高中数学应用题中的最值问题分析

龙源期刊网 http:
高中数学应用题中的最值问题分析

作者：陈永科

来源：《文理导航》2019年第14期

【摘 要】随着新课程改革的不断推进，高中数学教学和考察更加重视问题实际化，数学
应用题当中有很 多最值问题都是与实际问题相结合进行考察，这在一定程度上也提高了解题难
度，成为许多高中生学习数 学知识中的重点和难点。而解决这类问题最为主要的一点就是建
模，利用已知的数学模型对其进行解决， 会使问题显得更为简单。本文主要探讨了几种最为常
用的最值问题解题方法与问题解析的一般步骤。
【关键词】高中数学；应用题；最值问题；建模
高中阶段 的数学知识具有更强的复杂性，更加重视对学生解决实际问题能力的考察，而最
值问题作为高考最为常见 的一类题型，已经成为高中数学教学活动中的重点。作为一名高中数
学教师，怎样才能有效引导学生对此 类问题形成更好的解答，更好的形成解题思路，提高学生
的学习成绩，值得广大教育工作者更为深入的探 索。
1.高中数学应用题中最值问题的主要解法
与其他 类型的数学题相比，高中阶段应用题当中的最值问题通常背景较为复杂，而且涉及
面较广，其解题方法较 为灵活多变，属于学生学习中的难点。也是高中数学教师教学活动开展
的重点，可以将其主要解法归纳为 以下几个方面：
1.1函数模型解法
函数属于高中数学 当中的重点内容，与函数相关的应用问题题目来源十分广泛，题型往往
比较新颖，解题方法灵活多变，属 于高考中的热点内容。在许多应用题当中都会涉及到方案最
优化的内容，解决的方法则通常为建立目标函 数，把问题直接转化为对目标函数最值的求解。
而求解函数模型的方法主要包括配方法、数形结合、基本 不等式、单调性、求导以及三角函数
有界性等，具体应该采用何种方法应该结合具体问题进行具体分析。
例1：在冬季保暖与夏季制冷中减少能源消耗，需要在房屋屋顶以及外墙部位加设隔热
层。一幢居民楼设计建造可使用至少二十年的隔热层，其每厘米隔热层的建造成本是6万元。
此 建筑每年所需的能源消耗费用c（单位：万元）和隔热层的厚度x（单位：厘米）之间满足
关系c（x） （0≤x≤10），如果不设置隔热层，每年的能耗费用是8万元。设f（x）是建造费
用跟二十年能耗 费用二者之和。①求k值和f（x）表达式；②当隔热层修建厚度为多少時，总
费用最小，求出最小值。

龙源期刊网 http:
解：①由题干可知隔热层厚度是x，每年能源费用是c（x） 。因为c（0）=8，可得
k=40，所以c（x） 。而建造费用是c （x）=6x。得到两者费用之和是：f（x）=20c（x）+c
（x）=20× +6x= +6x（0≤x≤10）
②f'（x）=6- ，现令f'（x）=0，则 =6，求解得x=5，x=- （舍去）。所以x=5时，f（x）
为最小值，代入得f（5）=70。 所以在隔热层为5厘米厚的时候，总费用最低，为70万元。
1.2不等式组模型解法
不等式模型也是应用题中最值问题的常用解法，其主要涉及 到物资调配、最优决策以及统
筹安排等实际问题。求解此类问题的关键在于找出各种变量之间的关系，随 后列出不等式，求
解即可。
例2：某厂家生产甲、乙两种产品，每生产甲产 品一吨需要耗费A原料3吨和B原料2
吨，而每生产乙产品一吨需要耗费A原料1吨和B原料3吨。每吨 甲产品销售后厂家可获利5
万元，每吨乙产品销售后可获利3万元。此企业一个生产周期之内消耗A、B 两种原料量分别
不超过13吨和18吨，则企业能够获得的最大利润为多少？
解：设当甲、乙两种产品各生产x和y吨时，利润z最大，由题意得出线性约束条件：
3x+y≤13
2x+3y≤18
x≥0
y≥0，求函数z=5x+3y的最大值。如图1，可得出最优解是 x=3
y=4，因此zmax=27，则该企业在一个生产周期内最多能获利27万元。
1.3几何模型解法
对几何模型的解析通常会涉及到光的折射、桥梁以及人造卫星等 问题。该类问题通常需要
建立直角坐标系，结合有关解析几何方面的相关知识对问题进行解决。而立体几 何模型通常会
涉及面积、体积以及空间观测等问题。此类问题需要利用立体几何以及三角函数等方面的知 识
进行解决。
例3：如图2所示，卫星与地面间电视信号沿着直线进行传播 ，电视信号可以传达到的地
面区域称之为卫星覆盖区域。某国发射的卫星距离地球表面约36000千米 。已知地球的半径是
6400千米，则该卫星覆盖区域当中任意两点之间球面距离的最大值为多少？

龙源期刊网 http:
解：如图2所示，AO=3600 0+6400=42400，OB=OA=6400，圆O'是卫星覆盖区域边界，
AB是圆O'直径， 因此在Rt△ABO当中，cos∠AOB=853，因此覆盖区域当中任意两点距离最
大值L=θ·R =2∠AOB·R=12800arccos853。
1.4概率统计模型解法
该类题目通常是考察学生一些相对较为简单的随机变量问题、概率问题、抽样问题以及 频
率分布问题等。在求解的过程当中，需要依据题目中的条件，同时结合考察内容，具体选择合
适的解题方法。在目前新课程实施节奏逐渐加快的背景之下，作为一种十分新颖的内容，概率
统计模型在 高考中占据了更加重要的位置。
2.高中数学应用题中最值问题解析的一般步骤
经过上文的论述可以发现，应用题当中的最值问题属于一类较为特殊的应用问题，其具 有
较强的复杂性，覆盖面较广。不过，其解题步骤跟普通应用题解题的步骤则较为相似，需要学
生足够认真，以免在解题过程中遗漏一些细节。
结束语
总而言之，应用题当中的最值问题属于高中数学中的重点和难点，在高考中的占比在逐年
上升，需要引起 广大师生的高度关注。数学教师在日常教学活动中要积极引导学生进行总结和
归纳，让学生在脑海中建立 起更为丰富的数学模型，抓住题目中的每一个细节，更加高效而准
确的解决最值问题，为教学质量的不断 提升形成良好的保障。
【参考文献】
[1]廖春龙，黄 奇英.高视点下的高考数学最值问题[J].中学数学研究（华南师范大学版），
2018（03）：3 5-37
[2]彭小龙.浅谈高中数学中最值问题的教学[J].数学学习与研究，2017（03）：57
[3]康雪萍.高中数学最值问题解答方法探究[J].中学数学教学参考，2016（21）：58
[4]周永忠.处理高中数学最值问题的方法探析[J].中学数学，2015（17）：78-79