新高考数学专题复习-《应用题》专题

高三数学《应用题》专题
一、复习目标：
数学应用性问题是高考 命题的主要题型之一.解答应用题关键是深刻理解题意，会从
文字语言向数学的符号语言进行转化，这就 需要我们建立恰当的数学模型，其中函数、数
列、不等式、是较为常见的模型，而三角，立几，解析等模 型也不容忽视.
二、考试要求：应用题在高考中一般是中等难度的题型，只要有耐心，再加上细心，抓 住
关键词、句一般同学都能拿到70%的分数，而大多数同学怕应用题，看到文字叙述比较
长就 读不下去，因此应用题也就变成了难题，而老师一讲评，又感到很简单，所以解
答应用题一定要有信心和 耐心
三、基础知识、基本方法归纳：
解应用题的一般步骤是：
1．读题：读懂和 深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；往往是求那个量，就设这
个量为变量x,解答时注意名数是否 统一（广东08应用题17）；
2．建模：把主要关系数量化、符号化，抽象成数学问题，即转化为一 个数学表达式，
注意要根据实际意义写出函数的定义域（如一模应用题20）；
3．求解：化归为纯数学问题，选择合适的数学方法求解；往往是转化为求函数的最值
4．作答：根据解答结果，回答问题的解决情况。四个步骤用框图可简单表示为：

在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不
等式模型、三角模型 等等.
Ⅰ．函数模型 现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，
通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
Ⅱ．几何模型 如 航行、建桥、测量等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用
几何图形的性质，或用方程、不等式或 用三角函数知识来求解.
Ⅲ．数列模型 如增长率、、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实 际问题，大
多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题主要看自变量是否与正整数有关.
五、课堂练习与例题
1．一种专门占据内存的计算 机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次，（即
复制后所占内存是原来的2倍），那么 ，开机后（ ）分钟，该病毒占据64MB
（
1MB?2KB)
。
A. 45 B. 48 C. 51 D. 42
2．福州某中学的研究性学习小组为考察闽 江口的一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘
汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环 行两周后，把汽艇停靠岸
10

边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提 速返回。设t为出发后的某一时刻，S为汽艇
与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示S＝
f
(x)的函数关系的为
( )

yy< br>y
y
o
A.
x
o
B.
x
o
C.
x
o
D.
x

3．某金店用一杆不准确的天平（两边臂 不等长）称黄金，某顾客要购买
10g
黄金，售货
员先 将
5g
的砝 码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将
5g
的砝码放
入右 盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金
（ ）
A．大于
10g
B．小于
10g
C．大于等于
10g
D．小于等于
10g

4．13年前一笔扶 贫助学资金，每年的存款利息（年利率10.00%，不纳税）可以资助100
人上学，平均每人每月5 0元，现在（存款年利率2.5%，并且扣20%的税）用同样一笔资
金每年的存款利息最多可以资助多 少人上学（平均每人每月100元）
( )
A、10 B、12 C、15 D、20
5．某新区新建有5个住宅小区（
A、B、C、D、 E
），现要铺设连通各小区的自来水管道，
如果它们两两之间的线路长如下表：

距
离
地
名
地
(km)
名
A





B

5




C

7
3



D
8
5
5


E

5
2
4
4

A
B
C
D
E
请问：最短的管线长为 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．17
6．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍，
则火星的大圆周长约____4_____万里。
7．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在 距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面
上形成，预计台风中心将 以40千米／时的速度向正 北方向移动，离台风中心350千米的
范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将 持续______小时．
8． 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏 目（即图中阴
影部分），这两栏的面积之和为18000cm
2,
四周空白的宽度为1 0cm，两栏之间的中缝空白

的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），
能使矩形广告面积最小？







9．某公司生产的A种产 品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。为了
获得更好的效益，公司准备拿出一定的 资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十
万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且 y是x的二次函数，它们的关系如下
表：
x
（十万元） 0
y 1
1 2 …
… 1.5 1.8
（1）求y与
x
之间的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去 成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告
费
x
（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10 ~ 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润
随广告费的增大而增大？





10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能 出现的亏损.某投资
人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为10 0﹪和
50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，
要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万
元，才能使可能的盈利最大？

