高中数学：高考数学试题分类汇编 应用题

ruize
应用题
1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工 人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7
辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往
A
地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且
只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次 可得利润450元；派用的每
辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当 天派用两类卡
车的车辆数，可得最大利润z=
A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元
【★答案★】C
?
0?x?8
?
0?y?7
?
?
?
x?y?12
?
10x?6 y?72
?
?
2x?y?19
画【解析】由题意设派甲，乙
x,y< br>辆，则利润
z?450x?350y
，得约束条件
?
?
x?y ?12
?
x?7
??
2x?y?19
?
出可行域在的点?
y?5
代入目标函数
z?4900

2.（湖北理10）放射 性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，
这种现象称为衰变。假设在放射 性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝
0
克）与时间t（单位：年）满足函数 关系：，其中M
0
为t=0时铯137的
含量。已知t=30时，铯137含量的变化 率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A．5太贝克 B．75In2太贝克
C．150In2太贝克 D．150太贝克
【★答案★】D
3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为
M(t )?M2
?
t
30
（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟 ，组装第A
件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
【★答案★】D
4 ．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距
10米。开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取
树苗往返所走的路程总和最 小，这个最小值为 （米）。
【★答案★】2000
5．（湖北理）《九章算 术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等
差数列，上面4节的容积共为3升 ，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
?
?
?
f(x)?
?
?
?
?
c
x
c
A
, x?A,
,x?A
67
【★答案★】
66

6.（湖北理） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥
上的车流速度v（单位： 千米小时）是车流密度x（单位：辆千米）的函数。当桥上的
的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞 ，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆
千米时，车流速度为60千米小时，研究表明；当
20?x?200
时，车流速度v是车流
密度x的一次函数．

ruize
（Ⅰ）当
0?x?200
时，求函数
??
的表达式;
（Ⅱ ）当车流密度
x
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆
v x
??
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆小时） 每小时）
??
本小 题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分
12分）
fx?
解：（Ⅰ）由题意：当
0?x?20时,v(x)?60
；当
20?x?200时,设v(x)?ax?b


1
?
a??,< br>?
?
200a?b?0,
?
3
解得
??
?< br>20a?b?60,
?
b?
200
.
?
3

?
再由已知得

0?x?20,
?
60,
?
v(x)?
?
1
(200?x),20?x?200
?
v(x)< br>3
?
故函数的表达式为
0?x?20,
?
60x,
?
f(x)?
?
1
x(200?x),20?x?200
?
?
3
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当
0?x?20时,f(x)< br>为增函数，故当
x?20
时，其最大值为60×20=1200；




即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆小时。
7.（湖南理2 0）。如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速
度为v（v＞0）， 雨速沿E移动方向的分速度为
11x?(200?x)
2
10000
x(20 0?x)?[]?
20?x?200
3323
当时，
当且仅当
x?200?x
，即
x?100
时，等号成立。 < br>10000
.
x?100时,f(x)
所以，当在区间[20，200]上取得 最大值
3

10000
?3333
f(x)
x?1003
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
f(x)?
c
?
c?R
?
。E移动时单位时间内的淋雨量
v?c
×S包括两部分：（ 1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与
11
成正比，比例系数为
10
；（2）其它面的淋雨量之和，其值为
2
，记y为E移动过程中的
3< br>总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=
2
时。
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，
确定移动速度v，使总淋雨量 y最少。






