高中数学圆的方程经典例题与解析(供参考)

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
高中数学圆的方程经典例题与解析
例1 求过两点
A(1,4)
、
B(3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程并判断点
P(2,4)< br>与
圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断 点
P
与圆的
位置关系，只须看点
P
与圆心的距离和圆的半径的大小关 系，若距离大于半径，则点在圆
外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为
(x?a)?(y?b)?r
．
∵圆心在
y?0
上，故
b?0
． ∴圆的方程为
(x?a)?y?r
．
22
?
?
(1?a) ?16?r
又∵该圆过
A(1,4)
、
B(3,2)
两点． ∴
?

22
?
?
(3?a)?4?r
2
解 之得：
a??1
，
r?20
．所以所求圆的方程为
(x?1)?y? 20
．
22
222
222
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过
A(1,4)
、
B(3,2)
两点，所以圆心
C< br>必在线段
AB
的垂直平分线
l
上，又因为
k
AB?
4?2
??1
，故
l
的斜率为1，又
AB
的 中点为
(2,3)
，故
AB
的垂直平分线
l
的方程
1?3
为：
y?3?x?2
即
x?y?1?0
．
又知圆心在直线
y?0
上，故圆心坐标为
C(?1,0)

∴半径
r?AC?(1?1)?4?
22
20
． 故所求圆的方程为
(x?1)
2
?y
2
?20
．
22
又点
P(2,4)
到圆心
C(?1,0)
的距离为
d?PC?(2?1)?4?25?r
．
∴点
P
在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，
然后根据圆心 与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直
线又该如何来判定直线与圆 的位置关系呢？
4
?
与圆
O
相切的切线． 例2 已知圆
O：x?y?4
，求过点
P
?
2，
22
4
?
不在圆
O
上，∴切线
PT
的直线方程可设为
y?k
?x?2
?
?4
解：∵点
P
?
2，
根据
d?r
∴
?2k?4
1?k
2
?2
解得
k?
3

4
所以
y?
3
?
x?2
?
?4
即
3x?4y?10?0

4
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
因为过 圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条
切线为
x?2．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其 他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要
2
注意漏解）．还可以 运用
x
0
x?y
0
y?r
，求出切点坐标
x
0
、
y
0
的值来解决，此时没有漏解．
22
例3、直线
3x?y?23?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距
d?3
，故弦长
AB?2r?d
形，故截得的劣弧 所对的圆心角为
?AOB?
22
22
?2
，从而△OAB是等边三角
?
3
.
例4 圆
(x?3)?(y?3)?9
上到直线< br>3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直 线
l
1
、
l
2
的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆
(x?3)?(y?3)?9
的圆心为
O
1
(3,3)< br>，半径
r?3
．
设圆心
O
1
到直线
3x? 4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
22
3?3?4?3? 11
3?4
22
?2?3
．
如图，在圆心
O
1< br>同侧，与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线
l
1
与圆有两个交
点，这两个交点符合题意．
又
r?d?3?2?1
．
∴与直线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线
3x?4y?11? 0
，且与之距离为1的直线和圆的
交点．设所求直线为
3x?4y?m?0
， 则
d?
m?11
3?4
22
?1
，
∴
m ?11??5
，即
m??6
，或
m??16
，也即
l1
：3x?4y?6?0
，或
l
2
：3x?4y?16?0．
(x?3)?(y?3)?9
的圆心到直线
l
1
、
l
2
的距离为
d
1
、
d
2
，则 设圆O
1
：
22
d
1
?
3?3?4?3?6
3?4
22
?3
，
d
2
?
3?3?4?3?16
3?4
22
?1
．
∴
l
1
与
O
1
相切，与圆
O
1
有一个公共点；
l
2
与 圆
O
1
相交，与圆
O
1
有两个公共点．即符
合题意 的点共3个．
2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心
O
1
到直 线
3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
∴圆
O
1
到
3x?4y?11?0
距离为1的点有两个．
显然，上述误 解中的
d
是圆心到直线
3x?4y?11?0
的距离，
d?r
，只能说明此直
线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直 线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此
题中所求的点就是这两条平 行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与
直线的位置关系来判断，即根据圆心与直 线的距离和半径的大小比较来判断．
2222
例5：圆
x?y?2x?0
和 圆
x?y?4y?0
的公切线共有 条。
3?3?4?3?11
3?4
22
?2?3
．
2222< br>解：∵圆
(x?1)?y?1
的圆心为
O
1
(1,0)
，半径
r
1
?1
，圆
x?(y?2)?4
的圆心为
O
2
(0,?2)
，半径
r
2
?2
，∴
O
1
O
2
?5,r
1
?r
2
?3,r2
?r
1
?1
.∵
r
2
?r
1
?O
1
O
2
?r
1
?r
2
，
∴ 两圆相交.共有2条公切线。
3
?
发出的光线
l
射到
x< br>轴上，被
x
轴反射，反射光线所例6 自点
A
?
?3，
在的直线与圆
C：x?y?4x?4y?7?0
相切
（1）求光线
l
和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自
A
到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出
A
22
y
M
C
N
?3
?
，其次设过
A
?的圆
C
的切线方程为 点
A
的对称点
A
?
的坐 标为
?
?3，
43
根据
d?r
，即求出圆
C
的切线的斜率为
k?
或
k?