2
11．某县与沙漠化进行长期的斗争． 全县面积为
p
， 2002 年底绿化率达 ，从 2003 年
5
11
开始，每年绿化原有沙漠面积的 ，但与此同时，原有绿化面积的 被沙化
．
设2002
520
年底的绿化面积为
a
1
，经过
n
年后的绿化面积为
a
n
+1
．
(I) 求2003年底的绿化面积
7
(II ) 经过多少年后，绿化率达 ?
10









12．随着机构改革工作的深入进行 ，各单位要减员增效，有一家公司现有职员
2a
人
（
140?2a?420< br>，且
a

为偶数
)
，每人每年可创利10万元． 据评估，在 经营条件
不变的前提下，若裁员多创利
0.1x
万元，但公司需付下岗职
．． ．
x
人，则留岗职员每人每年
．．．．
员每人每年4万元的生活费，并且该公 司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为
获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？









六．课后练习
1．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第
n天
的维修保养费为
n?49
元（n∈N
*
），使用它直至报废最 合算（所谓报废最合算是指使
10
C.1000天 D.1200天
用的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了（ ）
A.600天 B.800天

2．设
y?f(t)
是某港口 水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中
0?t?24
.下
表是该港口某一天 从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
y

0
12
3
15.1
6
12.1
9
9.1
12
11.9
15
14.9
18
11.9
21
8.9
24
12.1
经长期观观察，函数
y? f(t)
的图象可以近似地看成函数
y?k?Asin(
?
t?
?< br>)
的图
象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
（ ）


A．
y?12?3sin
C．
y?12?3sin
?
6
t,t?[0,24]

t,t?[0,24]
B．
y?12?3sin(
D．
y?12?3sin(
?
6t?
?
),t?[0,24]

?
12
t?),t[0,24]

122
??
3． 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下

行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易

应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280


行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工

招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的 就业情况,则根据表中
数据,就业形势一定是 ( )
A.计算机行业好于化工行业. B. 建筑行业好于物流行业.
C.机械行业最紧张. D. 营销行业比贸易行业紧张.
.x
4. 某产品的总成本y（万元）与产量（台）之 间的函数关系是
y?3000?20x?01
2
(0?x?240，x?N)
，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是
A. 100台 B. 120台 C. 150台 D. 180台
5. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资薪金， 所得不超过800元的部分
不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税的所得额。此项税款按下表分段 累进计算：
全月应纳税所得额
不超过500元的部分
超过500至2000的部分
超过2000至5000的部分
……
税率
5%
10%
15%
…

某人一月份应纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A. 800～900元 B. 900～1200元 C. 1200～1500元 D. 1500～2800元

6．一个总体中有100个个体，随机编号0，1， 2，…，99，依编号顺序平均分成10个小
组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法 抽取一个容量为10的样本，规定如
果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数 字与m+k的个位数字
相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 .
7. 有一座抛物线型拱桥，高水位时，拱顶离水面2米，此时水面宽4米，当水面下降1米
后 ，水面宽___________米。
8．某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲：第一次提 价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：每次提价
价最 多的方案是___________。
9. 某地1990年底人口为500万，人均住房面积为6 米
2
，若该地区的人口年平均增长率
为1%，要使2000年底该地区人均住房面积为 7米
2
，平均每年新增住房面积至少为
___________万平方米（1.01< br>10
=1.104）。
10．（本小题满分12分））若汽车紧急刹车后滑行的距离y米与刹车时的速度x kmh的平
方成正比，而某种型号的汽车在速度为60 kmh时，紧急刹车后滑行的距离为20m，
（1）在限速为100 kmh的高速公路上，一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为50
米，问这辆车是否超速行驶？
（2）如果考虑到杀车前司机反应的误差，遇到紧急情况时汽车实际滑行的距离近似用模
2型
y?ax?b
表示，其中b是司机在遇到紧急情况时采取刹车前行驶的路程，
a x
是刹车
2
p?q
%
，若p>q>0，则提
2
后滑 行的距离,如果b=20米，而一高速公路上提醒司机安全行使的车距要求是100米，那
么这种型号的 汽车要想在这条高速公路上安全行驶，车速应控制在什么范围？






11．如图所示：将一矩形花坛ABCD扩建为一更大的矩形花园AMPN，要求 B在AM上，D在
AN上，C在对角线MN上，AB=3 米，AD=2米。
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，AM的长应在什么范围内？
（2）当AM，AN为多少时，矩形AMPN的面积最
小，并求出最小面积。
N
P

