高中数学周期的求法-钦州的高中数学辅导
应用题专题
1. （本题满分14分）
某自来水厂的蓄水池存有400吨水
，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池
又向居民小区不间断供水，
t
小时
内供水总量为
1206t
吨，
(0?t?24)
。
（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
（2）若蓄水
池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时
内,有几小时出现供水紧张现
象．
（1）设
t
小时后蓄水池中的水量为
y
吨。
则
y?400?60t?1206t(0?t?24)
（3分）
令
6t?x
；则
x
2
?6t
且
0?x?12
，
?y?400?10x?120x?10(x?6)?40(0?x?12)
22
（5分）
∴当
x?6
，即
t?6
时，
y
min
?40
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨。
（8分） （2）依题意
400?10x
2
?120x?80
，得
x
2
?12x?32?0
，
解得
4?x?8
，即
4?
即由
32
3?
8
3
6t?8,
8
3
?t?
32
3
（11分）
；
（14分）
?8
，所以每天终有8小l时供水紧张．
2. (本题满分14分)
甲方
是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔
以弥补经济损失并
获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与
年产量t（吨）满足函数关系<
br>x?2000t
．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以
下称s为赔付价格）．
（Ⅰ）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利
润的年产
量；
（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0．002t
2
（元），在
乙方按照获得最
大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付
价
格s是多少?
解：（Ⅰ）因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润
为：
w?2000t?st(t?0).
1000
s
1000s
2
因为
w?2000t?st??s(t?
所以当
t?(1000
s
2
)?
2
， ……………4分
)
时，w取得最大值．
1000
s
)
吨
2
所以乙方取得最大年利润的年产量
t?(
……………5分
（Ⅱ）设甲方净收入为v元，则
v?st?0.002t
2
．
将<
br>t?(
1000
s
2
)
代入上式，得到甲方净收入v与赔付价
格之间的函数关系式：
2
v?
1000
s
?
2?1000
s
4
3
……………………………………7分
又
v
?
?
1000
s
2
2
?
8?1000
s
5
3
?
1000?(8000?s)
s
5
23
令
v
?
?0
，得s=20．
当s<20时，
v
?
?0
；当s>20时，
v
?
?
0
，所以s=20时，v取得最大值．…13分
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元／吨）时，获最大净收入．…………14分
3．（06福建
卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速
度x（千米小时）的函数
解析式可以表示为：y=
1
128000
x?
3
3
80x?8
(0
（Ⅰ）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
本小题主要
考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题
的能力。满分12分。
解：（I）当
x?40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
要耗没
(1
128000
?40?
3
100
40
?2.5
小时，
3
80
?40?8)?2.5?17.5
（升）。
答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速
度为
x
千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
依题意得
h(x)?(
x
640
1
128000
x?
3
3
100
x
x
?
小时，设耗油量为
h(x)
升，
15
4
(0?x?120),
3
80
x?8).
3
100
x
?
1
1280
x?
2
800
h'(x)??
800
x
2
?
x?80<
br>640x
2
(0?x?120).
令
h'(x)?0,
得
x?80.
当
x?(0,80)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；
当
x?(80,120)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数。
?
当
x?80
时，
h(x)
取到极小值
h(80)
?11.25.
因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升
4.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）
围建一个面积为360m
2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维
修），其它三面围墙要新建，在旧
墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图
所示，已知旧墙的维修费用为45元m,新墙的造
价为180元m,设利用的旧墙的长度为
x(单位：元)。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则
y?45x?180(x?2)?180?2a?255x?360a?360
<
br>由已知xa=360,得a=
360
x
2
360
x
,
所以y=225x+
?360(
x?
0)
wwwk5uom
(II)
?x?0,?225x?
360
x
2
?2225?
360
2
?10800
?y?225x?
360
x
2
?360?10440
.当且仅当225x=
360
x
2
时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
5.
（07重庆文20）
wwwk5uom
用长为18 cm的钢条围成一个长方
体形状的框架，要求长方体的长与宽之比
为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？
最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
h?
18?12x
4
?4.5?3x(m)
3
??
?
0＜x＜
?
.
2
??
故长方体的体积为
V(x)?2
x(4.5?3x)?9x
22
?6x(m)
33
3
(0＜x＜).
2
x).
从而
V?(x)?18x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
3
2
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 <
br>从而最大体积V＝V′（x）＝9×1
2
-6×1
3
（m
3<
br>），此时长方体的长为2 m，
高为1.5 m.
