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高中数学应用题专题复习

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 23:26
tags:高中数学应用题

高中数学推理司马红丽-难度很高的高中数学竞赛题

2020年10月5日发(作者:沈经方)




高中应用题专题复习
[考点概述]
数学应用性问题是 历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型。解答
这类问题的要害是深刻理解题意,学 会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建
立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式 ,排列组合是较为常见的模型,而三角,
立几,解几等模型也应在复习时引起重视。
高考应用 性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测计算型和信息迁移
型也时有出现。当然,数学 高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代
的主旋律,凸显了学科综合的特色。
一、求解应用题的一般步骤:
1、审清题意:
认真分析题目所给的有关材料,弄清 题意,理顺问题中的条件和结论,找到关键量,进
而明确其中的数量关系(等量或大小关系)
2、建立文字数量关系式:
把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系,这是问题解决的一
把钥匙。
3、转化为数学模型:
将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型( 一般要列出函数
式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析),转化为 一
个数学问题。
4、解决数学问题:
利用所学数学知识解决转化后的数学问题,得到相应的数学结论。
5、返本还原:
把所得到的关于应用问题的数学结论,还原为实际问题本身所具有的意义。
二、应用题的常见题型及对策
1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型
常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题,也常常涉及角度、长度、面积、造
价、利润等最优 化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系,列出有关解析式,然后运用函数、方程、不等式等
有关知识和方法加以解决,尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题
常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际
问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列),利用其公式解决或通过
递推归 纳得到结论,再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题
常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。
4、与直线、圆锥曲线有关的题型
常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。
常通过建立直角坐标系,运用解析几何知识来解决。
5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型
常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。



6、与排列、组合有关的问题
运用排列、组合等知识解决
7、与概率、统计有关的应用问题
一.代数的应用题
1.求函数表达式:
例1.建筑一个容积为48米
3
,深为3米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a元,池
底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数,并指出函数的定义
域。
解:容积=底面积×高= 48 ? 底面积×3 = 48 ? 底面另一边长:m =
池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +
池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a
∴ y = 6(x +
2.面积问题:
思考题:在上面的例1中,如何设计水池的长宽,使总造价最低?
例2. 有根木料长为6米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为1∶2,问
怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计.
解:如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x
16

x
1616
)a = 6(x +)a
xx
16
)a + 32a ( x > 0 )
x
6?7x
∴ 窗框的高为3x,宽为
3
2x
6?7x6
即窗框的面积 y = 3x ·= ?7x
2
+ 6x ( 0 < x <)
37
3
2
9
配方:y =
?7(x?)?
( 0 < x < 2 )
77
336
∴ 当x =米时,即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时,光线通过窗框面积
777
最大.
3.利润问题:(1)利润=收入?成本 (2)利润=单位利润×销售量
例3.某工厂 生产的产品每件单价是80元,直接生产成本是60元,该工厂每月其他开支是
50000元. 如果该 工厂计划每月至少获得200000的利润,假定生产的全部产品都能卖出,问
每月的产量是多少?
解:设每月生产x件产品,则
总收入为80x, 直接生产成本为60x, 其他开支50000元,即知总成本为60x + 50000
∴ 每月利润是:总收入?总成本= 80x ? ( 60x + 50000 ) = 20x ? 50000
依题意有:20x ? 5000≥200000 ? x≥12500
答:该工厂每月至少要生产12500件产品.
x



例4. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售,每天可卖 出100个。若该商品的单价每涨
1元,则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价,使利 润最大?
分析:(1)每出售一个商品的利润=销售单价?进货单价= 10? 8 = 2
(2)以单价10元为基础:单价每次涨1元,当涨了x元(即可看成涨了x次)时,则
每 出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 ?10x个
∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 ?10x ) = ?10x
2
+ 80x + 200 = ?10( x ? 4)
2
+ 360
即当x = 4时,y有最大值360
∴ 当每个商品的单价为14元时,利润最大.
4.与增长率相关的问题:
〖要点〗增长率为正:原产量×(1 + 增长的百分率)
增长率为负:原产量×(1 ? 增长的百分率)
经过
x


经过
x


例5. 一种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使年产量每年比上一年增加p%.
写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
解:设经过x年后,年产量为y, 则y = a( 1 + p%)
x

例6. 某工厂总产值经过10年翻一番(2倍),求每年比上一年平均增长的百分数.
解:设原来总产值为a, 平均增长率为x,则经过10年的总产值为 a( 1 + x )
10