34
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
A’
G
O
B
x
4x?3y?3?0
或
3x?4y?3?0

最后根据入射光与反射光关于
x
轴对称，求出入射光所在直线方程
为
图
4x?3y?3?0
或
3x?4y?3?0

光路的距离 为
A'M
，可由勾股定理求得
A
?
M
2
?A
?
C?CM?7
．
22
说明：本题亦可把圆对称到
x
轴下方，再求解．
(x?3)? (y?4)?1
，
P(x,y)
为圆
O
上的动点，求
d?x ?y
的最例7 (1)已知圆
O
1
：
大、最小值．
2222
3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
(x? 2)?y?1
，
P(x,y)
为圆上任一点．求(2)已知圆
O
2< br>：
22
y?2
的最大、最小值，求
x?1
x?2y
的 最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程
(x?3)?(y?4)?1
．
22< br>可设圆的参数方程为
?
22
?
x?3?cos
?
,< br>（
?
是参数）．
?
y?4?sin
?
,
2 2
则
d?x?y?9?6cos
?
?cos
?
?16?8s in
?
?sin
?

?26?6cos
?
?8si n
?
?26?10cos(
?
?
?
)
（其中
tan
?
?
所以
d
max
?26?10?36
，
d
min
?26?10?16
．
4
）．
3(法2)圆上点到原点距离的最大值
d
1
等于圆心到原点的距离
d
1
加上半径1，圆上点到原
点距离的最小值
d
2
等于圆心到原点的 距离
d
1
减去半径1．
所以
d
1
?3
2
?4
2
?1?6
．
'
'
d
2
? 3
2
?4
2
?1?4
．
所以
d
max< br>?36
．
d
min
?16
．
?
x??2? cos
?
,
22
(x?2)?y?1
(2) (法1)由得圆的参数方程：
?
?
是参数．
y?sin
?
,
?
则
y?2sin
?
?2sin
?
?2
．令
??t
，
x?1cos
?
?3cos
?
?3
得
sin
?
?tcos
?
?2?3t
，
1 ?t
2
sin(
?
?
?
)?2?3t

