高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总

1.两县城A和B相距20km， 现计划在两县城外以AB为直径的半圆
弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到
城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响
度之和，记C点到城A的距离 为x km，建在C处的垃圾处理厂对城
A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的 影响
度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B
的影响度与所选地点到城 B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当
垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点 ，使建
在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出
该点到城A的距离;若 不存在，说明理由。
解（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为
单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数
有最小值
（注：该题可用基本不等式求最小值。）

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2. 某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调
查，预计每件产品的出厂价为x元(7 ≤x≤10)时，一年的产量为(11
－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常 生产；
但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常
数k (1≤k≤3)。
（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并
求最大利润.
（ 1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10].
（2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝ (11－x)(11－x－2x
＋6＋2k)
＝(x－11)[3x－(17＋2k)].
由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分)
因为1≤k≤3，所以≤≤. < br>①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]
上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分)
②当7<≤，即2即 当1≤k≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4
－k)万元.当2(8－k)3万元.(14分)

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3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另
投 入成本为 当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80
千件时，（万元）．通过市场分析 ，若每件售价为500元时，该厂当年
生产该产品能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最
大，最大利润是多少
?
解． （Ⅰ）
（Ⅱ）当
∴当
当时

∴当且仅当
综上所述，当
获利润最大

最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所
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4.某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：
① 职工工资固定支出元；② 原材料费每件40元；
③ 电力与机器保养等费用为每件元，其中是该厂生产这种产品的总
件数.
（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件
产品的最低成本费； （2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品能全部销
售．根据市场调查：每件产品的销 售价与产品件数有如下关系：，试
问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额—总的成本）
?
时,
(Ⅰ) ，成本的最小值为元 (Ⅱ) 当


解析:
（1） ……2分
由基本不等式得 ……4分
当且仅当，即时，等号成立 …6分
∴，成本的最小值为元． ………7分
（2）设总利润为元，则………9分
4 7

……12分
当时,………13分
答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元. …………14


5.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间 为圆柱形，左右两端均为半
球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其 表面积有关.已知
圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
.设 该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ） 求该容器的建造费用最小时的
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱
的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以
+,定义域为(0,).
（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令
得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.



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6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损 耗，房屋的屋顶和外
墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘
米厚的隔热 层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用
（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系 ：，若不建
隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的
能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
解：（1）设隔热层厚度为
为
由,∴
，
,∴……2分
……4分
年的能源消耗费用之和为
……6分
（2）
所以
（当且 仅当
故是
,即
，令，则
，……8分
时，不等式等式成立）……10分

，由题设，每年能源消耗费用
而隔热 层建造费用为
最后得隔热层建造费用与
的取得最小值，对应的最小值为
……13分
答：当隔热层修建厚时，总费用达到最小值
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万

7.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分， D
在AB上，E在AC上.
（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里
（3）如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？
解：（1）在△ADE 中，y＝x＋AE－
2x·AE·cos60°y＝x＋AE－x·AE,①
又S
△ADE
＝ S
△ABC
＝
x·AE＝2.②
②代入①得y＝x＋
（1≤x≤2）……4分.
（2）如果DE是水管y＝
当且仅当x＝
DE＝……8分
2
222
222
222
a＝x·AE·sin60°
2
－2（y＞0 ）, ∴y＝
≥,
，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且
（3）如果DE是参观 线路，记f（x）＝x＋
函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
，可知
故f（x）
max
＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y
max
＝

.
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