构造 高中数学-哈尔滨初高中数学版本
18中2020学年高三年级数学试卷
一.选择题:本题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分
.
在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的
.
1
.已知复数
z
满足(1?i)z?2
,则复数
z
的虚部为
A
.
1
B
.
?1
C
.
?
i
D
.
?i
2
.设集合
A?
?
x|?2?
x?1
?
,
B?x|y?log
2
2
(x?2x?3)?
,则
AIB?
A
.
[?2,1)
B
.
(?1,1]
C
.
[?2,?1)
D
.
[?1,1)
3
.已知
sin
?
?
1
3
,
?<
br>?(
?
2
,
?
)
,则
tan
??
A
.
?2
B
.
?2
C
.
?
2
4
D
.
?
2
8
4
.执行如图所示的程序框图,输出的
n
为
A
.
1 B
.
2
C
.
3 D
.
4
?<
br>x
5
.设变量
x,y
满足约束条件
?
?y?1?0<
br>?
x?2y?2?0
,
则
z?3x?2y
的最大值为
?
?
2x?y?2?0
A
.
?2
B
.
2
C
.
3
D
.
4
6
.已知
m
,
n
为两个
非零向量,则“
m
与
n
共线”是“
m?n?|m?n|
”的
A
.充分不必要条件
B
.必要不充分条件
C
.充要条件
D
.既不充分也不必要条件
7
.如图,格纸上小正方形的边长为
1
,粗实线及粗虚线画出的
是某多面体的三视图,则该多面体的体积为
A.
2
3
B.
4
3
C.
2
D.
8
3
8
.函数
y?sin(
x
?
x
2
?
6
)
的图像可以由函数
y?cos
2
的图像经过
A
.向右平移
?
3
个单位长度得到
B
.向右平移
2
?
3
个单位长度得到
C
.向左平移
?
3
个单位长度得到
D
.向左平移
2
?
3
个单位长度得到
9
.某校毕业典礼由
6
个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在
前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A.
120
种
B.
156
种
C.
188
种
D.
240
种
10
.已知三棱锥
P?ABC
的
所有顶点都在球
O
的球面上,
?
ABC
满足
AB?22,?
ACB?90
o
,
PA
为球
O
的直径且
PA?4<
br>,则
点
P
到底面
ABC
的距离为
A
.
2
B
.
22
C
.
3
D
.
23
11.
已知动直线
l
与圆
O:x
2
?y
2
?4
相交于
A,B
两点,且满足
|AB|?2
,点
uur
C
为直线
l
上一点,
uur
且满足CB?
5
2
CA
,若
M
是线段
AB
的
中点,则
u
OC
uur
?
u
OM
uuur
的值为
A
.
3
B
.
23
C.
2
D
.
?3
x
2
y
2
12
.已知
双曲线
C:
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)<
br>
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
,
P
为双曲线
C
上第二象
限内一点,若直线
y?
b
a
x
恰为线段
PF
2
的垂直平分线,则双曲线
C
的
离心率为
A
.
2
B
.
3
C
.
5
D
.
6
二.填空题:本题共
4
小题,每小题
5<
br>分
,
共
20
分
.
13
.高三(
2
)班现有
L
64
名学生,随机编号为
0
,
1
,
2
,
L
,
63
,依编号顺序平均分成
8
组,组
号依次为
1
,
2
,
3
,,
8.
现用系统抽样方法抽取一个容量为
8
的样本,若在第一组中随机
抽取的号码为
5
,则在第
6
组中抽取的号码为
.
14
.二项式
(x?
2
)
5
x
的展开
式中
x
3
的系数为
.
15
.已知<
br>?
ABC
的面积为
23
,角
A,B,C
所对的边长分
别为
a,b,c
,
A?
?
3
,则
a
的最小
值
为
.
16
.已知函数
f(x)=
?
?
ln(x?1),x?0,
,若不等式
|f(x)|?mx?2
?0
恒成立,则实数
m
的取值范
?
?x
2
?3x,x?0
围为
.
三.解答题:共
70
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
第
17
:
2
1
题为必考题,每个
试题考生都必须作答;第
22
、
23
题
为选考题,考生根据要求作答
.
