高中数学学科测试试卷 (全)

高中数学学科测试试卷

学校：
___________< br>姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________

题号

得分



一


二


三


总分


评卷人


得 分


一．单选题（共
__
小题）

1
．设集合
P={x |x=2k-1
，
k
∈
Z}
，集合
Q={y|y=2n，
n
∈
Z}
，若
x
0
∈
P
，
y
0
∈
Q
，
a=x
0
+y
0，
b=x
0
?
y
0
，
则（ ）

A
．
a
∈
P
，
b
∈
Q
答案：
A
解析：

解：∵
x
0
∈
P
，
y
0
∈
Q
，

设
x
0
=2k-1
，
y
0
=2n
，
n
，k
∈
Z
，

则
x
0
+y
0< br>=2k-1+2n=2
（
n+k
）
-1
∈
P
，

x
0
y
0
=
（
2k-1
）（
2n
）
=2
（
2nk-n
），故
x
0y
0
∈
Q
．

故
a
∈
P
，
b
∈
Q
，

故选
A
．

2
．用
C
（
A
）表示非空集合
A
中元素个数，定义
A*B=
A={1
，
2}
，
B={x|
（
x
2
+ax
）（
x< br>2
+ax+2
）
=0}
且
A*B=1
，则实数
a
的所有取值为（ ）

A
．
0
答案：
D
解析：

解：由于（
x
2
+ax
）（
x< br>2
+ax+2
）
=0
等价于
x
2
+ax=0
①或
x
2
+ax+2=0
②，

又由
A={1
，
2}
，且
A*B=1
，

第
1
页（共
28
页）


B
．
a
∈
Q
，
b
∈
P C
．
a
∈
P
，
b
∈
P D
．
a
∈
Q
，
b
∈
Q
，若
B
．
0
，
- C
．
0
，
2 D
．
-2
，
0
，
2

∴集合
B
要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1
°集合
B
是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，

∴
a=0
；

2
°集合
B
是三元素集合， 则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，

即，

解得
a=
±
2
，

，

综上所述
a=0
或
a=
±
2
故选：
D
．

3
．设集合
S={1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9}
，集合
A={a
1
，
a
2
，
a
3
}
是
S
的子集，且
a
1
，
a
2
，
a
3
满足
a
1
＜
a
2
＜
a
3
，
a
3
-a
2
≤
6，那么满足条件的集合
A
的个数为（ ）

A
．
78
答案：
D
解析：

解：从集合
S
中任选
3
个元素组成集合
A
，一个能组成
C
9
3
个，
其中
A={1
，
2
，
9}
不合条件，其它的 都符合条件，

所以满足条件的集合
A
的个数
C
9
3
-1=83
．

故选
D
．

4
．已知集合
M={m
∈
R|m
≤
A
．
{a}
∈
M
C
．
{a}
是
M
的真子集

答案：
C
解析：

解：
∴，即
a
＜；

?
{a}
；

；

}
，
a=+
，则（ ）

B
．
a
?
M
D
．
{a}=M
B
．
76 C
．
84 D
．
83
∴a
∈
M
，且存在∈
M
，但
∴
{a}
是
M
的真子集．

第
2
页（共
28
页）

故选：
C
．

5
．下列各式：①
1
∈{0
，
1
，
2}
；②??
{0
，
1< br>，
2}
；③
{1}
∈
{0
，
1
，< br>2004}
；④
{0
，
1
，
2}
?
{0
，
1
，
2}
；⑤
{0
，
1
，
2}={2
，
0
，
1}
，其中错误的个数是（ ）

A
．
1
个

答案：
A
解析：

解：：①
1
∈
{0
，
1
，
2}
，元素与集合之间用属于符号，故正确；

②??
{0
，
1
，
2}
；空集是任何集合的子集，正确

③
{1}
∈
{0
，
1
，
2004}
；集合与集合之间 不能用属于符号，故不正确；

④
{0
，
1
，
2}
?
{0
，
1
，
2}
，集合本身是集合的子集，故正 确

⑤
{0
，
1
，
2}={2
，
0
，
1}
，根据集合的无序性可知正确；

故选：
A 6
．设
A={y|y=-1+x-2x
2
}
，若
m∈
A
，则必有（ ）

A
．
m
∈
{
正有理数
}
答案：
D
解析：

解：
y=
；

B
．
m
∈
{
负有理数
} C
．
m
∈
{
正实数
} D
．
m
∈
{
负实数
}
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

∴若
m
∈
A
则
m
＜
0
，所以
m
∈
{
负实数
}
．

故选
D
．

7
．已知集合
A={1< br>，
2
，
3}
，则
B={x-y|x
∈
A，
y
∈
A}
中的元素个数为（ ）

A
．
9
答案：
B
解析：

解：∵A={1
，
2
，
3}
，
B={x-y|x
∈< br>A
，
y
∈
A}
，

∴
x=1
，
2
，
3
，
y=1
，
2
，
3< br>．

当
x=1
时，
x-y=0
，
-1
，
-2
；

当
x=2
时，
x-y=1
，
0
，
-1
；

当
x=3
时，
x- y=2
，
1
，
0
．

即
x-y=-2，
-1
，
0
，
1
，
2
．即
B ={-2
，
-1
，
0
，
1
，
2}
共有
5
个元素．

第
3
页（共
28
页）


B
．
5 C
．
3 D
．
1

故选：
B
．

8
．设集合
A
．
m
?
P
答案：
C
解析：

解：∵集合
m=2
0.5
=
故选
C
．

9
．设
M={a}
，则下列写法正确的是（ ）

A
．
a=M
答案：
B
解析：

解：因 为集合
M={a}
，
a
是集合的元素，所以选项
B
正确；< br>A
、
C
、
D
错在
a
不是集合．

故选
B
．

10
．在整数集
Z
中，被5
除所得余数为
k
的所有整数组成一个“类”，记为
[k]
，即
[k]={5n+k|n
∈
Z}
，
k=0
，
1，
2
，
3
，
4
．给出如下四个结论：

