高中数学应用题专题复习答案

Fpg
高中應用題專題復習
例1．建築一個容積為48米
3
，深為3米の長方體蓄水池，池壁每平方米の造價為a元，池底每平方米の
造價為2a元。把總造價y 表示為底の一邊長x米の函數，並指出函數の定義域。
解：容積=底面積×高= 48 ? 底面積×3 = 48 ? 底面另一邊長：m =
池壁造價=池壁面積×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +
池底造價=底面積×2a =16×2a = 32a
∴ y = 6(x +
16

x
1616
)a = 6(x +)a
xx
16
)a + 32a ( x > 0 )
x
例2. 有 根木料長為6米，要做一個如圖の窗框，已知上框架與下框架の高の比為1∶2，問怎樣利用木料，
才能 使光線通過の窗框面積最大（中間木檔の面積可忽略不計.
解：如圖設x, 則豎木料總長= 3x + 4x = 7x, 三根橫木料總長= 6 ?7x
6?7x

x
3
6?7x6
即窗框の面積 y = 3x ·= ?7x
2
+ 6x ( 0 < x <)
2x
37
3
2
9
配方：y =
?7(x?)?
( 0 < x < 2 )
77
336
∴ 當x =米時，即上框架高為米、下框架為米、寬為1米時，光線通過窗框面積最大.
777
∴ 窗框の高為3x，寬為
3．利潤問題：（1）利潤=收入?成本 （2）利潤=單位利潤×銷售量
例3. 將進貨單價為8元の商品按單價10元銷售，每天可賣出10 0個。若該商品の單價每漲1元，則每天
銷售量就減少10個。如何確定該商品の銷售單價，使利潤最大 ？
分析：（1）每出售一個商品の利潤=銷售單價?進貨單價= 10? 8 = 2
（2）以單價10元為基礎：單價每次漲1元，當漲了x元（即可看成漲了x次）時，則每出售一個商
品 の利潤= 2+ x元, 銷售量為100 ?10x個
∴ 每個商品の利潤y = (2 + x )( 100 ?10x ) = ?10x
2
+ 80x + 200 = ?10( x ? 4)
2
+ 360
即當x = 4時，y有最大值360
∴ 當每個商品の單價為14元時，利潤最大.
4．與增長率相關の問題：
經過年
〖要點〗增長率為正：原產量×(1 + 增長の百分率)
x

經過年
增長率為負：原產量×(1 ? 增長の百分率)
x

例5. 一種產品の年產量原來是a件，在今後m年內，計畫使年產量每年比上一年增加p%. 寫出年產量隨
經過年數變化の函數關係式.
解：設經過x年後，年產量為y, 則y = a( 1 + p%)
x


例9. 畫一個邊長2釐米の正方形，再以這 個正方形の對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形の對
角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了1 0個正方形，求：
（1） 第10個正方形の面積
（2） 這10個正方形の面積の和
解：（1）設{a
n
}表示各正方形の面積
∵ a
1
= 2
2
= 4, a
2
= (
22
)
2
, a
3
= 4
2
= 8
∴ {a
n
}是公比為2の等比數列
第10個正方形の面積a
10
= a
1
q
9
= 4×2
9
= 2048 (釐米
2
)
a
1
(1 ?q
10
)
4(1?2
10
)
（2）這10個正方形の面積 和
S
10
???4092
（釐米
2
）
1?q1 ?2
例10．一個球從100米高處自由落下，每次著地後又回到原高度の一半再落下. 當它第10次著地時，共
經過了多少米？
Fpg

Fpg
解：設球落下の高度依次為a
1
, a
2
, …, a
10
.
∵ a
1
= 100, a
2
= 50, a
3
= 25 ∴ {a
n
}是公比為
則球第10次落 下時落下の路程為
S
10
1
の等比數列
2
1
10 0[1?()
10
]
25575
2
???200

