高中数学基础知识汇总知识讲解

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第一部分 集合
3．（1）含n个元素的集合的子集数为2< br>n
,真子集数为2
n
－1；非空真子集的数为2
n
－2；
（2）
A?B?A?B?A?A?B?B;
注意：讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况。
4．
?
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式
a?b
ab??
2
x
a< br>2
?b
2
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、
2
绝 对值的意义等）；⑧利用函数有界性（
a
、
sinx
、
cosx等）；
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
． ．．．
⑵
f(x)
是奇函数
?
f(－x)=－f(x)
；< br>f(x)
是偶函数
?
f(－x)= f(x)

⑶奇函数
f(x)
在原点有定义，则
f(0)?0
；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
①
f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,
当
x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
；
②
f(x)
在区间
M
上是减函数
??x
1
,x2
?M,
当
x
1
?x
2
时有
f(x< br>1
)?f(x
2
)
；
⑵单调性的判定
① 定义法 ：一般要将式子
f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积 或作商的形式，以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义： 对定义域内的任意
x
，若有
f(x?T)?f(x)
（其中
T为非零常数），则称函数
f(x)
为周期函数，
T
为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
①
y?sinx:T?2
?
；②
y?cosx:T?2
?
；③
y?tanx:T?
?
；
④
y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?
( 3)与周期有关的结论
仅供学习与参考
?
2
?
；⑤
y?tan
?
x:T?
；
|
?
|
|
?
|

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f(x?a)?f(x?a)
或
f(x?2a)?f(x)(a?0)

?
f(x)
的周期为
2a
；
8．基本初等函数的图像与性质
?
⑴幂函数：
y?x
（
?
?R)
；⑵指数函数：
y?a(a?0,a?1)
；
x
⑶对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
；⑷正弦函数 :
y?sinx
；
⑸余弦函数：
y?cosx
；（6）正切函数：
y?tanx
；⑺一元二次函数：
ax?bx?c?0
；
⑻其它常用函数：
① 正比例函数：
y?kx(k?0)
；②反比例函数：
y?
9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式：
f(x)?ax?bx?c
；②顶点式：
f (x)?a(x?h)?k
，
(h,k)
为顶点；
③零点式：
f( x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
22
2
ka
(k?0)
；③函数
y?x?(a?0)
；
xx< br>?
b4ac?b
2
?
b
?
二次函数
y?ax ?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
，顶点坐标是
?
。 10 ．函数
?，
??
2a
4a
??
2a
2
图象 ：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)
y?f(x)?y?f(x?a)
，(a?0)
———左“+”右“－”；
ⅱ)
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“－”；
??
y??f(?x)
；ⅱ
y?f(x)
???
y??f(x)
； ② 对称变换：ⅰ
y?f(x)
??
?
x?f(y)
； ⅲ
y?f(x)
???
y?f(?x)
； ⅳ
y?f(x)
???
③ 翻转变换：
ⅰ)
y?f(x)?y?f (|x|)
———右不动，右向左翻（
f(x)
在
y
左侧图象去掉） ；
ⅱ)
y?f(x)?y?|f(x)|
———上不动，下向上翻（|
f( x)
|在
x
下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数
y?f(x)
图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的 对称点仍在图
像上；
（2）证明函数
y?f(x)
与
y?g(x)
图象的对称性，即证明
y?f(x)
图象上任意点关于对称中心（对
x?0y ?x
(0,0)y?0
仅供学习与参考

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称轴）的对称点在
y?g(x)
的图象上，反之亦然；
注：①曲线C
1
:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C
2
方程为：f(－x,－y) =0;
②曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C
2方程为：f(－x, y)=0;
曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线y= 0的对称曲线C
2
方程为：f(x, －y)=0;
曲线C
1
:f (x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C
2
方程为：f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）
→
y=f(x)图像关于直线x=
a?b
对称；
2
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）
→
y=f(x)图像关于直线x=a对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求
f(x)?0
的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理 ：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：
?
弧度
?180
，
1?
?
?
?
180
弧度，
1
弧度
?(
180
?
)
?
?57
?
18
'