①
2013
∈
[3]
；

②
-2
∈
[2]
；

③
Z=[0]
∪
[1]
∪
[2]
∪
[3]
∪
[4]
；

④当且仅当“
a-b
∈
[0]
”整数
a
，
b
属于同一“类”．

其中，正确结论的个数为．（ ）

A
．
1
答案：
C
解析：

解：①∵< br>2013
÷
5=402
…
3
，∴
2013
∈
[3]
，故①正确；

②∵
-2=5
×（
-1）
+3
，∴
-2
∈
[3]
，故②错误；

B
．
2 C
．
3 D
．
4
B
．
a
∈
M C
．
a
?
M D
．
aM
，则
m
∈
P
．

=
，

，
m=2
0.5
，则下列关系中正确的是（ ）

B
．
m
?
P C
．
m
∈
P D
．
m
?
P
第
4
页（共
28
页）

③∵整数集中的数被
5
除的数可以且只可以分成五类，故
Z=[0]
∪
[1]
∪
[2]
∪
[3]
∪
[4]
，故 ③正
确；

④∵整数
a
，
b
属于同一“类”，∴整 数
a
，
b
被
5
除的余数相同，从而
a-b
被
5
除的余数为
0
，

反之也成立，故当且仅当“
a-b
∈
[0]
”整数
a
，
b
属于同一“类”．故 ④正确．

正确的结论为①③④．

故选：
C
．

11
．下列六个关系式：①
{a
，
b}
?
{b，
a}
②
{a
，
b}={b
，
a}
③
0=
?④
0
∈
{0}
⑤?∈
{0}
⑥??
{0}
其中
正确的个数为（ ）

A
．
6
个

答案：
C
解析：

解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；

根据集合无序性可知②正确；

根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；

根据元素与集合之间可知④正确；

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．

故选
C
．

12
．设集合
P={x|x
2
+x-6=0}
，则集合
P
的元素个数是（ ）

A
．
0
答案：
C
解析：

解：集合
P={x|x
2
+x-6=0}
，

解方 程
x
2
+x-6=0
，得两根：
2
，
-3
则集合
P
的元素个数是
2
．

故选
C
．

13
．已知集合
A={a}
，则下列各式正确的是（ ）

A
．
aA B
．
a
∈
A C
．
a
?
A
第
5
页（共
28
页）


B
．
5
个
C
．
4
个
D
．少于
4
个

B
．
1 C
．
2 D
．
3
D
．
a=A

答案：
B
解析：

解：∵集合
A={a}
，

∴
a
∈
A
故选
B
评卷人


得 分


二．填空题（共
__
小题）

14
．已知集合
A={x|x=a+b
答案：∈

解析：

解：∵集合
A={x|x=a+b
∴取
a=b=1
，可得
故答案为：∈．

15
．设
-5
∈
{x|x
2
-ax-5=0}
，则集合
{x|x
2
-4x- a=0}
中所有元素之和为
______
．

答案：
2
解析：

解：因为
-5
∈
{x|x
2
-a x-5=0}
，

所以
25+5a-5=0
，所以
a=-4
，

x< br>2
-4x-a=0
即
x
2
-4x+4=0
，解得x=2
，所以集合
{x|x
2
-4x-a=0}={2}
．
集合
{x|x
2
-4x-a=0}
中所有元素之和为：
2
．

故答案为：
2
．

16
．已知< br>M={x
∈
R|x
≥
2}
，，则下列四个式子①
a< br>∈
M
；②
a
?
M
；③
a
?
M
；④
a
∩
M=
，
a
，
b
∈Z}
，

A
．

，
a
，
b< br>∈
Z}
，则
+1______A
（填“∈”或“?”）．

，其中正确的是
______
（填写所有正确的序号）．

答案：①

解析：

解：∵
M={x
∈
R|x
≥
2}
，，

第
6
页（共
28
页）

其中
M
为集合，
a
为元素，

∴①
a
∈
M
正确，

而②
a
?< br>M
；③
a
?
M
；④
a
∩
M=
故答案为：①．

17
．设集合
A
n
={x|x=7m+ 1
，
2
n
＜
x
＜
2
n+1
，m
∈
N}
，则
A
6
中所有元素之和为
____ __
．

答案：
891
解析：

解：令
n=6
得
2
6
＜
x
＜
2
7
，
∴
64
＜
x
＜
128
．

由
64
＜
7m+1
＜
128
，
m
∈
N
+
有
10
≤
m
≤
18
．
< br>故各元素之和为
S=9
×
71+
故答案为：
891
．

18
．已知集合
M
?
{1
，
2
，…，
n-1}
（
n
≥
2
，
n
∈
N
），若
a
∈
M
，则
n-a
∈
M
的非空集合
M
的
个数是
______
．

答案：
解析：

解：
a+
（
n-a
）=n
，而
1+
（
n-1
）
=n
，
2+
（
n-2
）
=n
，…；

∴①若
n
为偶数，
n-1
为奇数，中间一项为，满足
∴此时
M
的个数为；< br>
对；

，其它和为
n
的有

对；
-1
或
-1
×
7=891
．

，均不符合元素与集合的关系，错误．

②若
n
为奇数，
n -1
为偶数，则和为
n
的数有
∴此时
M
的个数为
故 答案为：
19
．设
答案：

解析：

，或
．

．

，则集合的所有元素的积为
______
．

第
7
页（共
28
页）

解：因为
所以
当
a=-
时，方程
所以集合
故答案为 ．

，

，解得：
a=-
，

的判别式，

的所有元素的积为方程的两根之积等于．

20
．设
A
是自然数集的一个非空子集，如果
k
2
?
A
，且
A
，那么
k
是
A
的一个“酷元”，
给定S={0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5}
，设
M
?
S
，且集合
M
中的两个元 素都是“酷元”那么这样的结
合
M
有
______
个．

答案：
5
解析：

解：∵
S={0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5}
，

由题意可知：集合
M
不能含有
0
，
1
，也不能同时 含有
2
，
4
故集合
M
可以是
{2
，3}
、
{2
，
5}
、
{3
，
5}、
{3
，
4}
、
{4
，
5}
，共5
个

故答案为：
5
评卷人


得 分


三．简答题（共
__
小题）

21
．若集合
{x
，
y
，
x}={1
，
2
，< br>3}
，且下列三个关系：①
x=1
；②
y
≠
1
③
z=2
有且只有一个是正
确的，求符合条件的有序数组（
x
，< br>y
，
z
）

