高中数学必修二教师用书

2020年10月5日发(作者：束云章)

高中数学必修二教师用书

第一章 空间几何体

空间几何体的结构

第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

空间几何体的分类

分类

定义

图形及表示

相关概念
面：围成多面体的
各个多边形
由若干个平面多
棱：相邻两个面的
空间几何体

多面体

边形围成的几何
公共边
体，叫做多面体


顶点：棱与棱的公
共点
- 1 -

由一个平面图形
绕着它所在平面
内的一条定直线
空间几何体

旋转体

旋转所形成的封
闭几何体叫做旋
转体


棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类

定义

有两个面互相平行，其余
底面(底)：两个互相平行的面
各面都是四边形，并且每
棱柱

相邻两个四边形的公共边
都互相平行，由这些面所
围成的多面体叫做棱柱


侧面：其余各面
图形及表示

相关概念
绕的定直线
轴：形成旋转体所

如图可记作：棱柱
侧棱：相邻侧面的公共边
ABCD
?
A
′
B
′
C
′
D
′
顶点：侧面与底面的公共顶点
底面(底)：多边形面
有一个面是多边形，其余侧面：有公共顶点的各个三角
各面都是有一个公共顶点
棱锥

的三角形，由这些面所围
成的多面体叫做棱锥


如图可记作：棱锥
形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
用一个平行于棱锥底面的
棱台

平面去截棱锥，底面与截
面之间的部分叫做棱台


如图可记作：棱台
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公
共顶点
S
?
ABCD
< br>ABCD
?
A
′
B
′
C
′
D
′
- 2 -

[活学活用]
下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④棱柱的侧棱总与底面垂直．
其中正确说法的序号是________．
解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
②错误，棱柱的底面可以是三角形；
③正确，由棱柱的定义易知；
④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.
答案：③
[典例] (1)下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
C．2个
(2)下列说法正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②正棱锥的侧面是等边三角形．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
[解析] (1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可
- 3 -
B．1个
D．3个

用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.

(2)①不正确．棱锥的定义是：有 一个面是多边形，其余各面都是有一个公
共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余 各面都是三角形”
并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△
ADE
和△
BCF
无 公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知 条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定
是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有
AB< br>＝
AD
＝
BD
＝
BC
＝
CD
.满足 底面△
BCD
为等边三角形．三个侧面△
ABD
，△
ABC
，△
ACD
都是等腰三角形，但
AC
长度不一定，三个侧面不一定全等．
[答案] (1)A (2)0

判断棱锥、棱台形状的2个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：

定底面

看侧棱


棱锥

只有一个面是多边形，此面即为底面

相交于一点

棱台
两个互相平行的面，即为底面
延长后相交于一点
[活学活用]
用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
- 4 -

A．四边形
C．三角形或四边形
B．三角形
D．不可能为四边形
解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截
三棱锥 的四条棱则截面为四边形(如图②)．

多面体的平面展开图问题

[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

[解] 由几 何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图
还原为原几何体，如图所示．

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多 面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出
来，然后依次画出各侧面．
(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
- 5 -

[活学活用]
下列四个平面图形中，每个小四边形 都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折
叠围成一个正方体的是( )

解析：选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
层级一 学业水平达标
1．下面的几何体中是棱柱的有( )

A．3个
C．5个
B．4个
D．6个
解析：选C 棱柱有三个特征：(1)有 两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱
相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的 三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是( )

A．①③
C．①②④
B．①③④
D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱
- 6 -

锥．故选C.
3．下列图形中，是棱台的是( )

解析：选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中
两个面不 平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥
C．五棱锥
B．四棱锥
D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧 面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果
是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点 会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )

解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条
棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.
答案：12
- 7 -

9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形 ，其余6个面都是有一个公共顶点的三
角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个 面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并
且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10.如图所示是一个三棱台< br>ABC
?
A
′
B
′
C
′，试用两个平面把这 个三棱台分
成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
解：过
A
′，
B
，
C
三点作一个平面，再过
A
′，
B
，
C
′作一个平面，就把三棱台
ABC
?
A
′
B
′< br>C
′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是
A
′?
ABC
，< br>B
?
A
′
B
′
C
′，
A
′ ?
BCC
′.(答案不唯一)
层级二 应试能力达标
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：选B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
- 8 -

解析：选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形 ，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵
截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )

解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选
D.
4．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
C．侧棱都相等
B．侧面都是梯形
D．侧棱延长后都相交于一点
解析：选C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．
5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，
A，
B
，
C
是展开图上的三点，
则在正方体盒子中，∠
A BC
＝________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠
ABC
＝60°.
答案：60°
6．在正方体上任意选择 4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何
体是________．(写出所有正确结 论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：在 正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的
4个顶点，这些几何体是：① 矩形，如四边形
ACC
1
A
1
；③有三个面为等腰直角三角形，有< br>一个面为等边三角形的四面体，如
A
?
A
1
BD
；④ 每个面都是等边三角形的四面体，如
A
?
CB
1
D
1
；
⑤每个面都是直角三角形的四面体，如
A
?
A
1
DC< br>，故填①③④⑤.
答案：①③④⑤
- 9 -

7.如图在正方形
ABCD
中，
E
，
F
分别为
AB
，
BC
的中点，沿图中虚线将3个三角形折
起，使点
A
，
B
，
C
重合，重合后记为点
P
.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2
a
，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．

(2)
S
△
PEF
＝
3
1
2
a
2
，
S
△DPF
＝
S
△
DPE
＝
1
×2
a×
a
＝
a
2
，
2
S
△
DEF
＝
a
2
.
2

8.如图，已知长方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面
BCEF
把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？ 解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩
形(四边 形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)各部分几何体 都是棱柱，分别为棱柱
BB
1
F
?
CC
1
E
和棱柱
ABFA
1
?
DCED
1
.
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

预习课本P5～7，思考并完成以下问题
1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？


- 10 -

2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？它们的侧面展开图和轴截面分
别是什么 图形？



[新知初探]

1．圆柱、圆锥、圆台、球
分类

定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其
余三边旋转形成的面所围成的旋转
我们用表示圆
体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；
柱轴的字母表
圆
柱

垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做
示圆 柱，左图
圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成
的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到
什么 位置，不垂直于轴的边都叫做圆
柱侧面的母线
我们用表示圆
以直角三角形的一条直角边所在直
圆锥

线为旋转轴，其余两边旋转形成的面
所围成的旋转体叫做圆锥

锥轴的字母表
示圆锥，左图

可表示为圆柱
图形及表示

表示
OO
′

可表示为圆锥
SO

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，
圆台

底面与截面之间的部分叫做圆台

台轴的字母表
我们用表示圆

- 11 -

示圆台，左图
可表示为圆台
OO
′
以半圆的直径所在直线为旋转轴 ，半
球常用球心字
圆面旋转一周形成的旋转体叫做球
母进行表示，
球

体，简称球．半圆的圆心叫做球的球
心，半圆的半径叫做球的半径，半圆
的直径叫做球 的直径


[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的
表面部分．
2．简单组合体
(1)概念：
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
(2)构成形式：
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体 截去或挖去
一部分而成的．
[点睛] 要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体 的组成，结合柱、锥、
台、球的结构特征，对原组合体进行分割．

左图可表示为
球
O

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )
(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )
(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )
- 12 -

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．圆锥的母线有( )
A．1条
C．3条
答案：D
3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
B．2条
D．无数条

解析：选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°
得到．


旋转体的结构特征

[典例] 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经 过圆柱任意两条母线的截面是一个
矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 ；(4)夹在圆柱的两个截面
间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
[解析] (1)正确，圆柱的底面是圆面；
(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；
(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
[答案] (1)(2)

1．判断简单旋转体结构特征的方法
- 13 -

(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

[活学活用]
给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．
其中正确说法的序号是________． 解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为
球的任何截面 都是圆；④正确．
答案：①④
简单组合体

[典例] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括
( )
A．一个圆台、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
B．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
[解析] 图1是一个等腰梯形，
CD
为较长的底 边．以
CD
边所在直线为旋转轴旋转一周
所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆 柱、两个圆锥．
- 14 -

[答案] D

解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一
定的空间想象能力．
[活学活用]
1.如图所示的简单组合体的组成是( )
A．棱柱、棱台
C．棱锥、棱台
B．棱柱、棱锥
D．棱柱、棱柱
解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．
2. 如图，
AB
为圆弧
BC
所在圆的直径，∠
BAC
＝45°. 将这个平面图形绕直线
AB
旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．

圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用
[典例] 如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有
P
，
Q
两点，且
PA
＝40 cm，
B
1
Q
＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从
P
点爬 到
Q
点，问：
蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
[解] 将圆柱侧面沿母线
AA
1
展开，得如图所示矩形．
1
∴
A
1
B
1
＝·2π
r
＝π
r
＝10π(cm )．
2
过点
Q
作
QS
⊥
AA
1
于点
S
，
- 15 -

在Rt△
PQS
中，
PS
＝80－40－30＝10(cm)，
QS
＝
A
1
B
1
＝10π(cm)．
∴
PQ
＝
PS
2
＋
QS
2
＝10π
2
＋1(cm)．
π
2
＋1 cm. 即蚂蚁爬过的最短路径长是10

求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．
[活学活用]
如图，一只蚂蚁沿着长
AB
＝7，宽
BC
＝5，高
CD
＝5的长方体木箱表
面的
A
点爬到
D
点，则它爬过的最短路程为________．
解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，

在图1中
AD
＝
在图2中
AD
＝
∵149<13，
149.
AC
2
＋
CD
2
＝12
2＋5
2
＝13，
AB
2
＋
BD
2
＝ 7
2
＋10
2
＝149，
∴蚂蚁爬过的最短路程为

层级一 学业水平达标
1．如图所示的图形中有( )
- 16 -

A．圆柱、圆锥、圆台和球
C．球、圆柱和圆台
B．圆柱、球和圆锥
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应
选B.
2．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形 成圆柱，所以A错误；B中必须以
垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上 一点，只有一条母线，
所以D错误，故选C.
3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱
C．球
解析：选C 由球的定义知选C.
4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周
长是( )
A．4π
C．2π
B．8π
D．π
B．圆锥
D．圆台
解析：选C 边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何 体
是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
- 17 -

A．一个圆锥
C．两个圆锥
答案：C
B．一个圆锥和一个圆柱
D．一个圆锥和一个圆台
6．正方形
ABCD< br>绕对角线
AC
所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．
答案：两个同底的圆锥组合体
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3
cm，则圆台的母线长为________ cm.
解析：如图所示，设圆台的母线长为
x
cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为
r
cm,4
r
cm，
＝，解得
x
＝9.
3＋
x
4
r
3
根据三角形相似的性质，得
r

答案：9
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．

答案：圆柱
9.如图，在△
ABC
中，∠
ABC
＝120 °，它绕
AB
边所在直线旋转一周后形成的
几何体结构如何？
解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
- 18 -

解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一 个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆
锥拼接而成．
层级二 应试能力达标
1．下列结论正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D 须用平行于圆锥底面的 平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上
不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的 大圆有无数个，故B错误；正六棱锥
的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.
2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三
角形
解析：选D 该 几何体用平面
ABCD
可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组
合体，因而四 边形
ABCD
是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
- 19 -

A．2
24
B．2π
ππ
D.或
24
C.或
ππ
解析：选C 如图所示， 设底面半径为
r
，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，
则2π
r
＝8，所以
r
＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2π
r
＝4，所以
π
2
4
r
＝.所以选C.
π
4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心
为顶点的圆锥而得到 的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形
可能是( )

A．①②
C．①④
B．①③
D．①⑤
解析：选D 一个 圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱
的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮 廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.
5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形， 那么这个几何体可能是下面哪几种：
________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是
________cm.
- 20 -

解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12 π，则该小圆
的半径
r
＝6，其中∠
ABO
＝30°，
所以该地球仪的半径
R
＝
6
＝4
cos 30°
3 cm.
答案：43
7．圆台的母线长为2
a
，母线与轴的夹角为30°， 一个底面的半径是另一个底面的半径
的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．
解：设圆台 上底面半径为
r
，则下底面半径为2
r
.将圆台还原为圆锥，如图，则有∠< br>ABO
＝30°.
在Rt△
BO
′
A
′中，
∴
BA
′＝2
r
.
在Rt△
BOA
中，
2
r
＝sin 30°，∴
BA
＝4
r
.
r
BA
′
＝sin 30°，
BA
又
BA
－
BA
′＝
AA
′，即4
r
－2
r
＝2
a
，∴
r
＝
a
.
∴
S
＝πr
2
＋π(2
r
)
2
＝5π
r
2＝5π
a
2
.∴圆台上底面半径为
a
，下底面半径为2
a
，两底面面积之
和为5π
a
2
.

