高三数学在线案例

在线教学案例分享与反思
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高三数学


为了让学生更好理解掌握本节内容我头一天把电子 版发
个学生，让学生先学习带着问题听课，更好增加课堂互动。
数学专题复习
——数形结合讨论曲线交点个数或方程解的个数问题


学情分析：

经过前两年的学习,学生对高中数学知识有了较系统地认识,但 是在解答
问题时往往带有盲目性,用不上所学知识,固然有对知识的生疏,但更多的是
对方法和 思想理解的不到位.数形结合是一种常用的数学方法,更是一种重要
的数学思想.通过前面的复习,学生 对数形结合的方法有了一定的认识和一定
的应用意识,但主要停留在“口号式”“标签式”，表现在“对 路”就用上，
不对路就无从下手，运用不够自然，还需要通过学习进一步升华。本设计以
高考考 查，一般学生能够得分的内容为载体，进一步深化对知识的理解，培
养识图，用图的意识和能力。
教学目的：

1. 在问题解决得过程中培养学生的优化意识；突出数学思想方法的理解和
运用.
2. 突 出基础知识的核心地位,让学生在解决复杂问题的过程中真正理解知
识的内涵和外延,领会用它解决复杂 问题的思维方法,起到以小驭大,以简驭繁
具体做法
的作用。
教学重点：
运用数形结合的思想方法探索方程解的个数(或曲线交点个数)问题，能总结
出解此类题的
步骤和通法。
教学难点：
如何由“数”构“形”，寻找解 决问题得“切入点”。在利用导数解决问
题过程中何时以及如何具体运用数形结合、分类讨论等思想来研 究和分析方
程解的个数或曲线交点个数问题.
考点分析:数形结合，探索方程解（图象交点）
探索方程的解可以从函数入手.函数问题的本质是变量之间的变化规律,
高考中常以基 本初等函数的图像与性质为考查点.具体解决问题过程中,经常
以分解,换元,求导等手段为基本转化途 径,方法多样,多变, 解决问题时学生往
往无从下手,或者采用的方法繁冗,操作困难.怎样突破思维 障碍,迈出关键的第
一步(方法)?从函数入手,归根结底就是从图形入手,借助图形直观,突破思维障
碍.
通过下面的问题,使学生体会:一是方程,函数,不等式本为一体,其中函数是
搭建这种关系的桥梁,要学会从函数的角度去观察问题,解决问题时要有意识

地 问道于“形”,用图形直观助思,找到解决问题的途径.二是求解的过程要经历
“一分为二”的过程,将 一个不易作出图象的函数,转化为容易作出图象的两个
函数,当函数图象不易画出时,导数是一个有效的 工具.
环节一：经典重温

?
2
x
?a, x?0,
?
(
海淀一模
)
已知函数
f(x)?
?< br>2
有三个不同的零点，则实数
?
?
x?3ax?a, x?0
a
的取值范围是_____.

巩固练习:
?
2
?
, x?2,
1.已知函数
f(x)?
?
x
若关于
x
的方程
f(x)?k
有两个不同的
?
(x?1)
3
, x?2.
?
实根，则实数
k
的取值范围是 ．
?
e
x
?a,x?0
2.已知函数
f(x)?
?
有两个零点,则
a
的取值范围是
?
x?a,x?0
_________
环节二：思维提升:
例1.若方程x
2
?4x?3?a
有两个不同的实数解,求
a
的取值范围.
设计意图: 从学生熟知的函数入手,通过这些问题所设汲的基本图形使学
生逐步提升思维层次 .使学生掌握有关方程的解、曲线的交点问题的转化方式.

3
例 2.求函数
f(x)=x?x?x
的零点个数.
设计意图: 使学生经历解法的探究过程,将函数一分为二,把不易做出图象
的两个函数分解为容易做出图象的函数.

例3. 函数
f(x)?x,g(x)?lnx?m
的图象有且只有一个公 共点，则
m
的值
为
设计意图：
让学生经历构造新函数的过程，体会导函数的作用，提高应用意识.让学生自
己动
手画一画函数图象,经历解决问题的经验和感悟,体会数形结合重要意义.
1.从函数图象入手？
2.函数图象好画吗？容易说清吗？
3.用函数图象说不清的时候，导数作为研究函数的工具，是否可以利用呢?

变式1.
将上题的函数分别变为两个函数:
f(x)??x?8x,g(x)?6l nx?m
，若
2
2

等式f(x) = g(x)有且只有三个不同的解，你能求出参数m的取值范围吗？

原题重现：
已知函数
f(x)??x?8x,g(x)?6lnx?m
，是否存在实数m，使得y=f(x )
的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范
围；若不存 在，说明理由。
问题1 如果把“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个交点”怎么
解答呢?

前面 相同，只需把
?
(x)
极大值
?m?7?0,或
?
(x)< br>极小值
?m＋6ln3?15?0,
后面改
即m>15—6ln3或m<7时两函数图象有且只有一个交点(分析草图如
上)．

