高中数学必修测试题

高中数学必修1-5综合测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．

1. 已知集合
M?{?2,?1,0,1,2}，N?{x|?2
x?1
?8，x?R}
，则
M
A．
{0,1}

π
6
1
2
N?

B．
{?1，

0}
C．
{?1,0,1}
D．
{?2,?1,0,1,2}

2. “
?
?
”是“
tan2
?
?3
”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C． 充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3. 已知实数列1，
a
，
b
，
c，
2成等比数列，则
abc
等于（ ）

22
D．A．4 B．
?
4 C．
?
22

4. 函数
y?a
x
(0?a?1)
的反函数的图象大致是
( )
y

y

y

1

O

A

1

x

O

B

1

x

O

C

x

O

D

y

1

x


5. 若平面向量
a?(?1,2)
与
b
的夹角是180 °，且
|b|?35
，则
b
的坐标为
（ ）

A．
(3,?6)
B．
(?6,3)
C．
(6,?3)
D．
(?3,6)

6.已知
x?y??1,x?y?4,y?2?0,
则
2x?4y
的最小值是

A．8 B．9 C．10 D．13

7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图，

则组成此几何体的长方体木块块数共有

A．3块 B．4块 C．5块 D．6块

8. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5
的
< br>五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现
从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数 字
之和为3或6的概率是

A．
1
311
B． C． D．

5
101012
9. 已知在
?ABC
中，
sinB?45
?,?tanA?
，则（ ）

1312
A．
C?A?B
B．
C?B?A

C．
B?A?C
C．
A?B?C

10、如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

11. 要得到函数
y?
3
?
sin(2x?)
的图象，只 需将函数
23
?
1
y?sin(2x?)?sin
2
x?< br>的图象（ ）

62
?
?
个单位长度 B．向右平移个单位长度

63
?
?
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

63
12. 在 某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准
备用下列四个函数中的一个近似地表示 这些数据的规律，其中最接近的
一个是（ ）

A．向右平移












A.
y?2
x
B.
y?log
2
x
C.
y?(x
2
?1)
D.
y?2.61cosx

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13. 设数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?n?1
，则通项
a
n
?
__________。

14. 已知等差数列
?
a
n
?
中，有
a
11
?a
12
?
10
?a
20
?
a
1
?a
2
??a
30
成立. 类似地，
30
1
2
在等比数列
?
b
n
?< br>中，有_________________________________成立.

?
x?y?2?0
?
15. 设实数
x,y
满足约束条件< br>?
x?2y?1?0
，则
z?(x?1)
2
?(y?2)2
的最小
?
y?0
?
值是 .

16.过点
(3,4)且与直线3x?y?2?0
平行的直线的方程是

三、解答题：本大题共4小题，共48分．

17. 等差数列
?
a
n
?
中，
a
4
?10
且
a3
，a
6
，a
10
成等比数列，求数列
?
a< br>n
?
前20
项的和
S
20
．

18．已知函数
f(x)?2cos
2
?
x?2sin
?
xcos
?
x?1(x?R，
?
>0)
的最小正周期
是．

（Ⅰ）求
?
的值；

（Ⅱ）求函数
f(x )
的最大值，并且求使
f(x)
取得最大
值的
x
的集合．< br>
19. 如图，在直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知
DC?DD
1
?2AD?2AB< br>，
AD⊥DC，ABDC
．

?
2
（1）求证：
D
1
C⊥AC
1；

（2）设
E
是
DC
上一点，试确定
E的位置，使
D
1
E
平面
A
1
BD
，并 说明理
由．

20、（12分）掷三颗骰子，试求：

（1）
没有一颗骰子出现1点或6点的概率；

1点或6点的概率。
（2）
恰好有一颗骰子出现
选做题

（时间：30分钟 满分：40分）

一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

1. 如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

2. ．已知向量
a?(1,n)，b?(?1,n)
，若
2a?b
与
b
垂直，则< br>a?