8．圆锥底面半径为1 cm，高为
棱长．
解：圆锥的轴截面
SEF
、正方体对角面
ACC
1
A
1
如图．设正方体的
棱长为< br>x
cm，则
AA
1
＝
x
cm，
A
1
C
1
＝
作
SO
⊥
EF
于点
O
，则
SO
＝

2 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的
2
x
cm.
2 cm，
OE
＝1 cm.
- 21 -

∵△
EAA
1
∽△
ESO
，
∴
AA
1
EA
1
SO
＝
EO
，
即
x
1－
＝
2
2
2
2
2
x
.
1
∴
x
＝，即该内接正方体的棱长为
2
2
cm.

空间几何体的三视图和直观图

1．2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

预习课本P11～14，思考并完成以下问题
1．平行投影、正投影的定义是什么？



2．正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么？



3．怎样画空间几何体的三视图？



4．如何识别三视图所表示的立体模型？
- 22 -

[新知初探]

1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后 面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投
影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的 屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
投影

定义

光由一点向外散射形成
中心投影

的投影

在一束平行光线照射下
平行投影

形成的投影


[点睛] 平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和
大小完 全相同；而中心投影则不同．
3．三视图
三视图

概念

光线从几何体的前面向后面正投影得到
正视图

的投影图
光线从几何体的左面向右面正投影得到
侧视图

的投影图
俯视图

光线从几何体的上面向下面正投影得到
与俯视图宽度一样
一个几何体的正视图和侧视图高度一
样，正视图和俯视图长度一样，侧视图
规律
投影线互相平行

正投影和斜投影
投影线交于一点


特征

分类
- 23 -

的投影图


[点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的平行投影是直线( )
(2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( )
(3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱
C．圆柱
B．棱台
D．圆台
解析：选D 先观察俯视图，再结合正视 图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环
可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C， 故选D.
3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )

解析：选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．

中心投影与平行投影

[典例] 下列命题中正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行
- 24 -

C．两条相交直线的投影可能平行
D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投
影的中点
[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正
确．平 行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行
投影还是中心投影， 两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可
能平行，故C不正确．两条线段的 平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．
[答案] D

画出一个 图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方
法是先画出这些关键点的投 影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．

[活学活用]
如图所 示，点
O
为正方体
ABCD
?
A
′
B
′< br>C
′
D
′的中心，点
E
为面
B
′
B CC
′的中心，点
F
为
B
′
C
′的中点，则空间四 边形
D
′
OEF
在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所 有可能
的序号)．



解析：在下底面
ABCD
上的投影为③，在右侧面
B
′
BCC
′上的投影为②，在后侧面
D
′
DCC
′
上的投影为①.
- 25 -

答案：①②③
由几何体画三视图

[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图．
[解] 正四棱锥的三视图如图所示．



三视图的画法规则
(1)排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．
(2)画法规则：
①正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．
(3)线条的规则：
①能看见的轮廓线用实线表示；
②不能看见的轮廓线用虚线表示．
[活学活用]
1．已知三棱柱
ABC
?
A
1
B< br>1
C
1
，如图所示，则其三视图为( )

- 26 -

解析：选A 其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中 棱
CC
1
可见，为实线，只有
A符合．
2．画出如图所示的物体的三视图．

解：三视图如图所示．

由三视图还原几何体
[典例] 根据如图所示的三视图，画出几何体．

[解]

由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为 大正方形里有
一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱
台．如图所示．

- 27 -

由三视图 还原几何体，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)
综合起来，定整 体．只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何
体并不困难．对于组合体，需 要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体
组成的，然后利用上面的步骤，分开还原， 再合并即可．注意依据三视图中虚线、实线确定
轮廓线．
[活学活用]
若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )


解析：选B 由题意知，A和C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D中所给
几何体的 侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.故选B.
视图与计算
[典例] 如图1所示，将一边长为1的正方形
ABCD
沿对角线
BD
折起，形成三棱锥
C
?
ABD
，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为( )

1
A.
4
2
2
B.
2
4
C.
1
2

D.
[解析] 由正视图可以看出，
A
点在面
BCD
上的投影为
BD
的中点，由俯视图可以看出
- 28 -

C
点在面
ABD
上的投影为BD
的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边
1221
为，于 是侧视图的面积为××＝.
22224
[答案] A

这类问题常常是给 出几何体的三视图，由三视图中的数据，还原出几何体，并得出相关
的数据，再求出相关的量，如体积、 面积等．
2

[活学活用]
已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面
积不可能等于( )
．．．
A．1
2－1

2
B.2
2＋1

2
C.D.
解析：选C 由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围属
于[1，2 ]，故选C.

层级一 学业水平达标
1．已知△
ABC
，选定的投影面与△< br>ABC
所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形
与△
ABC
( )
A．全等
C．不相似
B．相似
D．以上都不正确
解析：选B 根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△
ABC
相似．
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
- 29 -

解析：选D 由三视图知D正确．
3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )


解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下
看，外层 轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
4．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( )

解析：选D 满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，
故选D.
5．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )


- 30 -

解析：选A 由于去掉一角后，出现 了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和
右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边 重合，故B错；侧视图中的线应是虚
线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错．
6．一个 几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填
入所有可能的 几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析： 三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，
底面对着观测者时其正 视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三
角形．
答案：①②③⑤
7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的
距离)和底面边长分 别是________和________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的
高，故底面边长为4.
答案：2 4
8.如图所示，在正方体
ABCD
?
A
′< br>B
′
C
′
D
′中，
E
，
F
分别是
A
′
A
，
C
′
C
的中点，
则下列判断正确的是________．(填序号)
①四边形
BFD
′
E< br>在面
ABCD
内的正投影是正方形；
②四边形
BFD
′E
在面
A
′
D
′
DA
内的正投影是菱形； < br>③四边形
BFD
′
E
在面
A
′
D
′
DA
内的正投影与在面
ABB
′
A
′内的投影是全等的平行 四边形．
解析：①四边形
BFD
′
E
的四个顶点在面
AB CD
内的投影分别是点
B
，
C
，
D
，
A< br>，所以
正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则
AE
＝1，取< br>D
′
D
的中点
G
，连接
AG
，则四边形BFD
′
E
在面
A
′
D
′
DA
内的正投影是四边形
AGD
′
E
，由
AE
∥
D< br>′
G
，且
AE
＝
D
′
G
，
知四边形
AGD
′
E
是平行四边形，但
AE
＝1，
D
′
E
＝5，所以四边形
AGD
′
E
不是菱形，即 ②
不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．
- 31 -

答案：①③
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．

解：三棱柱的三视图如图所示：

10．如图(1)所示是实物图，图( 2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正
确请改正．

解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
- 32 -

层级二 应试能力达标
1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．正四面体的三视图都是正三角形
D．圆台的俯视图是一个圆
解析：选A 正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B错误；C，
D显然错误，故选A.
2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
( )


解析：选C 由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，
故选C.
3.已知 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱
的正视图(如图所示)的面积为8 ，则侧视图的面积为( )
A．8
C．4

B．4
D．2
- 33 -
3 3

解析：选C 设该三棱柱的侧棱长为
a
，则2
a
＝8，所以
a
＝4.该三 棱柱的侧视图是一个
矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为
43.故 选C.
4.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是
( )
A．2
C.3
B．2
D．2
2
3
3，所以侧视图的面积为
解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四 面体
A
?
BCD
，由
三视图知正方体的棱长为2.
1所以
S
△
ABD
＝×2×2
2
1
S
△
ADC
＝×2
2
2＝22，
2×22×
3
2
＝23，
1
S
△
ABC
＝×2×2
2
2＝22，
1
S
△
BCD
＝×2×2＝2.
2
所以所求的最大面积为23.故选D.
5.如图所示，在正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，点
P
是上底面
A
1
B
1
C
1
D
1
内一动点，则三棱锥
P
?
ABC
的正视图与侧视图的面积 的比值为________．
解析：三棱锥
P
?
ABC
的正视图与 侧视图为等底等高的三角形，故它
们的面积相等，面积比值为1.
答案：1
6.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm的正方形，则这个正
四面体的正视图的面积为______cm
2
.
解析：构造一个棱长为2 cm的正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
，在此正方体中作出一个符合题
- 34 -

意的正四面体
A
?
B
1CD
1
，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2
等腰三角形，从而可得正视图 的面积为2
答案：22
2 cm
2
.
2 cm，高为2 cm的
7．如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出
x
，y
的值．

解：由题意，可知
{
x
＋
y
－4＝10

?
32
x
－
y
＋6＝4
y
，
< br>解得
?
x
＝
3
?
10
y
＝.
3


8．图为长方体木块堆成的几何体的三视图，求组成此几何体的长方体木块共有多少块？
< br>解：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几
何体共分两层，下面一层 有3块，上面一层有1块．如图所示，其中小长方形中的数字表示
此位置木块的块数，所以长方体木块共 有2＋1＋1＝4(块)．
1.2.3 空间几何体的直观图

预习课本P16～18，思考并完成以下问题
1．画平面图形的直观图的步骤是什么？
- 35 -

2．画简单几何体的直观图的步骤是什么？



3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？




[新知初探]

1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
( 1)在已知图形中取互相垂直的
x
轴和
y
轴，两轴相交于点
O
，画直观图时，把它们画成
对应的
x
′轴和
y
′轴， 两轴相交于 点
O
′，且使∠
x
′
O
′
y
′＝45°( 或135°)，它们确定的平面表示水
平面．
(2)已知图形中平行于
x
轴 或
y
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
x
′轴或
y
′轴 的线段．
(3)已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于
y
轴的线段，长
度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画
z
′轴，< br>z
′轴过点
O
′，且与
x
′轴的夹角为90°，并画出高线( 与原图高线相等，画正棱
柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
- 36 -

(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
[点睛] (1)画水 平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平
面直角坐标系确定顶点后，只需把 这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠
A
时，若∠
A
的两边分别平行于
x
轴和
y
轴，且∠
A
＝90°，
则在直观图中，∠
A
＝45°( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变
( )
答案：(1)× (2)×
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )


解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能
与底垂直．
3.已知 △
ABC
的直观图如图所示，则原△
ABC
的面积为________． < br>解析：由题意，易知在△
ABC
中，
AC
⊥
AB
，且
AC
＝6，
AB
＝3.
1
∴
S
△
ABC
＝×6×3＝9.
2
答案：9


- 37 -

水平放置的平面图形的直观图

[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形
OBCD中，以底边
OB
所在直线为
x
轴，垂直于
OB
的腰OD
所在直线为
y
轴建立平面直角坐标系．画相应的
x
′轴和< br>y
′轴，使∠
x
′
O
′
y
′＝45°，如图 ①②
所示．
1
(2)在
x
′轴上截取
O
′
B
′＝
OB
，在
y
′轴上截取
O
′
D< br>′＝
OD
，过点
D
′作
x
′轴的平行线
l< br>，在
l
2
上沿
x
′轴正方向取点
C
′使得< br>D
′
C
′＝
DC
.连接
B
′
C′，如图②.
(3)所得四边形
O
′
B
′
C
′
D
′就是直角梯形
OBCD
的直观图．如图③.