C

D



A

B M

12．一艘轮船在航行中的燃料费用与速度的立 方成正比，已知在速度为每小时10千米时
燃料费用是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时9 6元，问此轮船以何种速度
航行时，能使行使每千米的费用总和最小？



13．
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量
x
（吨）与每吨产品的价 格
p
（元吨）
之间的关系式为：
p?24200?
1
2。问该
x
,且生产x吨的成本为
R?50000?200x
（元）
5
产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）





14．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接 受能力依赖于老师引入概念和描
述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时 间，学生的兴
趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用
f( x)
表
示学生掌握和接受概念的能力，
x
表示提出概念和讲授概念的时间（单 位：分），可有
以下的关系式：
?
?0.1x
2
?2.6x?43 ,(0?x?10)
?
f(x)?
?
59,(10?x?16)
< br>?
?3x?107,(16?x?30).
?
(1)开讲后多少分钟，学生的接 受能力最强？能维持多少时间？
(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内, 求能达到该接受
能力要求的时间共有多少分钟?
(3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值
M?




f(5)?f(10)?
6
?f(30)
，它能高于45吗？

15．某地区预计从2005年初的前n个月内，对某种商品的需求总量f(n)
（万件）与月份
n的近似关系为
f(n)?
1
n(n? 1)(35?2n)(n?N，n?12)

150
（1）求2005年第n个 月的需求量g(n)（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪个
月份的需求量超过1.4万件．
（2）如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少
万件？

课本应用题选编
1．某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的 广告，广告总费用
不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为
500
元分钟和 200元分钟，规定
甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0．3万 元
和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益
最大， 最大收益是多少万元？
2．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随 机地
到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．
3．某企业2003 年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.
若不能进行技术改造，预测 从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一
次性投入资金600万元进行技术改造，预 测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今
年为第一年）的利润为500(1+
1
)万元（n为正整数）.
n
2
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造 的累计纯利润为A
n
万元，进行
技术改造后的累计纯利润为B
n
万元 （须扣除技术改造资金），求A
n
、B
n
的表达式；
（Ⅱ）依上述 预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过
不进行技术改造的累计纯利润 ？
4．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时
听 到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中
心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m s :
相关各点均在同一平面上)
5．银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，
这种计 算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%
的利润；
乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元。
两方案使用贷款期限均为10牛，到期一次性归还本息。若银行贷款利息均按年息10%
的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元，参考数据：
1.1
10
=2.594，1.3
10
=13.797）

应用题专题答案：ACAAB；4；25
8解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2
25a
?
40b
=18500+
1000 ab?24500.

当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=
a
,代 入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
9．解：（1）设 二次函数的解析式为
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
．
2
①
5
8
1
?
a??
?
10
?
c?1
?
3
?
?
由关系表，得
?
a?b?c?1.5
解得
?
b?
< br>5
?
4a?2b?c??1.8
?
?
?
c?1
?
?
∴ 函数的解析式为
y
＝－
1
2
3
x
＋
x+
1．
105
2
（2）根据题意，得
S? 10y(3?2)?x??x?5x?10

（3）
S??x?5x?10??(x? )?
2
5
2
2
65

4

?1?x?3
?当1?x?2.5时，S随x的增大而增大.
故当年广告费为10 ~ 25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大
10．解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.

?
x? y?10,
?
0.3x?0.1y?1.8,
?
由题意知
?
目标函数
z
=
x
+0.5y.
x?0,
?
??
y?0.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线
l
0
:x?0.5y?0
，并作平行于直线
l
0
的一组直线
x?0.5y?z,z?R,

与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且
与直线
x?0.5y?0
的距离最大，这里M点是直线
x?y?10

和
0.3x?0.1y?1.8
的交点. 解方程组
?
?
x?y?10,
得
x
=4，y=6
0.3x?0.1y?1.8,
?
此时
z?1?4?0.5?6?7
（万元）.
?7?0

?
当
x
=4，y=6时z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万
211311
11．解：(I ) 已知
a
1
=
p
，
a
2
=
a
1
(1－ )+ (
p
－
a
1
)=
a
1
+
p
=
p
，