A．
1
B．
2
C．
2
D．4

二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

3. 设数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
? a
n
?n?1
，

则通项
a
n
?
__________。

4. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六 棱柱的顶
点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3
，底面周长为3，那么这
个球的体积为_________．

三、解答题：本大题共2小题，共30分．

5. 等差数列
?
a
n
?
中，
a< br>4
?10
且
a
3
，a
6
，a
10< br>成等比数列，求数列
?
a
n
?
前20
项的和
S
20
．

6. 已知函数
f(x)?2cos
2
?
x?2sin
?
xcos
?
x?1(x?R，
?
>0)
的最小正周期
是．

（Ⅰ）求
?
的值；

（Ⅱ）求函数
f(x)
的最大值，并且求使
f(x)
取得最大值的< br>x
的集合．

参考答案

一、选择题 （答案+提示）


?
2
.???p是?q
的充2. A 条件
p:x?1或x??3
，则
?p:?3?x?1
；
?q:x?a ?
分不必要条件，所以
a?1
，故选A.

总结点评 主要考查充要条件，和含参不等式的解法，可以直接
通过画数轴得到.

3. C 由1，
a
，
b
，
c
，2成等比数列知
ac?b2
?1?2
，∴
b??2
. 显然
b??2
不符合题意 ，故
b?2
，所以
abc?22
.

总结点评 本题考查等比数列的性质，熟练运用等比数列的性质
是关键.

4. C 设当< br>x??2
时
f(x)
图象上任意一点为
P
(
x
，
y
)，则由对称性知
P
(
x
，
y
)关 于直线
x
=-1对称点为
Q
(-2，-
x
，
y)，则
y?
f(x)??
1
.

x?2
1
，即所求
?x?2
总结点评 本题考查函数图象的对称性，通过图象关于直线对称
转化为点关于直线对称.

5. B |
a
+
b
|=
(m?p)
2
?(n?q)
2
?
m?p?n?q?4
时取等号.

22
(m? p?n?q)??8?42
，当
22

总结点评 本题通过求向量模的公式进行转化，通过重要不等式
求最小值.

6. C

总结点评 考查线性规划的最大值和最小值，

准确画图找到可行域是关键.


1
2
8. 【解析】 随 机取出2个小球得到的结果数有
?5?4?10
种（提倡列举）。
取出的小球标注的数 字之和为3或6的结果为
{1,2},{1,5},{2,4}
共3种，故所求
答案为 A。

方法二： 从五个球中任取两个共有=10种，而1+2=3，2+4=6，1+5=6 ，取
出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标
注的数字之和为3或6 的概率为
9. A 由
tanA?
3
，选A．

10< br>525112
得1?tan
2
A?1???,?所以cosA?
.

2
12144
cosA
13
∴
sinA?
所以
54
?sinB??.

1313
48?51535
A?B?,?又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB??
，即
13?1313
C?A?B?.
总结点评 本题考查三角函数的变换公式，通过比较三角
形各角的三角函数值来判断三个角的大小关系.

,?(x
1
?2)(x
2
?2)?0
知
x
1
，
x
2
中有一个小于2，一个大10. A 由
x
1
?x
2
?4?
,?又f(?x)??f(x?4)
知
f(x )
以（2，0）为对称于2，即不妨设
x
1
?2?x
2
?< br>中心，且当
x
>2时，
f(x)
单调递增，所以
x
1
?2?4?x
1
?,?f(x
2
)?f(4?x
1
)??f(x
1
)
，所以
f(x
1
)?f(x
2< br>)?0
，故选A.

二、填空题 （答案+提示）

11.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
本小题主要考查圆与直线相切问题。

设圆心为
(a,1),
由已知得
d?
|4a?3|1
?1
，
?a?2
舍
a??

2
5

12. 163、199、175、128、395 直接从第八行第四列开始读取.

总结点评 本题关键是分清第八行第四列的数为1，且考查了统计学
中的随机数表的运用.

13.
x?y?1?0
。

【试题解析】易知点
C
为
(?1,0)
，而直线与
x?y?0
垂直，我们设待求的直
线的 方程为
y?x?b
，将点
C
的坐标代入马上就能求出参数
b
的值为
b?1
，
故待求的直线的方程为
x?y?1?0
。

【高考考点】圆的标准方程、两直线间的关系。

14. ①④⑤ 在②中，|x
2
|?M|x|即|x|?M
，∵
x
∈R，故不存在这样的
M
，在③中
f(x)?2sin(x?)
，即
2|sin(x?)| ?M|x|
，即
2?M|x|
对一切
x
恒成立，故不存在这样的M
.

