高中数学应用题

高中应用题专题复习
例1．建筑一个容积为48米
3
，深 为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的
造价为2a元。把总造价y表示为 底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。
解：容积=底面积×高= 48 ? 底面积×3 = 48 ? 底面另一边长：m =
池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +
池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a
∴ y = 6(x +
16

x
1616
)a = 6(x +)a
xx
16
)a + 32a ( x > 0 )
x
例2. 有 根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，
才能 使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.
解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x
6?7x

x
3
6?7x6
即窗框的面积 y = 3x ·= ?7x
2
+ 6x ( 0 < x <)
2x
37
3
2
9
配方：y =
?7(x?)?
( 0 < x < 2 )
77
336
∴ 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.
777
∴ 窗框的高为3x，宽为
3．利润问题：（1）利润=收入?成本 （2）利润=单位利润×销售量
例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出10 0个。若该商品的单价每涨1元，则每天
销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大 ？
分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价?进货单价= 10? 8 = 2
（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商
品 的利润= 2+ x元, 销售量为100 ?10x个
∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 ?10x ) = ?10x
2
+ 80x + 200 = ?10( x ? 4)
2
+ 360
即当x = 4时，y有最大值360
∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.
4．与增长率相关的问题：
经过年
〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)
x

经过年
增长率为负：原产量×(1 ? 增长的百分率)
x

例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随
经过年数变化的函数关系式.
解：设经过x年后，年产量为y, 则y = a( 1 + p%)
x


例9. 画一个边长2厘米的正方形，再以这 个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对
角线为边画第3个正方形，这样一共画了1 0个正方形，求：
（1） 第10个正方形的面积
（2） 这10个正方形的面积的和
解：（1）设{a
n
}表示各正方形的面积
∵ a
1
= 2
2
= 4, a
2
= (
22
)
2
, a
3
= 4
2
= 8
∴ {a
n
}是公比为2的等比数列
第10个正方形的面积a
10
= a
1
q
9
= 4×2
9
= 2048 (厘米
2
)
（2）这10个正方形的面 积和
S
10
a
1
(1?q
10
)
4(1? 2
10
)
???4092
（厘米
2
）
1?q1 ?2
例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共
1

经过了多少米？
解：设球落下的高度依次为a
1
, a
2
, …, a
10
.
1
的等比数列
2
1
100[1?( )
10
]
25575
2
则球第10次落下时落下的路程为
S
10
???200

1
128
1?
2
∵ a
1
= 100, a
2
= 50, a
3
= 25 ∴ {a
n
}是公比为
∴本球共经过的路程为S = 2S
10
? 100 ≈300 （米）
一．解析几何中的应用题
例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？
解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x
2
= ?2py
y
依题意知：x = 2时，y = ?2代入方程得p = 1
即抛物线方程为 x
2
= ?y, 当水面下降1米时，y = ?3 ? x =
3

∴ 水面宽为2x =
23
≈3.5 (米)
例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地
球的中心F
2
为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，
远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫
星的轨道方程.
解：如图建立坐标系
∵ a ?c = |OA| ? | OF
2
| = |F
2
A| = 6371 + 439 = 6810
a + c = |OB| + |OF
2
| = |F
2
B| = 6371 + 2384 = 8755
∴ a = 7782.5, c = 972.5 ? b
2
= 7721.5
2

0
2
4
y
x
B F
1
F
2
·

·

O
A
x
x
2
y
2
??1
即卫星的轨道 方程是：步
7783
2
7722
2
例18．在相距1400米的A、 B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米秒，炮弹爆
炸点在怎样的曲线上？并求 出轨迹方程.
解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t + 3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M
y
则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020
两式相减：|MA| ? |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)
M
∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）
A O B
x
∴ A(?700, 0 ), B( 700, 0 ) ? c = 700
且 2a = 1020 ? a = 510 ? b
2
=229900
x
2
y
2
??1
( x > 0 ) 炮弹爆炸的轨迹方程是：
26
例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物 资从P处紧急运往灾区. P往灾区有两条
道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了 使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在
灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较 近. 求出该界线的方程.
解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：
（1）沿PA线路 （2）沿PB线路 （3）沿PA、PB线路都相同
M
故分界线以第（3）种情况划分：即
B
|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ? 110 + |MA| = 150 + |MB|
A
∴ |MA|?|MB| = 40, 即知分界线是以A、B为焦点的双曲线
AB = 50 ? 2c = 50 ? c = 25, 2a = 40 ? a = 20 ? b
2
= 225
若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系
y
2
x
2
则分界线方程是：
??1
（在矩形内的一段）
400225
注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.
2