1
128
1?
2
∴本球共經過の路程為S = 2S
10
? 100 ≈300 （米）

一．解析幾何中の應用題
例16．拋物線拱橋頂部距水面2米時，水面寬4米. 當水面下降1米時，水面の寬是多少？
解：如圖建立直角坐標系，則拋物線方程為x
2
= ?2py
y
依題意知：x = 2時，y = ?2代入方程得p = 1
即拋物線方程為 x
2
= ?y, 當水面下降1米時，y = ?3 ? x =
3

∴ 水面寬為2x =
23
≈3.5 (米)
例17．我國發射の第一顆人造地球衛星の運行軌道是以地
球の中心F
2
為一個焦點の橢圓，近地點A距地面439千米，
遠地點距地面2384千米，地球半徑大約為6371千米，求衛
星の軌道方程.
解：如圖建立坐標系
∵ a ?c = |OA| ? | OF
2
| = |F
2
A| = 6371 + 439 = 6810
a + c = |OB| + |OF
2
| = |F
2
B| = 6371 + 2384 = 8755
∴ a = 7782.5, c = 972.5 ? b
2
= 7721.5
2

0
2
4
y
x
B F
1
F
2
·

·

O
A
x
x
2
y
2
??1
即衛星の軌道 方程是：步
7783
2
7722
2
例18．在相距1400米のA、 B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲の時間相差3秒，已知聲速是340米秒，炮彈爆
炸點在怎樣の曲線上？並求 出軌跡方程.
解：設爆炸t秒後A哨所先聽到爆炸聲，則B哨所t + 3秒後聽到爆炸聲，爆炸點設為M
y
則 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020
兩式相減：|MA| ? |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)
M
∴ 炮彈爆炸點の軌跡是以A、B為焦點の雙曲線
以AB為x軸、AB中點為原點建立直角坐標系（如圖）
A O B
x
∴ A(?700, 0 ), B( 700, 0 ) ? c = 700
且 2a = 1020 ? a = 510 ? b
2
=229900
x
2
y
2
??1
( x > 0 ) 炮彈爆炸の軌跡方程是：
26
例19．如圖，某災區の災民分佈在一個矩形地區，現要將救災物 資從P處緊急運往災區. P往災區有兩條
道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 為了 使救災物資儘快送到災民手裏，需要在
災區劃分一條界線，使從PA和PB兩條路線到災民所在地都比較 近. 求出該界線の方程.
解：要使沿PA、PB兩條線路到救災地點都比較近，有三種情況：
（1）沿PA線路 （2）沿PB線路 （3）沿PA、PB線路都相同
M
故分界線以第（3）種情況劃分：即
B
|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ? 110 + |MA| = 150 + |MB|
A
∴ |MA|?|MB| = 40, 即知分界線是以A、B為焦點の雙曲線
AB = 50 ? 2c = 50 ? c = 25, 2a = 40 ? a = 20 ? b
2
= 225
若以AB為x軸、ABの中點為原點建立直角坐標系
y
2
x
2
??1
（在矩形內の一段） 則分界線方程是：
400225
注意：確定分界線の原則是：從P沿PA、PB到分界線上點の距離.
P
練習：
Fpg

