高考数学应用题专题

高考数学应用题专题

第一部分：如何培养学生解数学应用题的能力

培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解
决带有实际意义的 或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而
灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育 教学的迫切要
求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大
应用问题的教 学力度。
一、高中数学新教材中的应用问题
传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重 视不够，不重视引导
学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数
学用数 学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大
的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的 教学内容，重视数学知识
的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，
把 培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。
1 、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用 问题，引入该章
的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话
题：“国王 对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数 ”的计算作为章头序
言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。
在教材的编排上，既用通俗易懂的语言，陈述问题，又附以插图
增强直观形象性、趣味性。

2 、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题
高中数学的十章内容中， 分别就概念引入、实例说明、数学表示
等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。如用“不 同
重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数
量积的概念等。实例引入 增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作
了铺垫。
3 、例题中的应用问题
例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、
解决问题的能力，培养学生的应用意识 ，而且通过范例讲解，使学生
掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41
个例题是涉及数学应用的，占例题总数的 14.6% ，它们都非常接近
学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。
4 、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量
为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问 题的能力，
新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题，其中练习
题有 45 题，占总数的 12.4% ；习题有 105 题，占总数的 18.15% ；
复习题有 50 题，占总数的 14.91% 。分别涉及增长率、行程问题、
物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面 ，量大面宽，情景新颖，融
知识性，趣味性，自主实践性于一体。
5 、阅读材料
问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新
教材中共安排了 15 个，其中：

（ 1 ）历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发
展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的
半径的？”
（ 2 ）介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及
应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗？ 》。
（ 3 ）扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三
种类型”等。
6 、新增了“实习作业”和“研究性课题”。
为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活 运用数学知识解决实
际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新
教材安 排了三次实习作业，一是 “函数关系的实习作业”，让学生调
查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数 问题；二是利用“平面向量”
知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应
用”。
研究性课题是培养学生应用意识和创新能力的重要内容，新教材
分别在第三、五、 七、九章中安排了四个研究性课题：“分期付款中
的有关计算”、“向量在物理学中的应用”、“线性规 划的实际应用”、
“多面体欧拉定理的发现”，让学生动手操作，选择优化方案、归纳
概括，恰 当建模，运用理论指导实践。
二、高中数学应用题问题的教学实践
高中学生年龄一般在 15 — 17 周岁，他们认识过程的各种心理
成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意 性，其抽象思

维从“经验型”向“理论型”急剧转化。能够逐步的摆脱具体形象和
直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，开始在
教师帮助下独立地搜集事实材料， 进行分析综合，抽象概括事物的本
质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行应用问题的< br>教学。
1 、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练
为培养学生的应用意识 ，提高学生分析问题解决问题的能力，教
学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步 骤和
建模过程，建模思想。
教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化 -- à 数
学问题 à 解决数学问题 à 回答实际问题。具体可按以下程序进行：
（ 1 ）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的
多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析 给出的问题，舍弃与
数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量
关系。 为此，引导学生从粗读到细研，冷静、慎密的阅读题目，明确
问题中所含的量及相关量的数学关系。对学 生生疏情景、名词、概念
作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。
（ 2 ） 建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量
的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用 字母或字母的代数
式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或
图形语言 ，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。
（ 3 ）求解数学问题，得出数学结论

（ 4 ）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为
实际问题。
例：某城市现有人口总数 100 万人，如果年自然增长率为
1.2 ％，写出该城市人口总数 y( 人 ) 与年份 x( 年 ) 的函数关系式
这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学
生阅读题时，提出以下要求：
——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年
自然增长率”的词义，指出： 城市现有人口、年份、增长率，城市变
化后的人口数等关键量。
——细想，问题中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎样
的关系？
——建模 ，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联
系，它们是如何解决的？对此有何帮助？
学生讨论后，从特殊的 1 年、 2 年…抽象归纳，寻找规律，探
讨 x 年的城市总人口问题： y=100(1+1.2%) x .
2 、引导学生将应用问题进行归类
为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学
章节，引导学生将应用问题进行 归类使学生掌握熟悉的实际原型，发
挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中
的应用题归为：①增长率（或减少率）问题②行程问题③合力的问题
④排列组合问题⑤最值问题 ⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题
时，针对问题情景，就可以，通过类比寻找记忆中与题目相类似 的实