P

练习：
1某森林出现火灾，火 势正以每分钟
100m
2
的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前
去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火
50m
2，所消耗的灭火
材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械 和装备等费用平均每人
100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派
x
名消防队员前去救火，用
t
分钟将火扑灭，试建立
t
与
x
的函数关系式；
（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
2有 一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)
与车速v(kmh)和车长l(m)的关系满足：
d?kvl?
2
1
l
（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为
2
60（kmh)时，车距为2.66个车 身长。
（1）写出车距d关于车速v的函数关系式;
（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
3 电信局根据市场客户的 不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费
（元）与通话时间（分钟 ）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）
（1） 若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？
（2） 方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3） 通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场 。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为
直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的 塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元
(1) 设半圆的半径OA=
r
(米),试建立塑胶跑道
面积S与
r
的函数关系S(
r
)
(2) 由于条件 限制
r?
?
30,40
?
,问当
r
取何值时,运动 场
造价最低?（精确到元）
10某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品 的年销售量（即该厂的年产量）
x
万件与年促
销费用
m
万元（
m?0)满足x?3?
k
（
k
为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年 销售量是1
m?1
万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品 需要再投入16万元，厂家将每
件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固 定投入和再投入两部分资金,不包
括促销费用）．
（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用
m
万元的函数；
（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
13某民营企业生产 A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B
产品的利润与投 资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．

甲 乙
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资
x
(万元)的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，
才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?

16某厂家拟在2009年举行促销 活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）
x
万件与年促
(m?0)< br>万元满足
x?3?
销费用
m
k
（
k
为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万
m?1
3

件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品 需要再投入16万元，厂家将每件
产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固 定投入和再投入两部分资金，不包括
促销费用）．
（1）将2009年该产品的利润
y
万元表示为年促销费用
m
万元的函数；
（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
17某商场在促销期 间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，
按以下方案获 得相应金额的奖券：
消费金额（元）的
范围
获得奖券的金
额（元）
[200,400)

[400,500)

[500,700)

[700,900)

……
30 60 100 130 ……
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标 价为400元的商品，则消费
金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元） 。设购买商品得到的优惠率
=
购买商品得到的优惠额
，试问
商品的标价
1
的优惠
3
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[50 0，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于
率？
18如图所 示，将一矩形花坛
ABCD
扩建成一个更大的矩形花园
AMPN
，要求B在< br>AM
上，D在
AN
上，
且对角线
MN
过C点，已知A B=3米，AD=2米，
（1）要使矩形
AMPN
的面积大于32平方米，则
AN
的长应在什么范围内?
(2)当
AN
的长度是多少时，矩形
AMPN
的面积最小?并求最小面积；
(3)若
AN
的长度不少于6米，则 当
AN
的长度是多少时，矩形
AMPN
的面积最小？并求出最小面积。


< br>19已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为
1. 8
元千克，
每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如 下: 7天以内（含7天），
无论重量多少，均按元天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的 重量，以每天元千
．．
10
．．．．．．．．．．
0.03
．．．． ．．．
克支付.高考资源网
．．．
（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的 保管费用
P
是多少元？高考资源网
（2）设该厂
x
天购买一次配料 ，求该厂在这
x
天中用于配料的总费用
．．．
y
（元）关于
x
的函数关系式，
并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网
．．．．．．．．．
20假设A型进口车关税税率在2003年是100%，在2008年是2 5%，在2003年A型进口车每辆价格为64万
元（其中含32万元关税税款）
（1）已知 与A型车性能相近的B型国产车，2003年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低
的影响 ，为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年等额降低，问每年至
少下降多少万元？
（2）某人在2003年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1. 8%（5年内不变），且每
年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连 本带利息是否一定够买按（1）
5
中所述降价后的B型车一辆？（参考数据：1.018≈1. 093）
参考答案
1解：（1），
t?
5?10010
…………………………………………5分
?
50x?100x?2
（2）总损失为
y
，则
y
＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
y＝125
tx
＋100
x
＋60（500＋100
t
）………………………………………………9分
＝
125
?
x
?
1060000

?100x?30000?
x?2x?2
4

x?2?26000

?100(x?2?2)?30000?
x?2x?2
62500
＝
31450?100(x?2)?
………………………………… …………………11分
x?2
?31450?2100?62500?36450
… ……………………………………………13分
62500
当且仅当
100(x?2) ?
，即
x
＝27时，
y
有最小值36450．……………14分 < br>x?2
1
2.66l?l
2
?
2.16
?0.000 6
， ……4分 2．⑴因为当
v?60
时，
d?2.66l
，所以
k?
60
2
l60
2
＝
1250
?
∴
d=0.0024v
2
+2
………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为
Q
，则
Q?
1000v
1000
．即
Q
?
1000v ……12分
?
2
6
d?4
0.0024v?6
0. 0024v?
v
66
∵
0.0024v?≥20.0024v??0.24< br>
vv
1000125006
12500
，当且仅当
0.00 24v?
，即
v?50
时，
Q
取最大值．
?
0.243v
3
y
答：当
v?50
?
kmh
?
时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分
∴
Q≤

3设通话x分钟时，方案A，B的通话费分别为
f
A
(x),f
B< br>(x)