答案：

解：（
1）若
x=1
正确，则
y
≠
1
正确，不符合只有一个正确 ；

（
2
）若
y
≠
1
正确，则
x
≠
1
，
z
≠
2
；

∴
z =1
，
x=2
，
y=3
，或
z=1
，
x= 3
，
y=2
；

（
3
）若
z=2
正确，则
x
≠
1
，
y=1
；

∴
x=3
，
y=1
，
z=2
；

∴符合条件的有序数组（
x
，
y
，
z
）为：（
2< br>，
3
，
1
），（
3
，
2
，
1
），（
3
，
1
，
2
）．

解析：

第
8
页（共
28
页）

解：（
1
）若
x=1
正确，则
y
≠
1
正确，不符合只有一个正确；

（
2
）若y
≠
1
正确，则
x
≠
1
，
z
≠
2
；

∴
z=1
，
x=2
，
y =3
，或
z=1
，
x=3
，
y=2
；
< br>（
3
）若
z=2
正确，则
x
≠
1
，
y=1
；

∴
x=3
，
y=1
，
z=2
；

∴符合条件的有序数组（
x
，
y
，
z
）为：（
2< br>，
3
，
1
），（
3
，
2
，
1
），（
3
，
1
，
2
）．

22
．
S
1
、
S
2
、
S
3
为 非空整数集合，对应
1
、
2
、
3
的任意一个排列
i
、
j
、
k
，若
x
∈
S
i
，
y
∈
S
j
，则
y-x
∈
S
k< br>
（
1
）证明：
3
个集合中至少有两个相等

（
2
）
3
个集合中是否可能有两个集合无公共元素？

答案：

解：（
1
）证明：若
x
∈
Si
，
y
∈
S
j
，则
y-x
∈
S
k
，从而（
y-x
）
-y=-x
∈
S
i
，所以
S
i
中有非负元素；

由
i
，j
，
k
的任意性可知三个集合中都有非负元素；

若三个集合都 没有
0
，则取
S
1
∪
S
2
∪
S< br>3
中最小的正整数
a
（由于三个集合中都有非负整数，
所以这样的a
存在）；

不妨设
a
∈
S
1
，取< br>S
2
∪
S
3
中的最小正整数
b
，并不妨设< br>b
∈
S
2
，这时
b
＞
a
（否则b
不可能大
于
a
，只能等于
a
，所以
b-a= 0
∈
S
3
，矛盾）；

但是，这样就导致了
0＜
b-a
＜
b
，且
b-a
∈
S
3，这时与
b
为
S
2
∪
S
3
中的最小正 整数矛盾；

∴三个集合中必有一个集合含有
0
．

∵三个 集合中有一个集合含有
0
，不妨设
0
∈
S
1
，则对 任意
x
∈
S
2
，有
x-0=x
∈
S
3
；

∴
S
2
包含于
S
3
；

对于任意
y
∈
S
3
，有
y-0=y
∈
S
2
；

∴
S
3
包含于
S
2
，则S
2
=S
3
；

综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；

（
2
）可能；

比如
S
1
={
奇 数
}
，
S
2
={
奇数
}
，
S3
={
偶数
}
；

这时
S
1
∩
S
3
=
?．

解析：

解：（
1
）证明：若
x
∈
Si
，
y
∈
S
j
，则
y-x
∈
S
k
，从而（
y-x
）
-y=-x
∈
S
i
，所以
S
i
中有非负元素；

第
9
页（共
28
页）

由
i
，
j
，
k
的任意性可知三个集合中都有非负元 素；

若三个集合都没有
0
，则取
S
1
∪
S
2
∪
S
3
中最小的正整数
a
（由于三个集合中都 有非负整数，
所以这样的
a
存在）；

不妨设
a
∈
S
1
，取
S
2
∪
S
3
中的最小正 整数
b
，并不妨设
b
∈
S
2
，这时
b＞
a
（否则
b
不可能大
于
a
，只能等于
a
，所以
b-a=0
∈
S
3
，矛盾）；

