高中数学知识点总结 (2)(2020年九月整理).doc

学 海 无 涯
高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。



3. 注意下列性质：


（3）德摩根定律：

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。






6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对
应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？


10. 如何求复合函数的定义域？

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义域是_____________。

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？





12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）


13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；


14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？








∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？



值是（ ）
A. 0

B. 1 C. 2 D. 3
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∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）


注意如下结论：
（1）在公共定义 域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。









17. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）





如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？








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注意如下“翻折”变换：




19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？



的双曲线。




应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程


②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。





由图象记性质！ （注意底数的限定！）


利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？






21. 如何解抽象函数问题？
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（赋值法、结构变换法）







22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法 ，判别式法，利用函数
单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：





23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式
吗？


24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义








25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、
对称轴吗？






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（x，y）作图象。





27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角
的范围。


28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？


29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：



图象？



30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？



“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
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A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：





应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少， 分母中
不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。




32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）













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33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。



34. 不等式的性质有哪些？









答案：C
35. 利用均值不等式：


值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：











36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。


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（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始


39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）





证明：



（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）







43. 等差数列的定义与性质









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0的二次函数）

项，即：







44. 等比数列的定义与性质








46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法

解：




［练习］




（2）叠乘法

解：

（3）等差型递推公式
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［练习］


（4）等比型递推公式







［练习］


（5）倒数法






47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的
项。

解：


［练习］


（2）错位相减法：


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（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。


［练习］




48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等
额归还本息的借款种类 ）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应
还x元，满 足



p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。




（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一


（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不



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50. 解排列与组合问题的规律是：
相 邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至
少问题间接法；相同元素 分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15
解析：可分成两类：



（2）中间两个分数相等

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10
种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理



性质：



（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第



表示）








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C. 12 D. 10

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52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？




A B




的和（并）。



（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。


（6）对立事件（互逆事件）：



（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独
立事件。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即




（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
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解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”


（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）


分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，
它的特征是从总体中 逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均
衡成若干部分，每部分只取一个；分层 抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总
体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等，体现了抽样的客观性
和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作 为总体的概率，用样本的期望（平均值）和
方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。



如：从10名女生与5名男生中选 6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则
组成此参赛队的概率为____________。

56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。





在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
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（7）向量的加、减法如图：



（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）


的一组基底。
（9）向量的坐标表示



表示。






57. 平面向量的数量积



数量积的几何意义：

（2）数量积的运算法则











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［练习］


答案：

答案：2

答案：
58. 线段的定比分点






※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：

a

b
??

线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：



线面垂直：


面面垂直：


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60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°





（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作B O⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱
l
，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。



（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1C
1
D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所
成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。


（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且P D＝AD，求面PAB
与面PCD所成的锐二面角的大小。

（∵AB∥D C，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面
PAB的交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
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将空间距离转化为两点的距离，构造三角形， 解三角形求线段的长（如：三垂线定
理法，或者用等积转化法）。
如：正方 形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长 为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素？

S
正棱锥侧
?

V
锥
?
1
C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

2
1
底面积×高

3
63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。


（4）S
球
?4?R，V
球
?
2
4
?R
3

3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内 切球半径r
之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）

A.3?
答案：A
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B.4?C.33?D.6?

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64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan??< br>?
?
y
2
?y
1
?
?
?
?
??，x
1
?x
2
?

?
x
2
?x
1
?
2
?
< br>P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y
2
是l上两点，直线l的方向向量a?1，k

（2）直线方程：

点斜式：y?y
0
?k
?
x? x
0
?
（k存在）


斜截式：y?kx?b



一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）


（3）点Px
0
，y
0
到直线l：Ax?By?C?0的距离d?
??????< br>??
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22


（4）l
1
到l
2
的到角公式：tan??< br>k
2
?k
1

1?k
1
k
2

l
1
与l
2
的夹角公式：tan??
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？

A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2

A
1
C
2
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之 不一定成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
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联立方程组?关于x（或y）的一元 二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义


第二定义：e?
PF
PK
?
c

a

0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线








x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为
零？△≥0的限制。（求 交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）


71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：






通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。


答案：
73. 如何求解“对称”问题？
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（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x， y）为曲
线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。




?
x?rcos?
74. 圆x?y?r的参数方程为
?
（?为参数）

y?rsin?
?222
?
x?acos?
x
2
y
2
< br>椭圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
（?为参数）

ab
?
y?bsin?
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直
线，求出目标函数的最值。

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