问题2 如果把“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”
又怎么解答呢?
环节三:反思与总结
请学生自己总结如何用导数来探讨
函数y=f(x)的 图象与函数y=g(x)的图
2
象的交点问题。
从上题的解答我们可以看出，有以下几 个步骤：
①构造新函数??
x
??
g(x)
－
f(x)
；
②写出定义域,求导
?
'(x)
；
③研究新函数??
x
?的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；
④画出新函数??
x
?的草图。
⑤结合图形给出结论
注意：解题的关键是运用数形结合思想来研究问题．
小结：从上面的探讨，我们可以看出，后 面的复习过程中，除了要加强数学
基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我 们才
能以不变应万变，才能在高考中取得好成绩．
作业让同学们提交到QQ作业群老师更改， 及时了解学生掌握情况，并在QQ
群纠正落实存在问题，同时同学们也可通过QQ作业群让老师解决自己 的疑
惑或不能解决的问题。
练习.
1.已知函数
y?f(x)
的 图象是圆
x?y?4
(
x?0
)不在二四象限的部分,则
不等式f(?x)?f(x)?22x
的解集为______________
2.已知方程< br>x?a?x?3?0(a?0)
有两个不相等的实数根,则实数a的取值
2
22

范围是
?< br>x
2
?4x,
3已知函数
f(x)?
?
2
?
4x?x,
取值范围是( )
x?0
x?0
若
f(2?a)?f(a),
则实数
a
的
2
A
(??,?1)?(2,??)
B
(?1,2)
C
(?2,1)
D
(??,?2)?(1,??)

?
2
?x
?1,x?0
?
4.设函数
f(x)?
?
1
,若
f(x
0
)?1
,则
x
0
的取值范围 是_______
2
?
?
x,x?0
?
a,a?b
?
1,
5.对实数
a
和
b
，定义运算“
?
”：
a?b?
?
设函数
b,

a?b?1.
?< br>f(x)?(x
2
?2)?(x?x
2
)
，
x?R< br>．若函数
y?f(x)?c
的图象与
x
轴恰有两个
公共点，则 实数
c
的取值范围是
3
?
（A）
?
??

,

?2
?
U
?
?
?1

,

?

?2?
1
??
1
?
（C）
?
?
?1

,

?
U
?

,

??
?

?4??4?

2
3
?
（B）
?
??

,

?2
?
U
?
?
?1

,

?
?

?4?
3
?
?
1
?
（D）
?
?
?1

,

?
?
U
?

,

??
?

?4?
?
4
?

6.设直线
x?t
与函数
f(x)?x,g(x)?lnx
的图像分别交于点
M,N
，则当
| MN|
达到最小时,
t
的值为（ ）
A．1 B．

7.已知
f(x)
是二次函数，不等式
f(x)?0
的解集是
(0,5),
且
f(x)
在区间
5
2
1< br> C． D．
2
2
2
?
?1,4
?
上的最大值是12.
（I）求
f(x)
的解析式；
（II）是否存在实数
m,
使得方程
f(x)?
37
?0
在区间
(m,m?1)
内有且 只有
x
两个不等的实数根？若存在，求出
m
的取值范围；若不存在，说明理由 。

8.已知函数
f(x)?x-3mx?1
.
（1）当
m?1
时，求
f(x)
的单调区间.
（2）当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝f(x)的图像与直线ｙ＝3只有
一个公共点.
32

解：第一步：构造新函数
?
(x)?f(x)?g(x) ?x?3mx?1?3
，
第二步：求导
?
'(x)?3x?3m
，
第三步：
①当
m?0
时，
?
(x)
的图象与x轴 只有一个公共点，即
f
?
x
?
?x
3
?1
的图象与直线
y?3
只有一个公共点
②当
m?0
时，列表：
22
32
x

(??,?m)

?

增
?m

0

极大
?
?m,m
?

?

减
m

0

极小
?
m,??
?

?

增
?
'(x)

?
(x)

∴
?
(x)
极小值
?
?
（m）??2m
2
m?4?0

又∵当x充分大时，
?
?x?>0
∴当
x?m
时
?
?x?的图象与x轴只
有一个交点
∴依题意，当
x?m
时，
?
?x?的图
象与x轴不应有交点
而当
x?m
时，
?
(x)?
?
（?m）
， 所以只需
?
（?m）?0
即可，
解得
m??
3
2 ,0U0,
3
2
。综上，
m
的取值范围是
?
32,
3
2

当然，题目并不是千篇一律的，也有些变化，但是基本方法没有变．

线上教学还是不能完全取代传统的线下教学，它仍有一些局限性： 1、教师
无法掌握学生的听课状态，师生互动受限 直播课上我看不到每个学生，无法
看到学生 的听课状态，不能及时地进行听课效果反馈，也无法对学生进行较
??????
总结与反
好的课堂管理。另外在直播过程中，我也不能点名提问某个学生问题，了解
思
他的思维状态 ，只能是学生有疑问了“连麦申请”，而且一次只能连麦一位同学，
不能实现小组交流，这样的方式师生 之间和生生之间的互动和交流很有限，
让我无法很好地把握学生的听课状态去调整授课步调。 2、两个班的群拉进

一个直播间，不能很好地分层教学 我授课的两个班层次略有不同， 平时上课
我会有针对性地调整授课内容，现在网络授课根据课表安排，我的两个班同
时网络授课 ，这便要求我一刀切地上课，不能很好地针对不同层次的班级分
层教学。 但不能否认的是，线上教学确 实是线下教学的有力补充，我相信在
未来我会更好地利用线上教学方式，扬长避短，让线上和线下相辅相 成。当
下，面对疫情，我作为教师，好好备课，上好网络直播课，保证学生的学习
质量，就是在 履行自己的另一份防疫责任！ 通过这一轮的网上授课，我既有
观念上的洗礼，也有理论上的提高，既有 知识上的积淀，也有教学技艺的增
长。这一切让我的收获变得灿烂无比。网络授课的时间虽然不长，但是 这次
体验对我的影响深远，我会在今后的工作中，根据所学的知识指导自己，不
断的完善自己， 努力使自己成为一个成功的教育者。