5205452
11131
∴ 2003年底的绿化面积为
p；
(II )
a
n+1
=
a
n
(1－ )+ (
p
－
a
n
)=
a
n
+
p
， (n
220545
434443
n
? N*)∴ (
a
n+1
－
p
)= (
a
n
－
p
) ∴(
a
n+1
－
p
)= (
a
1
－
p
) ( )
545554
423

n
423

n
713

n
∴
a
n
+1
=
p
－
p
( )∴
p
－
p
( ) >
p
? >( ) ? n≥5．
5545541044
7
∴ 五年后绿化率达
10
12．解：，设裁员
x
（
x?(0,50]x?N
*
）人，可获得的经济效益为
y
万元，则
y?(2a?x)(10?0.1x )?4x
??
1
2
[x?2(a?70)x]?20a
x?(0,5 0]x?N
*

10
当
0?a?70?50,即70?a?120时 ,x?a?70,y
取到最大值；
当
a?70?50,即120?a?210时,x?50,y
取到最大值；
答：当
70时，公司应裁员
a-70
人，经济效益取到最大值
当
120，公司应裁员50人， 经济效益取到最大值
课后练习：BABCC； 63；丙；8.64
10、解：当x=60时,y=20;得
a?
11
2
,
y?x
……4分
180180
1
100
2
?56

180
（1）假如该车行驶的速度为100 kmh，则紧急刹车后滑行的距离为
y?
由此可以判定该车没有超速行驶……8分
（ 2）由题意知：当
y?
1
2
x?20?100
，
x
2
?14400,x?120

180
这种型号的汽车要想在这条高速公路上安全行驶，车速应控制120 kmh 以内……12分
11．（1）312 ;(2)当x=6,y=4时,S最小S=24
12.当v=20时，每千米的总费用最少

13.解：每月生产x吨时的利润为
f(x)?(24200?1
2
x)x?(50000?200x)

5
1
??x
3
?24000x?50000(x?0)
5

3
由f
?
(x)??x
2
?24000?0解得x
1?200,x
2
??200(舍去).
5

因f(x)在[0,??)内只有一个点x?200使f
?
(x)?0
，故它就是最大 值点，且
最大值为：
f(200)??(200)?24000?200?50000?315 0000(元)

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
22
14．解：（1） 02< br>故当0显然，当16 因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟；
2
(2) 依题意, 当0∴6≤x≤10; （7分）
当10当161
5
3
1

3
11
－6＝11 (分钟)；
33
因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为17
(3)f(5)=53．5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17
所以M=
53.5?59?59?47?32?17
≈44．6<45．
6
故知平均值不能高于45．
15. （1）由题意知，
g
?
1
?
?f(1)?
111

?1?2?33?
15025
当
n?2
时，
g(n)?f(n)?f(n?1)

11
n (n?1)(35?2n)?(n?1)n[35?2(n?1)]
150150

11
?n[(n?1)(35?2n)?(n?1)(37?2n)]?n(12?n)
15025
?
又
111
?1?(12?1)??g(1)

2525

?g(n)?
由
1
n(12?n)(n?N，n?12)

25
1
n( 12?n)?14.
得
25
n
2
?12n?35?0


?5?n?7
，又
n?N，?n?6
，即6月份的需求量超过1.4万件 < br>（2）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P（万件）应满足
Pn?f(n)
1
n(n?1)(35?2n)

150
113335

?P?(n?1)(35?2n)??(n
2
?n?)

1507522
1

?n?N
，当
n?8
时 ，
(n?1)(35?2n)
的最大值为1.14万件
150
即
Pn?
即P至少为1.14万件
1．解：设公司在甲电视台和乙电视台 做广告的时间分别为
x
分钟和
y
分钟，总收益为
z
元，?
x?y≤300，
?
由题意得
?
500x?200y≤90000，

?
x≥0，y≥0.
?
目标函数为
z?3000x?2000y
．
y
500
400
?
x?y≤300，
?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤900，

?
x≥0，y≥0.
?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行
域． ………………8分
如图：作直线
l:3000x?2000y?0
，
即
3x?2y?0
．
300
l 200
100
M
0 100 200 300
x
平移直线
l
，从图中可知，当 直线
l
过
M
点时，目标函数取得最大值．
?
x?y?300，
联立
?
解得
x?100，y?200
．
5x?2y?900.?
?
点
M
的坐标为
(100，

200)
．
?z
max
?3000x?2000y?700000
（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公 司的收益最大，
最大收益是70万元．
y
2．解：设甲到达时间为
x
，乙到达时间为
y
，
则0<
x
,
y
<24．
若至少有一艘在停靠泊位时必须等待，
则0<
y
?
x
<6 或0<
x
?
y
<6
2
必须等待的概率为：1?
18
2
=
7

