2019a版高中数学课本-高中数学教研活动有哪些
高三数学练习题
一、选择题:
1.已知
tan
?
和
tan(?
?
)
是方程
x?px?q?0
的两根,则p、
q间的关系是 ( D )
A.
p?q??1
B.
p?q?1?0
C.
p?q?1?0
D.
p?q?1?0
2.如果数列
{a
n
}
的前
n项和
S
n
?
π
4
2
1
n
(9?4
n
)(n?N)
,那么这个数列
(
B
)
n
4
A.是等差数列而不是等比数列
B.是等比数列而不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列又不是等比数列
3.锐二面角
?
?l?
?
的棱
l上一点A,射线
AB?
?
,且与棱成45°角,又AB与
?
成30
°角,则二
面角
?
?l?
?
的大小是
(
B
)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.有6个人分别来自3个不同的国家,每一个国家
2人。他们排成一行,要求同一国家的人不能相邻,
那么他们不同的排法有
( D )
A.720 B.432 C.360
D.240
5.将
y?f(x)cosx
的图象向右平移
π
2个单位,再作关于x轴的对称变换,得到函数
y?1?2sinx
的
4
图
象,则
f(x)
可以是
( A )
A.
2sinx
B.
2cosx
C.
?2sinx
D.
?cosx
6.如果
log
1
|x?
2
ππ
|?log
1
,那么sinx
的取值范围是 (
D
)
32
2
A.
[?
33
11
11111
)
?
(
,
]
B.
[?
,
1]
C.
[?
,
)
?
(
,
1]
D.
[?
,
,
1]
22
2222222
222
7.若圆
(x?3)?(y?5)?r
上有且仅有两个点到直线
4x?
3y?2?0
的距离为1,则半径r的取值
范围是
( A )
A.(4,6) B.[4,
6)
C.(4,
6]
D.[4,6]
8.某种体育彩票抽奖规定
,从01到36共36个号码中抽出7个为一注,每注2元,某人想从01到10
中选3个连续号,从1
1到20中选2个连续号,从21到30中选1个号,从31到36中选1个号组成
一注,现这人把这些
特殊的号全买,要花费的钱数是 (
D )
A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元
D.8 640元
9.已知ab≠0,
x
2a
?
1
ab6
(x>0,且x≠1),则
(x?2x)
展开式中的常数项为
(
B
)
b
x
A.12 B.60
C.30 D.160
10.已知O是
?ABC
内一点
且满足
OA?OB?OB?OC?OC?OA
,试问O点是
?ABC
的 (
B
)
A 重心 B 垂心
C 外心 D 内心
二、填空题:
11
.已知△ABC中,
BC?a
,
AC?b
,且
a,b
是方程
x
2
?23x?2?0
的两根,
2cos(A?B)?1
,
则AB的长为
10
。
12.若函数
f(x)?
2x?
1
的图象关于直线
y?x
对称,则实数
a?
?2
。
x?a
13.空间有四个不同的平面,则这四个平面可能形成的交线条数取值的集合是
{0,1,3,4,5,6}
。
14.已知
P
是直线
x
?y?6?0
上的动点,
PA,PB
是圆
x?y?2x?2y?1?0
的两切线,
A,B
为切
点,
C
为圆心,那么四边形
PAC
B
的面积最小时
P
点坐标为
P
?
?3,?3
?
。
22
x
2
y
2
1
15.已知P是以
F
1
、
F
2<
br>为焦点的双曲线
2
?
2
?1
上一点,
PF
1
⊥
PF
2
,且
tan?PF
,则此
F?
1
2
ab
2
双曲线的焦距与实轴长的比值为
5
.
sin
x
2
sinxsinx
2
sinxsinx
2
sinx2
,(),
2
的大小关系是
()??
16.当
0?x?1
时, 。
xxx
2
xxx
三、解答题:
17.在△ABC中,已知角A、B、C所对的三边a,b,c成等比数列.