< br>在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多
边形尽可能 多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作
平行于坐标轴的线段来作 出其对应线段．
[活学活用]
画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
解：(1)画轴．如图①，建立平面直角坐 标系
xOy
，再建立坐标系
x
′
O
′
y
′ ，其中∠
x
′
O
′
y
′＝
45°.
1< br>(2)描点．如图②，在
x
′轴上截取
O
′
A
′＝< br>OA
，
O
′
B
′＝
OB
，在
y轴上截取
O
′
D
′＝
OD
，过
2
点< br>D
′作
D
′
C
′∥
x
′轴，且
D< br>′
C
′＝
DC
.
(3)连线．连接
B
′< br>C
′，
A
′
D
′.
(4)成图．如图③，四边形< br>A
′
B
′
C
′
D
′即为一个锐角为45°的 平行四边形
ABCD
的直观图．
- 38 -

空间几何体的直观图
[典例] 画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的
直观图．
[解] (1)画轴． 如图，画
x
轴、
y
轴、
z
轴相交于点
O
， 使∠
xOy
＝
45°，∠
xOz
＝90°.
(2)画下底 面．以
O
为线段中点，在
x
轴上取线段
AB
，使
A B
＝2，在
y
轴上取线段
OC
，
3
2
使< br>OC
＝.连接
BC
，
CA
，则△
ABC
为正 三棱台的下底面的直观图．
(3)画上底面．在
z
轴上取
OO
′， 使
OO
′＝2，过点
O
′作
O
′
x
′∥< br>Ox
，
O
′
y
′∥
Oy
，建立坐标系
x
′
O
′
y
′.在
x
′
O
′< br>y
′中，类似步骤(2)的画
法得上底面的直观图△
A
′
B
′
C
′.
(4)连线成图．连接
AA
′，
BB
′，
CC
′，去掉辅助 线，将被遮住的部分画成
虚线，则三棱台
ABC
?
A
′
B< br>′
C
′即为要求画的正三棱台的直观图．

画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系
Oxyz< br>，并且把它们画成对应的
x
′轴与
y
′轴，
两轴交于点
O
′，且使∠
x
′
O
′
y
′＝45°(或135 °)，它们确定的平面表示水平面，再作
z
′轴与平面
x
′
O
′
y
′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于
x
轴的线段画 成平行于
x
′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于
y
轴的线段画 成平行于
y
′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于
z
轴的线段画成平行于
z
′轴的线段并且长度不变．

- 39 -

[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

解：(1)画轴．如图①，画
x
轴、
y
轴、
z
轴，使∠
xOy
＝45° ，∠
xOz
＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的 下部是一个正四棱台，上部是
一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面
ABCD
，在< br>z
轴上截取
OO
′，使
OO
′等于三视图中
相应高度 ，过
O
′作
Ox
的平行线
O
′
x
′，Oy
的平行线
O
′
y
′，利用
O
′
x
′与
O
′
y
′画出上底面
A
′
B
′
C
′
D
′.
(3)画正四棱锥顶点．在
Oz
上 截取点
P
，使
PO
′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接
PA
′，
PB
′，
PC
′，
PD
′，A
′
A
，
B
′
B
，
C
′C
，
D
′
D
，整理得到三视图表示的几
何体的直观图， 如图②.

直观图的还原与计算

[典例] 如图是四边形
AB CD
的水平放置的直观图
A
′
B
′
C
′
D
′，则
原四边形
ABCD
的面积是( )
A．14
C．28
B．10
D．14
2
2
[解析] ∵A
′
D
′∥
y
′轴，
A
′
B
′∥
C
′
D
′，
A
′
B
′≠
C< br>′
D
′，
- 40 -

∴原图形是一个直角梯形．
又
A
′
D
′＝4，
1
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为
S
＝×(2＋5)×8 ＝28.
2
[答案] C

平面多边形与其直观图面积间关系：
2
4
一个平面多边形的面积为
S
原
，斜二测画法得到的直观图的面 积为
S
直
，则有
S
直
＝
[活学活用]
S
原．

已知△
ABC
是正三角形，且它的 边长为
a
，那么△
ABC
的平面直观图△
A
′
B< br>′
C
′的面积为
( )
3
4
3
8
A.
a
2
B.
a
2

C.
6
8
a
2
D.
6
16
a
2

2
4
解析：选D 由于
S
△
ABC
＝
3
4
2
4
a
2
，且
3
4
S
△
A
′
B
′C
′
S
△
ABC
6
16
＝，
所以< br>S
△
A
′
B
′
C
′
＝
2< br>4
S
△
ABC
＝×
a
2
＝
a
2
.

层级一 学业水平达标
1．根据斜二测画法的规则画直观图时， 把
Ox
，
Oy
，
Oz
轴画成对应的
O
′< br>x
′，
O
′
y
′，
O
′
z
′，
则∠
x
′
O
′
y
′与∠
x
′
O
′
z
′的度数分别为( )
A．90°，90°
C．135°，90°
B．45°，90°
D．45°或135°，90°
- 41 -

解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠
x
′
O
′
y
′的度数应为45°或135°，∠
x
′
O
′
z
′指的是画
立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为 90°.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在
x
′
O
′
y
′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于
z
′轴且大小为10 cm
B．平行于
z
′轴且大小为5 cm
C．与
z
′轴成45°且大小为10 cm
D．与
z
′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于
z< br>轴(或在
z
轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持
一致．
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )

解析：选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C
项．
4.如右图 所示的水平放置的三角形的直观图，
D
′是△
A
′
B
′C
′中
B
′
C
′边的
中点，且
A
′< br>D
′平行于
y
′轴，那么
A
′
B
′，
A
′
D
′，
A
′
C
′三条线段对应原图形中线段
AB
，
AD
，
AC
中( )
A．最长的是
AB
，最短的是
AC

B．最长的是
AC
，最短的是
AB

C．最长的是
AB
，最短的是
AD

D．最长的是
AD
，最短的是
AC

解析：选C 因为A
′
D
′∥
y
′轴，所以在△
ABC
中，AD
⊥
BC
，又因为
D
′是
B
′
C< br>′的中点，所
以
D
是
BC
中点，所以
AB
＝
AC
>
AD
.
5．水平放置的△
ABC
，有一边 在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形
A
′
B
′
C′，则△
ABC
是( )
- 42 -

A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．任意三角形
解析：选C 将△
A
′
B
′
C
′还原，由斜二测画 法知，△
ABC
为钝角三角形．
6.水平放置的正方形
ABCO
如 图所示，在平面直角坐标系
xOy
中，点
B
的坐标为(4,4)，则由斜二测 画法画出的该正方形的直观图中，顶点
B
′到
x
′
轴的距离为___ _____．
解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作
B
′
E
⊥
x
′轴于点
E
，在
2
2
Rt△
B′
EC
′中，
B
′
C
′＝2，∠
B
′
C
′
E
＝45°，所以
B
′
E
＝
B
′
C
′sin 45°＝2×＝
2.
答案：2
7.如 图，矩形
O
′
A
′
B
′
C
′是水平放置的 一个平面图形的直观图，其中
O
′
A
′＝6，
O
′
C
′＝3，
B
′
C
′∥
x
′轴，则原平面图形的面 积为________．
解析：在直观图中，设
B
′
C
′与
y
′轴的交点为
D
′，则易得
O
′
D
′＝3为一边长为6，高为6
答案：362
2的平行四边形，所以其面积为6×62＝36
2，所以原平面图形
2.
8 .在直观图中，四边形
O
′
A
′
B
′
C
′ 为菱形且边长为2 cm，则在坐标系
xOy
中原四边形
OABC
为____ ____(填形状)，面积为________cm
2
.
解析：由题意，结合斜二测 画法可知，四边形
OABC
为矩形，其
中
OA
＝2 cm，
OC
＝4 cm，所以四边形
OABC
的面积
S
＝2 ×4＝8(cm
2
)．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
- 43 -

解：(1)画轴．如图①，画
x
轴，
y
轴，
z
轴，使∠
xOy
＝45°，∠
xOz
＝9 0°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙
O
，在
z
轴上截取
OO
′，使
OO
′等于三
视图中相应的长度，过点
O
′作
Ox
的平行线
O
′
x
′，
Oy< br>的平行线
O
′
y
′，类似底面⊙
O
的作法作
出上底面⊙
O
′.
(3)画圆锥的顶点．在
O
′
z
上截取
O
′
P
，使
O
′
P
等于三视图中
O
′
P
的长度．
(4)成图．连接
PA
′，PB
′，
A
′
A
，
B
′
B
， 整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图
②.

10.如图，正方形
O
′
A
′
B
′
C
′的边长为1 cm，它是水平放 置的一个平面
图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
解： 如图，建立直角坐标系
xOy
，在
x
轴上取
OA
＝
O
′
A
′＝1 cm；
在
y
轴上取
OB
＝2
O
′
B
′＝22 cm；
在过点
B
的
x
轴的平行线上取
BC
＝
B
′
C
′＝1 cm.
连接
O< br>，
A
，
B
，
C
各点，即得到了原图形．
由作法可知，
OABC
为平行四边形，
OC
＝
OB
2
＋
BC
2
＝8＋1＝3 cm，
∴平行四边形
OABC
的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为
S
＝1×2
- 44 -
2＝22 cm
2
.

层级二 应试能力达标
1．已知一 个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面
尺寸一样，长方体的长、宽、 高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500
的比例画出它的直观图 ，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm
和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，
AB
边平行于
y
轴，
BC
，
AD
平行于
x
轴．已知四边形ABCD
的面积为2
的面积为( )
A．4 cm
2

C．8 cm
2

B．4
D．8
2 cm
2

2 cm
2

2 cm
2
，则原 平面图形
A
′
B
′
C
′
D
′
解析 ：选C 依题意，可知∠
BAD
＝45°，则原平面图形
A
′
B′
C
′
D
′为直角梯形，上、下底
边分别为
B
′
C
′，
A
′
D
′，且长度分别与
BC
，
AD
相等，高为
A
′
B
′，且长度为梯形
ABCD
的高
的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm
2
.
3．一个水 平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，
则该平面图形的面积等 于( )
12
A.＋
22
C．1＋2
2
2
B．1＋
D．2＋2
2，高为2的直角梯形．计算得面解析：选D 平面图形是上底长为1，下底长为1＋
- 45 -

积为2＋2.
4.水平放置的△
ABC的斜二测直观图如图所示，已知
B
′
C
′＝4，
A
′< br>C
′＝3，
B
′
C
′∥
y
′轴，则△
ABC
中
AB
边上的中线的长度为( )
73
A.
2
B.
5
D.
2
73
C．5
解析：选A 由斜二测画法规则知
AC
⊥
BC
，即△
ABC
为直角三角形，其中
AC
＝3，
BC
73
73，
A B
边上的中线长度为.故选A.
2
＝8，所以
AB
＝
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm
2
.
解析：该矩形的面积 为
S
＝5×4＝20(cm
2
)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系 ，
2
4
可得直观图的面积为
S
′＝
S
＝52(cm
2
)．
答案：52
6.如图所示，△
A
′
O< br>′
B
′表示水平放置的△
AOB
的直观图，点
B
′在
x
′轴
上，
A
′
O
′与
x
′轴垂 直，且
A
′
O
′＝2，则△
AOB
的边
OB
上的高为________．
解析：设△
AOB
的边
OB
上的高 为
h
，由直观图中边
O
′
B
′与原图形中边
OB< br>的长度相等，
及
S
原图
＝22
S
直观图
，得
OB
×
h
＝2
2
11
2××
A
′
O
′×
O
′
B
′，则
h
＝4
2< br>2.故△
AOB
的边
OB
上的
高为42.
2 答案：4
7.如图所示，△
ABC
中，
AC
＝12 cm，边
AC
上的高
BD
＝12 cm，求其水
平放置的直观图的面积．
解：法一：画
x
′轴，
y< br>′轴，两轴交于
O
′，使∠
x
′
O
′
y′＝45°，作△
ABC
的直观图如图所示，
- 46 -