Fpg

1某森林 出現火災，火勢正以每分鐘
100m
2
の速度順風蔓延，消防站接到警報立即派消防隊 員前去，在火
災發生後五分鐘到達救火現場，已知消防隊員在現場平均每人每分鐘滅火
50m< br>2
，所消耗の滅火材料、勞
務津貼等費用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損 の車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，
而燒毀一平方米森林損失費為60元．
（1） 設派
x
名消防隊員前去救火，用
t
分鐘將火撲滅，試建立
t
與
x
の函數關係式；
（2）問應該派多少消防隊員前去救火，才能使總損失最少？
2有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發地段，為了保證安全，交通部門規定。大橋上の車距d( m)
與車速v(kmh)和車長l(m)の關係滿足：
d?kvl?
2
1l
（k為正の常數），假定車身長為4m，當車速為
2
60（kmh)時，車距為 2.66個車身長。
（1）寫出車距d關於車速vの函數關係式;
（2）應規定怎樣の車速，才能使大橋上每小時通過の車輛最多？
3 電信局根據市場客戶の 不同需求，對某地區の手機套餐通話費提出兩種優惠方案，則兩種方案付電話費
（元）與通話時間（分鐘 ）之間の關係如圖所示（實線部分）（MN平行CD）
（1） 若通話時間為兩小時，按方案A，B各付話費多少元？
（2） 方案B從500分鐘以後，每分鐘收費多少元？
（3） 通話時間在什麼範圍內，方案B比方案A優惠？
5某學校要建造一個面積為10000平方米の運動場 。如圖，運動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為
直徑の兩個半圓組成。跑道是一條寬8米の 塑膠跑道，運動場除跑道外，其他地方均鋪設草皮。
已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元
(1) 設半圓の半徑OA=
r
(米),試建立塑膠跑道
面積S與
r
の函數關係S(
r
)
(2) 由於條件 限制
r?
?
30,40
?
,問當
r
取何值時,運動 場
造價最低?（精確到元）
10某廠家擬在2008年舉行促銷活動，經調查測算，該產品 の年銷售量（即該廠の年產量）
x
萬件與年促
銷費用
m
萬元（
m?0)满足x?3?
k
（
k
為常數），如果不搞促銷活動，則該產品の年 銷售量是1
m?1
萬件。已知2008年生產該產品の固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品 需要再投入16萬元，廠家將每
件產品の銷售價格定為每件產品年平均成本の1.5倍（產品成本包括固 定投入和再投入兩部分資金,不包
括促銷費用）．
（1）將2008年該產品の利潤y萬元表示為年促銷費用
m
萬元の函數；
（2）該廠家2008年の促銷費用投入多少萬元時，廠家の利潤最大？
13某民營企業生產 A、B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品の利潤與投資成正比，其關係如圖甲，B
產品の利潤與投 資の算術平方根成正比，其關係如圖乙(注：利潤與投資單位：萬元)．

甲 乙
(1)分別將A、B兩種產品の利潤表示為投資
x
(萬元)の函數關係式；
(2)該企業已籌集到10萬元資金，並全部投入A、B兩種產品の生產，問：怎樣分配這10萬元投資，
才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元?


16某廠家擬在2009 年舉行促銷活動，經調查測算，該產品の年銷售量（即該廠の年產量）
x
萬件與年促
F pg

Fpg
(m?0)
萬元滿足
x?3?
銷費用
m
k
（
k
為常數），如果不搞促銷活動，則該產品の年銷售量是1萬
m?1
件. 已知2009年生產該產品の固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入 16萬元，廠家將每件
產品の銷售價格定為每件產品年平均成本の1.5倍（產品成本包括固定投入和再 投入兩部分資金，不包括
促銷費用）．
（1）將2009年該產品の利潤
y
萬元表示為年促銷費用
m
萬元の函數；
（2）該廠家2009年の促銷費用投入多少萬元時，廠家の利潤最大？
17某商場在促銷期 間規定：商場內所在商品按標價の80%出售；同時，當顧客在該商場內消費一定金額後，
按以下方案獲 得相應金額の獎券：
消費金額（元）の
範圍
獲得獎券の金
額（元）
[200,400)

[400,500)

[500,700)

[700,900)

……
30 60 100 130 ……
根據上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠。例如：購買標 價為400元の商品，則消費
金額為320元，獲得の優惠額為：400×0.2+30=110（元） 。設購買商品得到の優惠率
=
购买商品得到的优惠额
，試問
商品的标价
1
の優惠
3
（1）購買一件標價為1000元の商品，顧客得到の優惠率是多少？
（2）對於標價在[50 0，800]（元）內の商品，顧客購買標價為多少元の商品，可得到不小於
率？
18如圖所 示，將一矩形花壇
ABCD
擴建成一個更大の矩形花園
AMPN
，要求B在< br>AM
上，D在
AN
上，
且對角線
MN
過C點，已知A B=3米，AD=2米，
（1）要使矩形
AMPN
の面積大於32平方米，則
AN
の長應在什麼範圍內?
(2)當
AN
の長度是多少時，矩形
AMPN
の面積最小?並求最小面積；
(3)若
AN
の長度不少於6米，則 當
AN
の長度是多少時，矩形
AMPN
の面積最小？並求出最小面積。












