高中数学圆的方程专题讲解

圆的方程
考纲解读 1.利用圆的几何要素，求圆的标准方程和一般方程；2.利用代数法、几何法
处理圆的问题．

[基础梳理]
1．圆的定义、方程
定义
标准方程
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)
圆心：(a，b)
半径：r
条件：D
2
＋E
2
－4F>0
一般方程 x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0
22
DE
－，－
?
圆心：
?
2
??
2
1
半径：r＝
D
2
＋E2
－4F
2
2.点与圆的位置关系
点M(x
0
，y
0
)与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2的位置关系：
(1)点M(x
0
，y
0
)在圆外，则(x0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
>r
2
.
(2)点M(x
0
，y
0
)在圆上，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2
.
(3)点M(x
0
，y
0
)在圆内，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
2
.

[三基自测]
1．圆x
2
＋y
2
－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3)
C．(－2，－3)
答案：D
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝4
B．(x＋3)
2
＋(y－1)
2
＝4
C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4
D．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4
答案：C
3．(必修2·习题4.1A组改编)△AOB中，A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，则△AOB 外接圆的方
程为________．
答案：x
2
＋y
2
－4x－3y＝0
B．(－2,3)
D．(2，－3)

22
?
?
x
＋y≤1< br>4．不等式组
?
表示的区域面积为________．
?
y≤x
?

π
答案：
2

考点一 求圆的方程|
方法突破


[例1] (1)(2018·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程
是( )
A．x
2
＋y
2
＋10y＝0
B．x
2
＋y
2
－10y＝0
C．x
2
＋y
2
＋10x＝0
D．x
2
＋y
2
－10x＝0
(2)圆心在直线x－2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．(此
题可用多 种方法求解)
[解析] (1)根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则3
2＋(r－1)
2
＝r
2
，解得r＝5，
可得圆的方程为x
2
＋y
2
－10y＝0，故选B.
(2)法一：设所求圆的标准方程为( x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，由题意得
?2 －a?
2
＋?－3－b?
2
＝r
2
，
?
?
?
?－2－a?
2
＋?－5－b?
2
＝r
2
，
?
?
a－2b－3＝0，
a＝－1，
?
?
解得
?
b＝－2，
?
?
r
2
＝10，




故所求圆的方程为(x＋1)
2
＋(y＋2)
2
＝10.
DE
法二：设圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，则 圆心坐标为(－，－
)．
22
由题意得
?
－
D
?
－2×
?
－
E
?
－3＝0，
?
?
?
2
??
2
?
?
4＋9＋2D－3E＋F＝0，
?
?
4＋25－2D－5E＋F＝0，


D＝2，
?
?
解得
?
E＝4，
?
?
F＝－5.


故所求圆的方程为x
2
＋y
2
＋2x＋4y－5＝0.

[答案] (1)B (2)(x＋1)
2
＋(y＋2)
2
＝10
[方法提升]

求圆的方程的方法
方法 解读
通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，
进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的
几何法
几何性质如下：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线
(1)根据条件设出圆的方程，一般地， 若题目中有与
圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)
2
＋(y
待定 系
数法
－b)
2
＝r
2
，若已知圆上三点坐标(或三点坐 标易求)，题设条件中有
选择一般方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F ＝0；(2)由题目给明显的代数特
题设条件中有
明显的几何特
征
适合题型
出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；征
(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般
方程

[母题变式]
1．本例(2)变为已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y＋4＝0相
切，则圆的方程是( )
A．x
2
＋y
2
－4x＝0
C．x
2
＋y
2
－2x－3＝0
B．x
2
＋y
2
＋4x＝0
D．x
2
＋y
2
＋2x－3＝0
|3m＋4×0＋4|< br>解析：设圆心为C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以
3< br>2
＋4
2
14
＝2，整理，得|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝ －
(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝
3< br>4，即x
2
＋y
2
－4x＝0，故选A.
答案：A
2．本例(1)变为经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上，求圆的方程．
解析：法一：由题意知k
AB
＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b) ，
∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，

b1
?
?
a＝2，
?
a－4
＝－< br>2
，
?
则
?
解得
?
∴C(2,1)，
?
?
b＝1，
?
?
2a－b－3＝0，


∴r＝|CA|＝?5－2?
2
＋?2－1?
2
＝10.
∴所求圆的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，
2a－b－3＝0，
?
?
则
?
?5－a?
2
＋?2－b?
2
＝r
2
，
?
?
?3－a?
2
＋?－2－b?
2
＝r
2
，

?
a＝ 2，
?
解得
?
b＝1，
?
?
r＝10，


故所求圆的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝10.