但是，这样就导致了
0
＜
b-a
＜
b
，且
b-a
∈
S
3
，这时与
b
为
S
2
∪S
3
中的最小正整数矛盾；

∴三个集合中必有一个集合含有
0
．

∵三个集合中有一个集合含有
0
，不妨设
0
∈
S
1
，则对任意
x
∈
S
2
，有
x-0=x
∈
S
3
；

∴
S
2
包含于
S
3
；

对于 任意
y
∈
S
3
，有
y-0=y
∈
S
2
；

∴
S
3
包含于
S
2
，则
S
2
=S
3
；

综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；

（
2
）可能；

比如
S
1
={
奇 数
}
，
S
2
={
奇数
}
，
S3
={
偶数
}
；

这时
S
1
∩
S
3
=
?．

23
．已知集合
A={x
∈
R|x
2
+2x+a=0}< br>．

（
1
）若
A
中只有一个元素，求实数
a
的值，并求出这个元素；

（
2
）若
A
中至多有一 个元素，求实数
a
的取值范围．

答案：

解：（
1
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈
R}
中只有一个元素，

则关 于
x
的一元二次方程
x
2
+2ax+1=0
有两个相等的实 根，

即：△
=4a
2
-4=0
，解得，
a=±
1
，

∴
a=1
时，解
x
2
+2x+1=0
，解得：
x=-1
，

a=-1
时，解< br>x
2
-2x+1=0
，解得：
x=1
；

（
2
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈
R}
中至多一个元素，

则△
=4a
2
-4
≤
0
解得：
-1
≤
a
≤
1
．

解析：

解：（
1
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈
R}
中只有一个元素，

第
10
页（共
28
页）

则关于
x
的一元二次方程
x
2
+ 2ax+1=0
有两个相等的实根，

即：△
=4a
2
-4 =0
，解得，
a=
±
1
，

∴
a=1时，解
x
2
+2x+1=0
，解得：
x=-1
，

a=-1
时，解
x
2
-2x+1=0
，解得：
x=1
；

（
2
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈
R}< br>中至多一个元素，

则△
=4a
2
-4
≤
0
解得：
-1
≤
a
≤
1
．

24< br>．已知集合
A={0
，
2a-1
，
a
2
}< br>，
B={a-5
，
1-a
，
9}
，分别求符合下列条 件的
a
的值．

（
1
）
9
∈（
A
∩
B
）；

（
2
）
{9}=A
∩
B
．

答案：

解：（
1
）
9
∈（
A
∩
B
）；

∴
9
∈
A
；

∴
2a-1=9
，或
a
2
=9
；

∴
a=5
，或
a=
±
3
；

①< br>a=5
时，
A={0
，
9
，
25}
，
B={0
，
-4
，
9}
，满足条件；

②
a=3
时，
B={-2
，
-2
，
9}
，不满足集 合元素的互异性；

③
a=-3
时，
A={0
，
- 7
，
9}
，
B={-8
，
4
，
9}
，满足条件；

∴
a=5
，或
-3
；

（
2
）
{9}=A
∩
B
；

同样得到
9
∈
A
；

由（
1
）知 ，
a=5
时，
A
∩
B={0
，
9}
，不满 足条件；

a=3
时集合
B
不存在，
a=-3
时有
A
∩
B={9}
；

∴
a=-3
．

解析：

解：（
1
）
9
∈（
A
∩
B
）；

∴
9
∈
A
；

∴
2a-1=9
，或
a
2
=9
；

∴
a=5
，或
a=
±
3
；

第
11
页（共
28
页）

①
a=5
时，
A={0
，
9，
25}
，
B={0
，
-4
，
9}
， 满足条件；

②
a=3
时，
B={-2
，
-2，
9}
，不满足集合元素的互异性；

③
a=-3
时，
A={0
，
-7
，
9}
，
B={-8
，< br>4
，
9}
，满足条件；

∴
a=5
，或
-3
；

（
2
）
{9}=A
∩
B
；

同样得到
9
∈
A
；

由（
1
）知 ，
a=5
时，
A
∩
B={0
，
9}
，不满 足条件；

a=3
时集合
B
不存在，
a=-3
时有
A
∩
B={9}
；

∴
a=-3
．

25
．当
a
，
b
在实数范围内变化时，函数
f
（
x
）
=acosx+bsi nx
的全体记为集合
M
．

（
1
）求证：当
a
1
=a
2
，
b
1
=b
2
（< br>a
1
，
a
2
，
b
1
，
b< br>2
∈
R
）不同时成立时，
f
1
（
x
）
=a
1
cosx+b
1
sinx
和
f
2
（
x
）
=a
2
cosx+b
2
sinx< br>是集合
M
中的两个不同的元素；

（
2
）若
f
0
（
x
）
=a
0
cosx+b
0
sinx
∈
M
，对任意
t
∈
R
，函数
f
0
（
x+t
）的全体记为集合
A
，证明：
A
?
M
．

答案：

（
1
）：反证法，假 设
f
1
（
x
）
=f
2
（
x
）

（
a
1
-a
2
）
cosx+
（
b
1
-b
2
）
sinx=0
M
中元 素样式中，
x
是变量，
cosx
有不为零的可能，当
cosx
≠
0
时，

（
a
1
-a
2
）< br>+
（
b
1
-b
2
）
tanx=0
，

∵以
tanx
为变量的一元一次方程有无数个解，

∴?
a
1
=a
2
且
b
1
=b
2
，

与
a
1
，
a
2
，
b
1
，
b
2
不同时相等矛盾；

（
2
）对于任意的
t
，

f
0
（
x+t
）

=a
0
cos
（
x+t
）
+b
0
sin
（
x+t
）

=a
0
（
cosxcost-sinxsint
）< br>+b
0
（
sinxcost+cosxsint
）

=
（
a
0
cost+b
0
sint
）
co sx+
（
b
0
cost-a
0
sint
）
sint
，

令
a
0
cost+b
0
si nt=at
，
b
0
cost-a
0
sint=bt
，

第
12
页（共
28
页）

则
f
0
（
x+t
）
< br>=
（
a
0
cost+b
0
sint
）
cosx+
（
b
0
cost-a
0
sint
）< br>sint
=atcosx+btsint
∈
M
，

原命题得证．

解析：

（
1
）：反证法，假设< br>f
1
（
x
）
=f
2
（
x
）

（
a
1
-a
2
）
cosx+
（
b
1
-b
2
）
sinx=0
M
中元素样 式中，
x
是变量，
cosx
有不为零的可能，当
cosx
≠
0
时，

（
a
1
-a
2
）
+
（
b
1
-b
2
）
tanx=0
，
∵以
tanx
为变量的一元一次方程有无数个解，

∴?a
1
=a
2
且
b
1
=b
2
，

与
a
1
，
a
2
，
b
1
，
b
2
不同时相等矛盾；

（
2
）对于任意的
t
，

f
0
（
x+t
）

=a
0
cos
（
x+t
）
+b
0
sin
（
x+t
）

=a
0
（
cosxcost-sinxsint
）< br>+b
0
（
sinxcost+cosxsint
）

=
（
a
0
cost+b
0
sint
）
co sx+
（
b
0
cost-a
0
sint
）
sint
，

令
a
0
cost+b
0
si nt=at
，
b
0
cost-a
0
sint=bt
，

则
f
0
（
x+t
）

=（
a
0
cost+b
0
sint
）
cosx+
（
b
0
cost-a
0
sint
）
sin t
=atcosx+btsint
∈
M
，

原命题得证．

26
．设
M=a{a|a=x
2
- y
2
，
x
，
y
∈
Z}
．

（
1
）求证：
2k+1
∈
M
，（其中
k
∈
Z
）；

（
2
）求证：
4k-2
?M
，（其中
k
∈
Z
）

（
3
）属于
M
的两个整数，其积是否属于
M
．

答案：

解：（
1
）证明：令
x=k+1
，
y=k
，
k
∈
Z
；

第
13
页（共
28
页）

则
a=x
2
-y
2
=2k+1< br>∈
M
．

（
2
）假设
4k-2
∈
M
，

那 么
4k-2=x
2
-y
2
，
x
，
y
∈
Z
，

则（
x
2
-y
2
）
+=k
，

则（
x-y
）（
x+y
）
+=k
，
则（
x-y
）（
x+y
）
=2k
（
2k+1< br>），

又∵（
x-y
）（
x+y
）不可以是一奇一偶的乘积，
< br>∴
4k-2
?
M
，（
k
∈
Z
）；< br>
（
3
）设
a
1
，
a
2
∈
M
，则