1 9已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料の價格為
1.8
元千克，
每次購買配料需支付運費236元.每次購買來の配料還需支付保管費用，其標準如下: 7 天以內（含7天），
無論重量多少，均按元天支付；超出7天以外の天數，根據實際剩餘配料の重量，以 每天元千
．．
10
．．．．．．．．．．
0.03
．．．．．．．< br>克支付.高考資源網
．．．
（1）當9天購買一次配料時，求該廠用於配料の保管費用
P
是多少元？高考資源網
（2）設該廠
x
天購買一次配料，求該廠 在這
x
天中用於配料の總費用
．．．
y
（元）關於
x
の函數關係式，
並求該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付の費用最少?高考資源網
．．．．．．．．．

20假設A型進口車關稅稅率在2003年是100%，在20 08年是25%，在2003年A型進口車每輛價格為64萬
元（其中含32萬元關稅稅款）
（1）已知與A型車性能相近のB型國產車，2003年每輛價格為46萬元，若A型車の價格只受關稅降低の影響，為了保證2008年B型車の價格不高於A型車價格の90%，B型車價格要逐年等額降低，問每年 至
少下降多少萬元？
（2）某人在2003年將33萬元存入銀行，假設銀行扣利息稅後の年 利率為1.8%（5年內不變），且每
Fpg

Fpg
年按複利計算 （上一年の利息計入第二年の本金），那麼5年到期時這筆錢連本帶利息是否一定夠買按（1）
5
中所述降價後のB型車一輛？（參考數據：1.018≈1.093）
參考答案
1解：（ 1），
t?
5?10010
?
…………………………………………5分 50x?100x?2
（2）總損失為
y
，則
y
＝滅火勞務津貼 ＋車輛、器械裝備費＋森林損失費
y＝125
tx
＋100
x
＋6 0（500＋100
t
）………………………………………………9分
1060000
?100x?30000?

x?2x?2
x?2? 26000
?100(x?2?2)?30000?
＝
1250
?

x?2x?2
62500
＝
31450?100(x?2)?
……… ……………………………………………11分
x?2
?31450?2100?62500? 36450
………………………………………………13分
62500
當且僅當100(x?2)?
，即
x
＝27時，
y
有最小值36450． ……………14分
x?2
1
2.66l?l
2
?
2.16
?0.0006
， ……4分 2．⑴因為當
v?60
時，
d?2. 66l
，所以
k?
60
2
l60
2
＝
12 5
?
x
?
∴
d=0.0024v
2
+2
………………………………………………………6分
⑵設每小時通過の車輛為
Q
，則
Q?
1000v
1000
．即
Q
?
1000v ……12分
?
2
6
d?4
0.0024v?6
0. 0024v?
v
66
∵
0.0024v?≥20.0024v??0.24< br>
vv
1000125006
12500
，當且僅當
0.00 24v?
，即
v?50
時，
Q
取最大值．
?
0.243v
3
y
答：當
v?50
?
kmh
?
時，大橋每小時通過の車輛最多．………16分
∴
Q≤

3設通話x分鐘時，方案A，Bの通話費分別為
f
A
(x),f
B< br>(x)

（1）當x=120時
f
A
(x)
=116元
f
B
(x)
=168元
若通話時間為兩小時，方案A付話費116元，方案B付話費168元
0?x?600?x? 500
?
98
?
168
??
,f
B
(x) ?
?
3
（2）
f
A
(x)?
?
3

x?8060?xx?18500?x
??
?
10
?
10< br>當
x?500时
f
B
(x?1)
-
f
B(x)
=0.3
方案B從500分鐘以後，每分鐘收費0.3 元
(3) 當
x?500时
f
A
(x)?f
B
(x)

0?x?60

f
A
(x)?f
B
(x)