（1）当x=120时
f
A
(x)
=116元
f
B
(x)
=168元
若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元
0?x?600?x? 500
?
98
?
168
??
,f
B
(x) ?
?
3
（2）
f
A
(x)?
?
3

x?8060?xx?18500?x
??
?
10
?
10< br>当
x?500时
f
B
(x?1)
-
f
B(x)
=0.3
方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3 元
(3) 当
x?500时
f
A
(x)?f
B
(x)

O x
0?x?60

f
A
(x)?f
B
(x)

60?x?500由
f
A
(x)?f
B
(x)
得
x?
综 合：通话时间在
(
880

3
880
,?)
内方案B较优惠。
3
5解: (1)塑胶 跑道面积
10000?
?
r
2
S?
?
?
?2??????4分
?
r?(r?8)
?
?
?8?
2r< br>
80000100
??8
?
r?64
?
(0?r?)????????6分
r
?
（2） 设运动场造价为
y

22
5

8000080000
?8< br>?
r?64
?
)?30?(10000??8
?
r?64?
)????10分
rr
80000
?300000?120(?8?
r)?7680
?
??????12分
r
r?
?30,40
?
,函数y是r的减函数
y?150?(
?当r=40,运动 场造价最低为636510元-----14分
x8
)?100(1?x)
；
1050
x
又售价不能低于成本价，所以
100(1?)?80?0
． < br>10
所以
y?f(x)?20(10?x)(50?8x)
，定义域为
[0,2]
．
2
（2）
20(10?x)(50?8x)?10260，化简得：
8x?30x?13?0

131
解得
2?x?
． 所以
x
的取值范围是
?x?2
．
42
10解（1）由题意 可知当
m?0
时，
x?1
（万件）
?1?3?k
即
k?2
6（1）依题意，
y?100(1?


……………2分
8?16x
2
1.5?(元)
每件产品的销售价格为
?x?3?
x
m?1
……………………5分
8?16x2
∴2008年的利润
y?x[1.5?]?(8?16x?m)

?4?8x?m?4?8(3?)?m

xm?1
16

??[

?(m?1)]?29(m?0)

m?1
……… …………………………8分
（2）
?m?0时,
16
?(m?1)?216? 8

m?1
16

?m?1?m?3(万元)时,y
max
?21
（万元）
m?1
……12分
答：该厂家2008年的促销费用 投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元
……14分
?y??8?29?21,当且 仅当
1
2
?
atan
?
(
?
?(0,)< br>)………………………(2分)
22
FGDGtatan
?
?t
设正方形
BEFG
的边长为
t
,则由,得
?
,
?
ABDBaatan
?
a
2
tan
2
?
a tan
?
解得
t?
,则
S
2
?
…………… ……………………………………………………(6分)
2
(1?tan
?
)
1?tan
?
11(Ⅰ)因为
BD?atan
?
,所以?ABD
的面积为
1
2
1
2
a
2
ta n
2
?
S
1
(1?tan
?
)
2
所以
S
1
?atan
?
?S
2
?atan
?
?
,则
y???1
………………(9分)
2
22(1 ?tan
?
)
S
2
2tan
?
1111
(Ⅱ)因为
tan
?
?(0,??)
,所以
y?(tan
?
??2)?1?(tan
?
?)
?1
……………(13分)
2tan
?
2tan
?
aa
当且仅当
tan
?
?1
时取等号,此时
BE?
.所以当
BE
长为时 ,
y
有最小值1…………………(15分)
22
13(1) 设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元
由题设
f(x )?k
1
x,g(x)?k
2
由图知f(1)=
x

1155
,故k
1
= 又
g(4)?,?k
2
?

4424
6

从而
f(x)?
15
x(x?0),g(x)?x(x?0)
———————————————7分
44
(2) 设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元
15
x?10?x(0?x?10)

44
10?t
2< br>51565
?t??(t?)
2
?(0?t?10)
令
t? 10?x
则
y?
444216
565
当
t?时,y
max
?,此时x?3.75

216
y?f(x)?g(10?x)?
答: 当A产品投入3.75万元,则B产品 投入6.25万元,企业最大利润为
16（1）由题意可知，当
m?0
时，
x ?1
，∴
1?3?k
即
k?2
，
65
万元 —15分
16
2
8?16x
，每件产品的销售价格为
1.5?
元.
m?1
x
8?16x
∴2009年的利润
y?x[1.5?]?(8 ?16x?m)

x
216

?4?8x?m?4?8(3?)?m??[?(m?1)]?29(m?0)
……8分
m?1m?1
16
?(m?1)?216?8
. （2）∵
m?0< br>时，
m?1
16
∴
y??8?29?21
，当且仅当
?m?1
，即
m?3
时，
y
max
?21
.……… ………15分
m?1
∴
x?3?
答：该厂家2009年的促销费用投入3万 元时，厂家的利润最大，最大为21万元.
17（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客的消费金额为：
1000?0.8?800
（元）
获得奖券的金额为130元，得到的优惠率是
1000?0.2?130
?33%