际事件，利用联想，建立数学模型。
3 、针对不同内容采取不同教法
高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不
同内容，有的放矢，各有侧重， 就会取得较好的效果。
（ 1 ）章头序言，指导阅读，留下悬念
对图文并茂的章头序 言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生
稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。
（ 2 ）重视例题的示范作用
例题是连接理论知识，与问题之间的桥梁，示范性强。因此 在讲
解例题时应在分析题目各个量的特点关系，建模，解决数学问题、还
原为实际问题诸环节都 应很好的起示范作用，教师应重视例题的分析
与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题，解决问 题、寻求
基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。
（ 3 ）指导练习，巩固方法
充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，
应 用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建
模方向性强，教师只需稍作指导；而习 题则更多利用教师批改作业的
机会，主要纠正数学语言转化过程，及解题的规范过程；复习题由于
综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。
（ 4 ）课外阅读，补充提高
对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布
置学生进行课外阅读，培养学生 的阅读能力，扩大知识面，激发学生

的学习兴趣。
（ 5 ）实习作业，重视实际操作与团结协作
完成实习作业，可以打破单一沉寂的课堂教学氛围，激发学生 的
探索精神，培养学生的实践能力，进一步培养学生应用数学的意识和
创新能力。但实际问题的 因素是错综复杂的，这就要求学生在调查、
分析、研究的基础上，抓住本质，通过筛选，去粗取精，结合 数学知
识，进行建模解决实际问题。如第五章《三角函数》中的实习作业，
对不能直接测量的两 点的距离，教师选定符合要求的地点，组织学生
实际测量，通过计算器进行计算，学生兴致很高，特别是 对“已知两
边和一对角”解三角形的三种情况，通过动手操作，实地测量，加深
影响，激发了学 生的探索精神，增强了学生的感性认识。
（ 6 ）研究性课题，重视自主探究
“研究 性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应
用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用， 又对学生探究和解决
问题具有较好的训练价值。
§ 3.6 的“研究性课题”，一个有关 分期付款的问题，因为很多
人一次性地支付售价较高的商品款额有一定困难，另一方面不少商家
也不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，它与每个家庭的日常生
活密切相关，在今天的商业活动中应 用日益广泛。对它的探究将会引
起学生极大的兴趣，教学这一课题时，应突出以学生探究为主，教师点拔、介绍为辅，教师不断提出问题，介绍情况、启发诱导。鼓励学
生研究和探索。

第一步，让学生阅读教材 P 134 的方案表，明确每个付款方案
的次数、方式。
第二步，引导学生探究第二种方案，即分 6 次付清，购买后第 2
个月第一次付款，再过 2 个月第 2 次付款，…购买后 12 个月第 6
次付款，月利率为 0.89 ％，每月利息按复数计算。
首先，学生根据要求试做，不少学生得出每期付款 元，也有学
生得出每期付款 元。这时教师 不必指出对错，进一步分析、调整学
生思维，这两种方式对谁有利？学生计算后，自然得出前者对顾客有
利，商家吃亏，而后者对商家有利，顾客吃亏，都不符合买卖公平的
原则。
然后，教师适时的指出分期付款的条件，引导学生将原问题进行
以下分解：
①商品售价时的货款到全部付清时增值到多少？
②各期所付款额到贷款全部付清时分别增值到多少？
③利用付款中的有关规定列出方程：
最后，引导深化——研究不同方案及一般结论，让学生计算方案
1 、 3 ，教师巡视指导，再由学生分组交流、比较结果，选择最优
方案，得出一般结论。
三、对高中数学应用问题的教学建议
1 、在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍
数学知识的来龙去脉。
一般情 况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需

要，高中阶段所学的知识大都是 来源于实际生活，许多的数学知识都
有具体直接的应用，如高二运用不等式的性质计算最值，线性规划，
高三的概率统计等。应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用
的，在此基础上让学生感受 和体验数学的应用价值。
2 、学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象
数学 语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，
让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯 ，既可以增强学生应用
数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学
生形 成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识
实践，能力培养的基础上，教师应主动地 向学生展示现实生活中的数
学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受
到现实生活与数学知识是密切相关，处处联系的。
3 、关于应用问题中的算法问题
新 教材要求用科学计算器，处理、计算数值，在例题、习题中给
出的数据都比较复杂，我认为高中数学应用 题的重点是数学建模，所
以正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出
现 一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。事实上，每节中只要有一
两道实际数据的题目，其他的可选择特 殊数据或干脆用字母表示，不
仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代
数的优越性。

第二部分：数学应用题知识方法选讲

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分
较多的一种题型. 高考中一 般命制一道解答题和两道选择填空题.解
答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号 语言
的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等

式 ，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复
课时引起重视.
例1某 校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定
时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去 健身房的人有10%下次
去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的
推移，去健身房的人数能否趋于稳定？
讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.
设第n次 去健身房的人数为a
n
，去娱乐室的人数为b
n
，则
a
n< br>?b
n
?150
.
?a
n
?
929277
a
n?1
?b
n?1
?a
n?1
?(150?a< br>n?1
)?a
n?1
?30即a
n
?a
n?1
?30
.
1
7
7
(a
n?1
?100)
，于是
a
n
?100?(a
1
?100)()
n?1
10
10
?a
n
?100?
即
n??
7
a
n
?100?()
n?1
?(a
1?100)
.
10
?lima
n
?100
.故随着时 间的推移，去健身房的人数稳定在100人左
右.
上述解法中提炼的模型
a
n
?
7
a
n?1
?30
,
10
使我们联想到了课本典型习
题（代数下册P.132第34题）
已知数列
?
a
n
?
的项满足