a
1
a
2
=
（
x
1
2
-y
1
2
）（
x
2
2-y
2
2
）

=x
1
2
x
2
2
+y
1
2
y
2
2
-
（
x
2
2
y
1
2
+x
1
2
y
2
2
）

=
（
x
1
x
2
+y
1
y
2
）
2
-
（
x
2y
1
+x
1
y
2
）
2
∈
M< br>．

解析：

解：（
1
）证明：令
x=k+ 1
，
y=k
，
k
∈
Z
；

则a=x
2
-y
2
=2k+1
∈
M
．

（
2
）假设
4k-2
∈
M
，

那 么
4k-2=x
2
-y
2
，
x
，
y
∈
Z
，

则（
x
2
-y
2
）
+=k
，

则（
x-y
）（
x+y
）
+=k
，
则（
x-y
）（
x+y
）
=2k
（
2k+1< br>），

又∵（
x-y
）（
x+y
）不可以是一奇一偶的乘积，
< br>∴
4k-2
?
M
，（
k
∈
Z
）；< br>
（
3
）设
a
1
，
a
2
∈
M
，则

a
1
a
2
=
（
x
1
2
-y
1
2
）（
x
2
2-y
2
2
）

=x
1
2
x
2
2
+y
1
2
y
2
2
-
（
x
2
2
y
1
2
+x
1
2
y
2
2
）

=
（
x
1
x
2
+y
1
y
2
）
2
-
（
x
2y
1
+x
1
y
2
）
2
∈
M< br>．

27
．已知集合
A={x|x=3n+1
，
n< br>∈
Z}
，
B={x|x=3n+2
，
n
∈
Z }
，
M={x|x=6n+3
，
n
∈
Z}
，对于任 意
a
∈
A
，
b
∈
B
，是否一定有
a+b=m
且
m
∈
M
？

第
14
页（共
28
页）

答案：

解：∵
a
∈
A
，
b
∈
B
；
2
∴分别存在
n
1
，
n
2
∈
z
使得：

a=3n
1
+1
，
b=3n
2
+2
；

∴
a+b=3
（
n
1
+n
2
）
+3
；

而集合
M
中的条件是：
x=6n+3=3
?
2n+3
；< br>
∴要使
a+b
∈
M
，则
n
1
+n
2
=2n
，这显然不一定；

∴不一定有
a+b=m
且
m
∈
M
．

解析：

解：∵
a
∈
A
，
b
∈< br>B
；
2
∴分别存在
n
1
，
n
2< br>∈
z
使得：

a=3n
1
+1
，
b =3n
2
+2
；

∴
a+b=3
（
n1
+n
2
）
+3
；

而集合
M
中的条件是：
x=6n+3=3
?
2n+3
；

∴要使< br>a+b
∈
M
，则
n
1
+n
2
=2n
，这显然不一定；

∴不一定有
a+b=m
且
m
∈
M
．


高中数学学科测试试卷

学校：
___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________

题号

得分



一


二


总分


评卷人


得 分


一．单选题（共
__
小题）

1
．设集合
S={1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9}
，集合
A={a
1
，
a
2
，
a
3
}
是
S
的子集，且
a
1
，
a
2
，
a
3
满 足
a
1
＜
a
2
＜
a
3
，
a
3
-a
2
≤
6
，那么满足条件的集合
A
的个数为（ ）

第
15
页（共
28
页）

A
．
78
答案：
D
解析：

B
．
76 C
．
84 D
．
83
解：从集合
S
中任选
3
个元素组成集合
A
，一个能组成
C
9
3
个，

其中
A={1
，
2
，
9}
不合条件，其它的都符合条件，
< br>所以满足条件的集合
A
的个数
C
9
3
-1=83．

故选
D
．

评卷人


得 分


二．简答题（共
__
小题）

2
．已知集合
A={0
，
2a-1
，
a
2
}
，
B={a-5
，
1-a
，
9}
，分别求符合下 列条件的
a
的值．

（
1
）
9
∈（
A
∩
B
）；

（
2
）
{9}=A
∩
B
．

答案：

解：（
1
）
9
∈（
A
∩
B
）；

∴
9
∈
A
；

∴
2a-1=9
，或
a
2
=9
；

∴
a=5
，或
a=
±
3
；

①< br>a=5
时，
A={0
，
9
，
25}
，
B={0
，
-4
，
9}
，满足条件；

②
a=3
时，
B={-2
，
-2
，
9}
，不满足集 合元素的互异性；

③
a=-3
时，
A={0
，
- 7
，
9}
，
B={-8
，
4
，
9}
，满足条件；

∴
a=5
，或
-3
；

（
2
）
{9}=A
∩
B
；

同样得到
9
∈
A
；

由（
1
）知 ，
a=5
时，
A
∩
B={0
，
9}
，不满 足条件；

a=3
时集合
B
不存在，
a=-3
时有
A
∩
B={9}
；

∴
a=-3
．

解析：

解：（
1
）
9
∈（
A
∩
B
）；

第
16
页（共
28
页）

∴
9
∈
A
；

∴
2a-1=9
，或
a
2
=9
；

∴
a=5
，或
a=
±
3
；

①< br>a=5
时，
A={0
，
9
，
25}
，
B={0
，
-4
，
9}
，满足条件；

②
a=3
时，
B={-2
，
-2
，
9}
，不满足集 合元素的互异性；

③
a=-3
时，
A={0
，
- 7
，
9}
，
B={-8
，
4
，
9}
，满足条件；

∴
a=5
，或
-3
；

（
2
）
{9}=A
∩
B
；

同样得到
9
∈
A
；

由（
1
）知 ，
a=5
时，
A
∩
B={0
，
9}
，不满 足条件；

a=3
时集合
B
不存在，
a=-3
时有
A
∩
B={9}
；

∴
a=-3
．

高中数学学科测试试卷

学校：< br>___________
姓名：
___________
班级：
___ ________
考号：
___________

题号

得分



一


二


三


总分


评卷人


得 分


一．单选题（共
__
小题）

1
．设集合
P={x|x=2k-1
，
k
∈
Z}
， 集合
Q={y|y=2n
，
n
∈
Z}
，若
x
0
∈
P
，
y
0
∈
Q
，
a=x< br>0
+y
0
，
b=x
0
?
y
0
，
则（ ）