1000
（2）设商品的标 价为x元，则
500?x?800,
顾客消费金额（元）
满足
400?0. 8x?640.
当
400?0.8x?500.
时，获得奖券的金额为60元；
当
500?0.8x?640
时，获得奖券的金额为100元，由已知得
?
0.2x?601
?
0.2x?1001
?,?
??
（1）
?
或（2）
?
x3x3

??
?
400? 0.8x?500;
?
500?0.8x?640.
不等式（1）无解；不等式（2） 的解为
625?x?750
，因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的
?< br>商品，可得到不小于的优惠率。
3
18（1）设
AN?x
米，
?
x?2
?
，则
ND?x?2

NDAN
?
∵
DCAM
x?2x
?
∴
3AM
3x
∴
AM?
……2分
x?2
3x
?x?32
∴
x?2
7

∴
3x?32x?64?0
……4分
∴
(3x?8)(x?8)?0

∴或
x?8
……5分
2
3x
2
3(x?2)
2
?12(x?2)?1 2
?
（2）
S
AMPN
?
……7分
x?2x?2
3(x?2)
2
?12(x?2)?1212
?3(x?2)??12

?
x?2x?2

?236?12?24

此时
x?4
……10分

12
（3）∵
S
AMPN
?3(x?2)? ?12
(x?6)

x?2
12
令
x?2?t
(t ?4)
，
f(t)?3t??12
……11分
t
12
∵
f
?
(t)?3?
2

t
当
t?4
时，
f
?
(t)?0

12
∴
f(t)?3t??12
在
?
4,??
?
上递增 ……13分
t
∴
f(t)
min
?f(4)?27

此时
x?6
……14分
8
答：（1）
2?AN?
或
AN?8

3
（2）当
AN
的长度是4米时，矩形
AMPN
的 面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当
AN
的长度是6米时，矩形
AMPN
的面积最小，
最小面积为27平方米。 ……15分
19（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+
0.03?200?(1?2)
=88(元) ……………4分
（Ⅱ）（1）当
x
≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）当 x>7时
y=360x+236+70+6[(< br>x?7
)+(
x?6
)+……+2+1]
=
3x?321x?432
………7分
2
?
370x?236,x?7
∴
y?
?
2
………8分
3x?321x?432,x?7
?
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为
f(x)
元

?
3 70x?236
?，x?7
?
x
f(x)?
?
…………11分
?3x
2
?321x?432
,x?7
?
x
?
当x≤7时
236
当且仅当x=7时
x
2826
?404
（元） f(x)有最小值
7
f(x)?370?
8

当x＞7时
3x
2
?321x?432
144
f(x)?
=
3(x?)?321
≥393
x
x
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………16分
20（1）2008年A型车价格为32+32×25%=40（万元）
设B型车每年下降d 万元，2003，2003，…，2008年B型车价格分别为
a
1
,a
2< br>,a
3
…，
a
6
(a
1
,a
2,?,a
6
为公差是－d的等差数列）
?a
6
?40?90%

即
46?5d?36

?d?2

故每年至少下降2万元。
（2）2008年到期时共有钱33
?(1?1.8%)

5
?33?1.093?36.069?36
（万元）
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车。

10
、甲乙两车从
A
地沿同一路线到达
B
地，甲车一半时间的速度是
a
，另一半时间 的速度为
b
；乙车
用速度
a
行走了一半路程，用速度
b行走了另一半路程。若
a?b
，则两车到达
B
地的情况是




A
、甲车先到达
B
地

C
、同时到达
B
地

B
、乙车先到达
B
地

D
、不能判断

函数应用题的几种常见模型
函数应用题主要有以下几种常见模型：
1、一次函数模型
例1某家报刊售点从报社 买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还
可以以每份0.08元 的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能
卖出250份 。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润
最大？并计 算该销售点一个月最多可赚多少元？
注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直 线运动的时间和位移的关系，弹簧
的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现 为匀速增长,即为增函数，一次项系
数为负时为减函数。
2、二次函数模型
例2某 工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的
商品A要 征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府
对商品A 征收附加税率为
p%
时，每年销售额将减少
10p
万件。据此，试问：
（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求
p
的范围；
（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时
p
的值。
注：在 第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非
常值得重视 的问题。
3、指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数
y
（万人）与年份
x
（年）的函数关系；
9

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？
注：在实 际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。
通常可以表示 为
y?N(1?p)(其中N为基础数，p为增长率，x为

时间)
的形式。
4、分段函数模型
例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间 的变化而变化，讲课开始
时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学 生的注意力开始分散，设
x
f(t)
表示学生注意力随时间
t
（分钟 ）的变化规律（
f(t)
越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得
知：
?
?t
2
?24t?100,0?t?10
?
f(t)?
?
240,10?t?20
,
?
?7t?380,20?t?40
?
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道 数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，
老师能否在 学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能 根本解决问题，需先后或年同时构造、
利用几个函数模型，即分段函数模型方可。
5、幂函数模型
例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度< br>I
与电线半径
r
的三次方
成正比。
（1）写出函数解析式；
（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为
r
毫米的电线时，
其电流强度的表达式；
（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。
解：（1）
I?kr
（
k
为常数）。
（2）由（1）知：
320?k?4
，
解得：
k?5
。
所以，电流通过半径为
r
毫米的电线时，其电流强度的表达式为
I?5r。
（3）由（2）中电流强度的表达式，将
r?5
代入得：
I?5?5 ?625
安。
注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。
6、对数函数模型
例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕 子的飞行速度可以表示为
函数
v?5log
2
3
3
3
3
O
，单位是
ms
，其中
O
表示燕子的耗氧量。
10
（1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
10