即有:a( 1+ x )
10
= 2a ? 1+ x =
取常用对数:lg( 1 + x ) =
10
2

1
lg2
= 0. 0301 ? 1 + x = 1. 072 ? x = 0.072 = 7.2%
10
∴ 每年比上一年平均增长7.2%.
例7. 电视机厂生产的电视机台数,如果每年平均比上一年增长10.4%,那么约经过多少年
可以增长到原来的2倍(保留一位有效数字)?(普高课本代数上册P. 97. 例2)
解:设经过x年可以增长到原来的2倍,则
( 1 + 10.4%)
x
= 2 ? xlg1.104 = lg2 ?
x?
答:大约经过7年.
5.记数问题:
例8. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm, 将梯形的一条腰 10等分,过每个分点画平
行于梯形底边的直线,求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和.
解:由平面几何知识可知:等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线段长度成等差数列
∵ a
1
= 12, a
11
= 22 ∴ 公差d =
lg20.3010
??7

lg1.1040.0429
a
11
?a
1
?1

11?1



∴ 所求的线段长度的和为a
2
+ a
3
+…+a
10
=
(a
2
?a
10
)?9
9(13?21)
??153

22
例9. 画一个 边长2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2
个正方形的对角线为边画第 3个正方形,这样一共画了10个正方形,求:
(1) 第10个正方形的面积
(2) 这10个正方形的面积的和
解:(1)设{a
n
}表示各正方形的面积
∵ a
1
= 2
2
= 4, a
2
= (
22
)
2
, a
3
= 4
2
= 8
∴ {a
n
}是公比为2的等比数列
第10个正方形的面积a
10
= a
1
q
9
= 4×2
9
= 2048 (厘米
2
)
(2)这10个正方形的面 积和
S
10
a
1
(1?q
10
)
4(1? 2
10
)
???4092
(厘米
2

1?q1 ?2
例10.一个球从100米高处自由落下,每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10
次着地时,共经过了多少米?
解:设球落下的高度依次为a
1
, a
2
, …, a
10
.
1
的等比数列
2< br>1
100[1?()
10
]
25575
2
则球第10 次落下时落下的路程为
S
10
???200

1
128
1?
2
∵ a
1
= 100, a
2
= 50, a
3
= 25 ∴ {a
n
}是公比为
∴本球共经过的路程为S = 2S
10
? 100 ≈300 (米)
6.图表应用题
例11.中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表:
存期
年利率(%)
1年
2.25
2年
2.43
3年
2.70
5年
2.88
个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某 人存入银行5000元,存期3年,试问3年
到期后,这个人取得的银行利息是多少?应纳税多少?实际 取出多少?
解:∵ 三年后连本带利一共有:5000( 1 + 2.7%)
3
≈5416.03(元)
∴ 银行利息一共有:5000( 1 + 2.7%)
3
? 5000 = 416.03(元)
应纳税:416. 03×20% = 83.21(元),实际取出的金额:5416.03 ? 83.21 = 5332.82(元)
例12.光明牛奶加工厂,可将鲜奶加工制成酸奶或奶片,该工厂的生产能力如 表1,在市场
上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.
表一: 表二:



品种
酸奶
奶片

每天加工吨数
3
1


品种
鲜奶
酸奶
奶片
每吨获利润(元)
500
1200
2000
光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨,受人员限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条 件
限制,这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕. 为此,该厂设计了两种可行方案:
方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶.
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利最多,为什么?
解:方案一:四天制成奶片4吨用去牛奶4吨,其余5吨牛奶卖掉
利润为:4×2000 +5×500 = 10500(元)
方案二:设制做奶片所需牛奶x吨,制做酸奶所需牛奶y吨,则 制做奶片共用
制做酸奶共用
x
= x天,
1
y
天,依题意得:
3
?
x?y?9
?

?
? x = 1.5, y = 7.5,即制成奶片1.5吨,酸奶7.5吨
y
x??4
?
3
?
∴ 利润为:1.5×2000 + 7.5×1200 = 12000(元)
由上可知:第二种方案获得的利润大.

二.三角的应用题
1.弧长问题
例13.某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m,每分钟按逆时针方向旋转300转,求:
(1)飞轮每秒钟转过的弧度数;
(2)轮周上的一点每秒钟经过的弧长.
解:( 1 ) ∵飞轮半径r = 0.6m, 每秒钟逆时针旋转5转
∴飞轮每秒钟转过的弧度数是5×2? = 10?
( 2 ) 轮周上一点每秒钟经过的弧长l = 10?×0.6 = 6? (m)
2.电学
例14.电流I随时间t变化的函数关系式是I = Asinωt. 设ω= 100? (rad 秒),A = 5(安培).
(1)求电流强度I变化的周期与频率;
1
131
,,,(秒)时,求电流强度I
200
100
20050
2
?
1
1
解:( 1 ) 周期T ==, 频率f =
?50