?
2?3t
1?t
2
?sin(
?
?
?
)? 1
?
3?33?3
?t?
．
44
所以
t
max
?
3?33?3
，
t
min
?
．
44
即
3?33?3
y?2
的最大值为，最小值为．
44
x?1
此时
x?2y??2?cos
?
?2sin
?
??2?5cos(
?
?
?
)
．
4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
所以< br>x?2y
的最大值为
?2?5
，最小值为
?2?5
．
(法2)设
y?2
?k
，则
kx?y?k?2?0
．由于
P(x,y)
是圆上点，当直线与圆有交点
x?1
时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由
d?
?2k?k?2
1? k
2
?1
，得
k?
3?3
．
4
所以
3?33?3
y?2
的最大值为，最小值为．
44
x?1
令
x?2y?t
，同理两条切线在
x
轴上的截距分别 是最大、最小值．
由
d?
?2?m
5
?1
，得
m ??2?5
．
所以
x?2y
的最大值为
?2?5
，最小值 为
?2?5
．
例8、 已知圆
x?y?x?6y?m?0
与直线< br>x?2y?3?0
相交于
P
、
Q
两点，
O
为 原
点，且
OP?OQ
，求实数
m
的值．
分析：设
P
、
Q
两点的坐标为
(x
1
,y
1
)、
(x
2
,y
2
)
，则由
k
OP?k
OQ
??1
，可得
22
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 ．或因为通过原点的直线的斜率
为
yy
，由直线
l
与圆的方程构造以 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出
xx
k
OP
?k
OQ
的值，从而使问题得以解决．
解法一：设点
P
、
Q
的坐标 为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
．一方面，由
OP?OQ
，得
k
OP
?k
OQ
??1
，即
y
1
y
2
???1
，也即：
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?0
． ①
x
1
x
2
?
x?2y?3 ?0
另一方面，
(x
1
,y
1
)
、
(x< br>2
,y
2
)
是方程组
?
2
的实数解，即x
1
、
2
?
x?y?x?6y?m?0
x
2< br>是方程
5x
2
?10x?4m?27?0
②
的两个根．
∴
x
1
?x
2
??2
，x
1
x
2
?
4m?27
． ③
5
5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
又
P
、
Q
在直线
x?2y?3?0
上，
111
(3?x
1
)?(3?x
2
)?[9?3(x
1?x
2
)?x
1
x
2
]
．
224< br>m?12
将③代入，得
y
1
y
2
?
． ④
5
将③、④代入①，解得
m?3
，代入方程②，检验
??0
成立，
∴
m?3
．
∴
y
1
y
2
?
解法二：由直线方程可得
3?x?2y
，代入圆的方程
x?y?x?6y ?m?0
，有
22
1m
x
2
?y
2
?( x?2y)(x?6y)?(x?2y)
2
?0
，
39
整理，得
(12?m)x?4(m?3)xy?(4m?27)y?0
．
由于
x?0
，故可得
22
yy
(4m?27)()
2
?4(m?3)?12?m?0
．
xx
∴
k
OP，
k
OQ
是上述方程两根．故
k
OP
?k
OQ
??1
．得
12?m
??1
，解得
m?3
．
4m?27
经检验可知
m?3
为所求．
说明：求解本题时 ，应避免去求
P
、
Q
两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求
出 的
m
值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点
P
、
Q
存在．
解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关 于
y
的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人x
以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．
例9、已知对于圆
x?(y?1)?1上任一点
P(x,y)
，不等式
x?y?m?0
恒成立，求实
数
m
的取值范围．
分析一：为了使不等式
x?y?m?0
恒成立，即 使
x?y??m
恒成立，只须使
22
(x?y)
min
?? m
就行了．因此只要求出
x?y
的最小值，
m
的范围就可求得．
解法一：令
u?x?y
，
?
x?y?u
由
?
2

2
x?(y?1) ?1
?
得：
2y?2(u?1)y?u?0

∵
??0
且
??4(u?1)?8u
，
6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
22
22

< br>文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2
∴
4(?u?2u?1)?0
．
即
u?2u?1)?0
，∴
1?2?u?1?2
，
∴u
min
?1?2
，即
(x?y)
min
?1?2
又
x?y?m?0
恒成立即
x?y??m
恒成立．
∴
(x?y)
min
?1?2??m
成立，
∴
m?
2
2?1
．
22
分析二：设圆上一点P(cos
?
,1?sin
?
)
[因为这时
P
点坐标满足方程
x?(y?1)?1
]
问题转化为利用三解问题来解．
解法 二：设圆
x?(y?1)?1
上任一点
P(cos
?
,1?sin< br>?
)
?
?[0,2
?
)

∴
x?cos
?
，
y?1?sin
?

∵
x?y?m?0
恒成立
∴
cos
?
?1?sin
?
?m?0

即
m??(1?cos
?
?sin
?
)
恒成立．
∴只须
m
不小于
?(1?cos
?
?sin
?)
的最大值．
设
u??(sin
?
?cos
?
)?1??2sin(
?
?
∴
u
max
?2?1
即
m?
22
?
4
)?1

2?1
． 222
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆
(x?a)?(y ?b)?r
上的点设为
(a?rcos
?
,b?rsin
?
)
(
?
?[0,2
?
)
)．采用这种设法一方面可减少参数 的个
数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．
7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.