一、选择题.
1．某工厂10年来某种产品总产量< br>C
与时间t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正
确的是:①前五年 中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种
产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
2．如下图△
ABC
为等腰直角三角形，直线l与
AB
相交且l⊥< br>AB
，直线l截这个三角形所得的位于直线右
方的图形面积为
y
，点< br>A
到直线l的距离为
x
，则
y
=
f
（
x
）的图象大致为

3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A．3 B．4 C．6 D．12
4．已知镭经过100年，剩留原 来质量的95．76%，设质量为1的镭经过
x
年的剩留量为
y
，则
y
与
x
的函
数关系是
A．
y
={0．9576}
x
100
B．
y
={0．9576}
100
x

x
0.9576
C．
y
=（）
x
D．
y
=1－（0．0424）
100

100
5．某人骑 自行车沿直线匀速旅行，先前进了
a
千米，休息了一段时间，又沿原路返回
b
千米（
b
<
a
），再
前进
c
千米，则此人离起点的 距离
s
与时间
t
的关系示意图是

二、填空题. 6．某工厂1992年底某种产品年产量为
a
，若该产品的年平均增长率为
x，2000年底该厂这种产品的年产
量为
y
，那么
y
与
x
的函数关系式是______________________________．
7． 周长为
l
的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为
r
），若矩形 底边长为2
x
，此框架围成
的面积为
y
，则
y
与< br>x
的函数解析式是_________________________________．
8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为
a，其余费用与船
的航行速度无关，约为每小时
b
元，若该船以速度
v千米时航行，航行每千米耗去的总费用为
y
（元），
则
y
与
v
的函数解析式为________． < br>x
9．已知某工厂生产某种产品的月产量
y
与月份
x
满足关系
y
=
a
·（0．5）+
b
，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为_________________ ___．
10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过40 00元的按超过800
元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书， 共纳税420元，这个人的稿费为
__________元．
三、解答题.
11. 一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果
月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
11

12.某种商品现在定价每年
p
元， 每月卖出
n
件，因而现在每月售货总金额
np
元，设定价上涨
x成，卖出
数量减少
y
成，售货总金额变成现在的z倍．（1）用
x
和
y
表示
z.
（2）若
y
=
所增加的
x
值的范围．
13.茜种 商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100
元要 征税P元，因此每年销售量将减少
2
x
，求使售货总金额有
3
20< br>P
万件。
3
(1) 将政府每年对该商品征收的总税金y万元表示为P的函数，并指出这个函数的定义域。
(2) 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率P%应怎样确定？
(3) 在可收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获取最大销售金额，则如何确定P值？
14.某工厂 有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m
2
的厂 房，
工程条件是：
(1) 建1m新墙的费用为a元；(2) 修1m旧墙的费用为
材建1m的新墙的费用为

a
元；(3) 拆去1m的旧墙，用可得的建
4
a
元，经讨论有两种方案：
2
①利用旧墙一段x m（0＜x＜14）为矩形一边；
②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？
试比较①②两种方案哪个更好。

函数应用题归类分析
我们已经学过一次 函数、二次函数及分段函数，应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题，
现归类如下。
一 能解决利润最大或效益最高问题
例1、某售货点，从批发部批发某一种商品的进 价是每份0.35元，卖不掉的商品还要以每份0.08元的价
格退回批发部，卖出的商品的价格是每份 0.5元，在一个月（30天）中，有20天每天可以卖出400
份，其余10天每天只能卖出250份 ，假设每天从批发部买进的商品的数量相同，则每天从批发部进
货多少才能使每月所获得利润最大？最大 利润是多少？
分析：每月的利润=月总收入—月总成本，而月总收入有三部分：可每天卖出400份共 20天的收入；可每
天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入。
解、设每天从批发部买进的数量为
x
份，易知
250?x?400

设每月的纯收入为
y
元，则由题意，得
y?0.5?x?20?0.5?2 50?10?(x?250)?0.08?10?0.35?30
?0.3x?1050

x?
?
250,4
?
0

0
因为一次y?0.3x?1050
函数
y?0.3x?1050
在区间
x?
?
250,400
?
上为增函数，所以当
x?400
时，函数y?0.3x?1050
取得最大值：
y?0.3?400?1050?1170
（元）
答；当每天从批发部进货400分时，每月所获得利润最大，最大利润是1170元。
12

点评：本题是一次函数模型的应用，对于利用一次函数来求最值，主要是利用其单调性来解决。
例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以< br>下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人< br>数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？
解、设旅游团的人数为
x
人，飞机票为
y
元，依题意，
得 当
1?x?30
时，
y?900
；当
30?x?75
时，< br>y?900?10(x?30)??10x?1200
；
所以所求函数为
y?
?
(1?x?30)
?
900　　　　　　　

(30?x ?75)
?
?10x?1200　　　　
(1?x?30)
?
900 x?15000　　　　　　　
设利润为
Q
，则
Q?y?x?15000?< br>?