11
⑵弧长公式：
l?
?R
；扇形面积公式：
S?
?
R
2
?Rl
。 < br>22
2．三角函数定义:角
α
中边上任意一P点为
(x,y)
,设
|OP|?r
则：
sin
?
?
y
,cos?
?
x
,
tan
?
?
y

rr
x
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
5．⑴
y?Asin (
?
x?
?
)
对称轴：
?
x?
?
?k
?
?
?
2
；对称中心：
(
k
?
?
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；
?
,0)(k?Z)
；
?
2
⑵
y?Acos(
?
x?
?
)
对称轴：
?
x?
?
? k
?
；对称中心：
(
?
?
?
6．同角三角函数的基 本关系：
sin
2
x?cos
2
x?1;
7．三角函数的单 调区间：

y?sinx
的递增区间是
?
2k
?
?
sinx
?tanx
；
cosx
?
?
?2
，2k
?
?
?
?
2
?
?
( k?Z)
，递减区间是
?
3
?
??
2k
?
?，2k
?
?
2k
?
?
(k?Z)
，递减区间是< br>(k?Z)
；
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?< br>?
?
，
??
22
??
??
??
?< br>2k
?
，2k
?
?
?
?
(k?Z)
，
y?tgx
的递增区间是
?
k
?
?，k
?
?
?
(k?Z)
，
y?ctgx
的递减区间
?
2 2
?
是
?
k
?
，k
?
?
?
?
(k?Z)
。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
sin(< br>?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
;

仅供学习与参考

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②
cos(
?
?
?
)? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
③
tan(
?
?
?
)?
9．二倍角公式：①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
②
cos2
?
?cos
2
tan
?
?tan
? 。
1?tan
?
tan
?
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；③
tan2
?
?
2tan
?
。
2
1? tan
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?1 ?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?

11。几个公式:
⑴三角形面积公式：
S
?ABC
?
11
ah?absinC
；
22
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S= S
侧
+2S
底
；②侧面积：S
侧
=
2
?< br>rh
；③体积：V=S
底
h
⑵锥体：①表面积：S=S
侧
+S
底
；②侧面积：S
侧
=
?
rl
；③体 积：V=
'
1
S
底
h：
3
1
（S+
SS
'
?S
'
）h；
3
⑶台体：①表面积：S=S
侧
+S
上底
S
下底
;②侧面积：S
侧
=
?
(r?r)l
;③体积：V=
⑷球体 ：①表面积：S=
4
?
R
；②体积：V=
?
R
。
2
4
3
3
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:
r
r

cos
?
?|cos?a,b?|
uuurr

sin
?
?|cos?AB,n?|
5.求距离：（步骤------- Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法：
d?
6．结论：
⑴长方体从一个 顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为
2ab+2bc+2ca，体积V=abc。
⑵正方体的棱长为a，则对角线长为
|AB?n|
|n|
。
a?b ?c
222
，全面积为
3a
，全面积为6a
2
，体积V=a
3
。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
仅供学习与参考

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① 高：
h?
6266
a
；②对 棱间距离：
a
；③内切球半径：
a
；④外接球半径：
a
。
32124
第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式：
y?y
?
?k(x?x
?
)
；⑵斜截式：
y?kx?b
；⑶截距式：
⑷两点式：
xy
??1
；
ab
y?y
1
x?x
1
?
；⑸一般式：
Ax?By?C?0
，（A，B不全为0）。
y
2
? y
1
x
2
?x
1
3．两条直线的位置关系：
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
l
1
:y?k
1
x?b
1
l
2
: y?k
2
x?b
2

k
1
?k
2
,b
1
?b
2

k
1
?k
2
??1

l
1
,l
2
有斜率
已知l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0，l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0，则l
1
⊥l
2
的充要条件是A
1
A
2
+B
1
B
2
=0。
4．几个公式
⑴设A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
)、C（x
3
,y
3
），⊿AB C的重心G：（
x
1
?x
2
?x
3
,
y< br>1
?y
2
?y
3
）；
33
⑵点P（x0,
y
0
）到直线Ax+By+C=0的距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
；
⑶两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离是
d?
5．圆的方程：
C
1
?C
2
A?B
22
；
⑴标准方程：①
(x?a)?(y?b)?r
；②
x?y?r
。
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F?0)