?
50
T
(2)当t = 0,



( 2 ) ∵I = 5sin100?t
∴I (0) = 0, I (
1
1
?
) = 5sin= 5, I () = 5sin? = 0,
100
2002
3
?
31
I () = 5sin= ?5, I () = 5sin2? = 0
2
20050
3.利用三角函数解决有关面积问题
例15.把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯才能使横截面的面积最大?
解:如图,设矩形对角线与一边的夹角为?
则矩形的长为2Rcos?, 宽为2Rsin?
∴ 矩形面积S = 4R
2
sin?cos? = 2R
2
sin2?
2R
2Rsin?
?
2Rcos?
当? = 45?时,S
max
= 2R
2
, 即横截面为正方形时面积最大.

三.解析几何中的应用题
例16.抛物线拱桥顶部距水面2米时,水面宽4米. 当水面下降1米时,水面的宽是多少?
解:如图建立直角坐标系,则抛物线方程为x
2
= ?2py
依题意知:x = 2时,y = ?2代入方程得p = 1
即抛物线方程为 x
2
= ?y, 当水面下降1米时,y = ?3 ? x =
3

∴ 水面宽为2x =
23
≈3.5 (米)
例17.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地
球的中心F
2
为一个焦点的椭圆,近地点A距地面439千米,
远地点距地面2384千米,地球半径大约为6371千米,求卫
星的轨道方程.
解:如图建立坐标系
∵ a ?c = |OA| ? | OF
2
| = |F
2
A| = 6371 + 439 = 6810
a + c = |OB| + |OF
2
| = |F
2
B| = 6371 + 2384 = 8755
∴ a = 7782.5, c = 972.5 ? b
2
= 7721.5
2

0
2
4
x
y
y
B F
1
F
2
·

·

O
A
x
x
2
y
2
??1
即卫星的轨道方程是:
22
77837722
例18.在相距1400米的A、B两哨 所,听到炮弹爆炸声的时间相差3秒,已知声速是340
米秒,炮弹爆炸点在怎样的曲线上?并求出轨迹 方程.
解:设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声,则B哨所t + 3秒后听到爆炸声,爆炸点设为M
则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020
两式相减:|MA| ? |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)
y
∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线
以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系(如图)
M
∴ A(?700, 0 ), B( 700, 0 ) ? c = 700
且 2a = 1020 ? a = 510 ? b
2
=229900
A O B
x



x
2
y
2
??1
( x > 0 ) 炮弹爆炸的轨迹方程是:
26
例19.如图,某灾区的灾民分布在一个矩形地区, 现要将救灾物资从P处紧急运往灾区. P
往灾区有两条道路PA、PB,且PA=110公里,PB=150公里,AB= 50公里. 为了 使救灾物
资尽快送到灾民手里,需要在灾区划分一条界线,使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.
解:要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近,有三种情况:
(1)沿PA线路 (2)沿PB线路 (3)沿PA、PB线路都相同
故分界线以第(3)种情况划分:即
|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ? 110 + |MA| = 150 + |MB|
∴ |MA|?|MB| = 40, 即知分界线是以A、B为焦点的双曲线
AB = 50 ? 2c = 50 ? c = 25, 2a = 40 ? a = 20 ? b
2
= 225
若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系
P
A
M
B
y
2
x
2
则分界线方程是:
??1
(在矩形内的一段)
400225
注意:确定分界线的原则是:从P沿PA、PB到分界线上点的距离.
练习:

1某森林出现火灾,火势正以每分钟
100m
2
的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队
员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队 员在现场平均每人每分钟灭火
50m
2
,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每 分钟125元,另附加每次救火所耗损
的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森 林损失费为60元.
(1)设派
x
名消防队员前去救火,用
t
分钟 将火扑灭,试建立
t

x
的函数关系式;
(2)问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?
2有一座大桥既是交通拥挤地段 ,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大桥
上的车距d(m)与车速v(kmh)和车长 l(m)的关系满足:
d?kvl?
2
1
l
(k为正的常数),2
假定车身长为4m,当车速为60(kmh)时,车距为2.66个车身长。
(1)写出车距d关于车速v的函数关系式;
(2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?
3 电信局根据市场客户的 不同需求,对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案,则两种
方案付电话费(元)与通话时间(分钟 )之间的关系如图所示(实线部分)(MN平行CD)
(1) 若通话时间为两小时,按方案A,B各付话费多少元?
(2) 方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?
(3) 通话时间在什么范围内,方案B比方案A优惠?
4在某个旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.
现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数
f(n)
可近似地用函数