考点二 与圆有关的最值问题|
方法突破


[例2] (1)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)
2
＋(y－ 1)
2
＝1相切，
则m＋n的取值范围是( )
A．[1－3，1＋3 ]
B．(－∞，1－3 ]∪[1＋3，＋∞)
C．[2－22，2＋22 ]
D．(－∞，2－22 ]∪[2＋22，＋∞)
(2)已知实数x、y满足x
2
＋y
2
－4x＋1＝0.
y
①求的最大值与最小值；
x
②求y－x的最大值、最小值；
③求x
2
＋y
2
的最大值、最小值．
[解析] (1)∵ 直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1相切，
∴圆心(1,1)到直线的距离为
|?m＋1?＋?n＋1?－2|
d＝
＝1，
?m＋1?
2
＋?n＋1?
2
∴mn＝m＋n＋1≤
?
m＋n
?
2
?
2
?
.
1
设t＝m＋n，则
t
2
≥t＋1，
4
解得t∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．选D.
(2)①原方程可化为(x－2)
2
＋y
2
＝3，
表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．

y
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
x
y
所以设＝k，即y＝kx.
x
如图所示，当直线y＝kx与圆 相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时
|2k－0|
＝3，解得k＝±3.
k
2
＋1
y
所以的最大值为3，最小值为－3.
x
②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线
|2－0＋b|
y＝x ＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时
＝3，
2
解得b＝－2±6.
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
③如图所示，x
2
＋ y
2
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几
何知识知，在原点和圆心连线与圆的 两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
?2－0?
2
＋?0－0?
2
＝2，
所以x
2< br>＋y
2
的最大值是(2＋3)
2
＝7＋43，x
2
＋ y
2
的最小值是(2－3)
2
＝7－43.
[答案] (1)D
[方法提升]

1．与圆有关的最值问题的几何转化法
y－b
(1)形如μ＝
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x－a
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)
2
＋(y－b)
2
形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问
题．
2．与圆有关的参数范围问题常见思路
(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围．
(2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围．
(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围．

[跟踪训练]
1．(2018·洛阳模拟)在平面直角坐标系内，若曲线C：x
2< br>＋y
2
＋2ax－4ay＋5a
2
－4＝0上
所有的点均在第 四象限内，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)

D．(2，＋∞)
解析：圆C的标 准方程为(x＋a)
2
＋(y－2a)
2
＝4，所以圆心为(－a,2a)， 半径r＝2，由题
a<0
?
?
意知
?
|－a|>2
?a<－2，故选A.
?
?
|2a|>2
答案：A
2．(201 8·聊城模拟)已知M(m，n)为圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45 ＝0上任意一点，
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求
n－3
的最大值和最小值．
m＋2

解析：①因 为x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝22 ，
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝
|1×2＋2×7－t|
≤22，
1
2
＋2
2
解上式得：16－210≤t≤16＋210，
所以，所求的最大值为16＋210.
n－3
②记点Q(－2,3)．因为表示直线MQ的斜率，
m＋2
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
n－3
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
m＋2
由直线MQ与圆C有公共点，
|2k－7＋2k＋3|
所以≤22.
1＋k
2
可得2－3≤k≤2＋3，
n－3
所以的最大值为2＋3，最小值为2－3.
m＋2

考点三 与圆有关的轨迹问题|
模型突破


[例3] (1)过原点O作圆x
2
＋y
2
－8x＝0的弦OA，则弦OA中点M的轨迹方程为________．
(2)设定点M(－3,4)，动点N在圆x
2
＋y
2
＝4上运动， 以OM、ON为两边作平行四边形
MONP(O为坐标原点)，求点P的轨迹．

[解析] (1)法一：(几何法)如图，
∵M为OA的中点，∴∠OMC＝∠OAD＝90°.
∴动点M在以OC为直径的圆上，圆心坐标为(2,0)，半径为2.
∴所求点的轨迹方程为x
2
＋y
2
－4x＝0.
法二：( 代入法)设中点M(x，y)，A(x
0
，y
0
)，则由中点坐标公式得x< br>0
＝2x，y
0
＝2y，将点
A(x
0
，y
0
)代入圆的方程，并化简，得x
2
＋y
2
－4x＝0.
xy
?
(2)如图所示，设P(x，y)，N(x
0
，y
0
)，则线段OP的中点坐标为
?
?
2
，
2
?，
线段MN的中点坐标为
?
x
0
－3y
0
＋4
?

?
2
，
2
?
.由于平行四边形的对角 线互相平分，
x
x
0
－3
y
y
0
＋4故＝，＝
.
2222
?
?
x
0
＝x＋3，< br>从而
?

?
y
0
＝y－4.
?
< br>N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝4.
因此所求点P的轨迹为圆：(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝4，
4
?
?
y＝－x，
912 2128
3
－，?
和
?
－，
?
(此两点坐标由
?
但应除去两点
?
?
55
??
55
?
?
?
?x＋ 3?
2
＋?y－4?
2
＝4
点P在直线OM上时的情况)．
[答案] (1)x
2
＋y
2
－4x＝0
[模型解法]

有关圆的求轨迹问题的关键点
(1)设出动点的坐标(x，y)．
(2)根据动点满足的条件，结合圆的定义，几何性质， 点、直线与圆的位置关系，利用
几何法、定义法、代入法、建立动点满足的等式关系(方程)．
(3)化简方程、得出轨迹．


[高考类题]
(201 3·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长
为22，在y轴上 截得线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为
2
，求圆P的方程．
2

解得，是
解析：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

由题设得 y
2
＋2＝r
2
，x
2
＋3＝r
2
.
从而y
2
＋2＝x
2
＋3.
故P点的轨迹方程为y
2
－x
2
＝1.
(2)设P(x
0
，y
0
)，由已知得
|x
0
－y
0
|
2
＝
.
22
又P在双曲线y
2
－x
2
＝1
?
?
|x
0
－y
0
|＝1，
上，从而得
?
22

?
y
0
－x
0
＝1.
?