2
?10x?1200x?15000　　　　(30?x?75)
?
当
1?x?30
时，
Q
max
?900?30?150 00?12000
，
当
30?x?75
时，
Q??10x?120 0x?15000??10(x?60)?21000
，
所以当
x?60
时，
Q
max
?21000

?12000
，
答：当旅游团人数为
60
人时，旅行社可获得最大 利润
21000
元。
点评：本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的 最值问题，对于分段函数的最值，应先在
各自的定义域上求出各段的最值，然后加以比较，最后确定出最 值。
二 能帮助选择最佳方案
例3、某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服5 3元，手套3元一副，该企业联系了两家商店，由
于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：
商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套。
商店二：打折，按总价的95℅收款。
该企业需要工作服75套，手套若干（不少于75副）。若你是企业的老板，你选择哪一家商店省钱。
分析：解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式，然后比较，当取相同值时，哪种函数值小，则
哪种优惠条件最省钱，就选哪一家商店。
解、设需要手套
x
副，付款数为
y
元，
商店一的优惠条件 ：
f(x)?75?53?3?(x?75)?3x?3750　　　（x?７５）

22
（75?53?3x)?９5
℅=
2.85x?3776.25　　　 （x?７５）
商店二的优惠条件：
g(x)?

(x)?g(x)
， 即
3x?3750　=2.85x?3776.25　
令
ｆ
，解得
x =175

即购买了175副手套时，两商店的优惠相同，
(x)?g(x)?0.15x?26.25
当
75?x?175
时 ，
y<0
即
ｆ(x)?g(x)
，应选择商店一省钱。 令
y=ｆ
ｆ(x)?g(x)
，应选择商店二省钱。 当
x?175
时，
y>0
即
综上可知：当麦175套手套适量商店的优惠相同，当买的手套数多于7 5而少于175时，选商店一省钱，
当买的手套数多175时，选商店二省钱。
13

点评：给出几种方案，通过计算比较，确定出最佳方案是这类问题的特点。
三 涉及几何问题中的最值
例4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为< br>l
。如果要使围墙围出一块矩形
场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？
分析：若设矩形的长为
x
，则宽为
的二次函数。
解、设矩形的长为
x
，则宽为
lll
(l?2x)
，从而矩形的面积为
S?x ?(l?2x)??x
2
?x
，是关于
x
222
l
(l?2x)
，从而矩形的面积为
2
2
lll
l
?
l
2
?
2
S?x?(l?2x)??x?x

??
?
x?
?
?
（
0?x?
）
222
4
?
16
?
l2
ll?2xl
由此可得，函数在
x?
时取得最大值，且
Smax
?
，这是矩形的宽为
?

16
424
l
2
l
即当这个矩形的边长为时，所围成的面积最大为，此时矩形为正方形。
16
4
点评： 对于求几何最值问题，应先建立函数关系式，然后再对函数求最值，还要回扣几何问题，特别应注
意的是 不要忽略定义域。
四 解决图表问题
例5、如图所示是一次舞会的盈利额
p< br>同收票数
n
之间的关系图（其中保险部门规定：人数超过150人的
时候，须交 纳公安保险费50元），请你写出它的函数表达式，并对图像加以解释。

P(n)
·200

·100
·50
· · n
100 150 200
-100·

-200 ·

解、从途中观察的：
当
0?n?150
时，图像 通过
(0,?200)
和
(100,0)
两点，则此时表达式为
P( n)?2n?200


)
端点趋于点
(150,50)
则 此时表达式为当
150?n?200
时，图像右端点通过
(200,20

0
左，
P(n)?3n?40

0
14

综上所述，得
P(n)?
?
(0?n?150)< br>?
2n?200　　　

(150?n?200)
?
3n?4 00　　　
从不同角度剖析图像，可以得到不同地解释。
（1）当售票为零时舞场正常开放，要交付水电费、器材费等200元；
（2）当
n ?100
时，可达到不赔不赚，当
n?100
时，要赔本；
（3）当
100?n?150
时，利润与售票数呈直线上升，
n?150
时，达到最大值10 0元；
（4）当
150?n?167
时，利润没有
n?150
时多 ，即人数超过166人时，利润才能超过100元；（5）人
数达到200人时，利润可达到最大值20 0元。
点评：据图像建立关系式，再根据定义域与函数的单调性，将数学语言转化为实际问题中的个中 情况进行
解决。
高中数学会考排列、组合、概率专题训练