24
6
O 6 24
2
x
24
16
3. 解：（Ⅰ）依题设，A
n
=(500－20)+(5 00－40)+…+(500－20n)=490n－10n；
111500
)+(1+2
)+…+(1+
n
)]－600=500n－
n
－100.
2
222
500
2
（Ⅱ）B
n
－A
n=(500n－
n
－100) －(490n－10n)
2
50050
2
=10n+10n－
n
－100=10[n(n+1) －
n
－10].
22
50
因为函数y=
x
(
x
+1) －
n
－10在（0，+∞）上为增函数，
2
50
50
当1≤n≤3时，n(n+1) －
n
－10≤12－－10<0；
8
2
50
50
当n≥4时，n(n+1) －
n
－10≥20－－10>0.
16
2
B
n
=5 00[(1+
∴仅当n≥4时，B
n
>A
n
.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计
纯利润.
4. 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y
y
轴正向，建立直 角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
P
则A（－1020，0），B（1020 ，0），C（0，1020）
C
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得 |PA|=|PB|，
故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A
o
B
x
A
点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
x
2
y
2
?
2
?1
上，依题意得a=680, c=1020，
2
ab
?b
2
?c
2
?a
2
?1020
2
?680
2
?5?340
2
x< br>2
y
2
故双曲线方程为
2
??1
2
6805 ?340

用y=－x代入上式，得
x??6805
，∵|PB|>|PA|,
?x??6805,y?6805,即P(?6805,6805),故PO?68010

答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心
68010m
处.
0
5 .分析：经济活动中，诸如增长率、利息、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，常
常可归结为数列问题。本题涉及到银行的利息问题，因此可利用数列的知识解决它，欲判
断甲、 乙两个方案哪个获利更多，只需分别计算出甲、乙方案中生产利润，再减去银行的
贷款，即可比较获利多 少。
甲方案10年的生产利润为
)1×(1?30%)?…?1×(1?30%)

1?1×(1?30 %?
29
13.
10
?113.797?1
??42.65(万元) ，
到期时银行贷款本息为：
?
13.?10.3

10(1?10%)
10
?10×11.
10
?10×2.594?25. 94(万元)
，
故甲方案的获利为42.65－25.94=16.7（万元）。
乙方案10年的生产利润为
.)?(1?2×05.)?…?(1?9×05.)

1?(1?05

?
10(1?55.)
?32.5(万元)

2
29
到期时银行贷款的本息为
.[1?(1?10%?)(1?10%)?…?(1?10%)]

11
11.
10
?1
.??17.53(万元)

?11
11.?1

故乙方案获利为32.5?17.53≈15(万元)

比较可知，甲方案获利多于乙方案获利。

7．图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的 四边形，再沿虚线折起，
做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 2时，
其容积最大.









图1

为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公 布了个人住房公积金贷款利率和商业
性贷款利率如下：
贷款期(年数) 公积金贷款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
商业性贷款月利率(‰)
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年< br>还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他 想把余下的商业贷款也一次性
还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
(参考 数据：1.004455＝1.8966，1.005025＝2.0581，1.005025＝2.4651 )

12． 解 设月利率为
r
，每月还款数为
a
元， 总贷款数为
A
元，还款期限为
n
月
第1月末欠款数
A
(1＋
r
)－
a

第2月末欠款数 [A
(1＋
r
)－
a
](1＋
r
)－
a
＝
A
(1＋
r
)－
a
(1＋
r
)－
a

2
144144180

第3月末欠款数 [
A
(1＋
r
)－
a
(1＋
r
)－
a
](1＋
r
)－
a
2

＝
A
(1＋
r
)
3
－
a
(1＋
r
)
2
－
a
(1＋
r
)－
a

……
第
n
月末欠款数
A(1?r)
n
?a(1?r)
n?1
?a(1?r)
n?2
?
?
?a(1?r)?a?0

得：
a?A(1?r)
n
?
r

n
(1?r)?1
对于12年期的10万元贷款，
n
＝144，
r
＝4.455‰
∴
a?100000?1.004455
144
?
0.004455
?942.37

1.004455
144
?1
0.005025< br>?1268.22

1.005025
180
?1
对于15年期的15万元贷款，
n
＝180，
r
＝5.025‰
∴
a?150000?1.005025
180
?
由此可知，汪先生家前 12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还
款1268.22元 ．