O x
60 ?x?500
由
f
A
(x)?f
B
(x)
得
x?
綜合：通話時間在
(
880

3
880
,?)
內方案B較優惠。
3
5解: (1)塑膠 跑道面積
Fpg

Fpg
10000?
?
r2
S?
?
?
?2??????4分
?
r?(r?8)< br>?
?
?8?
2r

80000100
?? 8
?
r?64
?
(0?r?)????????6分
r
?< br>（2） 設運動場造價為
y

22
8000080000
?8
?
r?64
?
)?30?(10000??8
?
r?64< br>?
)????10分
rr
80000
?300000?120(?8< br>?
r)?7680
?
??????12分
r
r?
?< br>30,40
?
,函数y是r的减函数
y?150?(
?当r=40,运 动场造价最低为636510元-----14分
x8
)?100(1?x)
； 1050
x
又售價不能低於成本價，所以
100(1?)?80?0
．
10
所以
y?f(x)?20(10?x)(50?8x)
，定義域為
[0,2]
．
6（1）依題意，
y?100(1?
（2）
20( 10?x)(50?8x)?10260
，化簡得：
8x?30x?13?0

2

131
． 所以
x
の取值範圍是
?x?2
．
42
10解（1）由題意 可知當
m?0
時，
x?1
（萬件）
?1?3?k
即
k?2
解得
2?x?

……………2分
8?16x
2
1.5?(元)

?x?3?
每件產品の銷售價格為
x
m?1
…………… ………5分
8?16x2
]?(8?16x?m)

?4?8x?m?4?8(3?)?m
∴2008年の利潤
y?x[1.5?
xm?1
16
?(m?1)]?29(m?0)

??[

m?1
…………………………………8分
（2）
? m?0时,
16
?(m?1)?216?8

m?1
16

?m?1?m?3(万元)时,y
max
?21
（萬元）
m?1……12分
答：該廠家2008年の促銷費用投入3萬元時，廠家の利潤最大，最大為21萬元 < br>……14分
?y??8?29?21,当且仅当
1
2
?
ata n
?
(
?
?(0,)
)………………………(2分)
22
FGDGtatan
?
?t
?
設正方形
BEFG
の邊長為
t
,則由,得
?
,
A BDBaatan
?
atan
?
a
2
tan
2?
解得
t?
,則
S
2
?
………………………… ………………………………………(6分)
2
1?tan
?
(1?tan< br>?
)
11(Ⅰ)因為
BD?atan
?
,所以
?AB D
の面積為
S
1
(1?tan
?
)
2
1< br>2
1
2
a
2
tan
2
?
所以
S
1
?atan
?
?S
2
?atan
?< br>?
,則
y???1
………………(9分)
2
22(1?t an
?
)
S
2
2tan
?
1111
?2) ?1?(tan
?
?)
?1
……………(13分) (Ⅱ)因為
tan
?
?(0,??)
,所以
y?(tan
?
?
2tan
?
2tan
?
Fpg

Fpg
當且僅當
tan
?
?1
時取等號,此時
BE?
aa
.所以當
BE
長為時,
y
有最小值1…………………(15分)
22

13(1) 設投資為x萬元,A產品の利潤為f(x)萬元,B產品の利潤為g(x)萬元
由題設
f(x)?k
1
x,g(x)?k
2
x

1155
,故k
1
= 又
g(4)?,?k
2
?

4424
15
x(x?0)
———————————————7分 從而
f(x)?x(x?0),g(x)?
44
由圖知f(1)=
(2) 設A產品投入x萬元,則B產品投入10-x萬元,設企業利潤為y萬元
15
x?10?x(0?x?10)

44
10?t
2< br>51565
令
t?10?x
則
y??t??(t?)
2
?(0?t?10)

444216
565
,此时x?3.75
當
t?时,y
max
?
216
y?f(x)?g(10?x)?答: 當A產品投入3.75萬元,則B產品投入6.25萬元,企業最大利潤為
16（1）由題意 可知，當
m?0
時，
x?1
，∴
1?3?k
即
k? 2
，
65
萬元 —15分
16
2
8?16x
，每件產品の銷售價格為
1.5?
元.
m?1
x
8?16x
]?(8?16x?m)
∴2009年の利 潤
y?x[1.5?
x
216
)?m??[?(m?1)]?29(m?0)
……8分
?4?8x?m?4?8(3?
m?1m?116
?(m?1)?216?8
. （2）∵
m?0
時，
m?1
16
?m?1
，即
m?3
時，
y
max
? 21
.………………15分 ∴
y??8?29?21
，當且僅當
m?1∴
x?3?
答：該廠家2009年の促銷費用投入3萬元時，廠家の利潤最大，最大為21 萬元.
17（1）購買一件標價為1000元の商品，顧客の消費金額為：
1000?0.8?800
（元）
獲得獎券の金額為130元，得到の優惠率是
1000?0.2?130
?33%