< br>
f(n)?100?
?
Acos
?
?
n?2
?
?k
?
来刻画. 其中:正整数
n
表示月份且
n??
1,12
?
,例如
n?1
时表示1月份;
A

k
是正整数;
?
?0
.
统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:
① 各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人;
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1) 试根据已知信息,确定一个符合条件的
f(n)
的表达式;
(2) 一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区也进入了一年中的
旅游“旺季”. 那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.
5某学校要建造一个面积为1000 0平方米的运动场。如图,运动场是由一个矩形ABCD和分
别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑 道是一条宽8米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其
他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元,草皮每平方米造价为30元
(1) 设半圆的半径OA=
r
(米),试建立塑胶跑道
面积S与
r
的函数关系S(
r
)
(2) 由于条件 限制
r?
?
30,40
?
,问当
r
取何值时,运动 场
造价最低?(精确到元)
6某商品每件成本价80元,售价100元,每天售出100件 .若售价降低
x
成(1成=10%),
售出商品数量就增加
8
x成,要求售价不能低于成本价.
5
(1)设该商店一天的营业额为
y
, 试求
y

x
之间的函数关系式
y?f(x)
,并写出定义域 ;
(2)若再要求该商品一天营业额至少10260元,求
x
的取值范围.
7国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算
公式为:< br>n?
食品消费支出总额
?100%
,各种类型家庭的n如下表所示:
消费支出总额
温饱
50%小康
40%富裕
30%最富裕
n≤30%
家庭类型 贫困
n n>60%
根据某市 城区家庭抽样调查统计,2003年初至2007年底期间,每户家庭消费支出
总额每年平均增加720 元,其中食品消费支出总额每年平均增加120元。
(1)若2002年底该市城区家庭刚达到 小康,且该年每户家庭消费支出总额9600元,问
2007年底能否达到富裕?请说明理由。
(2)若2007年比2002年的消费支出总额增加36%,其中食品消费支出总额增加12% ,
问从哪一年底起能达到富裕?请说明理由。
8统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小 时的耗油量
y
(升)关于行驶速度
x
(千米
小时)的函数解析式可以 表示为:
y?
13
x
3
?x?8(0?x?120).
已知 甲、乙两地
12800080
相距100千米。
(1)当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?



9北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售 一枚这种纪念
章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该
店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每
减 少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价
格为
x
元(
x
∈N*).
(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得 的利润
y
(元)与每枚纪念章的
销售价格
x
的函数关系式(并写出这 个函数的定义域);
(2求出这个最大值.
10某厂家拟在2008年举行促销活动,经调 查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)
x
万件与年促销费用
m
万元(
m?0)满足x?3?
k

k
为常数),如果不搞促销活动,
m?1
则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万< br>件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5
倍( 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用
m
万元的函数;
(2)该厂家2008年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
11如图,某小区准 备在一直角围墙
ABC
内的空地上植造一块“绿地
?ABD
”,其中
AB
长为定值
a
,
BD
长可根据需要进行调节(
BC足够长).现规划在
?ABD

内接正方形
BEFG
内种花,其 余地方种草,且把种草的面积
S
1
与种花的面积
C
D
S1
称为“草花比
y
”.
S
2
(1)设
?DA B?
?
,将
y
表示成
?
的函数关系式;
(2)当
BE
为多长时,
y
有最小值?最小值是多少?
S
2
的比值
12有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大桥上的车距
d(m)
与车速
v(kmh)
和车长
l( m)
的关系满足:
F
G
1
d?kv
2
l?l

k
为正的常数),假定车身长为
4m
,当车速为
60(kmh)
时,
2
车距为2.66个车身长。
(1)写出车距
d
关于车速
v
的函数关系式;
(2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?
A
E
第17题
B

13某民营企业生产A、B两种产品, 根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其
关系如图甲,B产品的利润与投资的算术平方根成 正比,其关系如图乙(注:利润与投资
单位:万元).




甲 乙
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资
x
(万元)的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这
10万元投资 ,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?



14已知矩形 纸片ABCD中,AB=6
cm
,AD=12
cm
,将矩形纸片的
右下角折起,使该角的顶点B落在矩形的边AD上,且折痕MN
的两端点,M、N分别位于边 AB、BC上,设
?MNB?
?
,MN?l

(1)试将
l
表示成
?
的函数;
A
(2)求
l
的最小值
M B
15如图所示,一条直角走廊宽为2 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形
ABEF

它的宽为1米。直线
EF
分别交直线
AC、BC

M、N
,过墙角
D

DP

AC

P

DQ

BC

Q

⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠
CAB?
?
,试求平板面的长 (用表示);
⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

16某厂家拟在2009年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量
N
D
C
N
2m
(m?0)
万元满足(即该厂的年产量)
x
万件与年促销费用
m
E
D
2m
M
F