答：当长方体的长为2
m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为
3 m
3
。
6.
（本小题12分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个
更大的矩
形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角
线MN过C点，已知|AB|
＝3米，|AD|＝2米，
（1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则
A
B
M
D
C
N
P
AN的长应在什么范围内？
（2） 若|AN|
?[3,4)
（单位：
米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN
的面积最大？并求出最大面积．
解：设AN的长为x米（x >2）
∵
|DN|
|AN|
?|DC|
|AM|
，∴|AM|＝
3x
x?2
∴S<
br>AMPN
＝|AN|?|AM|＝
3x
2
x?2
2
------------------------------------- 4分
（1）由S
AMPN
> 32 得
3x
x?2
>
32 ，
∵x >2，∴
3x?32x?64?0
，即（3x－8）（x－8）>
0
2
∴
2?x?
8
3
2
或
x?8
即AN长的取值范围是
(2，)?(8，+?)
-----------
8分
3
8
（2）令y＝
3x
x?2
，则y′＝
6
x(x?2)?3x
(x?2)
2
2
?
3（xx?4)
(x
?2)
2
-------------- 10分
∵当
x?[3,4)
，y′< 0，∴函数y＝
3x
2
x?
2
在
[3,4)
上为单调递减函数，
∴当x＝3时y＝
3x
2
x?2
取得最大值，即
(S
AMPN
)
max
?27
（平方米）
3?3
3?2
?9
米
---------------------- 12分 此时|
AN
|＝3米，|
AM
|＝
7．（07全国Ⅱ）（本小题满分10分）
在
△ABC
中
，已知内角
A?
?
?
，边
BC?23
．设内角
B?
x
，周长为
y
．
（1）求函数
y?f(x)
的解析式和定义域；
（2）求
y
的最大值．
解：（1）
△ABC
的内角和A?B?C??
，由
A?
应用正弦定理，知
AC
?
BC
sinA
sinB?
23
sin
?
?
sinx?4sinx
，
?
?
，B?0，C?0
得
0?
B?
2?
?
．
AB?
?
2?
?
sinC?4sin
?
?x
?
．
sinA
?
?
?
BC
因为
y?AB?BC?AC
，
?
2?2?
???
?x?
?23
?
0?x?
?
，
?3
?????
?
1
?
sinx
?
?23
?
2
?
所以
y?4sinx?4sin
?
?
?
（2）因为
y?4
?
sinx?
?
cosx?
?4
?
?
?
??
3si
?
nx?
?
?
?
??
?
?
?5?
??
?
2
?
3?x??
?
，
???
??
所以，当
x??
，即
x?
?
?
时，
y
取得最大值
63
．
8．（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的
形状是侧
O
1
棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问
当帐篷的顶点O到底面中心
o
1
的距离为多少时，
帐篷的体积最大？
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实
际问题的能
力。
解：设OO
1
为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为
3?(x?1)?
22
8?2x?x
（单位：m）
2
2
于是底面正六边形的面积为（单位：m）
3?(x?1)?6?
22
3
4
?(8?2x?x)?
22
33
2
(8
?2x?x)
2
帐篷的体积为（单位：m
3
）
V(x)?
33
2
3
?
2
?
1
3
(8?2x
?x)
?
(x?1)?1
?
?(16?12x?x)
2<
br>?
3
?
求导数，得
V
?
(x)?
3
2
(12?3x)
2
令
V
?
(x)?0
解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.
当1
?
(x)
?0
,V(x)为增函数；当2
?
(x)?0
,V(
x)为减函数。
所以当x=2时,V(x)最大。
答当OO
1
为2m时，帐篷的体积最大。
9、（2007山东）本
公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，
广告总费用不超过9万元，
甲、乙电视台的广告收费标准分别为
500
元分钟和200元分钟，
规定甲、乙两个电
视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和
0.2万元．问该公司如何分
配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最
大收益是多少万元？
解：设公
司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
x
分钟和
y
分钟，总收益为z
元，由
?
x?y≤300，
?
题意得
?
50
0x?200y≤90000，
?
x≥0，y≥0.
?
y
500
目标函数为
z?3000x?2000y
．
?
x?y≤300，
?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤900，
?
x≥0，y≥0.
?
400
300
l 200
100
M
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线
l:3000x?2000y?0
，
0 100 200 300
x
即
3x?2y?0
．
平移直线
l
，从图中可知，当直线
l
过
M
点时，目
标函数取得最大值．
联立
?