总结点评 本题主要考查函数的性质，通过检验对一切实数x
都
有
|f(x)|?M|x|
来判断.

三、解答题 （详细解答）

?
15. 解：（Ⅰ）
f(x)?1?cos
?x?a?3sin
?
x?2sin(
?
x?)?a?1

6
?
4
?
4
因为函数
f(x)
在
R上的最大值为
2
，所以
3?a?2
故
a??1
…………

?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
f(x)?2sin(
?
x?)
< br>6
?
?
把函数
f(x)?2sin(
?
x?)
的图象向右平移个单位，

6
?
6
可得函数
y?g(x) ?2sin
?
x
…………………………………………

y?g(x)
在
[0,]
上为增函数

4
2
?
?g(x)
的周期
T??
?
即
?
?2

又
?
?
所以
?
的最大值为
2
……………… …………

16．（1）证明：在直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，


连结
C
1
D
，

DC?DD
1
，

?
四边形
DCC
1
D
1
是正方形．

?DC
1
⊥D
1
C
．

又
AD⊥ DC
，
AD⊥DD
1
，DC⊥DD
1
?D
，

?AD⊥
平面
DCC
1
D
1
，
D1
C?
平面
DCC
1
D
1
，

?AD⊥D
1
C
．

AD，DC
1
?平面
ADC
1
，且
AD⊥DC
1
?D
，

?D
1
C⊥
平面
ADC
1
，

又
AC
1
?
平面
ADC
1
，
?D
1
C⊥AC
1
．

A
1
D?M
，

（2）连结
AD
1
，连结
AE
，设
AD
1







BDAE?N
，连结
MN
，
平面
AD
1
E
平面
A
1
BD?MN
，

要使
D
1
E∥
平面
A
1
BD< br>，须使
MN∥D
1
E
，

又
M
是
AD
1
的中点．
?N
是
AE
的中点．

又易知
△ABN≌△EDN
，
?AB?DE
．

即
E
是
DC
的中点．

综上所述，当
E< br>是
DC
的中点时，可使
D
1
E∥
平面
A1
BD
．

M

E

B

C

D

A

17.(文) （Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可
能的结果组成的基本事件空间

(A
1
,B
1
,C
2
)，(A
1
,B
2
,C
1
)
，
(A
1
,B
2
,C
2
)，(A
1
,B
3
,C
1
)
，
(A
1
,B
3
,C
2
)
，< br>??
?(A
1
,B
1
,C
1
)，
( A
2
,B
1
,C
1
)，(A
2
,B
1
,C
2
)，(A
2
,B
2
,C
1)
，
(A
2
,B
2
,C
2
)
，
(A
2
,B
3
,C
1
)
，
(A
2
,B
3
,C
2
)
，

(A3
,B
1
,C
1
)，(A
3
,B
1< br>,C
2
)，(A
3
,B
2
,C
1
)
，
(A
3
,B
2
,C
2
)，(A
3
,B
3
,C
1
)，(A
3
,B
3
,C
2
)?
．

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽 取的机会均等，因
此这些基本事件的发生是等可能的．

用
M
表示“
A
1
恰被选中”这一事件，则

(A
1
,B
1
,C
2
)，(A
1
,B< br>2
,C
1
),(A
1
,B
2
,C
2
)，(A
1
,B
3
,C
1
)，(A
1,B
3
,C
2
)
?
，

M?
?
(A
1
,B
1
,C
1
)，
事件
M
由6个基本事件组成，因而
P(M)?
61
?
．

183

（Ⅱ）用
N
表示“
B
1
，C
1
不全被选中”这一事件，

则其对立事件
N
表示“
B< br>1
，C
1
全被选中”这一事件，

(A
2
， B
1
，C
1
)，(A
3
，B
1
，C
1
)
}，事件
N
有3个基本事件组由于
N?
{
( A
1
，B
1
，C
1
)，
成，

所 以
P(N)?
3115
由对立事件的概率公式得
P(N)?1?P(N)?1 ??

