高中数学圆的方程

课题：
_
圆的方程_
__

教学任务
知识与技能目标
掌握圆的标准方程及其几何性质，能够判断直线和圆、点与圆、
教
圆与圆的位置关系

学
学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中，掌握圆的标准

目
过程与方法目标 方程及其几何性质，能够判断直线和圆、点与圆、圆与圆的位置

标
关系

情感,态度与价值
观目标
在探究活动中，培养学生的数形结合能力。
重点 掌握圆的标准方程及其几何性质
难点 能够判断直线和圆、点与圆、圆与圆的位置关系
教学流程说明
活动流程图 活动内容和目的
活动1 课前热身－练习 重温概念领会新知
活动2 概念性质－反思 掌握圆的标准方程及其几何性质
活动3 提高探究－实践
能够判断直线和圆、点与圆、圆与圆的位
置关系
活动4 归纳小结－感知 让学生在合作交流的过程总结知识和方法
活动5 巩固提高－作业 巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
设计
意图
活动1课前热身（资源如下）

重温
1、圆的定义：
概念
2、圆的方程：
领会
⑴标准式方程——方程形式是 ；
新知
圆心 ；半径 .
⑵一般式方程——方程形式是 ；
满足的条件是 .对应的圆心是 ；半
径是 .
3、点P(x
0
，y
0
)在圆x
2
＋y
2
=r
2
上，则过P的切线方程< br>是： .

活动2概念性质
圆与圆的位置关系
培

一、圆的定义 设两圆的 圆心分别为
养学
平面内与定点的距离等于等长的点的集合（轨迹）叫做圆，
O
生用
定点是圆心，定长是半径。
1
O
2
，圆心距
O
1
O
2
?d
，
自己
二、圆的方程
半径为
r
1
r
2

的语
1、圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

言来
外离
?d?r
描述、
1
?r
2

2、圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

理解
外切
?d?rr
有关
1
?
2
相
D
2
?E
2
?4F?0

概念
交
?rd?r
公式。
1
?r
2
?
1
?r
2

注意
*3、圆的参数方程
?
?
x?a?rcos
?
?
y?b?rsin
?
(0?
?
?2
?
)

内切
?d?r
1
?r
2

定义
中的
三、求圆的方程的基本方法
待定系数法
内含
?0?d?r
重点、
1
?r
2

核心。
四、直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系
同心
?d?0


1、点与圆 圆的切线方程

（1）点在圆上
?d?r
点在圆外
?d?r
点在圆内
1、过圆外一点求圆的

?0?d?r

切线

（2）通过方程与不等关系 圆的方程：
f(x.y)?0
点
若斜率存在则设为

y?kx?b
，然后根据点

(x.y

??
)

到直线的距离等于半径

点在圆上
f(x

求解，同时注意斜率不存

?
.y
?
)?0
点在圆内
f(x
?
.y
?
)?0

在的情形。
2、直线与圆的位置关系 2、过圆上一点的圆的
l:Ax?By?C?0
圆
O:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

切线方程
（1）通过方程组的解判断：
P(x
?
.y
?
)
若圆的
?
?
Ax?By?C?0
r
?ax
2
?b
方程为
x
2
?y
2
?r
2
，
?
(x?a)
2
?(y?b)
2
?
2
11
y?c
1
?0

??0
相切
??0
相离
??0
相交
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

（2）通过圆心到直线的距离和半径的关系进行判断
d?r
相切
o?d?r
相交
d?r
相离
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
则

切线方程分别为：
x.x
2
?
?y.y
?
?r< br>(x?a)(x
?
?a)?(y?b)(y
?
?b)?r
2< br>
x.x
?
?y.y
?
?D?
x?x
?y?y
?
2
?E?
2
?F?0

活动3提高探究
资源1、
1、设圆满足①截y轴所得弦长为2；② 被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1，在
满足①②的所有圆中，求圆心到直线
l:x?2 y?0
的距离最小的圆的方程。





2、 求过点
A(1,?1)B(?1,1)
且圆心在直线
x?y?2?0
上的圆的 方程。
圆
的标准
方程与
一般方
程

3 、（1）求圆
c:x
2
?y
2
?4x?12y?39?0
关 于直线
l:3x?4y?5?0
的对称的圆的
方程。
（2）求过点
P(2,1)
且与直线
x?y?1?0
相切于点
Q(1,0)
的圆的 方程。