1
则
A
′
C
′＝
AC
＝12 cm，
B
′
D
′＝
BD
＝6 cm，
2
2
2
1
2 cm，所以
S
△
A
′
B
′
C
′
＝×12×3
2
故△
A
′
B
′
C
′的高为
B
′
D
′＝32＝< br>182(cm
2
)，
即水平放置的直观图的面积为182 cm
2
.
11
法二：△
ABC
的面积为
AC·
BD
＝×12×12＝72(cm
2
)，由平面图形的面积与直观图的 面
22
2
4
积间的关系，可得△
ABC
的水平放置的直观图 的面积是×72＝182(cm
2
)．

8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．

解：画法：
(1)建系：如图①，画
x
轴，
y
轴，
z
轴，三轴 相交于点
O
，使∠
xOy
＝45°，∠
xOz
＝90°.
(2)画底：在
x
轴上取线段
OB
＝8 cm，在
y
轴上取线段
OA
′＝2 cm，以
OB
和
OA
′为邻
边作平行四边形
OBB
′
A
′.
(3)定点：在
z
轴上取线段
OC
＝4 cm，过
C
分别作
x
轴，
y
轴的平行线，并在平行线上
分别截取
CD
＝4 cm，
CC
′＝2 cm.以
CD
和
CC
′ 为邻边作平行四边形
CDD
′
C
′.
(4)成图：连接
A
′
C
′，
BD
，
B
′
D
′，并加 以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，
就得到该几何体的直观图(如图②)．

- 47 -

空间几何体的表面积与体积

1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

预习课本P23～27，思考并完成以下问题
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？



2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？



3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？



4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？



5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？



- 48 -

[新知初探]

1．柱体、锥体、台体的表面积公式


图形

表面积公式
多面体的表面积就是各个面的面积
多面体

的和，也就是展开图的面积

底面积：
S
底
＝π
r
2

圆柱

侧面积：
S
侧
＝2π
rl


表面积：
S
＝2π
rl
＋2π
r
2

底面积：
S
底
＝π
r
2

旋
圆锥

转
体

上底面面积：
S
上底
＝π
r
′
2

下底面面积：
S
下底
＝π
r
2

圆台

侧面积：
S
侧
＝π
rl


表面积：
S
＝π
rl
＋π
r
2


侧面积：
S
侧
＝π
l
(
r
＋
r< br>′)
表面积：
S
＝π(
r
′
2
＋
r
2
＋
r
′
l
＋
rl
)

2．柱体、锥体、台体的体积公式
柱体的体积公式
V
＝
Sh
(
S
为底面面积，
h
为高)；
1
锥体的体积公式
V
＝
Sh
(
S
为底面面积，
h
为高)；
3
1
台体的体积公式
V
＝(
S
′＋
3
S
′
S
＋
S
)
h
.
- 49 -

[点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积( )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )
答案：(1)× (2)√
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为
a
时，该三棱锥的表面积是( )
3＋3
A.
a
2

4
3＋3
C.
a
2

2
3
B.
a
2

4
6＋3
D.
a
2

4
231
?
2
?
??
解析：选A ∵侧面都是等腰 直角三角形，故侧棱长等于
a
，∴
S
表
＝
a
2＋3××
?
a
?
242
?
2
?
2＝
3＋
4
3
a
2
.
3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
解析：由已知圆锥的高
h
＝4，
1
所以
V
圆锥
＝π×3
2
×4＝12π.
3
答案：12π

柱、锥、台的表面积
- 50 -

[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直
四棱柱的侧面积．
[解] 如图，设底面对角线
AC
＝
a
，
BD
＝< br>b
，交点为
O
，对角线
A
1
C
＝15，B
1
D
＝9，
∴
a
2
＋5
2
＝15
2
，
b
2
＋5
2
＝9
2
，
∴
a
2
＝200，
b
2
＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
?
AC
??
BD
?
a
2
＋
b
2
200＋56
∴
AB
2
＝
??
2
＋
??
2
＝＝＝64，∴
AB
＝8.
22
44
????
∴直四棱柱的侧面积
S
＝4×8 ×5＝160.

(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过 这些基本几何体
的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求 其
展开图的面积进而得表面积．
(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此 类问题的关键是正确地观察三
视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再 结合表面积公式
求解．

[活学活用]
1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．3π B．4π
- 51 -

C．2π＋4 D．3π＋4
解析：选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
1
表面积为2×2＋2××π×1
2
＋π×1×2＝4＋3π.
2
2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π
C．168π
B．100π
D．169π
解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆
台的轴截面如图所示，设上 底面半径为
r
，下底面半径为
R
，则它的母线
长为
l
＝
＝8.
故
S
侧
＝π(
R
＋
r
)
l
＝π(8＋2)×10＝100π，
h
2
＋
R－
r
2
＝4
r
2
＋3
r
2
＝ 5
r
＝10，所以
r
＝2，
R
S
表
＝S
侧
＋π
r
2
＋π
R
2
＝100π＋ 4π＋64π＝168π.
柱体、锥体、台体的体积
[典例] 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋2
2
C．2π＋
3
3
3
B．4π＋2
2
D．4π＋
3
3
3

[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面 半径为1，高为2，体积
1
3，所以体积为×(
3
2
3＝
3
，所以该几何为2π，四棱锥的底面边长为2，高为2)
2
×
3
- 52 -

2
体的体积为2π＋
[答案] C

3
3
.
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据
条件求解．

[活学活用]
1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π， 则这个圆台的体积是
________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为
r< br>和
R
，母线长为
l
，高为
h
，则
S
上
＝π
r
2
＝π，
S
下
＝π
R
2
＝4π，∴
r
＝1，
R
＝2，
S
侧
＝π(
r
＋
R
)
l
＝6π，∴
l
＝2，∴
h
＝
1
3，∴
V
＝π(1
2
＋2
2＋1
3
×2)×3＝
7
3
3
π.
7
答案：
3
3
π
2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________．
解析：根据三 视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥
111
得到的，体积
V
＝×3×4×5－××4×3×3＝24.
232
答案：24

题点一：等积变换法
几何体体积的求法
- 53 -

1.如图所示，正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，
E
为线段
B
1< br>C
上的一点，则三棱锥
A
?
DED
1
的体积为___ _____．
111
解析：
V
三棱锥
A
?
DED
1
＝
V
三棱锥
E
?
DD
1
A＝××1×1×1＝.
326
1
答案：
6
2.如图所示，三 棱锥的顶点为
P
，
PA
，
PB
，
PC
为三 条侧棱，且
PA
，
PB
，
PC
两两互相垂直，又
P A
＝2，
PB
＝3，
PC
＝4，求三棱锥
P
?ABC
的
体积
V
.
1
解：三棱锥的体积
V< br>＝
Sh
，其中
S
为底面积，
h
为高，而三棱锥的任意 一个面都可以
3
作为底面，所以此题可把
B
看作顶点，△
PAC作为底面求解．
111
故
V
＝
S
△
PAC< br>·
PB
＝××2×4×3＝4.
332
题点二：分割法
3 .如图，在多面体
ABCDEF
中，已知面
ABCD
是边长为4的正方
形，
EF
∥
AB
，
EF
＝2，
EF
上任 意一点到平面
ABCD
的距离均为3，求
该多面体的体积．
解：如图，连接
EB
，
EC
.四棱锥
E
?
ABCD
的体积
1
V
四棱锥
E
?
ABCD
＝×4
2
×3＝16.
3
∵
AB
＝2
EF
，
EF
∥
AB
，
∴
S
△
EAB
＝2
S
△
BEF
.
1111
∴
V
三棱锥
F
?
EBC
＝
V
三棱锥
C
?
EFB
＝
V
三棱锥
C?
ABE
＝
V
三棱锥
E
?
ABC
＝×
V
四棱锥
E
?
ABCD
2222
＝4.
∴多面体的体积
V
＝
V
四棱锥
E
?
ABCD
＋
V
三棱锥
F
?
EBC
＝16＋4＝20.
- 54 -

题点三：补形法
4．如图，一个底面半径为2的 圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长
分别为2和3，求该几何体的体积．

解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱
的体积为π×2
2
×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
5．已知四面体
ABCD
中，
AB
＝
CD
＝13，
BC
＝
AD
＝ 25，
BD
＝
AC
＝5，求四面体
ABCD
的体积．
解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为
x
，
y
，
z
， 则
{
x
＋
y
＝13
22
y
2
＋
z
2
＝20
x
2
＋
z
2
＝25 ，

∴
{
x
＝3
y
＝2
1
z＝4.


1
∵
V
D
?
ABE
＝
DE
·
S
△
ABE
＝
V
长方体
，
36
1
同理，
V
C
?
ABF
＝V
D
?
ACG
＝
V
D
?
BCH
＝
V
长方体
，
6
11
∴
V
四面体ABCD
＝
V
长方体
－4×
V
长方体
＝
V
长方体．

63
而
V
长方体
＝2×3×4＝2 4，∴
V
四面体
ABCD
＝8.

(1)三棱锥又称为四 面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法
(或称等积法)．
(2) 当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，
将原几何体分割或补 形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．
- 55 -

层级一 学业水平达标
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22
C．10
B．20
D．11
解析：选A 所求长方体的表面积
S
＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
C．1∶5
B．1∶
D.
3
3∶2
5
r< br>.∴
S
侧
＝π
rl
＝5π
r
2
，解 析：选C 设圆锥底面半径为
r
，则高
h
＝2
r
，∴其母线 长
l
＝
S
底
＝π
r
2
，
S
底
∶
S
侧
＝1∶5.
3.如图是一个几何体的三视图，其中正 视图是腰长为2的等腰三角
形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
4
A.
3
3
3
6
π B.π
1
C.π
2
D.
3
3
π
11
解析：选B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π23
3
6
×1
2
×3＝π.
4．已知某圆台的一个底 面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为
84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7
C．5
B．6
D．3
- 56 -

解析：选A 设圆台较小底面的半径为
r
，则另一底面的 半径为3
r
.由
S
侧
＝3π(
r
＋3
r< br>)＝
84π，解得
r
＝7.
5.如图，
ABC
?< br>A
′
B
′
C
′是体积为1的棱柱，则四棱锥
C
?
AA
′
B
′
B
积是( )
1
A.
3
2
C.
3
1
1
B.
2
3
D.
4
的体
112
解析：选C ∵
V
C
?
A
′
B
′
C
′
＝
V
ABC
?
A
′
B
′
C
′
＝，∴
V
C
?
AA
′
B
′
B
＝1－＝.
3333
6．棱长都是3的三棱锥的表面积
S
为________．
3
4
解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以
S
＝4××32
＝93.
答案：93
7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
1解析：易知圆锥的母线长
l
＝2，设圆锥的底面半径为
r
，则2π
r
＝×2π×2，∴
r
＝1，∴圆
2
13
2
3， 则圆锥的体积
V
＝π
rh
＝π.
33
锥的高
h< br>＝
l
2
－
r
2
＝
3
3
答案 ：π
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则
a
＝________.