17
.
(12
分
) 已知数列
{a
n?1
n
}
的前
n
项和
S
n
?2?2
,记
b
n
?a
n
S
n
(n?N*)
.
(
1
)求数列
{a
n
}
的通项公式;
<
br>(
2
)求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
18
.
(12分
)
如图,在四棱锥
P?ABCD
中,
?ABC??ACD?9
0
o
,
?BAC
??CAD?60
o
,
PA?平面
ABCD
,
PA?2,AB?1
.
设
M,N
分别为
PD,AD
的中点
.
P
(
1
)求证:平
面
CMN
∥平面
PAB
;
(
2
)求二面角
N?PC?A
的平面角的余弦值
.
M
A
B
N
D
C
19.
微信
已成为人们常用的社交软件,“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号
.手机用户可以通过关注“微
信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量
的
PK
或点赞
.
现从小明的微信朋友圈内随机选取了
40
人
(男、
21
.
(12
分
)
设函数
f(x)?lnx
?2mx
2
?n(m,n?R)
.
f(x)
女各
20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下表:
步数
0
:
2001
:
5001
:
8001
:
性别
2000 5000 8000 10000
>
10000
男
1 2 4 7 6
女
0 3 9 6 2
(
1
)若某人一天的走路步数超过
8000<
br>步被系统评定为
“
积极型
”
,否则评定为
“
懈怠型<
br>”
,根据题意完成下面的
2?2
列联表,并据此
判断能否有
9
0%
的把握认为
“
评定类型
”
与
“
性别
”
有关?
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
(
2
)如果从小明这
40
位
好友内该天走路步数超过
10000
步的人中随机抽取
3
人,设抽取的女性有
X
人,求
X
的分布列及数学期望
E(X)
.
2
附:
K
2
?
n
?
ad?bc
??
a?b
??
c?d
??
a?c
??
b?d<
br>?
P(K
2
?k)
0.10 0.05
0.010 0.005 0.001
k
2.706 3.841 6.635
7.879 10.828
20
.
(12分
)
已知椭圆
C:
x
2
y
2
3
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
的离心率为
2<
br>,短轴长为
2.
(
1
)求椭圆
C
的标准方程;
(
2)设直线
l:y?kx?m
与椭圆
C
交于
M,N
两点,
O
为坐标原点,若
k
5
OM
?k
ON
?<
br>4
,求原点
O
到直线
l
的距离的取值范围
.
(
1
)讨论的单调性;
(
2
)若
f(x)
有最大值
?ln2
,求
m?n
的最小值
.
22
.
[
选修
4—4
:坐标系与参数方程
](10
分
)
在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
C?
?
x?3?2cos
?
1
的参数方程为
?
?
y?2?2sin
?
(
?
为参数),直线
C
2的方程
?
为
y?
3
3
x
,以
O
为极点,以
x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
.
(
1
)求曲线
C
1
和直线
C
2
的极坐标方程;
(
2
)若直线
C
2
与曲线
C
1
交于P,Q
两点,求
|OP|?|OQ|
的值
.
23
.
[
选修
4—5
:不等式选讲<
br>](10
分
)
设函数
f(x)?|2x?3|
.
(
1
)求不等式
f(x)?5?|x?2|
的解集;
(
2
)若
g(x)?f(x?m)?f(x?m)
的最小值为
4
,求实数
m
的值
.
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12个小题,
每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C C C D A B A B A
C
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13
.
45
14.
?10
15.
22
16.
[?3?22,0]
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.【解析】(1)∵
S
n?1
?2
, ∴当
n?1<
br>时,
a?S
1?1
n
?2
11
?2?2?2
;
当
n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?2
n?1
?2
n
?2
n
,
又∵
a
1n
1
?2?2
,
∴
a
n
?2
.
………………6分
(2)由(1)知,
ba
nn?1
n
?
n
S
n
?2?4?2
,
∴
T
123n23
?L?2
n?1
n
?b
1
?b
2
?b
3
?L?b
n
?2(4?4?4?L?4)?(2?2)
nn
?2?