(1)求证:<
br>0?B?
π
1?sin2B
;(2)求函数
y?
的值域. <
br>3sinB?cosB
2
a
2
?c
2
?b
2
2ac?ac1
??
解:(1)∵a、b、c成等比数列,∴
b?ac,由余弦定理得:
cosB?
2ac2ac2
又∵∠B
?
(0,
π
),∴0<∠B≤
π
.
3
1?sin2B(sinB
?cosB)
2
ππ
??sinB?cosB
?2sin(B?)
,
∵0<∠B≤, (2)
y?
sinB?cosBsinB?cosB
43
∴
ππ
7π
π
?B??
,∴
1?2sin(B?)?2
,即原函数的值域是(1,
2]
44124
?
?
18.设
a?{sin(
?
?x),1},b?{1,?sin(
?
?x)}
?
?
(1)如果当
x?R
时,恒有a?b
,求
?
的值;
?
?
33
?
(
2)
sin2
?
?,
?
?(?,
?
),
且
f(x)?a?b?2cos
?
,
若
f(x)
的最大值为0
,求
cos
?
的值。
54
?
?
?
解:(
1)∵
a?b
,∴
a?b?0
,即
sin
?
??x
?
?sin
?
?
?x
?
,得
?<
br>?k
?
?
?
k?Z
?
2
(
2)
?f(x)?sin
?
?
?x
?
?sin
?<
br>?
?x
?
?2cos
?
?2cos
?
?1?sinx
?
?0,sin2
?
?0?cos
?
?0
∵
sin2
?
?
210
33
?
8
,
?
?(?,
?
),
?sin
?
?0
,
由
1?sin2
?
?
, 得
sin
?
?cos<
br>?
??
5
545
10310
3
或cos
?<
br>??
,得
cos
?
??
。
1010
10
再由
sin
?
cos
?
?
19.已知等比数列
{a
n
}
及等差数列
{
b
n
}
,其中
b
1
?0
,公差d≠0.将这两个数
列的对应项相加,得一
新数列1,1,2,…,试求这个新数列的前10项之和.
?
a
1
?0?1,
?
a
1
?1,
?
?
n?1
解:
{a
n
}
的公比为q,由题知:
?
a
1
q?d?1,
解得
?
q?2,
则
a
n<
br>?2
,
b
n
?1?n
.
?
2
?<
br>?
a
1
q?2d?2,
?
d??1
.
这个新
数列的前10项之和为
(a
1
?b
1
)?(a
2
?
b
2
)???(a
10
?b
10
)
1?2
10
10[0?(?9)]
??978
?(a1
?a
2
???a
10
)?(b
1
?b
2
???b
10
)?
1?22
20.如图,△ABC中,AC=B
C,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2,F为BE的中点,
DF∥平面ABC,
(1)求CD的长;
解:取AB中点G,连FG、CG,则FG∥AE,又AE和CD都垂直于
平面ABC,∴AE∥CD,∴FG∥CD,∴F、G、C、D四点共面.
又平面
FGCD?
平面ABC=CG,DF∥平面ABC,∴DF∥CG,
∴四边形FGCD是平行四边形,∴
CD?FG?
(2)求证:AF⊥BD;
解:直角三角形ABE中,AE=AB,F是BE的中点,∴AF⊥BE,又△ABC中,AC=BC,G是A
B中
点,∴CG⊥AB,又AE垂直于平面ABC,∴AE⊥CG,又
AE?AB?A
,∴CG⊥面ABE.
∵DF∥CG,∴DF⊥面ABE,∴AF⊥DF,又∵
BE?DF?
F
,∴AF⊥面BED,∴AF⊥BD.
1
AE?1
.
2
(3)求平面ADF与平面ABC所成的二面角的大小.
解:设面
ADF?
面ABC=L,∵DF∥平面ABC,
∴DF∥L,又DF⊥面ABE,∴L⊥面ABE,
∴L⊥AF,L⊥AB,∴∠FAB即为二面角的平面角.