?
1
?
解析： 由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积
V
＝3×
?
×2×
a
?
?
2
?
- 57 -

＝3 3，所以
a
＝
答案：3
3.
9．如图，在四边形
ABCD
中，∠
DAB
＝90°，∠
A DC
＝135°，
AB
＝5，
CD
＝2
＝2，若四边形ABCD
绕
AD
旋转一周成为几何体．
2，
AD

(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解：(1)如图所示．

(2)过
C
作
CE
垂直
AD
延长线于
E
点，
作
CF
垂直
AB
于
F
点．
由已知得：
DE
＝2，
CE
＝2，
∴
CF
＝4，
BF
＝5－2＝3.
∴
BC
＝
CF
2
＋
BF
2
＝5.
∴下底圆面积
S
1
＝25π，
台体侧面积
S
2
＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积
S
3
＝π×2×22＝42π，
2)π. 故表面积< br>S
＝
S
1
＋
S
2
＋
S
3< br>＝(60＋4
10.如图，已知正三棱锥
S
?
ABC
的侧面积 是底面积的2倍，正三棱
锥的高
SO
＝3，求此正三棱锥的表面积．
- 58 -

解：如图，设正三棱锥的底面边长为
a
，斜高 为
h
′，过点
O
作
OE
⊥
AB
，与
AB
交于点
E
，
连接
SE
，则
SE
⊥< br>AB
，
SE
＝
h
′.
∵
S
侧
＝2
S
底
，
13
∴·3
a
·
h
′＝
a
2
×2.
24
∴
a
＝3
h
′.
∵
SO
⊥
OE
，∴
SO
2
＋
OE
2
＝
SE
2
.
?
3
?
??
∴3
2
＋?
×3
h
′
?
2
＝
h
′
2< br>.
?
6
?
∴
h
′＝23，∴
a
＝
3
4
3
4
3
h
′＝6.
∴
S< br>底
＝
a
2
＝×6
2
＝93，
S
侧< br>＝2
S
底
＝183.
∴
S
表
＝
S
侧
＋
S
底
＝183＋93＝273.
层级二 应试能力达标
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48
C．16
6 B．64
D．96
解析：选B 设正方体的棱长为
a
，则6
a
2
＝96，∴< br>a
＝4，故
V
＝
a
3
＝4
3
＝64 .
2.已知高为3的棱柱
ABC
?
A
1
B
1C
1
的底面是边长为1的正三角形，如图，
则三棱锥
B
?
AB
1
C
的体积为( )
1
A.
4
3
6
1
B.
2
3
4
C. D.
1133
解析：选D
VB
?
AB
1
C＝
VB
1
?
ABC
＝
S
△
ABC×
h
＝××3＝.
3344
- 59 -

3．圆柱的一个底面积是
S
，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4π
S
B．2π
S

2
D.
3
3
C．π
S
π
S

解析：选A 底面半径是
S
，所以正方形的边长是2π
π
S
π
＝2π
S
，故圆柱的侧
面积是(2π
S
)
2＝4π
S
.
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
5
A.
3
3
4
B.
3
3

5
C.
3
6
D.3
解析：选A 由三视图可知，该几 何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其
3
4
135
3
3
. 中底面三角形的边长为2，故所求的体积为×2
2
×2－×
34
×2
2
×1＝
5．已知一个长方体的三个面的面积分别是
________．
2 ，3，6，则这个长方体的体积为
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为
a
，< br>b
，
c
，则
{
ab
＝
6.
2ac
＝3
bc
＝6，
三式相乘得(
abc
)
2
＝6，故长方体的体积
V
＝
abc
＝

答案：6
6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需
纸的最小 面积是________．
解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式 展成平面图
形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，
- 60 -

其面积为8.

答案：8
7．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解：(1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体
AC
1
及直三棱柱
B
1
C
1
Q
?
A
1< br>D
1
P
的组合体．
由
PA
1
＝
P D
1
＝2，
A
1
D
1
＝
AD
＝2 ，可得
PA
1
⊥
PD
1
.
故所求几何体的表面积
S
＝5×2
2
＋2×2×
1
2
1
2＋2× ×(
2
2)
2
＝(22＋42)cm
2
，
所求几 何体的体积
V
＝2
3
＋×(2)
2
×2＝10(cm
3
)．

8．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为
x
cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积．
(2)当
x
为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
解：( 1)圆锥的母线长为6
2
＋2
2
＝2
10＝4
10(cm) ，
10 π(cm
2
)．
- 61 -
∴圆锥的侧面积
S
1
＝π×2×2

(2)画出圆锥的轴截面如图所示：

6－
x
设圆柱的底面半径为
r
cm，由题意，知＝，
2 6
6－
x
2π2π
2
∴
r
＝，∴圆柱的侧面积S
2
＝2π
rx
＝(－
x
＋6
x
)＝ －[(
x
－3)
2
－9]，
333
∴当
x
＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm
2
.
r
1．3.2 球的体积和表面积

预习课本P27～28，思考并完成以下问题
1．球的表面积公式是什么？


2．球的体积公式是什么？



[新知初探]

1．球的表面积
设球的半径为
R
，则球的表面积
S
＝4π
R
2
，即球的表面积等于它的大圆面积的 4倍．
2．球的体积
4
设球的半径为
R
，则球的体积
V
＝π
R
3
.
3
- 62 -

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9( )
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( )
答案：(1)√ (2)√
2．若球的过球心的圆面圆周长是
C
，则这个球的表面积是 ( )
B. C. D．2π
C
2

4π2ππ
A.
C
2
C
2
C
2
解析：选C 由2π
R
＝< br>C
，得
R
＝，∴
S
球面
＝4π
R
2
＝.
2ππ
3．若一个球的直径是10 cm，则它的体积为________ cm
3
.
1044500
33
解析：由题意知其半径为
R
＝＝5(cm)，故其体积为
V
＝π
R
＝×π×5＝π(cm
3
)．
2333
500
答案：π
3
CC
2

球的体积与表面积

32π
[典例] (1)球的体积是，则此球的表面积是( )
3
A．12π
16π
C.
3
B．16π
64π
D.
3
(2)一个空间几何体的三 视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个
几何体是实心球体的一部分，则这个几何 体的表面积为________．

- 63 -

432π
3
[解析] (1)设球的半径为
R
，则由已知得π
R
＝，解得
R
＝2.
33
故球的表面积
S
表
＝4π
R
2
＝16 π.
(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半
31
2
径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为
R
＝1，所以
S
＝×4×π×1＋2××π×1
2
＝4π.
42
[答案] (1)B (2)4π

求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积 ，必须知道半径
R
或者通过条件能求出半径
R
，然后代入体积
或表面 积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题 目
也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重 要的是还原组合
体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及 数
据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
[活学活用]
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

- 64 -

解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其 表面积为半个球面与截面面
1
积的和，即×4π×1
2
＋π×1
2< br>＝3π.
2
答案：3π
球的截面问题

[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
500π
A. cm
3

3
1 372π
C. cm
3

3
866π
B. cm
3

3
2 048π
D. cm
3

3
11
[解析] 如图，作出球的 一个截面，则
MC
＝8－6＝2(cm)，
BM
＝
AB
＝×
22
8＝4(cm)．设球的半径为
R
cm，则
R
2＝
OM
2
＋
MB
2
＝(
R
－2)2
＋4
2
，∴
R
＝5.∴
V
4500
π(cm
3
)．
球
＝π×5
3
＝
33
[答案] A

球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解 题时要注意借助球半径
R
，截面圆半径
r
，球心到截面的距离
d构成的直角三角形，
即
R
2
＝
d
2
＋
r
2
.

[活学活用]
- 65 -

一平面截一球得到直径为2
的体积是( )
A．12π cm
3

C．646π cm
3

5 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球
B．36π cm
3

D．108π cm
3

解析：选B 设球心为< br>O
，截面圆心为
O
1
，连接
OO
1
，则OO
1
垂直于
截面圆
O
1
，如图所示．
在R t△
OO
1
A
中，
O
1
A
＝5 cm，
OO
1
＝2 cm，
∴球的半径
R
＝
OA
＝ 2
2
＋5
2
＝3(cm)，
4
∴球的体积
V＝×π×3
3
＝36π(cm
3
)．
3



题点一：球的外切正方体问题
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
4π
A.
3
3π
C.
2
2π
B.
3
π
D.
6
与球有关的组合问题
解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何 特征知，此球的直径与正
44π
方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体 积是×π×1
3
＝.
33
题点二：球的内接长方体问题
2．一个 长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为
1,2,3，则此球的表面积 为________．
- 66 -

解析：长方体外接球直 径长等于长方体体对角线长，即2
R
＝
以球的表面积
S
＝4π
R
2
＝14π.
答案：14π
题点三：球的内接正四面体问题
1
2
＋2
2
＋3
2
＝14，所
3．若棱长为a
的正四面体的各个顶点都在半径为
R
的球面上，求球的表面积．
解： 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为
x
，则
a
＝
2
a
6
3×＝
a
，
22
2
x
，
由 题意2
R
＝3
x
＝
6
∴
S
球
＝4 π
R
2
＝
3
a
π＝
a
π.
42
题点四：球的内接圆锥问题
4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距 离是球半径的一半，则该圆锥的体
积和此球体积的比值为________．

解析 ：如图所示，设球半径为
r
，则球心到该圆锥底面的距离是，于
2
r
是圆锥的底面半径为
r
2
－
?
r
?
3
r
3
r
2
??
＝，高为.
2
22
???
3
r
?
3
r
34
??
2
× ＝π
r
3
，球体积为π
r
3
，∴该圆锥的体积和此球体积的 该圆锥的体积为×π×
??
33
?
2
?
28
1π
r
3
8
9
比值为＝.
432
3
π
r
3
9
3
答案：
32
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为
a
，顶点都在一个球面上，则该球的表
- 67 -

面积为( )
A．π
a
2

7
B.π
a
2

3

11
C.π
a
2

3
D．5π
a
2

解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三 棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为
2331
a
.如图，
P
为三棱柱 上底面的中心，
O
为球心，易知
AP
＝×
a
＝
a< br>，
OP
＝
a
，
3232
?
3
??
1
?
77
??
22222
所以球的半径
R< br>＝
OA
满足
R
＝
?
a
?
＋
?
a
?
＝
a
，故
S
球
＝4π
R< br>＝π
a
2
.
3
?
3
?
?
2
?
12

(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为
r
1
＝，过在一
2
个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义 可知，长方体的
体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为
a
，
b
，
c
，则过球心作长方体的对
1
角面有球的半径为
r2
＝
2
a
a
2
＋
b
2
＋< br>c
2
，如图(2)．

(3)正四面体的外接球
6
2
正四面体的棱长
a
与外接球半径
R
的关系为：2
R＝
a
.
- 68 -

层级一 学业水平达标
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
8π
A.
3
32π
B.
3
8
D.
2π
3
C．8π
解析：选C 设球 的半径为
R
，则截面圆的半径为
R
2
－1，∴截面圆的面积为
S
＝π
(
R
2
－1
2
＝(
R
2
－1)π＝π，∴
R
2
＝2，∴球的表面积
S
＝4π
R
2
＝8π.
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则 这个球的表面积为
)
( )
A．16π
C．24π
B．20π
D．32π
1
解析：选A 设正四棱锥的高为
h，底面边长为
a
，由
V
＝
a
2
h
＝< br>a
2
＝6，得
a
＝
3
题意，知球心在正四棱锥的高上 ，设球的半径为
r
，则(3－
r
)
2
＋(
球
＝4π
r
2
＝16π.故选
6.由
3)
2
＝r
2
，解得
r
＝2，则
S
A.
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )

A．72π
C．30π
B．48π
D．24π
解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．
- 69 -

114
2
V
＝π×3×4＋×π×3
3
＝30 π. 323
4．等体积的球和正方体的表面积
S
球
与
S
正方 体
的大小关系是( )
A．
S
正方体
>
S
球

C．
S
正方体
＝
S
球

B．
S
正方体
<
S
球

D．无法确定
4
3
33
解析：选A 设正方体的棱长为
a
，球的半径为< br>R
，由题意，得
V
＝π
R
＝
a
，∴
a
＝
V
，
3
3
3
V
4π
R
＝，∴
S
正方体
＝6
a
2
＝6
3
V2
＝
3
216
V
2
，
S
球
＝ 4π
R
2
＝
3
36π
V
2
<
3< br>216
V
2
.
5．球的表面积
S
1
与它的 内接正方体的表面积
S
2
的比值是( )
π
A.
3
π
C.
2
π
B.
4
D．π
4
3
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为
a
，球的半径为
R
，则
4
3
a
2
＝4
R
2
，所 以
a
2
＝
R
2
，
球的表面积
S
1
＝4π
R
2
，正方体的表面积
S
2
＝6
a
2
＝6×
3
R
2
＝8
R
2
，所以
S
1
π
S
2
2
＝.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径
r
＝2，
2)
2
＝8π. ∴其表面积
S
＝4π×(
答案：8π < br>7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为
a
，则球的表面积为________．
解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)
的中心，经过四个切点及 球心作截面，如图，
- 70 -

2
所以有2r
1
＝
a
，
r
1
＝，所以
S
1
＝4π
r
2
1
＝π
a
.
2
a
答案：π
a
2

8．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这
5
个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm
2
.
3
45
32
解析：设该铁球的半径为
r
，则由题意得π
r
＝π×10×，解 得
r
3
＝5
3
，∴
r
＝5，∴这个铁
33
球的表面积
S
＝4π×5
2
＝100π(cm
2
) ．
答案：100π
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比． < br>解：设三个球的半径分别为
R
1
，
R
2
，
R
3
，
∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
2
∶4π
R
2
2
∶4π
R
2
∴4π
R
13
＝ 1∶4∶9，
22
即
R
2
1
∶
R
2∶
R
3
＝1∶4∶9，
3
＝1∶8∶27， ∴
R< br>1
∶
R
2
∶
R
3
＝1∶2∶3，得
R
3
1
∶
R
3
2
∶
R
3
444
333
＝
R
1
3
∶
R
3
∴
V
1
∶
V
2
∶
V
3
＝π
R
1
∶π
R
2
∶π
R
32
∶
R< br>3
3
＝1∶8∶27.
333
10．某组合体的直观图如图所示，它 的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中
r
＝1，
l
＝3，试求该组合 体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积
S
＝4π
r
2
＋2π
rl
＝4π×1
2
＋2π×1×3＝10π，该组合体的 体积
13π
.
3
44
32
V
＝π
r＋π
rl
＝π×1
3
＋π×
33
1
2
×3＝
- 71 -

层级二 应试能力达标
1．在 一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，
经过棱锥的一条侧棱和高 作截面，正确的截面图形是( )

解析：选B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选
B.
2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的
体积是( )
100π
A. cm
3

3
500π
C. cm
3

3
208π
B. cm
3

3
416
D.
13π
cm
3

4
V
球
＝π
3
3
解析：选C 根据球的截面的性质 ，得球的半径
R
＝
500π
(cm
3
)．
33
2
＋4
2
＝5(cm)，所以
R
3
＝
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积
S
＝( )

A．32＋π
C．28＋2π
B．32＋2π
D．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一
- 72 -

1
个长方体，故其表面积
S
＝4π×＋4×2× 3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
2
4.(新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分 后与半球(半径为
r
)组成一个几何体，该几
何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 ．若该几何体的表面积为16＋20π，则
r
＝( )
A．1
C．4
B．2
D．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球 的半径为
r
，圆柱
1
的底面半径为
r
，高为2
r< br>，则表面积
S
＝×4π
r
2
＋π
r
2
＋4
r
2
＋π
r
·2
r
2
＝(5π＋4 )
r
2
.又
S
＝16＋20π，
∴(5π＋4)
r
2
＝16＋20π，
∴
r
2
＝4，
r
＝2，故选B.
5.已知某一多 面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视
图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边 形是边长为2的正方形，则
该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是 球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直
径为2
R
，则2
R
＝
答案：12π
32
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底 面都相切，且这个球的体积是π，
3
那么这个三棱柱的体积是________．
4 32
3
解析：设球的半径为
r
，则π
r
＝π，得
r
＝2，柱体的高为2
r
＝4.又正三棱柱的底面三
33
角形的内切圆 半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4
3
4
3，所以正三棱柱的体积2
2
＋2
2
＋2
2
＝23，所以该几何体的表面积为4 π
R
2
＝4π(3)
2
＝12π.
V
＝×(43)
2
×4＝483.
- 73 -

答案：483
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
解：如右图所示，作出轴截面，
O
是球心，与边
BC
，
AC
相切于
点
D
，
E
.
1
连接
AD
，
OE
，∵△
ABC
是正三角形，∴
CD
＝
AC< br>.
2
∵Rt△
AOE
∽Rt△
ACD
，
∴
OECD
AOAC
＝.
∵
CD
＝1 cm，∴
AC
＝2 cm，
AD
＝
设
OE
＝
r
，则
AO
＝(3－
r
)，
3 cm，
∴＝，∴
r
＝ cm，
23
3－
r
r
13

4
?
43< br>3
?
??
3
V
球
＝π
?
＝π(cm
3
)，
?
3
?
3
?
27
43
即球的体积等于π cm
3
.
27

8．在半径为15的球
O
内有一个底面边长为12
棱锥的体积．
解 ：①如图甲所示的情形，显然
OA
＝
OB
＝
OC
＝
OD
＝15.设
H
为△
BCD
的中心，则
A
，3的内接正三棱锥
A
?
BCD
，求此正三
O
，
H
三点在同一条直线上．
23
∵
HB
＝
HC
＝< br>HD
＝××12
32
∴
OH
＝
3＝12，
OB
2
－
HB
2
＝9，
- 74 -

∴正三棱锥
A
?
BCD
的高
h
＝9＋15＝24.
3
4
又
S
△
BCD
＝×(123)
2＝1083，
1
∴
V
三棱锥
A
?
BCD＝×108
3
3×24＝8643.

②对于图乙所示的情形，同理， 可得正三棱锥
A
?
BCD
的高
h
′＝15－9＝6，
S
△
BCD
＝
1083，
1
∴
V
三棱 锥
A
?
BCD
＝×108
3
3×6＝2163.
综上，可知三棱锥的体积为8643或2163.

(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中 ，
只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
解析：选B 棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边
长也不需要与侧棱长相等，故A 、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
- 75 -

A．三角形
C．五边形
B．四边形
D．六边形
解析：选A 三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.
3．如图所示的组合体，其构成形式是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
解析：选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长
方体．
4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱
C．四面体
B．圆锥
D．三棱柱
解析：选A 圆柱的正视图不可能是三角形，则该几何体不可能是圆柱．
5.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给 定下列三个命题：①存在三棱
柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③< br>存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是( )
A．3
C．1
B．2
D．0
解析：选A 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面 放置在水平面上时，
它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存 在满足
题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图
可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.
6.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是 一个几何体
的三视图，则这个几何体是( )
- 76 -

A．三棱锥
C．四棱锥
B．三棱柱
D．四棱柱
解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几
何体为三棱柱，故选B.
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120°
C．180°
B．150°
D．240°
解析：选C 设圆锥的底面半径为
R
，母线长为
L
.由题意，πR
2
＋π
RL
＝3π
R
2
，∴
L＝2
R
，
圆锥的底面圆周长
l
＝2π
R
.展开 成扇形后，设扇形圆心角为
n
，则扇形的弧长
l
＝
n
πL
180°
＝
n
π×2
R
2
n
πR
，∴2π
R
＝，∴
n
＝180°，即展开后扇形的圆心角为1 80°.
180°180°
8.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图 中可以作为
该几何体的俯视图的是( )

A．①③
C．①②③
B．①③④
D．①②③④
解析：选A 若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形 的竖边延长线有一条和圆相切，
故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不 合要求，①③都是
能符合要求的几何体，故选A.
9．已知底面边长为1，侧棱长为
体积为( )
32π
A.
3
2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的
B．4π
- 77 -

C．2π
4π
D.
3
1
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径
r
＝
2
4π4π
2
2
＝1，所以
V
球
＝×1
3
＝.故选D.
33
1
2
＋1
2
＋

10.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
等于( )
A．8＋2
B．11＋2
C．14＋2
D．15
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直
角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长 为1
2
＋1
2
＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2
2
2
2
×(4＋2)＝8＋2
1
2，两底面的面积和为2××1× (1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋
2
2. 22＋3＝11＋2
11．( 新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分
的三视图如右图，则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为( )
1
A.
8
1
C.
6
1
B.
7
1
D.
5
解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”
- 78 -

后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积
为
111
V
1
＝××1×1×1＝，
326
1
6< br>5
剩余部分的体积
1
所以
V
2
＝1
3
－＝.
6
V
1
6
1
6
V
2
5 5
＝＝，故选D.
π
12．(山东高考)在梯形
ABCD
中，∠< br>ABC
＝，
AD
∥
BC
，
BC
＝2
AD
＝2
AB
＝2.将梯形
ABCD
2
绕
AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
2π
A.
3
5π
C.
3
4π
B.
3
D．2π
解析：选C 过点
C
作
CE
垂直
AD
所在直线于点
E
，梯形
ABCD
绕
AD
所
在直线旋转一周而形成 的旋转体是由以线段
AB
的长为底面圆半径，线段
BC
为
母线的圆柱 挖去以线段
CE
的长为底面圆半径，
ED
为高的圆锥，如图所示，该几何体的 体
积为
V
＝
V
圆柱
－
V
圆锥
＝π ·
AB
2
·
BC
－
1
3
·π·
C E
2
·
DE
＝π×1
2
×2－
1
3
π×1
2
×1＝
5π
，故选C.
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若一个圆台的母线长为
l
，上、下底面半径分别为
r
1
，
r
2
，且满足2
l
＝
r
1
＋
r
2
，其侧
面积为8π，则
l
＝________.
解析 ：
S
圆台侧
＝π(
r
1
＋
r
2
)
l
＝2π
l
2
＝8π，所以
l
＝2.
答案：2
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
- 79 -

解析：由三视图可知题中几何体是由 圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体
111144
23
的体积
V
＝
V
圆柱
＋
V
球
＝×π×1×2＋×π×1＝π.
242433
4
答案：π
3
15.如图，在上、下底面对应边的比 为1∶2的三棱台中，过上底面一
边作一个平行于棱
CC
1
的平面
A
1
B
1
EF
，这个平面分三棱台成两部分，这
两部分的体积 之比为________．
解析：设三棱台的上底面面积为
S
0
，则下底面 面积为4
S
0
，高为
h
，则
V
三棱台
AB C
?
17
A
1
B
1
C
1
＝(S
0
＋4
S
0
＋2
S
0
)
h
＝
S
0
h
，
V
三棱柱
FEC
?< br>A
1
B
1
C
1
＝
S
0
h< br>.设剩余的几何体的体积为
33
74
V
，则
V
＝S
0
h
－
S
0
h
＝
S
0h
，体积之比为3∶4或4∶3.
33
答案：3∶4(或4∶3)
1 6.一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画
弧，沿弧剪下一个扇形(如图 )，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒
的容积为________．
1
解析：设圆锥筒的底面半径为
r
，高为
h
.由题意，得2π
r
＝×2π×4，所以
r
＝1，所以
h
4
11
2
1 5，所以
V
＝π
rh
＝×π×1
2
×
33
15
3
＝4
2
－1
2
＝15＝π.
15
答案：π
3
- 80 -

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
17．(本小题满分10分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三
角 形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．

解 ：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的
(如图①所示) ，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知
该几何体为四棱锥A
?
BMC
1
C
.