?
x?y?300，
?
5x
?2y?900.
解得
x?100，y?200
．
200)
．
?
点
M
的坐标为
(100，
?z
max
?3000x?2000y?700000
（元）
答：该公司在
甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最
大收益是70万元．
10. （本小题满分14分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需
煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
产品
消耗量
资源
煤（t）
电力（kw·h）
劳力（个）
利润（万元）
甲产品
（每吨）
9
4
3
6
乙产品
（每吨）
4
5
10
12
资源限额
（每天）
360
200
300
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元…………1分
?
9x?4y?360
?
4x?5y?200
?
?
?
3x?1
0y?300
?
?
x?0
?
y?0
?
?
x
,y?N
依题意可得约束条件：
?
…………………………5分
（图2分）
利润目标函数
z?6x?12y
………………………………8分
<
br>如图，作出可行域，作直线
l:z?6x?12y,把直线l
向右上方平移至l
1
位置，直线经
过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时
z?6x?12y
取最大值。……10分
?
3x?10y?300
,得M(20,24)
?
4x?5y?200
解方程组
?
………………………………12分
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。……14分
11.
（本小题满分14分）
某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元件，出厂价为流程图的输
出结
果
p
元件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，
计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为
x
（
0
?x?1
），则
出厂价相应提高的比例为
0.75x
，同时预计销售量增加的
比例为
0.8x
．已知得利润
?
（出厂
价
?
投入成
本）
?
年销售量．
（Ⅰ）写出2008年预计的年利润
y
与投入成本增加的比例
x
的关系式；
（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例
x
应
在什么
范围内？
解：（Ⅰ）由流程图可知：
p?1.2
．依题意，得
y?[1.2?(1?0.75x)?1?(1?x)]?10000?(1?0.8x)
p?1.1
i?i?0.1
开始
i?0.1,p?0.2
p?p?i
N
Y
输出
p
结束
??800x
2
?600x?2000
（
0?x?1
）；
（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当
?
?800x2
?600x?0
?
y?(1.2?1)?10000
，即
?<
br>．
?
0?x?1
0?x?1
?
?
解
之得
0?x?
3
4
．
12. （本小题满分14分）
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商
订购，决定当一
次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就
降低0.02元，但实际出厂单
价不能低高分低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，求出函数
P?f(x)
的表达式．
解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为
x
0
个
，则
x
0
?100?
60?51
……4分
?5
5
0
0.02
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.…6分
（2）当
0?x?100时，P＝60
……8分
当
100?x?550时，P?60?0.02(x?100)?62?
当
x?550时，P＝51
……13分
(x0?100)
?
60,?
?
x
?
?P?f(x)?
?
6?2
0
……
,?(x1?00x?N55)(
14分
)
50
?
?
?
51,(x?550)
x
50
……11分
13．（08佛山本小题满分14分）
佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷
每天的固定成本为14000元，每
生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量
f(x)
与产量
x
之间的关系式为
?
1
2
0?x?400
?
625
x,
f(x)?
?
，每件产品的售价
g(x)
与产量
x
之间的关系式为
?
?
256, x?400
?
5
0?
x?400
?
?
8
x?750,
g(x)?
?
．
?
?
500, x?400
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润<
br>Q(x)
与产量
x
之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．
解：(Ⅰ)总成本为
c(x)?14000?210x
．
……1分
所以日销售利润
Q(x)?f(x)g(x)?c(x)
16
2
?
3
?x?x?210x?14000, 0?x?400
?
10005
． ……6分
?
?
?
x?400
?
?210x?114000, <
br>(Ⅱ)①当
0?x?400
时，
Q
(x)??
31000
x?
2
12
5
x?210
．
……7分
令
Q
(x)?0
，解得
x?100
或<
br>x?700
． ……8分
于
是
Q(x)
在区间
[0,100]
上单调递减，在区间
[100,4
00]
上单调递增，所以
Q(x)
在
x?400
时取到最大值，且最
大值为30000； ……10分
②当x?400
时，
Q(x)??210x?114000?30000
．
……12分
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000
元．
……14分
14. （本题满分14分）某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床
价（即
每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高
1元，将有3张床位空闲．
为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是
：①要方便结帐，
床价应为1元的整数倍；②
该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高
于支出，而且高出得越多越好．
若用
x
表示床价，用
y
表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用
支出后
的收入）
（1）把
y
表示成
x
的函数，并求出其定义域；
（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
（本题满分14分）.