直角三角形ABE中,易得∠FAB=45°,
∴平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°
x
2
y
2
21.如图,P为双曲线
2
?
2
?1
(a、b为正常数)
上任一点,过P点作直线分别与双曲线的两渐近
ab
线相交于A、B两点.若.
(1)求证:A、B两点的横坐标之积为常数;
(2)求△AOB的面积(其中O为原点).
解:(1)设A(
x
1
,y
1
)、B(
x
2
,
y
2
)、P(<
br>x
0
,
y
0
).∵
AP
?2
, <
br>PB
x?2x
2
y?2y
2
b?bb
∴
1<
br>?x
0
,
1
?y
0
.又
y
1
?x
1
,
y
2
?x
2
.∴
y
1
?2y
2
?(x
1
?2x
2
)
.
33aaa
22
x
0
y
0
(x
1
?2x
2
)
2
(x
1
?2x
2
)
2b
?
从而
y
0
?
(x
1
?
2x
2
)
.又∵P点在双曲线上.∴
2
?
2
?1<
br>,
22
ab9a9a
3a
9
?1?x
1
x<
br>2
?a
2
为常数.
8
bx
1
(2)又∠
AOX?
?
,则
tan
?
?
?
|OA|?
,
acos
?
|OB|?
x
2
x
11<
br>x
,
S
?AOB
?|OA|
?
|OB|
?
sin2
?
?
?
1
?
2
?
sin
2
?
?x
1
x
2
tan
?
22
cos
?
cos
?
cos
?
?
9
2
b9
a
?
?ab
8a8
2
22.对于函数f(x)?ax?bx?1
(a>0),如果方程
f(x)?x
有相异两根
x
1
,
x
2
.
(1)若
x
1?1?x
2
,且
f(x)
的图象关于直线x=m对称.求证:
m
?
(2)若
0?x
1
?2
且
|x
1
?
x
2
|?2
,求b的取值范围;
(3)
?
、
?
为区间
[x
1
,
x
2
]
上的两个不同的
点,求证:
2a
??
?(1?b)(
?
?
?
)?2
?0
.
解:(1)
g(x)?f(x)?x?ax?(b?1)x?1
,且
a>0.∵
x
1
?1?x
2
,所以
(x
1
?1)(x
2
?1)?0
,
即
x
1
x
2
?x
1
?x
2
?1
,于是
x?m??
2<
br>1
;
2
b1b?11
?(??)
2a2aa
p>
11111
(x
1
?x
2
)?x
1x
2
?(x
1
?x
2
)?[(x
1
?
x
2
)?1]?
.
22222
1
2
(2)由方
程
g(x)?ax
?(b?1)x?1?0
,可知
x
1
x<
br>2
??0
,∴
x
1
、
x
2
同号.
a
?
由
0?x
1
?2
,则
x
2<
br>?x
1
?2
,∴
x
2
?2?x
1
?
0
,∴
g(2)?0
,即4a+2b-1<0 ①
(b?1)
2
4
2
??4
又
(x
2
?x
1
)?
,∴(∵a>0)代入①式得:
2a?1?(b?1)?1
,
2
aa
2
2(b?1)
2
?1?3?2b
,解之得
b?
(
3)由条件得
x
1
?x
2
?
1
.
4<
br>1?b1
,
x
1
x
2
?
,不妨设
?
?
?
,
aa
则
0?2(
?
?x
1
)(
?
?x
2
)?2
??
?2(
?x
1
?
?
x
2
)?2x
1
x
2
?2
??
?(x
1
?x
2
)(
?
?
?
)
?2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)(
?
?
?
)?2
??
?(x
1
?x
2
)(
?
?
?
)?2x1
x
2
?2a
??
?(1?b)(
?
?
?
)?2
故
2a
??
?(1?b)(
?
?
?
)?2?0
.
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