?
，
18666
1
17（理）（1）第一次由甲投且 第二次由投的概率为，故前两次由甲投的
2
概率为
1?
11
??.< br>
22
111
??1?
，
224
（2）依题意可知< br>P(??0)?
P(??1)?
11115
??1???1?
，

232212
12113
??1?
，∴
E??
.

23312
P(??2)?
总结点评 本题主要考查概率及数学期望，做概 率题要注意多读
题，要注重可能事件概率，互斥事件的概率加法公式，独立事件概率乘法
公式，
n
次独立重复试验中发生
k
次的概率问题.

22
18. 1）∵
a
n
?aa?2a
?1n?1nn?0
，∴
(a
n?1
?a
n
)(a
n?1?2a
n
)?0
，

∵数列
{a
n
}
的各项均为正数，∴
a
n?1
?a
n
?0
，∴a
n?1
?2a
n
?0
，

即
an?1
?2a
n
(
n
∈N
?
)，所以数列{a
n
}
是以2为公比的等比数列.

,?a
4
的等差中项，∴
a
2
?a
4
?2a
3
?4
，

∵
a
3
?2是a
2
?
∴
2 a
1
?8a
1
?8a
1
?4
，∴
a
1
=2，

∴数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?2
n
.

（2）由（1）及
b
n< br>?a
n
log
1
a
n
，得
b
n??n?2
n
，

2
∵
S
n
?b1
?b
2
???b
n
，

∴
S
n
??2?2?2
2
?3?2
3
?4?2
4
?? ?n?2
n
， ①

∴
2S
n
??2
2
?2?2
3
?3?2
4
?4?2
5???(n?1)?2
n
?n?2
n?1
②

①-②得，
S
n
?2?2?2?2?2???2 ?n?2
2345nn?1
2(1?2
n
)
??n?2
n? 1

1?2
?(1?n)?2
n?1
?2
.
要使
S
n
?n?2
n?1
?50
成立，只需
2
n?1
?2?50
成立，即
2
n?1
?52?,?n?5? .

∴使
S
n
?n?2
n?1
?50
成立 的正整数
n
的最小值为5.

解题探究 本小题第一问求数列的通 项公式，需选判断数列的构
成规律，第二问求
n
的最小值，需求出
S
n
，由
b
n
的表达式可知，用错位相
减法求和，然后解不等式即可.

选做题答案

1. C【分析】 由程序知，
S?2?1?2?2 ??2?50?2?
1?50
?50?2550.

2
2. :C【 解析】
2a?b=(3,n)
，由
2a?b
与
b
垂直可得：

(3,n)?(?1,n)??3?n
2
?0?n??3
，
a?2
．

3. ．
n
?
n?1
?
?1
_。

2
4.
V??
．

【试题解析】∵正六边形周长为3，得 边长为，故其主对角线为1，从而
球的直径
2R?
1
2
4
3
??
2
4
3?1
2
?2
∴
R?1
∴球的体积
V??

3
5. 解：设数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则

a
3
?a
4
?d?10?d
，

a
6
?a
4
?2d?10?2d
，

a
10
?a
4
?6d?10?6d
．

2
由
a
3
，a
6
，a
10
成等比数列得a
3
a
10
?a
6
，

即
(10?d)(10?6d)?(10?2d)
2
，

整理得
10d
2
?10d?0
，

解得
d?0
或
d?1
．

当
d?0
时，
S
20
?20a
4
?200
． ···················

当
d?1
时，
a
1
?a
4
?3d?10?3?1?7
，

于是
S
20
?20a
1
?
6.

（Ⅰ）解：
f(x)?2
1?cos2
?
x
?sin2
?
x?1

2
?
?
?
?
?
20?1 9
d
?20?7?190?330
．

2

?2sin
?
2
?
x?
?
?2
．

4
由题设，函数
f(x)
的最小正周期是，可得
?
?
?
2
2??
?
，所以
?
?2
．

2
?
2
?
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
f(x)?2sin
?
4x?
?
?2
．

4
当
4x?
?
?
???k?
?
??2k?
，即
x??(k?Z)
时，
sin
?
4x?
?
取得最大值1，所
4
?42162
?
?
?
?k?
?
?，k?Z
?．

162
?
?
?
以函数
f(x)
的 最大值是
2?2
，此时
x
的集合为
?
xx?