一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分
1、已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A和B中各取一个数作 为点的坐标,在同一直角坐
标系中所确定的不同点的个数是
A、32 B、33 C、34 D、36
2、以1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以 得到不同的
对数值的个数为
A、64 B、56 C、53 D、51
3、四名 男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不
同的排法数有
3
A、3600 B、3200 C、3080 D、2880
4、由
(3x?2)
100
展开所得x多项式中，系数为有理项的共有
A、50项 B、17项 C、16项 D、15项
5、设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁 配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两
把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥 匙能打开2把锁的概率是
A、415 B、25 C、13 D、23
6、在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是
A、56 B、45 C、23
15

D、12

7、先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是
A、18 B、38 C、78 D、58
8、在四次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生 两次的概率，则事件
A在一次试验中发生的概率中的取值范围是
A、[0.4,1] B、（0，0.4） C、（0，0.6） D、[0.6，1]
10、集合A={x |1≤x≤7，且x∈N
*
}中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是
A、1968 B、1335 C、413 D、934
11、某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，
根据需要至少买3片软件，至少买2盒 磁盘，则不同的选购方式共有
A、5种 B、6种 C、7种 D、8种
12、已知xy <0，且x+y=1，而(x+y)
9
按x的降幂排列的展开式中，T
2
≤T
3
，则x的取值范围是
A、
(??,
1
)

5
4
B、
[,??)

5
C、
(1,??)

4
D、
(??,?]

5
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、已知A、B是互 相独立事件，C与A，B分别是互斥事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.6，P(C)=0.14，则
A、B、C至少有一个发生的概率P(A+B+C)=____________。
16、5 人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则共有多少种不同的
调整方法？ ________________。
18、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2 ，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5
个盒子内
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个 盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
19、掷三颗骰子 ，试求：
（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；
（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。
20、一个布袋里有3个红球，2个白球，抽取3次，每次任意抽取2个，并待放回后再抽下一次，求：
（1）每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率；
16

（2）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球同色的概率；
（3）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球是红球的概率。


十三、排列、组合、概率

一、选择题：
1
、
D 2
、
C 3
、
D 4
、
B 5
、
A 6
、
C 7
、
C 8
、
A 9
、
A10
、
B 11
、
C 12
、
C
二、填空题：
13
、
0.82 14
、
-20 15
、
111 16
、
119
三、解答题
17
、展开式的通项为
T
r?1
1
? (?)
r
C
r
n
x
2
n?2r
3
，
r=0
，
1
，
2
，…，
n
11
1
1
22
1
1
1
2
C
n
∴ n=8
由已知：
(?)< br>0
C
0
n
,()C
n
,()C
n
成 等差数列，∴

2?C
n
?1?
22224
2
351

（
1
）
T??7x
3

（
2
）
T
5
?

（
3
）令
x=1
，各项系数和为
4
8256
18
、（
1
）
C
5
2
A
5
4
=1200< br>（种）
A
5
5
-1=119
（种）

1
（
2
）不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：
C
5
×
9=45
第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：
5!(
1111
???)?44

2!3!4!5!
5
∴

满足条件的放法数为：
A
5
-45-44=31
（种）

19
、设
A
i
表示第
i
颗骰子出现
1点或
6
点，
i=1
，
2
，
3
，则< br>A
i
互相独立，
A
i
与
A
i
之间也 互相独立，
1
P(A
1
)?P(A
2
)?P(A
3
)?

3

（
1
）
P(A
1
A
2
A
3
)?P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)?(1?P(A
1
))(1?P(A
2
)) (1?P(A
3
))

?

（
2
）设
D
表示“恰好一颗骰子出现
1
点或
6
点的概率”

则
D?A
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3
?A
1
A
2
A
3

因
A
1
A
2
A
3
,A
1
A
2
A
3
,A
1
A
2A
3
互斥

∴

P(D)?P(A
1
A
2
A
3
)?P(A
1
A
2
A
3
)?P(A
1
A
2
A
3
)

?P (A
1
)P(A
2
)P(A
3
)?P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)?P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)?
4

9
2228
???

33327
20
、记事件
A
为“一次取出的
2
个球是
1
个白 球和
1
个红球”，事件
B
为“一次取出的
2
个球都是白球”，事件
C
为“一次取出的
2
个球都是红球”，
A
、
B
、
C
互相独立


（
1
） ∵
P(A)?
C
3
1
C
2
1
C
5
2
?0.6
∴

P
3
(3)?C
3
3
?0.6
3
?(1?0.6)
0
?0.26


（
2
）∵

B?C?A
∴

可以使用
n
次独立重复试验

∴

所求概率为P
3
(2)?C
3
2
?0.6
2
?(1?0. 6)
3?2
?0.432

（
3
）本题事件可以表示为
A
·
A
·
C+A
·
C
·
A+C< br>·
A
·
A

∴
P(A
·A
·
C+A
·
C
·
A+C
·
A
·
A)=C
3
1
P(A)P(A)P(C)=0.324
7
、某企业
2002
年的产值为
125
万元，计划从
2003
年起平均每年比上一年增长
20%
，问哪一年这个
17