解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为

ruize
31
|v?c|?
202
，
100315
y?(|v?c |?)?(3|v?c|?10)
v202v
故，
（II）由（I）知
5 5(3c?10)
y?(3c?3v?10)??15;
vv
当
0?v?c< br>时，
55(10?3c)
c?v?10时,y?(3v?3c?10)??15.vv
当
?
?(3c?10)
?15,0?v?c,
?
?
v
y?
?
?
5(10?3c)
?15,c?v?10.< br>?
v
?
故
10
3
时，y是关于v的减函数， （1）当
3c
v?10时,y
min
?20?.
2
故当
10
?c?5
0,c
?
上，y是关于v的减函数，
3
（2）当时，在
?
0?c?
在
?
c,10
?
上，y是关于v的增函数，
v?c时,y
min
?
50
.
c
故当
8 .（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去
阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
ABCD
四个点重合于
图 中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角
三角形斜边的两个 端点，设AE=FB=
x
cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问
x
应取何值？
2< br>（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问
x
应取何值？并求出此时包装盒的
高与底面边长的比值。
P
3




DC







A
x
EF
x
B

本小题主要考查函数的概念、导数 等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读
能力及解决实际问题的能力。满分14分.
解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
a?2x,h?
60?2x
2
?2(30?x),0?x?30.

ruize
2
S?4ah?8x(30?x)??8(x?15)?1800,
（1）
所以当
x?15
时，S取得最大值.
222
V?ah?22 ?(x?30x),V
?
?62x(20?x).
（2）
由
V
?
?0得x?0
（舍）或x=20.
当
x?(0,20)
时，
V
?
?0;当x?(20,30)时V
?< br>?0.

所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.
h111
?即.
a222
此时装盒的高与底面边长的比值为
9.（ 福建理18）。某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与
销售价格x（ 单位：元千克）满足关系式
已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克。
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获
得的利润最大。

本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求 解能力、应用意识，考查函数与方程思
想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。
y ?
a
?10(x?6)
2
x?3
，其中3a
?10?11,a?2.
2
解：（I）因为x=5时，y=11，所以
2
y??10(x?6)
2
,
x?3
（II）由（I）可知，该商 品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
2
?10(x?6)
2
]?2?10(x?3)(x?6)
2
,3?x?6
x?3
< br>2
从而，
f'(x)?10[(x?6)?2(x?3)(x?6)]?30(x?4) (x?6)

于是，当x变化时，
f'(x),f(x)
的变化情况如下表：
f(x)?(x?3)[
x

f'(x)

（3，4）
+
单调递增
4
0
极大值42
（4，6）
-
单调递减
f(x)

由上表可得，x=4是函数
f(x)
在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数
f(x)
取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
10.（山东理21 ）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中
80
?
间 为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
3
立方米，且
l≥2r< br>．假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，
半球形部分每平方米建造费用为
c(c＞3)
千元，设该容器的建造费用为
y
千元．
（Ⅰ）写出
y
关于
r
的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的
r
．

ruize







解：（I）设容器的容积为V，
480
?
V?
?
r
2
l?
?
r
3
,又V?,
33
由题意 知
4
V?
?
r
3
804420
3
l?? ?r?(
2
?r)
22
?
r3r33r
故
由于
l?2r

因此
0?r?2.

420
y?2
?
rl?3?4
?
r
2
c?2
?
r?(
2
?r)?3?4
?
r
2
c,
3r
所以建造费用
160
?
y?4
?
(c?2)r
2
?,0?r?2.
r
因此
160
?
8
?
(c?2 )
3
20
y'?8
?
(c?2)r?
2
?(r?) ,0?r?2.
2
rrc?2
（II）由（I）得
由于
c?3,所以c?2?0,

r
3
?
当
3
2020
?0时,r?
3
.
c?2c?2

20
?m,则
c?2
m?0
令
8
?
(c ?2)
y'?(r?m)(r
2
?rm?m
2
).
2
r
所以
9
0?m?2即c?
2
时， （1）当
当 r=m时,y'=0;
当r?(0,m)时,y'<0;
当r?(m,2)时,y'>0.
所以
r?m
是函数y的极小值点，也是最小值点。
9
3?c?
2
时， （2）当
m?2
即
当
r?(0,2)时,y'?0,
函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当
3?c?
9
2时，建造费用最小时
r?2;

当
c?
9
2
时，建造费用最小时

ruize