结合给定的三视图的长 度关系，可知在四棱锥
A
?
BMC
1
C
中，
AB< br>＝1，
BC
＝1，
AC
＝
15
BM
＝，AM
＝，
CC
1
＝1，
AC
1
＝
22
5
2
2，
3，
MC
1
＝.
18.(本小 题满分12分)如图所示，在多面体
FE
?
ABCD
中，已知
ABC D
是边长为1的正方形，且△
ADE
，△
BCF
均为正三角形，EF
∥
AB
，
EF
＝2，求该多面体的体积
V
.
解：如图所示，分别过
A
，
B
作
EF
的垂线< br>AG
，
BH
，垂足分别为
G
，
H
.连接DG
，
CH
，
1
容易求得
EG
＝
HF
＝.
2
- 81 -

所以
AG< br>＝
GD
＝
BH
＝
HC
＝
3
2
，
122
S
△
AGD
＝
S
△
BHC< br>＝××1＝，
224
V
＝
V
E
?
ADG< br>＋
V
F
?
BHC
＋
V
AGD
?BHC

?
112
?
2
??
＝
?××
?
×2＋
4
×1
324
??
＝
2
3
.
19.(本小题满分12分 )据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给
他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案 ，图案中球的直径与圆
柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底
面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比．
解：设圆柱的底面半径为
r
，高为
h
，则
V
圆柱
＝π
r
2
h
，
14
2
由题意知圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，球的半径为
r
，
V
圆锥
＝π
rh
，V
球
＝π
r
3
.
33
又
h
＝2
r
，
?
1
??< br>4
??
2
??
4
?
23
2
∴
V
圆锥
∶
V
球
∶
V
圆柱
＝
?< br>π
rh
?
∶
?
π
r
?
∶(π
rh
)＝
?
π
r
3
?
∶
?
π< br>r
3
?
∶(2π
r
3
)＝1∶2∶3.
?
3
??
3
??
3
??
3
?
20. (本小题满分12分)如图所示，已知正方体
ABCD
?
A
1
B1
C
1
D
1
的棱长为
a
，
E
，
F
分别
是
A
1
A
，
CC
1的中点，求四棱锥
C
1
?
B
1
EDF
的体积．
解：连接
EF
，
B
1
D
1
.
设
B
1
到平面
C
1
EF
的距离为
h
1
，
D
到平面
C
1
EF
的距离为
h
2
.
∵正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a
，
E
，F
分 别是
A
1
A
，
CC
1
的中点，
∴
h
1
＋
h
2
＝
B
1
D
1
＝2
a
.
2
4
11
a
又S
△
C
1
EF
＝
C
1
F
·< br>EF
＝××
222

2
a
＝
a
2
，
- 82 -

112
∴
VC
1
?
B
1
EDF
＝
VB
1
?
C
1
EF
＋
VD
?
C
1
EF
＝·
S
△
C1
EF
·(
h
1
＋
h
2
)＝×
a
2
×
334
1
2
a
＝
a
3< br>.
6
21.(本小题满分12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4< br>个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝．再用面积为
S
m
2
的 塑料片制成圆柱
的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为
r
m.
(1)当
r
取何值时，
S
取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.0 1)．
(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3 m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，
不需考虑骨架等因素)．
解：(1)设圆柱的高为
h
m，
由题意，可知4(4
r
＋2
h
)＝9.6，即2
r
＋
h
＝1.2.
S< br>＝2π
rh
＋π
r
2
＝π
r
(2.4－3< br>r
)＝3π[－(
r
－0.4)
2
＋0.16](0<
r
<0.6)．
所以当
r
＝0.4时，
S
max
＝0.48π≈1.51(m
2
)．
(2)由
r
＝0.3,2< br>r
＋
h
＝1.2，得圆柱的高
h
＝0.6，
则该灯笼的三视图为：

22．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．

- 83 -

(1)求此几何体的表面积
S
；
(2)如果点
P
，
Q
在正视图中所示位置：
P
为所在线段的中点，
Q
为所在线段的端点，求
在几何体的表面上，从点
P
到点
Q
的最短路径的长．
解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥 的侧面积、
圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．
又
S
圆锥侧
＝π
a
×2
a
＝2π
a
2
，
S
圆柱侧
＝2π
a
×2
a
＝4π
a
2
，S
圆柱底
＝π
a
2
，
所以
S
＝2π
a
2
＋4π
a
2
＋π
a
2
＝(
2＋5
π
a
2
.
)
(2)沿点
P
与点
Q
所在母线剪开圆柱侧面，如图．

则
PQ
＝
AP
2
＋
AQ
2＝
a
2
＋π
a
2
＝
a
1＋π
2
，
1＋π
2
. 所以在几何体的表面上，从点
P
到点
Q
的最短路径的长为
a


空间点、直线、平面之间的位置关系

2．1.1 平面

预习课本P40～43，思考并完成以下问题
1．平面的表示方法有哪些？


- 84 -

2．公理1、公理2、公理3的内容是什么？



3．公理1、公理2、公理3各自的作用是什么？



4．点、线、面之间的位置关系用符号怎样表示？




[新知初探]

1．平面的概念
几何里所说的“平面”， 是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里
的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°， 且横边长等于其
邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出
来．如图②.
- 85 -

3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面
α
、平面
ABCD
、平面
AC
或平面
BD
.
[点睛] (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
4．平面的基本性质
公理

内容

如果一条直线上的
两点在一个平面
公理1

内，那么这条直线
在此平面内

过不在一条直线上
公理2

的三点，有且只有
一个平面

如果两个不重合的
平面有一个公共
图形

符号

作用
A
∈
l
，
B
∈
l
，且A
∈
α
，用来证明直线在平

B
∈
α
?
l
?
α
面内
A
，
B
，
C
三点不共

线?存在唯一的< br>α
使
A
，
B
，
C
∈
α
用来确定一个平面
P
∈
α
，
P
∈
β?
α
∩
β
＝用来证明空间的点
公理3

点，那么它们有且
只有一条过该点的
公共直线


[点睛] 对公理2必须强调是不共线的三点．

l
，且
P
∈
l
共线和线共点
[尝试应用]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
- 86 -

(1)空间不同三点确定一个平面( )
(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面( )
(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．有以下命题：
(1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
(2)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
(3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选B 平面是无厚度的，故(1)错；平面是无限延展的，不可度量，故(2)错；平面
是无厚度、无限延展的 ，故(3)正确．正确命题的个数为1.
3．根据右图，填入相应的符号：
A
___ _______平面
ABC
，
A
________平面
BCD
，
BD
________平面
ABC
，平面
ABC
∩平面
ACD
＝________.


答案：∈ ? ?
AC



文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

[典例] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
- 87 -

(1)点
P
与直线
AB
；
(2)点
C
与直线
AB
；
(3)点
M
与平面
AC
；
(4)点
A
1
与平面
AC
；
(5)直线
AB
与直线
BC
；
(6)直线
AB
与平面
AC
；
(7)平面
A
1
B
与平面
AC
.
[解] (1)点
P
∈直线
AB
.
(2)点
C
?直线
AB
.
(3)点
M
∈平面
AC
.
(4)点
A
1
?平面
AC
.
(5)直线
AB
∩直线
BC
＝点
B
.
(6)直线
AB
?平面
AC
.
(7)平面
A1
B
∩平面
AC
＝直线
AB
.

三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个 平面、几条直线且
相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[活学活用]
1．若点
M
在直线
a
上，
a
在平面
α
内，则
M
，
a
，
α
间的关系可 记为( )
A．
M
∈
a
，
a
∈
α

C．
M
?
a
，
a
?
α

B．
M
∈
a
，
a
?
α

D．
M
?
a
，
a
∈
α

解析：选B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．
- 88 -

2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面< br>α
，
β
，
γ
相交于一点
P
，且平面
α
与平面
β
相交于
PA
，平面
α
与平面
γ
相交于
PB
，平面
β
与平面
γ
相交于
PC
；
(2)平面
ABD
与平面
BDC
相交于
BD< br>，平面
ABC
与平面
ADC
相交于
AC
.
解：(1)符号语言表示：
α
∩
β
∩
γ
＝
P
，
α
∩
β
＝
PA
，
α
∩
γ＝
PB
，
β
∩
γ
＝
PC
，图形表示： 如图
(1)．
(2)符号语言表示：平面
ABD
∩平面
BDC＝
BD
，平面
ABC
∩平面
ADC
＝
AC，图形表示：
如图(2)．



题点一：点线共面问题 < br>1.如图，已知直线
a
∥
b
∥
c
，
l
∩
a
＝
A
，
l
∩
b
＝
B
，
l
∩
c
＝
C
.求证：
a
，
b
，
c
，
l
共面．
证明：∵
a
∥
b
，∴
a
，
b
确定一个平面
α
.
∵l
∩
a
＝
A
，
l
∩
b
＝B
，
∴
A
∈
α
，
B
∈
α
.
又∵
A
∈
l
，
B
∈
l
，∴
l?
α
.
∵
b
∥
c
，∴
b
，
c
确定一个平面
β
.
同理可证
l
?
β
.
于是
b
?
α
，
l
?
α
，
b
?
β
，
l
?
β
，即
α
∩
β
＝
b
，
α
∩
β
＝
l
.
又∵
b
与
l
不重合，
∴
α
与
β
重合，
平面的基本性质的应用
- 89 -

∴
a
，
b
，
c
，
l
共面．

(1)公理2的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
(2)点线共面问题是指证明一些点或直线在 同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理
2及其推论．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平 面法，先由部分元素确定一个平面，
再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先 由有关的点、线确定平面
α
，再
由其余元素确定平面
β
，最后证明平 面
α
，
β
重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．
题点二：点共线问题
2.如图，在正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，设线段
A
1< br>C
与平面
ABC
1
D
1
交于
点
Q< br>，求证：
B
，
Q
，
D
1
三点共线．
证明：如图，连接
A
1
B
，
CD
1
，显然
B
∈平面
A
1
BCD
1
，
D
1
∈平面
A
1
BCD
1
.
∴
BD
1
?平面
A
1
BCD
1
.
同理
BD
1
?平面
ABC
1
D
1
.
∴平面
ABC
1
D
1
∩平面
A
1BCD
1
＝
BD
1
.
∵
A
1
C
∩平面
ABC
1
D
1
＝
Q
，
∴
Q
∈平面
ABC
1
D
1
.
又 ∵
A
1
C
?平面
A
1
BCD
1
，
∴
Q
∈平面
A
1
BCD
1
.
∴
Q
在平面
A
1
BCD
1
与
ABC
1
D
1
的交线上，即
Q
∈
BD
1
，
∴
B
，
Q
，
D
1
三点共线．

点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问
- 90 -

题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些 点都是这两个平面的公共点，根
据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确 定一条直线，然后证明
其他点也在这条直线上．
题点三：三线共点问题
3．已知：平面
α
，
β
，
γ
两两相交于三条直线
l
1
，
l
2
，
l
3
，且
l
1
，
l
2
不平行．求证：
l
1
，
l
2
，
l
3
相交于一点．
证明：如图，
α
∩β
＝
l
1
，
β
∩
γ
＝
l2
，
α
∩
γ
＝
l
3
.
∵< br>l
1
?
β
，
l
2
?
β
，且
l
1
，
l
2
不平行，
∴
l
1< br>与
l
2
必相交．设
l
1
∩
l
2＝
P
，
则
P
∈
l
1
?
α< br>，
P
∈
l
2
?
γ
，
∴
P
∈
α
∩
γ
＝
l
3
，
∴
l
1
，
l
2
，
l
3
相 交于一点
P
.