4(1?4)4(1?2)2
n
1?4
?
1?2
?
3
?4
?1
?2
n?2
?
4
3
. ………………12分
18.【解析】(1)根据题意完成下面的
2?2
列联表如下:
积极型
懈怠型 总计
男 13 7 20
女 8 12 20
总计 21 19 40
∴
K
2
?
40?(13?12?7?8)
2
20?
20?21?19
?2.5?2.706
,
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. ………………6分
(2)由(1)知,从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人,女性2人,
现从中抽取3人,抽取的女性人数
X
服从超几何分布,
X
的所有可能取值为0,1,2,
P(X?0)?
C
3
2
0
1212
6
C
3
?
,
P(X?1)?
C
2
C
6
30
C
6
C
2
6
3
?
,
P(X?2)?
3
?
, …………9分
8
56C
8
56C
18
56
∴
X
的分布
列如下:
X
0 1 2
P
20
306
56
56
56
∴
E(X)?0
?
20
56
?1?
3063
56
?2?
56
?
4
.
19.【解析】(1)证明:∵
M,N
分别为
PD,AD
的中点,
………………12分
则
MN
∥
PA
.又∵
MN?
平面
PAB
,
PA?
平面
PAB
,
∴
MN
∥平面
PAB
.
在
Rt
?
ACD
中,
?CAD?60
o
,CN?AN
,
∴
?ACN?60
o
.
又∵
?BAC?60
o
,
∴
CN
∥
AB
.
∵
CN?
平面
PAB<
br>,
AB?
平面
PAB
,∴
CN
∥平面
PAB
. ………………4分
又∵
CNIMN?N
,
∴平面
CMN
∥平面
PAB
. ………………6分
(2)∵
PA?
平面
ABCD
,∴平面
PAC?
平
面
ACD
,
又∵
DC?AC
,平面
PACI
平面
ACD?AC
,∴
DC?
平面
PAC
,
如图,以
点
A
为原点,
AC
为
x
轴,
AP
为
z
轴建立空间直角坐标系,
∴
A(0,0,0),C(2,0,0),
N
(1,3,0)
z
,∴
u
CN
uur
P(0,0,2),D
(2,23,0)
,
?(?1,3,0),
u
PN
uur
?(1,3,?2)
,
P
设
n?(x,y,z)
是平面
PC
N
的法向量,则
?
uuur
?
?
n?CN?0<
br>?
n?
u
PN
uur
,
?
?0
即
?
?
?
?x?3y?0
,可取
n?(3,1,3)
,
M
y
?
?
x?3y?2z?0
A
又平面
PAC
的法向量为
u
CD
uur
?(0,
B
N<
br>D
∴
cos
u
CD
uur
uuur
23,0
)
,
,n?
CD
|
u
CD
uur
?n2
37
||n|
?
23?7
?
7
,
C
由图可知,二面角
N?PC?A
的平面角为锐角,
x
∴
二面角
N?PC?A
的平面角的余弦值为
7
7
. …………12分
20.【解析】(1)设焦距为
2c
,由已知
e?
ca
?
3
2
,
2b?2
,∴
b?1
,<
br>a?2
,
∴椭圆
C
的标准方程为
x
2
4<
br>?y
2
?1
. ………………4分
?
(2)设<
br>M(xN(x
?
y?kx?m
222
1
,y
1
),
2
,y
2
)
,联立
?
?
x
2
得
(4k?1)x?8kmx?4
?4
?y
2
?1
m?4?0
,
依题意,
?
?(8km)
2
?4(4k<
br>2
?1)(4m
2
?4)?0
,化简得
m
2
?4k
2
?1
,①
x?
8km4m
2
?4
1
?x
2
?
4k
2
?1
,x
1
x
2
?
4k
2
?1
,
………………6分
y
1
y
2
?(kx
1
?m)(
kx
2
?m)?k
2
x
1
x
2
?km(x
1
?x
2
)?m
2
,
若
k
5<
br>yy
5
OM
?k
ON
?
4
,则
12
xx
?