A
P
l
C
Q
B
k

k
为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量
x?3?
m?1是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万
件该产品需要再投入16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产
品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入 两部分资金,
不包括促销费用).
(1)将2009年该产品的利润
y
万元 表示为年促销费用
m
万元的函数;
(2)该厂家2009年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
17某商场在促销期 间规定:商场内所在商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消
费一定金额后,按以下方案获 得相应金额的奖券:
消费金额(元)的
范围
获得奖券的金
额(元)
[200,400)

[400,500)

[500,700)

[700,900)

……
30 60 100 130 ……
根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如:购买标 价为400元的



商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为:400×0 .2+30=110(元)。设购买商品
得到的优惠率=
购买商品得到的优惠额
,试问
商品的标价
(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?
(2)对于标价在[500,800](元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不
小于
1
的优惠率?
3
18如图所示,将一矩形花坛
ABC D
扩建成一个更大的矩形花园
AMPN
,要求B在
AM
上,
D在
AN
上,且对角线
MN
过C点,已知AB=3米,AD=2米,
(1)要使矩形
AMPN
的面积大于32平方米,则
AN
的长应在什么范围 内?
(2)当
AN
的长度是多少时,矩形
AMPN
的面积最小?并 求最小面积;
(3)若
AN
的长度不少于6米,则当
AN
的长度是 多少时,矩形
AMPN
的面积最小?并求
出最小面积。





19已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料2 00千克,配料的价
格为
1.8
元千克,每次购买配料需支付运费236元.每次购买 来的配料还需支付保管费用,
其标准如下: 7天以内(含7天),无论重量多少,均按元天支付;超出 7天以外的天
..
10
.......
数,根据实际剩余配料的重量,以每天 元千克支付.高考资源网
...
0.03
..........
(1)当9 天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用
P
是多少元?高考资源网
(2)设该 厂
x
天购买一次配料,求该厂在这
x
天中用于配料的总费用
...< br>y
(元)关于
x

函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平 均每天支付的费用最少?高考资源网
.........

20假设A型进口车关税 税率在2003年是100%,在2008年是25%,在2003年A型进口车每
辆价格为64万元( 其中含32万元关税税款)
(1)已知与A型车性能相近的B型国产车,2003年每辆价格为46万 元,若A型车的价
格只受关税降低的影响,为了保证2008年B型车的价格不高于A型车价格的90% ,B型车价
格要逐年等额降低,问每年至少下降多少万元?
(2)某人在2003年将33万 元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为1.8%(5年内
不变),且每年按复利计算(上一年的利 息计入第二年的本金),那么5年到期时这笔钱
5
连本带利息是否一定够买按(1)中所述降价 后的B型车一辆?(参考数据:1.018≈1.093)
参考答案
1解:(1),
t?
5?10010
…………………………………………5分
?
50x?100x?2
(2)总损失为
y
,则
y
=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费
y=125
tx
+100
x
+60(500+100
t
)………………………………………………9分



1060000

?100x?30000?
x? 2x?2
x?2?26000

1250
?

?100(x ?2?2)?30000?
x?2x?2
62500

31450?100( x?2)?
……………………………………………………11分
x?2
?31450 ?2100?62500?36450
………………………………………………13分
625 00
当且仅当
100(x?2)?
,即
x
=27时,
y有最小值36450.……………14分
x?2
1
2.66l?l
2< br>?
2.16
?0.0006
, ……4分 2.⑴因为当
v?60时,
d?2.66l
,所以
k?
60
2
l60
2

125
?
x
?

d=0.0024v
2
+2
………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的 车辆为
Q
,则
Q?
1000v
1000
.即
Q?
1000v
……12分
?
2
d?4
0.0024 v?6
0.0024v?
6
v
66

0.0024v?≥2 0.0024v??0.24

vv

Q≤
1000125006
12500
,当且仅当
0.0024v?
,即
v?50
时,
Q
取最大值.
?
0.243
v
3
y 答:当
v?50
?
kmh
?
时,大桥每小时通过的车辆最多.… ……16分

3设通话x分钟时,方案A,B的通话费分别为
f
A
(x),f
B
(x)

(1)当x=120时
f
A
(x)
=116元
f
B
(x)
=168元
若通话时间为两小时,方案A付话费116元,方案B付话费168元
O x
0? x?60
?
98
?
168
??
,f
B
(x )?
?
3
(2)
f
A
(x)?
?
3
x?8060?xx?18
??
?
10
?
10

x?500时
f
B
(x?1)
-
f
B
(x)
=0.3
方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3 元
(3) 当
x?500时
f
A
(x)?f
B
(x)

0?x?500
500?x

0?x?60

f
A
(x)?f
B
(x)