A
．
a
∈
P
，
b
∈
Q
答案：
A
解析：

解：∵
x
0
∈
P
，
y
0
∈
Q
，

设
x
0
=2k-1
，
y
0
=2n
，
n
，k
∈
Z
，

则
x
0
+y
0< br>=2k-1+2n=2
（
n+k
）
-1
∈
P
，

第
17
页（共
28
页）


B
．
a
∈
Q
，
b
∈
P C
．
a
∈
P
，
b
∈
P D
．
a
∈
Q
，
b
∈
Q

x
0
y
0
=
（
2k-1
）（
2n
）
=2
（
2nk-n
），故
x< br>0
y
0
∈
Q
．

故
a
∈
P
，
b
∈
Q
，

故选
A
．

2
．用
C
（
A
）表示非空集合
A
中元素个数，定义
A*B=
A={1
，
2}
，
B={x|
（
x
2
+ax
）（
x< br>2
+ax+2
）
=0}
且
A*B=1
，则实数
a
的所有取值为（ ）

A
．
0
答案：
D
解析：

解：由于（
x
2
+ax
）（
x< br>2
+ax+2
）
=0
等价于
x
2
+ax=0
①或
x
2
+ax+2=0
②，

又由
A={1
，
2}
，且
A*B=1
，

∴集合
B
要么是单元素集合，要么是三元素集合，

1
°集合
B
是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，

∴
a=0
；

2
°集合
B
是三元素集合， 则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，

即，

B
．
0
，
- C
．
0
，
2 D
．
-2
，
0
，
2
，若
解得
a=
±
2
，

，
综上所述
a=0
或
a=
±
2
故选：
D
．

3
．设集合
S={1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9}
，集合
A={a
1
，
a
2
，a
3
}
是
S
的子集，且
a
1
，
a
2
，
a
3
满足
a
1
＜
a2
＜
a
3
，
a
3
-a
2
≤< br>6
，那么满足条件的集合
A
的个数为（ ）

A
．
78
答案：
D
解析：

解：从集 合
S
中任选
3
个元素组成集合
A
，一个能组成
C< br>9
3
个，

其中
A={1
，
2
，< br>9}
不合条件，其它的都符合条件，

所以满足条件的集合
A
的个数
C
9
3
-1=83
．

第
18
页（共
28
页）


B
．
76 C
．
84 D
．
83

故选
D
．

4
．已知集合
M={m
∈
R|m
≤
A
．
{a}
∈
M
C
．
{a}
是
M
的真子集

答案：
C
解析：

解：
∴，即
a
＜；

?
{a}
；

；

}
，
a=+
，则（ ）

B
．
a
?
M
D
．
{a}=M
∴
a
∈
M
，且存在∈
M
，但
∴
{a}是
M
的真子集．

故选：
C
．

5< br>．下列各式：①
1
∈
{0
，
1
，
2}
；②??
{0
，
1
，
2}
；③
{1}
∈
{0
，
1
，
2004}
；④
{0
，
1
，
2}
?
{0
，
1
，
2}
； ⑤
{0
，
1
，
2}={2
，
0
，
1}
，其中错误的个数是（ ）

A
．
1
个

答案：
A
解析：

解：：①
1
∈
{0< br>，
1
，
2}
，元素与集合之间用属于符号，故正确；

②??
{0
，
1
，
2}
；空集是任何集合的子集，正确< br>
③
{1}
∈
{0
，
1
，
2004 }
；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；

④
{0
，
1
，
2}
?
{0
，
1
，
2}
， 集合本身是集合的子集，故正确

⑤
{0
，
1
，
2 }={2
，
0
，
1}
，根据集合的无序性可知正确；

故选：
A
6
．设集合
A
．
m
?
P
答案：
C
解析：

解：∵集合
=
，

第
19
页（共
28
页）


B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

，
m=2
0.5
，则下列关系中正确的是（ ）

B
．
m
?
P C
．
m
∈
P D
．
m
?
P

m=2
0.5
=
故选
C
．

，则
m
∈
P
．

7
．在整数集
Z
中，被
5
除所得余数为
k
的所有整数组成一个“类”，记为
[k]
，即
[k]={5n+k|n
∈
Z}
，
k=0
，
1
，
2
，
3
，
4
．给出如下四个结论 ：

①
2013
∈
[3]
；

②
-2
∈
[2]
；

③
Z=[0]
∪
[1]
∪
[2]
∪
[3]
∪
[4]
；

④当且仅当“
a-b
∈
[0]
”整数
a
，
b
属于同一“类”．

其中，正确结论的个数为．（ ）

A
．
1
答案：
C
解析：

解：①∵< br>2013
÷
5=402
…
3
，∴
2013
∈
[3]
，故①正确；

②∵
-2=5
×（
-1）
+3
，∴
-2
∈
[3]
，故②错误；
③∵整数集中的数被
5
除的数可以且只可以分成五类，故
Z=[0]
∪< br>[1]
∪
[2]
∪
[3]
∪
[4]
，故③正
确；

④∵整数
a
，
b
属于同一“类”，∴整数< br>a
，
b
被
5
除的余数相同，从而
a-b
被< br>5
除的余数为
0
，

反之也成立，故当且仅当“
a- b
∈
[0]
”整数
a
，
b
属于同一“类”．故④正 确．

正确的结论为①③④．

故选：
C
．
8
．下列六个关系式：①
{a
，
b}
?
{b
，
a}
②
{a
，
b}={b
，
a}
③
0=
?④
0
∈
{0}
⑤?∈
{0}
⑥??
{0}
其中正
确的个数为（ ）

A
．
6
个

答案：
C
解析：

解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；

根据集合无序性可知②正确；

根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；

第
20
页（共
28
页）


B
．
2 C
．
3 D
．
4
B
．
5
个
C
．
4
个
D
．少于
4
个

根据元素与集合之间可知④正确；

根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．

故选
C
．

9
．设集合
P={x|x
2< br>+x-6=0}
，则集合
P
的元素个数是（ ）

A
．
0
答案：
C
解析：

解：集合
P={x|x
2
+x-6=0}
，

解方 程
x
2
+x-6=0
，得两根：
2
，
-3
则集合
P
的元素个数是
2
．

故选
C
．

10
．已知集合
A={a}
，则下列各式正确的是（ ）

A
．
a
答案：
B
解析：

解：∵集合
A={a}
，

∴
a
∈
A
故选
B
A B
．
a
∈
A C
．
a
?
A D
．
a=A
B
．
1 C
．
2 D
．
3
评卷人


得 分


二．填空题（共
__
小题）

11
．已知集合
A={x|x=a+b
答案：∈

解析：

解：∵集合
A={x|x=a+b
∴取
a=b=1
，可得
故答案为：∈．

第
21
页（共
28
页）


，
a
，
b
∈
Z}
，则
+1______A
（填“∈”或 “?”）．

，
a
，
b
∈
Z}
，

A
．

12
．已知
M={x∈
R|x
≥
2}
，，则下列四个式子①
a
∈
M
；②
a
?
M
；③
a
?
M
；④a
∩
M=
，其中正确的是
______
（填写所有正确的序号） ．