,
即
4y
1
y
2
?5x
1
x
2
,
12
4
∴
4k
2
x
2
2
4(m<
br>2
?1)
1
x
2
?4km(x
1
?x
2
)?4m?5x
1
x
2
,∴
(4k?5)?
4
k
2
?1
?4km?(?
8km
4k
2
?1
)?4m
2
?0
,
即
(4k
2
?5)(m
2
?1)?8k
2
m
2
?m
2
(4k
2
?1)?0
,化简得
m
2
?k
2
?
54
,②………………9分
由①②得
0?m
2
?
615
5
,
20
?k
2
?
4
,
………………10分
∵原点
O
到直线
l
的距离
d?
|m|
,
1?k
2
2
5
?k
2
∴
d<
br>2
?
m
1?k
2
?
4
1?k
2??1?
9
4(1?k
2
)
,
又∵
15
20
?k
2
?
4
,
∴
0?d
2
?
8
7
, ∴原点<
br>O
到直线
l
的距离的取值范围是
[0,
214
7)
. ………………12分
11?4mx
2
21.【解析】(
1)函数
f(x)
的定义域为
(0,??)
,
f
?
(x)?
x
?4mx?
x
,
当
m?0
时,
f
?
(x)?0
,
∴
f(x)
在
(0,??)
上单调递增;
当
m?0时,解
f
?
(x)?0
得
0?x?
1
2m,
∴
f(x)
在
(0,
m
2m
)
上
单调递增,在
(
m
2m
,??)
上单调递减.
………………6分
(2)由(1)知,当
m?0
时,
f(x)
在<
br>(0,
m
2m
)
上单调递增,在
(
m
2m<
br>,??)
上单调递减.
∴
f(x)
m
max
?f(
2m
)?ln
m
2m
?2m?
1
4m
?n
??ln2?
1
2
lnm?
1
2
?n??ln2
,
∴
n??
1111
2
lnm?
2
,
∴
m?n?m?
2
lnm?
2
,
令
h(m)?m
?
1
2
lnm?
1
2
,则
h
?
(
m)?1?
12m?1
2m
?
2m
,
∴
h(m)
在
(0,
1
2
)
上单调递减,在
(
12
,??)
上单调递增,
∴
h(m)
111
min<
br>?h(
2
)?
2
ln2
,
∴
m?n
的最小值为
2
ln2
. ……………………12分
22.【解析】(1)曲线
C
22
1
的普通方程为
(x?3
)?(y?2)?4
,
即
x
2
?y
2
?23x?4y?3?0
,
则
C
的极坐标方程为
?
2
1
?23
?
c
os
?
?4
?
sin
?
?3?0
,
…………………3分
∵直线
C
2
的方程为
y?
3
3
x
,
∴直线
C
2
的极坐标方程
?
?<
br>?
6
(
?
?R)
.
…………………5分
P(
?
(2)设
1
,
?1
),Q(
?
2
,
?
2
)
,
将
?
?
?
6
(
?
?R)
代入
?
2
?23
?
cos
?
?4
?
sin
?
?3?0
得,
?
2
?5
?
?3?0
,
∴
?
1
?
?
2
?3
,
∴
|OP|?|OQ|?
?
1
?
2
?3.
…………………10分
23.【解析】(1)∵
f(x)?5?|x?2|
可化为
|2x?3|?|x?2|?5
,
∴当
x?
3
2
时,原不等式化为
(2x?3)?(x?2)?5
,解得
x?2
,∴
x?2
;
当
?2?x?
3
2
时,原不等式化为<
br>(3?2x)?(x?2)?5
,解得
x?0
,∴
?2?x?0
;
当
x??2
时,原不等式化为
(3?2x)?(x?2)?5
,解得
x??
4
3
,∴
x??2
.
综上,不等式
f(x)?5?|x?2|
的解集为
(??,0)U(2,??)
.
…………………5分
(2)∵
f(x)?|2x?3|
,
∴
g(
x)?f(x?m)?f(x?m)?|2x?2m?3|?|2x?2m?3|
?|(2x?2m?3)?(2x?2m?3)|?|4m|
,
∴依题设有
4|m|?4
,解得
m??1
.
…………………10分
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