高中数学选修4-4知识点总结

高中数学选修4-4知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中
表示点的位置的区别，能进 行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极 点的圆）
的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表
示平 面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
1．伸缩变换 ：设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
的作用下，点
P(x,y )
对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中
?
:
?
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0).
的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点
O
引一条射线
Ox
叫
做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正 方向(通常取逆
时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点
M
的极坐标：设
M
是平面内一点，极点
O
与点
M
的距 离
|OM|
叫做点
M
的极
径，记为
?
；以极轴Ox
为始边，射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M的极角，记为
?
。
有序数对
(
?
,
?
)
叫做点
M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
)
.
极坐标
(
?
,
?
)
与
(< br>?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点< br>O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
. 4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?)
关于极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示
同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表
示；同时，极坐 标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标


6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
?
2
?x
2
?y
2
,
y?
?
sin
?
,
x?
?
cos
?
,

y
tan
?
?(x?0)
的互化：
x
在极坐标系中，以
C(a,
)
(a?0)
为圆心，a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asin
?
；
2
?

7.在极坐标系中，
?
?
?
(
?
?0)
表示以极点为起点的一条射线；
?
?
?
(
?
?R)
表示过极
点的一条直线.
在极坐标系中，过点
A(a ,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线 上任意一点的坐标
x,y
都是某
个变数
t
的函数
?
?
x?f(t),
并且对于
t
的每一个允许值，由这个方程所确定的点?
y?g(t),
M(x,y)
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆
(x? a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的参数方程可表示为
?
?
x?a?rcos
?
,
(
?
为参数)
.
?
y?b?rsin
?
.
?
x?acos
?< br>,
x
2
y
2
椭圆
2
?
2?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数 )
.
ab
?
y?bsin
?
.
?
x?2 px
2
,
(t为参数)
. 抛物线
y?2px
的参数 方程可表示为
?
?
y?2pt.
2
?
x?x
o?tcos
?
,
经过点
M
O
(
x
o
,
y
o
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
（
t
为
y?y?tsin
?
.
o
?
参数）.
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取 值范围。在参数方程与普通
方程的互化中，必须使
x,y
的取值范围保持一致.

练习
?
x??2?5t
1．曲线
?
(t为 参数)
与坐标轴的交点是（ ）．
y?1?2t
?
(8,0)
D．
(0,)、
A．
(0,)、(,0)
B．
(0,)、(,0)
C．
(0,?4)、
(8,0)


2
5
1
2
1
5
1
2
5
9
2．把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是（ ）．
1
?
?
x?sint
?
x?cost
?x?tant
???
?
x?t
2
A．
?
B． C． D．
111

???
1
y?y ?y?
?
y?t
?
2
???
sintcosttant???
?
?
x?1?2t
3．若直线的参数方程为
?
( t为参数)
，则直线的斜率为（ ）．
y?2?3t
?
A． B．
?
C．
D．
?

?
x??1?8cos
?
的（ ）．
?
y?8si n
?
2
3
2
3
3
2
3
2
4．点
(1,2)
在圆
?
A．内部 B．外部 C．圆上 D．与
θ
的值有关
1
?
x?t?
?
5．参数方程 为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）．
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
6．两圆
?
?
x??3?2cos
?
?
x?3cos
?
与
?
的位置关系是（ ）．
?
y?4?2sin
?
?
y?3sin
?
A．内切 B．外切 C．相离 D．内含

?
?
x?t
(
t为参数
)
等价的普通方程为（ ）．
7 ．与参数方程为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2
2
A．
x??1
B．
x??1(0?x?1)

44
2
y
2
y
2
2
C．
x??1(0?y?2)
D．
x??1(0?x?1,0?y?2)

4
4
2
?x?5cos
?
?
8．曲线
?
(?
?
?
?
)
的长度是（ ）．
y?5sin
?
3
?
A．
5
?
B．
10
?
C．
5
?
10
?
D．
3
3
9．点
P(x,y)
是椭圆
2x
2?3y
2
?12
上的一个动点，则
x?2y
的最大值为（ ）．
A．
22
B．
23
C．
11
D．
22

1
?
x?1 ?t
?
2
10．直线
?
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点，则
AB
的中点坐标为
?
?
y??33?
3
t
?
?2（ ）．
A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)

?
x?4t
2
(t为参数)
上，则
|PF|
等于（ ）．
11．若点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
y?4t
?
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

12．直线
?
?
x??2?t
(t为参数)
被圆
(x?3)
2
?(y?1 )
2
?25
所截得的弦长为（ ）．
?
y?1?t
1
4
A．
98
B．
40
C．
82
D．
93?43

t?t
?
?
x?e?e
(
t为参数
)
的普通方程为__________________． 13．参数方程
?
t?t
?
?
y?2(e?e)
??
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2,3)
的距离等 于
2
的点的坐标是_______．
14．直线
?
?
?< br>y?3?2t
?
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?
15．直线
?
与圆
?
相切，则
?
?
__ _____________．
y?tsin
?
y?2sin
?
?
?
16．设
y?tx(t为参数)
，则圆
x
2
?y
2
?4y?0
的参数方程为____________________．
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y ?23?0
的交点
P
的坐标，及点
P
与
17．求直线
l
1
:
?
y??5?3t
?
?
Q(1,?5)< br>的距离．


18．已知直线
l
经过点
P(1,1 )
,倾斜角
?
?
（1）写出直线
l
的参数方程．
（2）设
l
与圆
x
2
?y
2
?
4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积．



1
t?t
?
x?(e?e)cos
?
?
?
19．分别在下列两种情况下，把参数方程
?
2
化为 普通方程：
1
?
y?(e
t
?e
?t
)sin< br>?
?
?2
?
6
，

（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t
为参数，
?
为常数．



20．已知直线
l
过定点
P(?3,?)< br>与圆
C
：
?
3
?
x?5cos
?
(
?
为参数)
相交于
A
、
B
两点．
2?
y?5sin
?
求：（1）若
|AB|?8
，求直线
l
的方程；
（2）若点
P(?3,?
3
2
)
为弦
AB
的中点，求弦
AB
的方程．