答案：①

解析：

解：∵
M={x
∈
R|x
≥
2}
，
其中
M
为集合，
a为元素，

∴①
a
∈
M
正确，

而②
a
?
M
；③
a
?
M
；④
a
∩
M=
故答案为：①．

13
．已知集合
M
?< br>{1
，
2
，…，
n-1}
（
n
≥
2
，
n
∈
N
），若
a
∈
M
，则n-a
∈
M
的非空集合
M
的
个数是
_____ _
．

答案：
解析：

解：
a+
（
n-a
）
=n
，而
1+
（
n-1
）
=n
，
2+
（
n-2
）
=n
，…；

∴①若
n
为偶数，
n-1
为奇数，中间一项为，满足
∴此时
M
的个数为；

对；

，其它和为
n
的有

对；
-1
或
-1
，均不符合元素与集合的关系，错误．

，

②若
n
为奇数，
n-1
为偶数，则和为
n
的数有
∴此时
M
的个数为
故答案为：
14
．设
答案：

解析：

解：因为
所以
，

，解得：
a=-
，

，或
．

．

，则集合的所有元素的积为
______
．

第
22
页（共
28
页）

当
a=-
时，方程
所以集合
故答案为．

的判别式，

的所有元素的积为方程的两根之积等于．

15
．设
A
是自然数集的一个非空子集，如果
k
2
?
A
，且
A
，那么
k
是
A
的一个“酷元”，
给定S={0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5}
，设
M
?
S
，且集合
M
中的两个元 素都是“酷元”那么这样的结
合
M
有
______
个．

答案：
5
解析：

解：∵
S={0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5}
，

由题意可知：集合
M
不能含有
0
，
1
，也不能同时 含有
2
，
4
故集合
M
可以是
{2
，3}
、
{2
，
5}
、
{3
，
5}、
{3
，
4}
、
{4
，
5}
，共5
个

故答案为：
5
评卷人


得 分


三．简答题（共
__
小题）

16
．若集合
{x
，
y
，
x}={1
，
2
，< br>3}
，且下列三个关系：①
x=1
；②
y
≠
1
③
z=2
有且只有一个是正
确的，求符合条件的有序数组（
x
，< br>y
，
z
）

答案：

解：（
1）若
x=1
正确，则
y
≠
1
正确，不符合只有一个正确 ；

（
2
）若
y
≠
1
正确，则
x
≠
1
，
z
≠
2
；

∴
z =1
，
x=2
，
y=3
，或
z=1
，
x= 3
，
y=2
；

（
3
）若
z=2
正确，则
x
≠
1
，
y=1
；

∴
x=3
，
y=1
，
z=2
；

∴符合条件的有序数组（
x
，
y
，
z
）为：（
2< br>，
3
，
1
），（
3
，
2
，
1
），（
3
，
1
，
2
）．

解析：

解：（
1
）若
x=1
正确，则
y
≠
1
正确，不符合只有一个正确；

（
2
）若y
≠
1
正确，则
x
≠
1
，
z
≠
2
；

∴
z=1
，
x=2
，
y =3
，或
z=1
，
x=3
，
y=2
；

第
23
页（共
28
页）

（
3
）若
z=2
正确，则
x≠
1
，
y=1
；

∴
x=3
，
y=1
，
z=2
；

∴符合条件的有序数组（
x
，
y
，
z
）为：（
2< br>，
3
，
1
），（
3
，
2
，
1
），（
3
，
1
，
2
）．

17
．已知集合
A={x
∈
R|x
2
+2x+a=0}
．

（
1
）若
A
中只有一个元素，求实数
a
的值，并求出这个元素；

（
2
）若
A
中至多有一个元素 ，求实数
a
的取值范围．

答案：

解：（
1）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈R
，
x
∈
R}
中只有一个元素，

则关于x
的一元二次方程
x
2
+2ax+1=0
有两个相等的实根，< br>
即：△
=4a
2
-4=0
，解得，
a=
±
1
，

∴
a=1
时，解
x
2
+2 x+1=0
，解得：
x=-1
，

a=-1
时，解
x
2
-2x+1=0
，解得：
x=1
；

（
2
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈
R}
中至多一个元素，

则△
=4a
2
-4
≤
0
解得：
-1
≤
a
≤
1
．

解析：

解：（
1
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈
R}
中只有一个元素，

则关于
x
的一元二次方程
x
2
+2ax+1=0
有两个相等的实根，

即：△
=4a
2< br>-4=0
，解得，
a=
±
1
，

∴
a=1
时，解
x
2
+2x+1=0
，解得：
x=-1
，

a=-1
时，解
x
2
-2x+1=0
，解得 ：
x=1
；

（
2
）若集合
A={x|x
2
+2ax+1=0
，
a
∈
R
，
x
∈R}
中至多一个元素，

则△
=4a
2
-4
≤
0
解得：
-1
≤
a
≤
1
．

18< br>．当
a
，
b
在实数范围内变化时，函数
f
（
x
）
=acosx+bsinx
的全体记为集合
M
．
（
1
）求证：当
a
1
=a
2
，
b1
=b
2
（
a
1
，
a
2
，< br>b
1
，
b
2
∈
R
）不同时成立时，
f
1
（
x
）
=a
1
cosx+b
1
sinx
和
f
2
（
x
）
=a
2
cosx+b
2
sinx
是集合
M
中的两个不同的元素；

（
2
）若
f
0
（
x
）
=a
0
cosx+b
0
sinx
∈
M
，对任意
t∈
R
，函数
f
0
（
x+t
）的全体记为集合< br>A
，证明：
A
?
M
．

第
24
页（共
28
页）

答案：

（
1
）：反证法，假设
f
1
（
x
）
=f
2
（
x
）

（
a
1
-a
2
）
cosx+
（
b
1
-b
2
）
sinx=0
M
中元素样式中，
x
是变量，
cosx
有不为零的可能，当
cosx
≠
0
时，