60?x?500
f
A
(x)?f
B
(x)

x?
综 合:通话时间在
(


4解:(1)根据三条规律,可知该函数为周期函数,且周期为12.
880

3
880
,?)
内方案B较优惠。
3


< br>由此可得,
T?
2
?
?
?12?
?
?
?
6

由规律②可知,
f(n)
max
?f(8)?1 00A?100k

f(n)
min
?f(2)??100A?100k
f(8)?f(2)?200A?400?A?2

又当
n?2时,
f(2)?200?cos(
?
6
?2?2)?100k?100< br>,
所以,
k?2.99
,由条件
k
是正整数,故取
k?3
.
综上可得,
f(n)?200cos
?
?
?< br>?
6
n?2
?
?
?
?300
符合条件.
(2) 解法一:由条件,
200cos
?
?
?
?
?
6
n?2
?
?
?300?400
,可得
cos
?
?
?
?
6
n?2
?
?
?
?
1
2
?2k
?
?
???
3
?
6
n?2?2k
?
?
3

k?Z

?6
?
?
?
?
2k
?
?
?
3< br>?2
?
?
?
?n?
6
?
?
?
?
?
?
2k
?
?
3
?2
?
?< br>,
k?Z

?12k?2?
12
?
?n?12k?2 ?
12
?

k?Z
.
因为
n?
?
1,12
?

n?N
*
,所以当
k?1
时,6.18?n?10.18


n?7,8,9,10
,即一年中的7 ,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.
解法二:列表,用计算器可算得
月份
n
… 6 7 8 9 10 11
人数
f(n)

… 383 463 499 482 416 319
故一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.


5解: (1)塑胶 跑道面积
S?
?
?
?
r
2
?(r? 8)
2
?
?
?8?
10000?
?
r
2< br>2r
?2??????4分
?
80000
r
?8
?< br>r?64
?
(0?r?
100

?
)????????6分
(2) 设运动场造价为
y






8000080000
?8
?
r?64
?
)?30?(10000??8
?
r?64
?
)????10分
rr
80000
?300000?120(?8
?
r)?7680
?
??????12分
r
Qr?
?
30,40
?
,函数y是r的减函数
y?150?(
?当r=40,运动场 造价最低为636510元-----14分


x8
)?100(1?x)

1050
x
又售价不能低于 成本价,所以
100(1?)?80?0

10
6(1)依题意,
y?100(1?
所以
y?f(x)?20(10?x)(50?8x)
,定义域为< br>[0,2]

(2)
20(10?x)(50?8x)?10260
,化简得:
8x?30x?13?0

解得
2?x?
2
13

4
1
?x?2

2
所以
x
的取值范围是

7解:(1)因为2002年底刚达到小康,所以n=50%
且2002年每户家庭消费支出总额为9600元,
故食品消费支出总额为9600×50%=4800元

n
2007< br>?
4800?5?1205400
??41%?40%
,即2007年底能达到 富裕
9600?5?72013200
(2)设2002年的消费支出总额为
a
元,则
a?5?720?a(1?36%),

从而求得
a?10000
元,
又设其中食品消费支出总额为
b元,则b?5?120?b(1?12%),

从而求得
b?5000
元。
当恩格尔系数为
30%?n?40%时,有30%?
解得
5.95?x?20.8.

则6年后即2008年底起达到富裕。

8.解:(1)若
x?40
千米小 时,每小时耗油量为
y?7
升小时. 共耗油
7?
所以,从甲地到乙地要耗油17.5升.
(2)设当汽车以
x< br>千米小时的速度匀速行驶时耗油量最少,
?
0?x?120
?
,耗油量 为S
升.
5000?120x
?40%

10000?720x
100
?17.5
升.
40




S?
100
?
1312
80015
1800
?
3
x?x?8?x??
, ,
S'?x?
??
2
x
?
12800080x4
64 0x
?
1280

S'?0
,解得,
x?80
.
列表:
x

80
?

?
0,
?

单调减
80

?
80,120
?

?

单调增
120

S'

S

0

极小值11.25
0

170

12
所以,当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时,耗油量最少,为11.25升.

*
?
[2000?400(20?x)](x?7),
7?x?2 0,x?N
9解:(I)依题意
y?
?
…………………3分
*[2000?100(x?20)](x?7),
20?x?40,x?N
?
*< br>?
400(25?x)(x?7),
7?x?20,x?N

y?
?
………………………5分
*
100(40? x)(x?7),
20?x?40,x?N
?
此函数的定义域为
{x|7?x ?40,x?N
*
}
………………………7分
?
400[?(x?16)
2
?81],
7?x?20,x?N*
?
(Ⅱ)
y?
?
…………………………9分
27
2
1089
*
,
20?x?40,x?N
?< br>100[?(x?)?
24
?