?
?
a
1
?b,
?
a
n?1
?c a
n
?d

其中
c?0,c?1
，证明这个数列的通项公式是
bc
n
?(d?b)c
n?1
?d
a
n
?.

c?1
有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题。

例2 某 人上午7时乘摩托艇以匀速V千米小时（4≤V≤20）从
A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车 以匀速W千米小时（30
≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至
21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，
若所需经费
p?10 0?3(5?x)?2(8?y)
元，那么V、W分别为多少时，所
需经费最少？并求出这时所 花的经费.
讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.
由于< br>y?
50
及4?V?100,?2.5?y?12.5,同理3?x?10
又< br>9?x?y?14

V
P?100?3(5?x)?2(8?y)?131?( 3x?2y),令z?3x?2y.
则z最大时P最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，
∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.
视
z?3x?2y
这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题
的常用方法.
例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大
暴雨，为确保万无一失， 指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以
防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现 有施工
人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了
有一辆车可以立即 投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔
20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组 织25辆车。问
24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.
讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.
由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小

时的工作效率为
1
，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间
4 80
3
为a
1
，a
2
，…, a
25
小时 ，依题意它们组成公差
d??
1
（小时）的等差数
列，且
a
1
?24,则有
a
a
1
a
1
化简可得
2 a
1
?8?
192
.
?
2
???
25< br>?1,即(a
1
?a
25
)?25?480
，
54804804802
55

解得
a
1
?23
1
,由于23
1
?24
.
可见a
1
的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.
学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工
具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.
例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总
建筑面积为A(m
2
)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元m
2
，且 每层
的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员
核算，第一、二层 的建筑费用相同都为445元m
2
，以后每增高一层，
其建筑费用就增加30元m2
.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用
最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费 用和征地费用之和）.
讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?
设楼 高为n层，总费用为y元，则征地面积为
2.5A
m
，征地费用为
2
n
5970A
元，楼层建筑费用为
n
[445+445+（445+30） +（445+30×2）+…+445+30×（n－
2）]·
A
?(15n?
30
?400)A
元，从而
nn
5970A30A6000
y? ?15nA??400A?(15n??400)A?1000A
（元）
nnn
n
当且仅当
15n?
6000
, n=20（层）时，总费用y最少.
故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.

实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等
差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.
例5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，
由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖 岸成15°角，速度
为2.5kmh，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸
上跑的速度为4kmh，在水中游的速度为2kmh.,问此人能否追上小船.
若小船速度改变，则小船 能被人追上的最大速度是多少？
讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建
立数学模型.
设船速为v，显然
v?4kmh
时人是不可能追上 小船，当
0?v?2
kmh
时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可 以追上小
船，因此只要考虑
2?v?4
的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人
游水的轨迹以及船在水中漂流的 轨迹组成一个封闭的三角形时，人才
能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为
kt(0?k?1)
，则人在水中游的时间
为
(1?k)t
，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
?|OA|?4kt,|AB|?2(1?k)t,|OB|vt,
由余弦是理得
| AB|
2
?|OA|
2
?|OB|
2
?2|OA|?|OB |?cos15?

O
vt
2(1－k)t
B
即< br>4(1?k)
2
t
2
?(4kt)
2
?(vt)2
?2.4kt?vt?
整理得
12k
2
?[2(
6? 2
4
15°
4kt
A

6?2)v?8]k?v
2
?4?0
.
v
2
?4
0??1
12
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且

??[2(6?2)v?8]
2
?4?12?(v
2
?4)?0

解得
2?v?22,即v
max
?22kmh
.
故当 船速在
(2,22]
内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上
小船，船能使人追 上的最大速度为
22kmh
，由此可见当船速为
2.5kmh时, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课
时值得关注.
例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成
正比，与它的厚度
d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷
变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来
截取成长方形的枕木，其长度即为枕木 规定的长度，问如何截取，可
使安全负荷最大？





ad
2
讲解:（1）安全负荷
y
1
?k?
2
(k
为正常数） l
?
y
1
d
?,?当0?d?a时,y
1
?y
2
，安全负荷变大.…4
y
2
a
l
d
a

da
2
翻转
90?后,y
2
?k?
2
l

分当
0?a?d时,y
2
?y
1
，安
全负荷变小.