高中数学的必修二的知识点分析

高中数学的必修二的知识点分析



立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

几何特征：两底面 是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都
是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底 面全等的
多边形.

(2)棱锥

(3)棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱
交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋
转所成

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的
半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周
所成

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开
图是一个扇形.

(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一
周所成

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶
点;③侧面展开图是一个弓形.

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一
周形成的几 何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等
于半径.

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视
图(从左向右)、

俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度
和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度
不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.

(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母
线)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因
此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不 是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直
线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与 轴的倾斜程度.

当时,;当时,;当时,不存在.

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾
斜角为90°;

(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由
直线上两点的坐标直 接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

(3)直线方程

①点斜式：直线斜率k,且过点

注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.

当直线的斜率为9 0°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点
斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它 的方程是x=x1.

②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式：()直线两点,

④截矩式：

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.

⑤一般式：(A,B不全为0)

注意：各式的适用范围特殊的方程如：

平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);

(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(二)垂直直线系

垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(三)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;

(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为

(为参数),其中直线不在直线系中.

(6)两直线平行与垂直

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与
否.

(7)两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组的一组解.

方程组无解;方程组有无数解与重合

(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点

(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.

圆的方程
< br>1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,
定点为圆心,定长为圆的半径.

2、圆的方程

(1)标准方程,圆心,半径为r;

(2)一般方程

当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为

当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.

(3)求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条
件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以
此来确定圆心的位置.

高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：

(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;

(2)过圆外一点的切线：①k不 存在,验证是否成立②k存在,设点
斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两 解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之
间的大小比较来确定.< br>
设圆,

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大
小比较来确定.

当时两圆外离,此时有公切线四条;

当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

当时,两圆内含;当时,为同心圆.

注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心
与切点共线

4、空间点、直线、平面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那 么这条直线是所
有的点都在这个平面内.

应用：判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有 且只
有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.

符号语言：

公理2的作用：

①它是判定两个平面相交的方法.

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必
过公共点.

③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.

公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

推论：一直线和直线外 一点确定一平面;两相交直线确定一平面;
两平行直线确定一平面.

公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明
平面重合的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线性质：既不平行,又不相交.

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一 点的直线与平面内不
过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：作平行,令两线相 交,所得锐角或直角,即所
成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所< br>成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.

求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到
某个特殊的位置,顶点选在 特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求
角C、利用三角形来求角

(7)等角定理 ：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那
么这两角相等或互补.

(8)空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α

(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;α‖β

相交——有一条公共直线.α∩β=b

5、空间中的平行问题

(1)直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平 面内一条直线平行,
则该直线与此平面平行.

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条
直线的平面和这个平面相交,

那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行

(2)平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这
两个平面平行

(线面平行→面面平行),

(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个
平面平行.

(线线平行→面面平行),

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,

两个平面平行的性质定理

(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一 个平面平
行.(面面平行→线面平行)

(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交 ,那么它们的交线平
行.(面面平行→线线平行)

7、空间中的垂直问题

(1)线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成 的角是直角,就
说这两条异面直线互相垂直.

②线面垂直：如果一条直线和一个平面 内的任何一条直线垂直,
就说这条直线和这个平面垂直.

③平面和平面垂直：如果两 个平面相交,所成的二面角(从一条直
线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就
说这两个平面垂直.

(2)垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,
那么这条直线垂直这个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平
行.

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两
个平面互相垂直.
< br>性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他
们的交线的直线垂直于另一个平面 .

9、空间角问题

(1)直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为.

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大 于直角的角,
叫这两条直线所成的角.

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ,分别作与两条异
面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的
不大于 直角的角叫做两条异面直线所成的角.

(2)直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为.②平面的垂线与平面
所成的角：规定为.

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的
射影所成的锐角,叫做这条直线 和这个平面所成的角.

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,
二证,三计算”.
< /p>

在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上
一点到面的垂线,

在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的
垂线;(2)过 斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直
性质易得垂线.

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫
做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

② 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面
内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫二面角的平面
角.

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

两相交平面如果所组成的二面角是 直二面角,那么这两个平面垂
直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于
棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面
与两个面的交线所成的角为二面 角的平面角

解三角形

(1)正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

(2)应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题.

数列

(1)数列的概念和简单表示法

①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公
式).

(2)等差数列、等比数列

①理解等差数列、等比数列的概念.

②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.

③能在具体的问题情境中,识 别数列的等差关系或等比关系,并能
用有关知识解决相应的问题.

④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

不等式

不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际
背景.

(2)一元二次不等式

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二
次方程的联系.

③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的
程序框图.

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题

①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次
不等式组.

③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加
以解决.

(4)基本不等式：

①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题圆的辅助线一般为
连圆心与切线或者连圆心与弦中点