7?x?20
,则当
x?16
时,
y
max
?32400
(元);………………………… 11分

20?x?40
,因为
x
∈N,所以当
x
=23或24时,
y
max
?27200
(元);……13
*
综合上可得当
x?16
时,该特许专营店获得的利润最大为32400元. ……………15分
10解(1)由题意可知当
m?0
时,
x?1
( 万件)
?1?3?k

k?2

……………2分
8?16x
2
1.5?(元)

?x?3?
每件产品的销售价格为
x
m?1
…………… ………5分
∴2008年的利润
y?x[1.5?
8?16x
]?(8?16 x?m)

x
?4?8x?m?4?8(3?
2
)?m

m?1




??[
16

?(m?1)]?29(m?0)

m?1
…………………………………8分
(2)
?m?0时,
16
?(m?1)?216?8

m?1
16

?m?1?m?3(万元)时,y
max
?2 1
(万元)
m?1
……12分

……14分
积为
? y??8?29?21,当且仅当
答:该厂家2008年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最 大为21万元

11(Ⅰ)因为
BD?atan
?
,所以
? ABD
的面
1
2
?
atan
?
(
?
?(0,)
)………………………(2分)
22
FGDGtatan
?
?t
设正方形
BEFG
的边长为
t
,则由,得
?
,
?
ABDBaatan
?
atan
?
解得,
t?
1? tan
?
a
2
tan
2
?
S
2
?
…………………………………………………………………(6分)
(1?tan
?
)
2
所以

1
2< br>1
2
a
2
tan
2
?
S
1
?atan
?
?S
2
?atan
?
?
22(1?t an
?
)
2
,则
S
1
(1?tan
?)
2
y???1
………………(9分)
S
2
2tan
?
(Ⅱ)因为
tan
?
?(0,??)
,所以
1111
y?(tan
?
??2)?1?( tan
?
?)
?1
……………(13分)
2tan
?
2tan
?
aa
当且仅当
tan
?
?1
时取等号,此时
BE?
.所以当
BE
长为时 ,
y
有最小值
22
1…………………(15分)


1
2.66l?l
2
?
2.16
?0.0006
, ……4分 12.⑴因为当
v?60
时,
d?2.66l
,所以
k?
60
2
l60
2

d=0.0024v
2
+2
………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为Q
,则
Q?
1000v
1000
.即
Q
?1000v
……12分
?
2
d?4
6
0.0024 v?6
0.0024v?
v
66

0.0024v?≥20.002 4v??0.24
,…………………………………………………14分
vv




Q≤
100012500
6
12500
,当且仅当
0.0024v?
,即
v?50
时,
Q
取最大值.
?
0.243
v
3
y
答:当< br>v?50
?
kmh
?
时,大桥每小时通过的车辆最多.………16分

13(1) 设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元
由题设
f(x)?k
1
x,g(x)?k
2
由图知f(1) =
x

O x
11
55
,故k
1
= 又
g(4)?,?k
2
?

44
24
15
从而
f(x)?x(x?0),g(x)?x(x?0 )
———————————————7分
44
(2) 设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元
y?f(x)?g(10?x)?
15
x?10?x(0?x?10)
< br>44
10?t
2
51565
?t??(t?)
2
?( 0?t?10)

t?10?x

y?
444216
当< br>t?
565
时,y
max
?,此时x?3.75

216
65
万元 —
16
答: 当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大利润为
15分

14、如图所示,
?APM?90?2
?
,则MB=
lsin
?
AM?l?sin
?
sin90
o
?
?
……
3
?

由题设得:
lsin
?
+
l?si n
?
sin90?2
?
=6从而得
l?
o
???
o
?
6
………
6
?

o
s in
?
?sin
?
sin
?
90?2
?
?

l?
63

l?
……………
8
?

2
sin
?
?sin
?
cos2
?
sin
?
?cos
?设:
sin
?
?t

u?t1?t
2
?t?t
3
,即
u?t?t

0?
?
?
??
3
?
4

u
?
?1?3t

u
?
?0
,得
2
t?
3

3
3
33
时,
u
?
?0
,当
t?
时,
u
?
?0
,所以当
t?
时,
u
取到最大值:
3
33

t?
31323
??

3339



l
的最小值为
3
23
9
?
93
………………………………………
16
?

