
x?
?
?
?
x???
x?y??y??
?
联立
?
,解得
?
,或< br>?
??
?
?
y??
?
y?
?
x?y ???x??
?
?
??
,).

??
?
?
.
?
?
C
2

C
3
交点的直角坐标为
(?,?)

(
(2)曲线C
1
的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.


当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.

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