证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两 条相交于一点，再证明第三
条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在 它们的交线(第
三条直线)上，从而证明三线共点．

层级一 学业水平达标
1．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面
α
和
β
有不在同一条直线上的三个公共点
解析：选C 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故
B不正确 ；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一
- 91 -

定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.
2．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点
A
，
B
，
C
，
D
共面，点
A
，
B
，
C
，
E
共面，则点
A
，
B< br>，
C
，
D
，
E
共面；
③若直线
a
，
b
共面，直线
a
，
c
共面，则直线
b< br>，
c
共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确 定
一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交
平 面有三个公共点
A
，
B
，
C
，但
A
，B
，
C
，
D
，
E
不共面；③显然不正确；④不 正确，因为
此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3．在空间四边 形
ABCD
中，在
AB
，
BC
，
CD
，< br>DA
上分别取
E
，
F
，
G
，
H四点，如果
GH
，
EF
交于一点
P
，则( )
A．
P
一定在直线
BD
上
B．
P
一定在直线
AC
上
C．
P
在直线
AC
或
BD
上
D．
P
既不在直线
BD
上，也不在
AC
上
解析：选B 由题意知
GH
?平面
ADC
.因为
GH
，
EF
交于一点
P
，所以
P
∈平面
ADC
.
同理，
P
∈平面
ABC
.因为平面
ABC
∩平 面
ADC
＝
AC
，由公理3可知点
P
一定在直线
A C
上．
4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )
A．六边形
C．菱形
B．五边形
D．直角三角形
解析：选D 可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.
- 92 -

5．下列各图均是正六棱柱，
P
，
Q
，
R
，
S
分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图
形是( )

解析：选D 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有
PS
∥
QR
，
即在此三个图形中
P
，
Q
，R
，
S
共面，故选D.
6．用符号表示“点
A
在直线
l
上，
l
在平面
α
外”为________．
答案：
A
∈
l
，
l
?
α

7．如图，看图填空：
(1)平面
AB
1
∩平面
A
1
C
1
＝________；
(2)平面
A
1
C
1
CA
∩平面
AC
＝________.

答案：
A
1
B
1

AC

8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当
第四个点不在此平 面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
9.如图，在正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，判断下 列命题是否正确，
并说明理由．
(1)由点
A
，
O
，
C
可以确定一个平面； (2)由点
A
，
C
1
，
B
1
确定的平 面为平面
ADC
1
B
1
.
解：(1)不正确．因为点A
，
O
，
C
在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点
A
，
B
1
，
C
1
不共 线，所以可确定一个平面．又因为
AD
∥
B
1
C
1
，所以点
D
- 93 -

∈平面
AB
1
C
1
.所以由点
A
，
C
1
，
B
1
确定的平面为平面
ADC
1
B
1
.
10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段
AB
分别是两个平
面的交线．

解：以
AB
为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．

层级二 应试能力达标
1．如果直线
a
?平面
α
，直线< br>b
?平面
α
，
M
∈
a
，
N
∈
b
，
M
∈
l
，
N
∈
l
，则( )
A．
l
?
α

C．
l
∩
α
＝
M

B．
l
?
α

D．
l
∩
α
＝
N

解析：选A ∵
M
∈
a
，
a
?
α
，∴
M
∈α
，同理，
N
∈
α
，又
M
∈
l
，
N
∈
l
，故
l
?
α
.
2．下列命题正确的是( )
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
解析：选B 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知 A不正确；B显然正确；
C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面 ，故D不正
确．故选B.
- 94 -

3．下列命题中，正确的是( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
解析：选B 因为 正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方
体任意两条体对角线，有且只有一 个平面，故选B.
4．在正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N
分别是 棱
DD
1
和
BB
1
上的点，
MD
＝
DD
1
，
3
1
NB
＝
BB
1
， 那么正方体的过点
M
，
N
，
C
1
的截面图形是( )
3
A．三角形
C．五边形
B．四边形
D．六边形
1
解析：选C 在正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N
分别是 棱
DD
1
11
和
BB
1
上的点，
MD＝
DD
1
，
NB
＝
BB
1
.如图，延 长
C
1
M
交
CD
于点
P
，
33< br>延长
C
1
N
交
CB
于点
Q
，连接< br>PQ
交
AD
于点
E
，
AB
于点
F< br>，连接
NF
，
ME
，则正方体的过点
M
，
N
，
C
1
的截面图形是五边形．故选C.
5．已知
α
，
β
是不同的平面，
l
，
m
，
n
是不同 的直线，
P
为空间中一点．若
α
∩
β
＝
l
，
m
?
α
，
n
?
β
，
m
∩
n
＝
P
，则点
P
与直线
l
的位置关系用 符号表示为________．
解析：因为
m
?
α
，
n
?
β
，
m
∩
n
＝
P
，所以
P
∈
α
且
P
∈
β
.又
α
∩β
＝
l
，所以点
P
在直线
l
上，
所以
P
∈
l
.
答案：
P
∈
l
6．在长方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
的所有棱中，既与
AB
共面，又与
CC
1< br>共面的棱有________
条．
解析：作图并观察可知既与
AB
共 面，又与
CC
1
共面的棱有
CD
，
BC
，
BB
1
，
AA
1
，
C
1
D
1，
- 95 -

共5条．
答案：5
7.如图所示，
AB
∩
α
＝
P
，
CD
∩< br>α
＝
P
，
A
，
D
与
B
，< br>C
分别在平面
α
的两
侧，
AC
∩
α
＝
Q
，
BD
∩
α
＝
R
.
求证：
P
，
Q
，
R
三点共线．
证明：∵
AB
∩
α
＝
P
，
CD
∩
α
＝
P
，
∴
AB
∩
CD
＝
P
.
∴
AB
，
CD
可确定一个平面，设为
β
.
∵
A
∈
AB
，
C
∈
CD
，
B< br>∈
AB
，
D
∈
CD
，
∴
A
∈
β
，
C
∈
β
，
B
∈
β
，
D
∈
β
.
∴
AC
?
β
，< br>BD
?
β
，平面
α
，
β
相交．
∵
AB
∩
α
＝
P
，
AC
∩
α
＝
Q
，
BD
∩
α
＝
R
，
∴< br>P
，
Q
，
R
三点是平面
α
与平面
β
的公共点．
∴
P
，
Q
，
R
都在
α
与
β
的交线上，故
P
，
Q
，
R
三点共线．

8.如图，在直四棱柱
ABCD
?
A
1B
1
C
1
D
1
中，
AD
>
B C
，
P
，
Q
，
M
，
N
分别为AA
1
，
BB
1
，
CC
1
，
DD
1
上的点，设
PQ
与
NM
的交点为
S
，
AB
与
DC
的交点为
R
，
A
1
B
1
与
D
1
C
1
的交点为
G
.求 证：
R
，
S
，
G
三点共线．
证明：因为
P
，
Q
，
M
，
N
分别为
AA
1< br>，
BB
1
，
CC
1
，
DD
1
上的点，
PQ
∩
NM
＝
S
，
所以
S< br>∈
MN
，
MN
?平面
CC
1
D
1< br>D
，
S
∈
PQ
，
PQ
?平面
AA< br>1
B
1
B
，
所以
S
∈平面
CC< br>1
D
1
D
，且
S
∈平面
AA
1B
1
B
，
所以
S
在平面
AA
1B
1
B
与平面
CC
1
D
1
D
的交线上．
同理可证：
R
，
G
也在平面
AA
1< br>B
1
B
与平面
CC
1
D
1
D
的交线上，
所以
R
，
S
，
G
三点共线．
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
- 96 -

预习课本P44～47，思考并完成以下问题
1．空间两直线有哪几种位置关系？


2．什么是异面直线？

3．什么是异面直线所成的角？


4．平行公理的内容是什么？

5．等角定理的内容是什么？


[新知初探]

1．异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法：

2．空间两条直线的位置关系

- 97 -

位置关系

相交

平行

异面直线


特 点
同一平面内，有且只有一个公共点
同一平面内，没有公共点
不同在任何一个平面内，没有公共点
[点睛] (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直
线既不相交，也不平行．
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有
a
?
α< br>，
b
?
β
，
即
a
，
b
分别 在两个不同的平面内，但是因为
a
∩
b
＝
O
，所以
a
与
b
不是异面直线．
3．平行公理(公理4)
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递
性．
(2)符号表述：
a
∥
bb
∥
c
?
a∥
c
.
4．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
5．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线
a
，
b
，经过空间任一点
O
作直线
a
′∥
a
，
b
′∥
b
，我 们把
a
′与
b
′
所成的锐角(或直角)叫做异面直线
a与
b
所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角
θ
的取值范围：0°＜
θ
≤90°. (3)当
θ
＝90°时，
a
与
b
互相垂直，记作
a
⊥
b
.
[点睛] (1)异面直线所成角的范围是0°<
θ< br>≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交
垂直．
(2)公理4也称为平行公理 ，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中
得到了广泛的应用．
}
[小试身手]

- 98 -

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行( )
(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行( )
(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线( )
(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．如果两条直线
a
和
b
没有公共点，那么< br>a
与
b
的位置关系是( )
A．共面
C．异面
B．平行
D．平行或异面
解析：选D 空间中两直线的位置 关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和
两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故
a
与
b
的位置关系是平行或异面．
3．已知
AB
∥PQ
，
BC
∥
QR
，若∠
ABC
＝30°，则 ∠
PQR
等于( )
A．30°
C．150°
B．30°或150°
D．以上结论都不对
解析：选B 由等角定理可知∠
PQR
与∠
ABC
相等或互补，故∠
PQR
＝30°或150°.

两直线位置关系的判定

[典例] 如图，在长方体
ABCD< br>?
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)直线
A
1
B
与直线
D
1
C
的位置关系是________；
(2)直线
A
1
B
与直线
B
1
C
的位置关系是________；
(3)直线
D
1
D
与直线
D
1
C
的位置关系是________； (4)直线
AB
与直线
B
1
C
的位置关系是_____ ___．
[解析] (1)在长方体
ABCD
?
A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，
A
1
D
1
綊
BC
，∴四边形
A
1
BCD
1
为平行四 边形，
∴
A
1
B
∥
D
1
C
.
- 99 -

(2)直线
A
1
B< br>与直线
B
1
C
不同在任何一个平面内．
(3)直线
D
1
D
与直线
D
1
C
相交于点
D
1
.
(4)直线
AB
与直线
B
1
C
不同 在任何一个平面内．
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面

(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4
判断．
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是
异面直线．用符号语言可表示为
A
?
α
，
B
∈
α
，
l
?
α
，
B
?
l
?
A B
与
l
是异面直线(如图)．

[活学活用] 1．在空间四边形
ABCD
中，
E
，
F
分别为对角线< br>AC
，
BD
的中点，则
BE
与
CF
( )
A．平行
C．相交
B．异面
D．以上均有可能
解析：选B 假设
BE
与
CF
是共面直线，设此平面为
α< br>，则
E
，
F
，
B
，
C
∈
α
，所以
BF
，
CE
?
α
，而
A
∈
CE
，
D
∈
BF
，所以
A
，
D< br>∈
α
，即有
A
，
B
，
C
，
D
∈
α
，与
ABCD
为空间四边形矛
盾，所以
BE
与
CF
是异面直线，故选B.
2．若
a
，
b为异面直线，直线
c
∥
a
，则
c
与
b
的位置关系是( )
A．相交 B．异面
- 100 -