企业的产值可达到
216
万元

A
、
2004
年
B
、
2005
年
C
、
2006
年
D
、
2007
年
16
、某人存入银行
a
元钱，三个月后本利和为
b
元钱，若每月 利息按复利计算（上月利息要计入下月
本金），则银行的月利率为
.
20
、某企业利用银行无息贷款，投资
400
万元引进一条高科技生产流 水线，预计每年可获产品利润
100
万元。但还另需用于此流水线的保养、维修费用第一年10
万元，以后每年递增
5
万元，问至少
几年可收回该项投资？

10
、甲乙两车从
A
地沿同一路线到达
B
地，甲车一半时间 的速度是
a
，另一半时间的速度为
b
；乙车
用速度
a
行走了一半路程，用速度
b
行走了另一半路程。若
a?b
，则两车到达B
地的情况是



A
、甲车先到达
B
地

C
、同时到达
B
地

B
、乙车先到达
B
地

D
、不能判断

20
、（本小题满分
10
分）

某单位欲用木料制作如下图 所示的框架，框架的下部是边长分别为
x,y
（单位为：
m
）的矩形，
上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为
8m
2
，问：
x,y分别是多少（精确到
0.01m
）
时用料最省？
(2?1.414)


y


数学参考答案

八、不等式

一、选择题：
ACCBCBDDCADD
二、填空题：
13
、
?
?1,??
?
14
、
a>b 15
、
x1?x?2
16
、
n
n

三、解答题：

17
、?
??
?
2,1?
??
2,??

18
、
?1?a?4

?
1
19
、解
: P:
函数
y?(2a?1)x?b
在实数集上是减函数
?a??

2
Q:
不等式
|x?1|?|x|?a
恒成立
?f(x) ?|x?1|?|x|
的最小值
?a

18

?
?1, x?1
?
而
f(x) ?|x?1|?|x|?
?
1?2x,0?x?1
,
故
f
min
(x)??1
,
?
a??1

?
1, x?0
?
1
1
?
?
1
?
a??
?
a??
2
?a??

2
??1?a??
; (2)
若
P
不正确
Q
正确
,
则
?
（
1
）若
P
正确
Q
不正确
,
则
?
2
?
?
?
a??1
?
a??1



所以
a
的取值范围为
[?1,?)
1
2
x
2
1x
8?
20
、解：由题意知
x?y?x??8
，
4
?
8
?
x
0?x?42< br>
?y?
22
xx4
??
?
2x
?
?
316
??
?
?
?2
?
l?2x?2y?2x?

?
于是，框架用料的长度为
?
2
?
?
2 x
?
??
x??8?42
16
?
3
?
?< br>3
?
3
时等号成立。此
?216
?
?2
?< br>?46?42
当
?
?2
?
x?
，即
?22x
??
?
2
?
2
4
时，
x?2.3 4,y?2.83
。

答：当
x
为
2.34
，y
为
2.83
时用料最省。


12
、
2002
年
8
月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由
4< br>个相同的
直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角
为
?
，大正方形的面积是
1
，小正方形的面积是
A
、
1 B
、
?
1
,则sin
2< br>?
?cos
2
?
的值等于

25
D
、
?
24

25
4
C
5
B
C
、
7

25
7
D
8
B
9
B
7

25
11
A
12
D
一、选择题

题号

答案

1
C
2
A
3
D
6
D
10
B
二、填空题：
13
、
?
;

14
、
?
xx?k
?
?

?
?
3
?
?
,k?Z
?
;

15
、
2;

16
、
2005
4< br>?
20
、某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养 这两种鱼苗时都
需要鱼料
A
、
B
、
C
，每千克鱼苗 所需饲料量如下表：

鱼类

鲫鱼
kg
鲤鱼
kg
鱼料
A
15g
8g
鱼料
B
5g
5g
鱼料
C
8g
18g

19

如果这两种鱼长到成鱼时，鲫鱼和鲤鱼分别是当时 放养鱼
苗重量的
30
倍与
50
倍，目前这位承包户只有饲料
A
、
B
、
C
分别为
120g
、
50g< br>、
144g,
问如何放养这两种鱼苗，才能
使得成鱼的重量最重．
< br>当
m?0
时，圆的方程为
?
x?4
?
?
?< br>y?
2





?
?
17
?
289
．


?
?
2
?
4






2
20
．解：设放养鲫鱼
xkg,
鲤鱼
ykg,
则成鱼重量为
w?30x?50y(x,y?0)
,
15x?8y?120
其限制条件为

5x?5y?50

8x?18y?144

画出其表示的区域（如图），不难找出使
30x+50y
最大值

为
428kg.


答：鲫鱼放养
3.6kg,
鲤鱼放养
6.4kg,
此时成鱼的重量最重．

y





C(3.6,6.4)
B
O A
3x+5y=0
5x+5y=50
15x+8y=120
x
8x+8y=144
D
20