（
a
1
-a
2
）
+< br>（
b
1
-b
2
）
tanx=0
，

∵以
tanx
为变量的一元一次方程有无数个解，

∴?
a
1
=a
2
且
b
1
=b
2
，

与
a
1
，
a
2
，
b
1
，
b
2
不同时相等矛盾；

（
2
）对于任意的
t
，

f
0
（
x+t
）

=a
0
cos
（
x+t
）
+b
0
sin
（
x+t
）

=a
0
（
cosxcost-sinxsint
）< br>+b
0
（
sinxcost+cosxsint
）

=
（
a
0
cost+b
0
sint
）
co sx+
（
b
0
cost-a
0
sint
）
sint
，

令
a
0
cost+b
0
si nt=at
，
b
0
cost-a
0
sint=bt
，

则
f
0
（
x+t
）

=（
a
0
cost+b
0
sint
）
cosx+
（
b
0
cost-a
0
sint
）
sin t
=atcosx+btsint
∈
M
，

原命题得证．

解析：

（
1
）：反证法，假设< br>f
1
（
x
）
=f
2
（
x
）

（
a
1
-a
2
）
cosx+
（
b
1
-b
2
）
sinx=0
M
中元素样 式中，
x
是变量，
cosx
有不为零的可能，当
cosx
≠
0
时，

（
a
1
-a
2
）
+
（
b
1
-b
2
）
tanx=0
，
∵以
tanx
为变量的一元一次方程有无数个解，

∴?a
1
=a
2
且
b
1
=b
2
，

与
a
1
，
a
2
，
b
1
，
b
2
不同时相等矛盾；

（
2
）对于任意的
t
，

第
25
页（共
28
页）

f
0
（
x+t
）

=a
0
cos
（
x+t
）
+b
0
sin
（
x+t
）

=a
0
（
cosxcost-si nxsint
）
+b
0
（
sinxcost+cosxsint）

=
（
a
0
cost+b
0
sin t
）
cosx+
（
b
0
cost-a
0
s int
）
sint
，

令
a
0
cost+ b
0
sint=at
，
b
0
cost-a
0
sint=bt
，

则
f
0
（
x+t
）

=
（
a
0
cost+b
0
sint
）
cosx+
（< br>b
0
cost-a
0
sint
）
sint
=atcosx+btsint
∈
M
，

原命题得证．

19
．设
M=a{a|a=x
2
- y
2
，
x
，
y
∈
Z}
．

（
1
）求证：
2k+1
∈
M
，（其中
k
∈
Z
）；

（
2
）求证：
4k-2
?M
，（其中
k
∈
Z
）

（
3
）属于
M
的两个整数，其积是否属于
M
．

答案：

解：（
1
）证明：令
x=k+1
，
y=k
，
k
∈
Z
；

则
a=x
2
-y
2
=2k+1
∈
M
．

（
2
）假设
4k-2
∈
M
，

那 么
4k-2=x
2
-y
2
，
x
，
y
∈
Z
，

则（
x
2
-y
2
）
+=k
，

则（
x-y
）（
x+y
）
+=k
，
则（
x-y
）（
x+y
）
=2k
（
2k+1< br>），

又∵（
x-y
）（
x+y
）不可以是一奇一偶的乘积，
< br>∴
4k-2
?
M
，（
k
∈
Z
）；< br>
（
3
）设
a
1
，
a
2
∈
M
，则

a
1
a
2
=
（
x
1
2
-y
1
2
）（
x
2
2-y
2
2
）

=x
1
2
x
2
2
+y
1
2
y
2
2
-
（
x
2
2
y
1
2
+x
1
2
y
2
2
）

=
（
x
1
x
2
+y
1
y
2
）
2
-
（
x
2y
1
+x
1
y
2
）
2
∈
M< br>．

解析：

第
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页（共
28
页）

解：（
1
）证明：令
x=k+1
，
y=k
，
k
∈
Z
；

则
a=x
2
-y
2
=2k+1
∈
M
．

（
2
）假设
4k-2
∈
M
，

那 么
4k-2=x
2
-y
2
，
x
，
y
∈
Z
，

则（
x
2
-y
2
）
+=k
，

则（
x-y
）（
x+y
）
+=k
，
则（
x-y
）（
x+y
）
=2k
（
2k+1< br>），

又∵（
x-y
）（
x+y
）不可以是一奇一偶的乘积，
< br>∴
4k-2
?
M
，（
k
∈
Z
）；< br>
（
3
）设
a
1
，
a
2
∈
M
，则

a
1
a
2
=
（
x
1
2
-y
1
2
）（
x
2
2-y
2
2
）

=x
1
2
x
2
2
+y
1
2
y
2
2
-
（
x
2
2
y
1
2
+x
1
2
y
2
2
）

=
（
x
1
x
2
+y
1
y
2
）
2
-
（
x
2y
1
+x
1
y
2
）
2
∈
M< br>．

20
．已知集合
A={x|x=3n+1
，
n< br>∈
Z}
，
B={x|x=3n+2
，
n
∈
Z }
，
M={x|x=6n+3
，
n
∈
Z}
，对于任 意
a
∈
A
，
b
∈
B
，是否一定有
a+b=m
且
m
∈
M
？

答案：

解：∵
a
∈
A
，
b
∈
B
；
2
∴分别存在
n
1
，
n
2
∈
z
使得 ：

a=3n
1
+1
，
b=3n
2
+2< br>；

∴
a+b=3
（
n
1
+n
2< br>）
+3
；

而集合
M
中的条件是：
x=6n +3=3
?
2n+3
；

∴要使
a+b
∈
M
，则
n
1
+n
2
=2n
，这显然不一定；

∴不一定有
a+b=m
且
m
∈
M
．

解析：

解：∵
a
∈
A
，
b
∈< br>B
；
2
∴分别存在
n
1
，
n
2< br>∈
z
使得：

a=3n
1
+1
，
b =3n
2
+2
；

∴
a+b=3
（
n1
+n
2
）
+3
；

第
27
页（共
28
页）

而集合
M
中的条件是：
x=6n+3=3
?
2n+3
；

∴要使
a+b
∈
M
，则< br>n
1
+n
2
=2n
，这显然不一定；

∴不一定有
a+b=m
且
m
∈
M
．


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页）