高中数学知识点汇总：必修二

必修2
第一章 空间几何体
一、空间几何的结构
1.棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
2.棱锥的结构特征
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

二、三视图和直观图
1.三视图
三视图即物体的正视图（主视图）、侧视图（左视 图）和俯视图.重点掌握柱、锥、台、
球及其组合体的三视图．
2.直观图
用斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两 轴相交于点O.画直观图时，把它们画
成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′,且使
∠x′O′y′＝45°（或135°）,它们确定的平面表示
水平面.
（2）已知图形中 平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线
段．
（3）已知图 形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，
长度为原来的一半.
1

说明：多边形面积S和其直观图面积S′有等量关系:
S?22S
’
.

三、表面积和体积
1.侧面展开图
（1）圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的两边长分别等于底面周长2πr和母线l.
（2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面周长2πr，半径等于母线l.
（3） 圆台的侧面展开图是扇环，扇环的两条弧长分别等于两底面周长2πr和2πR，宽
等于母线长l .
2.面积公式
S
圆柱侧
＝2πrl（r为底面半径，l为母线长）
S
圆锥侧
＝πrl（r为底面半径，l为母线长）
S
圆台侧
＝π(r＋R)l（r，R为两底面半径，l为母线长）
S
球
＝4πR
2
（R为球的半径）
1
多面体的表 面积等于其各个面的面积之和；
2
圆柱、说明：○○圆锥和圆台的表面积为侧
面积＋底 面积.


第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、位置关系
1.公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线.
2

公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
2.位置关系
（1）空间两条直线
相交：有一个公共点

在同一平面内
平行：没有公共点
异面：没有公共点，不在任何一个平面内
异面直线所 成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′，b′所 成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.如果两条异
面直线所成的角是直角，那么 就说两条异面直线互相垂直.

（3）两个平面
平行：没有公共点，记作α∥β.
相交：有一条公共直线，记作α∩β＝l.
二、平行的判定和性质
1.直线与平面平行
判定定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
性质定理 若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该
直线平行.
2.平面与平面平行
判定定理 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
三、垂直的判定和性质
1.直线与平面垂直
3

定义 如果直线l与平面< br>?
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面
?
垂直.
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与该平面垂直.
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.平面与平面垂直
二面角定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二
面角的 棱，这两个半平面叫做二面角的面.在二面角α
－
l
－
β的棱l上任取一点O ，以点O
为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则
∠
AOB 叫做二面角的平
面角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做 直二
面角.二面角的取值范围：[0°, 180°].
1.倾斜角与斜率
（1）当直线l与x轴相交时, x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
范围：0°≤α＜180°
（2）一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k
＝
tanα.
注：当l垂直于x轴时，倾斜角为90°，斜率不存在.
（3）斜率公式
过两点A (x
1
，y
1
)，B(x
2,
y
2
)(x
1
≠x
2
)的直线的斜率为
4

k?
y
2
?y
1
.
x
2
?x
1
2.两条直线平行与垂直的判定
设l
1
：y＝k
1
x＋b
1
， l
2
：y＝k
2
x＋b
2
，则
l
1∥l
2
?
k
1
＝k
2
，且b
1
≠b
2
，
l
1
⊥l
2
?
k
1
·k
2
＝－1.
注：当两条直线的斜率都不存在时，l
1
∥l
2
；当一条直线斜率不存在，另一个直线斜率
为0时，l
1
⊥l
2
.解题时一定不要忽略斜率不存在的情况.
二、直线的方程
2.距离公式
（1）两点间的距离公式.点P
1
(x
1
， y
1
)，P2(x
2
，y
2
)的距离为
p
1
p
2
?
?
x
2
?x
1
??
?
y
2
?y
1
?
22

（2）点到直线的距离. P(x
0
, y
0
)到直线Ax＋By＋C=0的距离为
d?
Ax
0
? By
0
?C
A?B
22

（3）平行线的距离. Ax＋By＋C
1
=0和Ax＋By＋C
2
=0的距离为
5

d?
3.直线系方程
（1）平行、垂直直线系
设直线l：Ax＋By＋C=0,则:
C
1
?C
2
A?B
22

与l平行的直线系为：Ax＋By＋C′＝0；
与l垂直的直线系为：Bx－Ay＋C′＝0.
（2）过交点的直线系
已知两直线 l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0和l< br>2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0，则过两直 线交点的直线系
为：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＋λ( A
2
x＋B
2
y＋C
2
)＝0，但不包括l
2.
注:若曲线方程可以改写成f(x , y)＋λg(x , y)＝0的形式，且方程组?
?
f(x,y)?0,
有实数解
?
g(x,y)?0,
?
x?x
0
,
则该曲线必过点(x
0
, y
0
).用这种方法可以解决过定点问题.
?
y?y,
0
?

二、位置关系
1.点与圆
设点P，圆心C，半径r，则
P在圆内
?
|PC|＜r；
P在圆上
?
|PC|＝r；
P在圆外
?
|PC|＞r .
2.直线与圆
6

设直线l与圆心距离为d，则
l与圆相交
?
d＜r；
l与圆相切
?
d＝r；
l与圆相离
?
d＞r.
3.圆与圆
设两圆圆心间距离为d，半径分别为r，R，则
内含
?
d＜r－R|；
内切
?
d＝|r－R|；
相交
?
|r－R|＜d＜r＋R；
外切
?
d＝r＋R；
外离
?
d＞r＋R.

空间直角坐标系中的坐标，记作M(x , y , z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵
坐标，z叫做点M的竖坐标.
2.空间两点间距离公式
d?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
? z
1
)
2


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