1000
（2）設商品の標 價為x元，則
500?x?800,
顧客消費金額（元）
滿足
400?0. 8x?640.
當
400?0.8x?500.
時，獲得獎券の金額為60元；
當
500?0.8x?640
時，獲得獎券の金額為100元，由已知得
?
0.2x?601
?
0.2x?1001
?,?
??
（1）
?
或（2）
?
x3x3

??
?
400? 0.8x?500;
?
500?0.8x?640.
不等式（1）無解；不等式（2） の解為
625?x?750
，因此，當顧客購買標價在[625，750]元內の
?< br>商品，可得到不小於の優惠率。
3
18（1）設
AN?x
米，
?
x?2
?
，則
ND?x?2

Fpg

Fpg
NDAN
?

DCAM
x?2x
?
∴
3AM
3x
∴
AM?
……2分
x?2
3x
?x?32
∴
x?2
2
∴
3x?32x?64?0
……4分
∴
(3x?8)(x?8)?0

∴或
x?8
……5分
3x
2
3(x?2)
2
?12(x?2)?12
?
（2）
S
AMPN
?
……7分
x?2x?2
3(x?2)
2
?12(x?2)?1212
?3(x?2)??12

?
x?2x?2

?236?12?24

此時
x?4
……10分

12
?12
(x?6)
（3）∵
S
AMPN
?3(x?2)?
x?2
12
?12
……11分 令
x?2?t
(t?4)
，
f(t)?3t?
t
12
∵
f
?
(t)?3?
2

t
當
t?4
時，
f
?
(t)?0

12
?12
在
?
4,??
?
上遞增 ……13分 ∴
f(t)?3t?
t
∴
f(t)
min
?f (4)?27

此時
x?6
……14分
8
答：（1）
2?AN?
或
AN?8

3
（2）當
AN
の長度是4米時，矩形
AMPN
の 面積最小，最小面積為24平方米；
（3）當
AN
の長度是6米時，矩形
AMPN
の面積最小，
∵
最小面積為27平方米。 ……15分

19（Ⅰ）當9天購買一次時，該廠用於配料の保管費用
P=70+
0.03?200?(1?2)
=88(元) ……………4分
（Ⅱ）（1）當
x
≤7時
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）當 x>7時
y=360x+236+70+6[(< br>x?7
)+(
x?6
)+……+2+1]
=
3x?321x?432
………7分
2
?
370x?236,x?7
∴
y?
?
2
………8分
?
3x?321x?432,x?7
∴設該廠x天購買一次配料平均每天支付の費用為
f(x)
元

Fpg

Fpg
?
370x?236
?，x?7
?
x
f(x)?
?
…………11分
?3x
2
?321x?432
,x?7
?
x
?
當 x≤7時
236
當且僅當x=7時
x
2826
?404
（元） f(x)有最小值
7
f(x)?370?
當x＞7時
144
3x
2
?321x?432
)?321
≥393
f(x)?
=
3(x?
x
x
當且僅當x=12時取等號
∵393<404
∴當x=12時 f(x)有最小值393元 ………16分

20（1）2008年A型車價格為32+32×25%=40（萬元） < br>設B型車每年下降d萬元，2003，2003，…，2008年B型車價格分別為
a
1
,a
2
,a
3
…，
a
6
(a
1< br>,a
2
,?,a
6
為公差是－dの等差數列）
?a
6
?40?90%

即
46?5d?36

?d?2

故每年至少下降2萬元。
（2）2008年到期時共有錢33
?(1?1.8%)

5
?33?1.093?36.069?36
（萬元）
故5年到期後這筆錢夠買一輛降價後のB型車。



：

Fpg