注：Ax
2
+Bxy+Cy
2+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B=0且D
2
+E
2
－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
d?R?点在圆上；②
d?R?
点在圆内；③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）
①
d?R?
相切；②
d?R?
相交；③
d?R?
相离。
⑶圆与圆的位 置关系：（
d
表示圆心距，
R,r
表示两圆半径，且
R?r
）
①
d?R?r?
相离；②
d?R?r?
外切；③
R?r ?d?R?r?
相交；
④
d?R?r?
内切；⑤
0?d?R?r?
内含。
8、直线与圆相交所得弦长
|AB|?2r
2
?d
2

2222
222222
第七部分 平面向量
⑴设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
)，则： ① a∥b(b≠0)
?
a=
?
b （
?
?R)
?x
1
y
2
－x
2
y
1
=0；
仅供学习与参考

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② a⊥b(a、b≠0)
?< br>a·b=0
?
x
1
x
2
+y
1
y< br>2
=0 ⑵a·b=|a||b|cos=x
2
+y
1< br>y
2
；
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|c os叫做b在a方向上的投影；
① a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
⑶cos=
a?b
；
|a||b|
uuuruuuru uur
⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线
?
OP?xOA?yOB且x?y ?1
；
uuuruuuruuuruuur
（理科）P，A，B，C四点共面
?
OP?xOA?yOB?zOC,且x?y?z?1
。
第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作
A?B
；
⑵事件A与事件B相等：若
A?B,B?A
，则事件A与B相等，记作A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作
A?B
（或
A ?B
）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作
A?B
（或
AB
） ；
⑸事件A与事件B互斥：若
A?B
为不 可能事件（
A?B?
?
），则事件A与互斥；
﹙6﹚对立事件：
A ?B
为不可能事件，
A?B
为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：
P(A)?
A包含的基本事件的个数
；
基本事件的总数
构成事件A的区域长度（面积或体积等）
；
试验的全部结 果构成的区域长度（面积或体积等）
⑶几何概型：
P(A)?
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个 不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，
且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽 样。
注：①每个个体被抽到的概率为
n
；
N
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号
l
；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为 使样本更充分的反映总体的情况，将总体分
成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样 叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
?
2．总体特征数的估计：
n
⑴样本平均数
x?
1
(x
1
?x
2
? ????x
n
)?
1
?
x
i
；
nn
i?1
仅供学习与参考
n

N

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n
⑵样本方差
S
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)2
?????(x
n
?x)
2
]
?
1
?
(x
i
?x)
2
；
n
n
i?1n
⑶样本标准差
S?
1
[(x
1
?x)
2?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
=
1
(x?x)
2
；
?
i
n
n
i?1
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n

i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0时，变量< br>x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线
性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．回归分析中回归效果的判定：
⑴ 总偏差平方和：
?
(y
i?1
n
i
?y)
2
⑵残差：
e
i
?y
i
?y
i
；⑶残差平方和：< br>；
??
?
(yi?yi)
i?1
n
?
2 ；
⑷回归平方和：
?
(y
i?1
n
i
?y )
－
?
(yi?yi)
2
；⑸相关指数
R
2
?1?
2
n
?
?
(y
?
(y
i?1i?1
n
n
i
?y
i
)
2
。 ?
i?1
i
?y
i
)
2
注：①
R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②
R
越接近于1，，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否
求n除以i的余数

输入n
是

n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
i
?
n或r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
仅供学习与参考
2
2
2

学习资料
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2


⑶循环语句：①当型：
WHILE 条件
循环体
WEND


仅供学习与参考
END IF
②直到型:
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件