2

2

MF
=,
EN
=, 4分
cos
?
2
=
EF=DM+DN-MF- EN
=+--
cos
?
2(sin
?
?cos
?
)?1
?
= (
0?
?
?
) 7
sin
?
cos
?
2
15(1)
DM
= ,
DN
=

(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角(
0?
?
?
?
2
),平板车的长度不能超
t
2
?1
过,即平板车的长度
?l
min
;记
sin
?
?cos
?
?t,

1?t?2
,有
sin
?
cos
?
=,
2
=
2(sin
?
?cos
?
)?1
4t?2=
2
=, 10分
sin
?
cos
?
t?1
此后研究函数的最小值, 方法很多;如换元(记
4t?2?m
,则
t?
以确定函数在
[1,2 ]
上的单调性;当
t?
m?2
)或直接求导,
4
2
时取得最小值
42?2

16(1)由题意可知,当
m?0
时,
x?1
,∴
1?3?k

k?2

2
8?16x
,每件产品的销售价格为
1.5?
元.
m? 1
x
8?16x
∴2009年的利润
y?x[1.5?]?(8?16x?m )

x
216

?4?8x?m?4?8(3?)?m??[?(m?1)]?29(m?0)
……8分
m?1m?1
16
?(m?1)?216?8
. (2)∵
m?0< br>时,
m?1
16

y??8?29?21
,当且仅当
?m?1
,即
m?3
时,
y
max
?21
.……… ………15分
m?1

x?3?
答:该厂家2009年的促销费用投入3万 元时,厂家的利润最大,最大为21万元.
17(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客的消费金额为:
1000?0.8?800
(元)
获得奖券的金额为130元,得到的优惠率是
1000?0.2?130
?33%

1000
(2)设商品的标 价为x元,则
500?x?800,
顾客消费金额(元)
满足
400?0. 8x?640.

400?0.8x?500.
时,获得奖券的金额为60元;




500?0.8x?640
时,获得奖券的金额为100元,由已知得
?
0.2x?601
?,
?
(1)
?

x3
?
?
400?0.8x?500;
?
0.2x?1001
?
?
(2)
?
x3

?
?
500?0. 8x?640.
不等式(1)无解;不等式(2)的解为
625?x?750
,因此, 当顾客购买标价在[625,
750]元内的商品,可得到不小于

18(1)设AN?x
米,
?
x?2
?
,则
ND?x?2

?
的优惠率。
3
NDAN

?
DCAM
x?2x

?
3AM
3x

AM?
……2分
x?2
3x

?x?32

x?2


3x?32x?64?0
……4分

(3x?8)(x?8)?0


2?x?
2
8

x?8
……5分
3
3x
2
3(x?2)
2
?12(x?2)?1 2
??
……7分
x?2x?2
( 2)
S
AMPN
3(x?2)
2
?12(x?2)?1212
?3(x?2)??12

?
x?2x?2

?236?12?24

此时
x?4
……10分

(3)∵
S
AMPN
?3(x?2)?
12
?12
(x?6)

x?2
12
?12
……11分 令
x?2?t
(t?4)

f(t)?3t?
t




f
?
(t)?3?
12

t
2

t?4
时,
f
?
(t)?0


f(t)?3t?
12
?12

?
4,??
?
上递增 ……13分
t

f(t)
min
?f(4)?27

此时
x?6
……14分
答:(1)
2?AN?
8

AN?8

3
(2)当
AN
的长度是4米时,矩形
AMPN
的 面积最小,最小面积为24平方米;
(3)当
AN
的长度是6米时,矩形
AMPN
的面积最小,
最小面积为27平方米。 ……15分

19(Ⅰ)当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用
P=70+
0.03?200?(1?2)
=88(元) ……………4分
(Ⅱ)(1)当
x
≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
(2)当 x>7时
y=360x+236+70+6[(< br>x?7
)+(
x?6
)+……+2+1]
=
3x?321x?432
………7分

y?
?
2
?
370x? 236,x?7
?
3x?321x?432,x?7
2
………8分
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为
f(x)


?
3 70x?236
?,x?7
?
x
f(x)?
?
…………11分
?3x
2
?321x?432
,x?7
?
x
?
当x≤7时
236
当且仅当x=7时
x
2826
?404
(元) f(x)有最小值
7
f(x)?370?
当x>7时


3x
2
?321x?432
144
f(x)?
=
3(x ?)?321
≥393
x
x
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………16分

20(1)2008年A型车价格为32+32×25%=40(万元) < br>设B型车每年下降d万元,2003,2003,…,2008年B型车价格分别为
a
1
,a
2
,a
3
…,
a
6
(a
1< br>,a
2
,?,a
6
为公差是-d的等差数列)
?a
6
?40?90%


46?5d?36

?d?2

故每年至少下降2万元。
(2)2008年到期时共有钱33
?(1?1.8%)

5
?33?1.093?36.069?36
(万元)
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车。




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