资源2、 1、自点
A(?3,3)
射出的光线l，射到x轴上，被x轴反射，反射光线
l< br>1
所在的直线与圆
x
2
?y
2
?4x?4y?7?0
相切，求直线
l
1
的方程。

直线和

圆的位

置关系





< br>2、由点
P(3,5)
向圆
x
2
?y
2
?4
引两条切线，设切点A、B，求（1）弦AB所在直线的
方程；（2）切线PA、PB的夹角的 正切值。






3、已知与圆
c :x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
相切的直线交x轴、y轴分别于 A、B两点，
设O为原点，
OA?a

OB?b
(a?2,b?2)

（1）求线段AB中点M的轨迹方程
（2）求
?AOB
的面积的最小值






4、（1）直线
x?2y?0
被曲线
x
2?y
2
?6x?2y?15?0
所截得的弦长等于：
（2）从原点向圆
x
2
?y
2
?12y?27?0
作两条切线，则该圆夹在两 条切线间的劣弧长为：
（3）若直线
2x?y?c?0
按向量
a?(1,? 1)
平移后与圆
x
2
?y
2
?5
相切，则c的值为 ：







资源3、
1、若实数
x.y
满足方程
x
2
?y
2
?6x? 6y?12?0
，试求下
圆的参
列各式的最大值和最小值。 数方程

（1）
x?2y
（2）
y
x

2、
P(x.y)
是曲线
?
?
x??1?cos
?
上任意一点，则
?
y?sin
?
(x?2)
2
? (y?4)
2
的最大值是多少？
活动4归纳小结


活动5巩固提高 附作业
提高
圆的方程
一、填空：
1．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆方程是
2．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为____________
3．圆x
2
+y
2
－x+2y=0关于直线L：x－y+1=0对称的圆的 方程 _____
4．方程
x
2
?y
2
?x ?y?k?0
表示一个圆，则实数
k
的取值范围是
5．1) 过圆
x
2
?y
2
?7
上一点
P (2,?3)
的切线方程为____
2)经过点P(3,4)的圆 x
2
+y
2
=9的切线方程
_____________

6．已知圆(x－2)
2
+(y+1)
2
=16的一条直径通过直线 x－2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为
__________。
7、圆心在原点，在直线3x＋4y＋15=0上截得的弦长为8的圆的方程为
8、圆(x－2)
2
+(y+5)
2
=1上一点p（x，y），那么
y
x
的最大值是___________
9、圆
x
2?y
2
?4x?4y?6?0
截直线
x?y?5?0
所得弦长等 于
二、选择：
10、方程
y??x
2
?4x?3
表示的曲线是（ ）
(A)在x轴上方的圆 (B)在y轴右方的圆 (C)x轴下方的半圆 (D)x轴上方的半圆
11、设圆C的方程x
2
+y
2
－2x－2 y－2=0，直线L的方程(m+1)x－my－1=0，对任意实数m，圆C与直线L的位
置关系是（ ）
A、相交 B、相切 C、相离 D、由m值确定
12、若圆(x－3)
2
+(y+5)
2
=r2
上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是：
（ ）
A、（4，6） B、
[4,6)
C、
(4,6]
D、[4，6]
13、将直线x+y-1=0绕点（ 1，0）顺时针旋转
?
222
2
后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x+( y-1)=R相切，则正
数R等于（ ）
A、
1
2
2
B、
2
C、1 D、
2


三、解答

14、PQ是过点A（3，0）所作的圆C：x
2
＋y
2
＋6x=0的弦，设 CH⊥PQ于H.求点H的轨迹方程


y

P

H
Q


C O
A
x



15、1）已知圆心在x轴上，半径是5，且以A（5，4）为中点的弦长是2
5
，求这个圆的方程。
2）求直线l：x－y－1=0被⊙C：x
2
＋y
2
=4截得的弦长.。










16、若直线l：x＋2y－3=0与圆x
2
＋y
2
－2mx＋m= 0相交于P、Q两点并且OP⊥OQ，求实数m之值.


Q


P

O




17、圆上的点A(2,3)
关于直线
x?2y?0
的对称点仍在这个圆上，且被直线
x ?y?1?0
所截得的弦长为
22
，
求圆的方程。