解：（1）依题意有
y?
?
*
?
?
100x?575
(x?10)
?
?
?
100
?(x?10)?3
?
x?575
(x?10)
，且
x?N
，……3分
*
因为
y?0,x?N
，
?
100x?575?0
*
,得6?x?10,x?N.
……2分 由
?
?
x?10
由
?
?
?x?10
?
?
?
100?(x?10)?3
?
?575
?0
,
得
10?x?38,x?N,
………2分
*
?
100x?575
(x?N,an6d?
所以函数为
y?
?
2
(x?N,an1d?0
?
?3x?130x?575
?x10
?x38)
， ……1分
定义域为
?
x6?x?38,x?N
?
;
………1分
*
（2）当
x?10
时，
y?100x?575(6?x?10
,x?N)
取得最大值425元，1分
当
x?10
时，
y??3x
2
?130x?575
，仅当
x??
1302?(?3)
?
65
3
时，
y
取最大值，
但
x?N
*
，所以当x?22时，y??3x
2
?130x?575
(10?x?38,x?N
*
)
取得最大
值833元， ……3分
比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．………1分
15.
（本小题满分14分）
某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入
x
台（
x
是正
整数）,且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个
月所付的保管费与每批购入书桌的总
价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保
管费共52元，现在全
月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用
f
?
x
?
;
（2）能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解：
（1）设题中比例系数为
k
,若每批购入
x
台,则共需分
由题意
f
?
x
?
?
36
x
?4?k?2
0x
16
80
?
1
5
36
x
批
,每批价值为20
x
元.
??4
分
由
x
=4时,
y
=52 得
k?
?f
?
x
?
?
144
x
*
??6
分
?4x0?x?36,x?N
144
x
??
*
??7
分
（2）由（1）知
f
?
x
?
?
144
x
?4x0?x?36,x?N
??
??10
分
?f
?
x
?
?2?4x?48
（元）
当且仅当
144
x
?4x
,即
x?6
时,上式等号成立.
??12
分
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.
……14分
16. （１４分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产
品的
收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投
资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。
（2）该家庭现有20万元资金，全部用
于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收
益，其最大收益是多少万元？
（第16题图）
解：（1）设
f
?
x
?
?k
1<
br>x
，
g
?
x
?
?k
2
所以
f
?
1
?
?
即
f
?
x
?
?
1
8
1
8
?k
1
，
g
?
1
?
?
1
2
x
y
y
０.１２５
０
１
x
０.５
０
１
x
?k
2
1
2<
br>x
?
x?0
?
…………6分(两个函数各3分)
x
?
x?0
?
g
?
x
??
（2）设投资债券类产品
x
万元，则股票类投资为(
20?x
)万元
依题意得：
y?f
?
x
?
?g
?
20?x
?
?
令
t?
x
8
?
1
2
20?x
?
0?x?20
?
…………8分
20?x0?t?25
，…………9分
??
则
y?
20?t
8
2
?
1
2
t??
1
8
?
t?2
?
2
?3
…………12分
所以当
t?
2
，即
x?16
万元时，收益最大，
y
max
?3
万元…………14分
17. （本小题满分14分）
甲乙两人连续6年
对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的
信息,分别得到甲、乙两图：
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只。
乙
调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。
请你根据提供的信息说明：
（Ⅰ）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。
（Ⅱ）到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？说明理
由。
（Ⅲ）哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。
解：由题意可知,图甲图象经过（1,1）和（6,2）两点,
从而求得其
解析式为y
甲
=0.2x+0.8-----------------------（2分）
图乙图象经过（1,30）和（6,10）两点,
从而求得其解析式为y
乙
=-4x+34.------------------------- （4分）
(Ⅰ)当
x=2
时，
y
甲
=0.2×2+0.8
=1.2,y
乙
= -4×2+34=26
，
y
甲
·y
乙
=1.2×26=31.2.
所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.------------
---（6分）
(Ⅱ)第1年出产鱼1×30=30（万只）, 第6年出产鱼2×10=20（万
只）,可见,第6年这
个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了-------------------
---------------（8分）
(Ⅲ)设当第m年时的规模总出产量为n,
那么
n=y
甲
·y
乙
=（0.2m+0.8）
(-4m+34)= -0. 8m+3.6m+27.2
=-0.8(m2
-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)
2
+31.25
--
-------------------------（11分）
因此,
.当m=2时,n最大值=31.2.
即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.
--------------（14分）
2