??< br>?
x
0
－y
0
＝1，
?
x
0
＝0，
由
?
22
得
?
此时，圆P的半径r＝3.
??
y－x＝1y＝－1.
?
0
?
00
??
?< br>x
0
－y
0
＝－1，
?
x
0
＝0，
?
由
22
得
?
此时，圆P的半径r＝3.
?y
0
－x
0
＝1
?
??
y
0
＝1.


故圆P的方程为x
2
＋(y－1)
2
＝3或x
2
＋(y＋1)
2
＝3.

1.
[考 点二]
(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)
2
＋(y－4)
2< br>＝1和两点A(－m,0)，
B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90 °，则m的最大值为( )
A．7
C．5
B．6
D．4
解析：若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x
2
＋y
2
＝m
2
.由题
意知圆C：(x－3)
2< br>＋(y－4)
2
＝1与圆O：x
2
＋y
2
＝m
2
有公共点，所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易
知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故 m的最大值为6.选B.
答案：B
2.
[考点一]
(2016·高考全国 卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x
2
＋y
2
－2ay－2＝0相交于A，
B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．
解析：圆C的方程可化为x
2
＋(y－a)
2
＝a
2
＋2，可得圆心的坐标为C(0， a)，半径r＝a
2
＋2，
|－a＋2a|
|a||a|
所以圆心到 直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以(
)
2
＋(3)
2
＝(a< br>2
＋2)
2
，解得
222
a
2
＝2，所以圆 C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
答案：4π
3.
[考点一、三]
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y
2
＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，
B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解析：(1)证明：设A(x< br>1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，l：x＝ my＋2，

?
?
x＝my＋2，
由
?
2< br>可得y
2
－2my－4＝0，则y
1
y
2
＝－4.
?
y
＝2x
?

y
2
y
2
?y
1
y
2
?
2
12
又x
1
＝
，x
2
＝
，故x
1
x
2
＝
＝4.
224
y
1
y
2
－4
因此OA的斜率与OB的斜率 之积为
·
＝＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在
x
1
x
2
4
圆M上．
(2)由(1)可得y
1
＋y
2
＝2m，x
1
＋x
2
＝m(y
1
＋y
2
) ＋4＝2m
2
＋4，
故圆心M的坐标为(m
2
＋2，m)，圆M的半径
r＝?m
2
＋2?
2
＋m
2
.
→→
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP
·BP
＝0，
故(x
1
－4)(x
2
－4)＋(y
1
＋2)(y
2＋2)＝0，
即x
1
x
2
－4(x
1
＋x< br>2
)＋y
1
y
2
＋2(y
1
＋y
2
)＋20＝0.
由(1)可知y
1
y
2
＝－4，x
1
x
2
＝4，
1
所以2m
2
－m－1＝0，解得m＝1或m＝－
.
2< br>当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，
圆M的方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝10.
91
1
，－
?
， 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0， 圆心M的坐标为
?
2
??
4
2
圆M的半径为
91< br>8585
x－
?
2
＋
?
y＋
?
2< br>＝
.
，圆M的方程为
?
?
4
??
2
?
164
4.
[考点三]
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直 线l与圆C
1
：x
2
＋y
2
－6x＋5＝0相
交于 不同的两点A，B.
(1)求圆C
1
的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解析：(1)由已知得，圆C
1
的标准方程为(x－3)
2
＋y
2
＝4，所以圆C
1
的圆 心坐标为(3,0)．
(2)由题意可知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝tx，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)(x1
≠x
2
)，
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
?
线段AB的中点M(x
0
，y
0
)
?
其中x
0
＝
，
，y
0
＝
22
??
将y＝tx代入圆C
1
的方程，整理得(1＋t
2
)x
2
－6x＋5＝0.
6
则有x
1
＋x
2
＝
，
1＋t
2
33t
所以x
0
＝
，代入直线l的方程，得y
＝. 0
1＋t
2
1＋t
2
因为
2
x
20
＋y
0
＝
9?1＋t
2
?
99t
2
99
?
x
0
－
3
?
2
＋y
0
2
＝.
＋＝＝＝3x
，所以
0
2
??
4
?1＋t
2
?
2
?1＋t
2
?
2?1＋t
2
?
2
1＋t
2

又因为方程( 1＋t
2
)x
2
－6x＋5＝0有两个不相等的实根，
45
所以Δ＝36－20(1＋t
2
)>0，解得t
2
<
，所以
0
≤3.
53
3
9
5
x－
?< br>2
＋y
2
＝
?
?
.
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为
?
?
2
??
4
?
3