江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题含答案

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解析几何应用题

【拓展探究】
1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴 影区域）”其中
AC,BD
是过抛物线焦点
F
且互相垂直的
两条弦， 该抛物线的对称轴为
EF
，通径长为4．记
?EFA?
?
，
?
为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂
直于对称轴的弦）
（1）用
?
表示
AF
的长；
E
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积
S
关于
?
的
A
D
?
函数关系式，并设计
?
的大小，使“蝴蝶形图案”
B
C
的面积最小．
F

【解】（1）由抛物线的定义知，
AF?AF?cos
?
?2
，解得
AF?
2
1?c os
?
，
?
?
?
?
π
?
?
0,
2
?
?
．
（2）据（1）同理可得
BF?
22
1?cos
?
?
π
?
?
1
?
sin
?
，
?
2
?
?
?
?
CF ?
22
22
1?cos
?
π?
?
?
?1?cos
?
，
DF?
1?cos
?
?
3π< br>?
?
1?sin
?
．
?
2
?
?
?
?
所以“蝴蝶形图案”的面积
S?
122122
2
?
1?cos
?
?
1?si n
?
?
2
?
1?cos
?
?
1?sin< br>?
， 即
S?
4
?
1?sin
?
cos?
?
sin
2
?
cos
2
?
，
?
?
?
?
π
?
?
0,
2
??
．
千里之行 始于足下
1

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令
t?
1
π
，则
S?4t
2
?t,t?
?
2,??
?
，所以当t?2
，即
?
?
时，
S
的最小值为8． sin
?
cos
?
4
??
答：当
?
?
π
时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小．
4

2. 如图 ，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧
道 的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高
h
为6米，则隧道设计的拱宽
l
是多少？
（2）若最大拱高
h
不小于6米，则应如何设计拱高
h
和拱宽
l< br>，才能使半个椭圆形隧 道的土方
工程量最小？（半个椭圆的面积公式为
S
?
?
4
lh
）





x
2
y
2
【解】（1）如图建立直角坐标系，则点
P(11,4.5)
，椭圆方程为
2
?
2
?
1
.
ab
447887
,
此时
l?2a??33.3
.因此隧道 的拱宽约为33.3
77
将
b
=
h
=6与点
P坐标代入椭圆方程，得
a?
米.
2
千里之行 始于足下

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x
2
y
2
11< br>2
4.5
2
11
2
4.5
2
2?11?4. 5
（2）由椭圆方程
2
?
2
?
1
，得
2< br>?
2
?
1.
因为
2
?
2
?
即
ab?99,
且
abab
abab
92
11
2< br>4.5
2
1
99
?
此
?.
当
S取最小值时，有
2
?
2
?,
得
a?112,b?
l?2a,h?b,
所以
S?lh?
2
ab2
422
??
ab
时
l?2a?222?31.1,h?b?6.4

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.

3. 如图所 示，有两条道路
OM
与
ON
，
?MON?60
，现要铺设三 条下水管道
OA
，
OB
，
AB
（其中
A
，
0
，若下水管道的总长度为
3km
，设
OA?a(km)
，
OB?b(km)
．
B
分别在
OM
，
ON
上）
（1）求
b
关于
a
的函数表达式，并指出
a
的取值范
围；
（2）已知点
P
处有一个污水总管的接口，点
P到
OM
的距离
PH
为
3
km
，到点
O
的距离
PO
为
4
7
km
，问下水管道
AB
能否经过污水总管的接口
4
点
P
？若能，求出
a
的 值，若不能，请说明理由．


5. 如图,为了保护河上古桥
OA
,规划建一座新桥
BC
,同时设
圆形保护区.规划要求: 新桥
BC
与河岸
AB
垂直; 保护区的
圆心
M
在线 段
OA
上并与
BC
相切的圆.且古桥两端
O
和
A< br>立一个
边界为
到该圆
3
千里之行 始于足下

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上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点
A
位于点
O
正北方向60m处, 点
C
位于点< br>O
正东方向170m
处(
OC
为河岸),
tan?BCO?< br>4
.
3
（1）求新桥
BC
的长；
（2）当
OM
多长时,圆形保护区的面积最大？
【解法探究】
（ 1）解法1：（两角差的正切）连结
AC
，由题意知
tan?ACO?
6，则由两角差的正切公式可得：
17
tan?ACB?tan(?BCO??ACO)?< br>2
，故
BC?cos?ACB?AC?150m

3
答：新桥
BC
的长度为
150
m.
解法2：（解析法）由题意可知
A(0,60),B(170,0)
；由
t an?BCO?
直线
BC
所在直线的方程为
y??
4
4可知直线
BC
的斜率
k??
，则
3
3
4
3
又由
AB?BC
可知，
AB
所在的直线方程为
y?x? 60
；
(x?170)
；
3
4
4
?
y?? (x?170)
?
?
3
联立方程组
?
，解得
x?8 0,y?120
；
3
?
y?x?60
?
?4
即点
B(80,120)
，那么
BC?(80?170)
2
?1202
?150
. 答：新桥
BC
的长度为
150
m. < br>解法3：（初中解法）延长
CB
交
OA
所在直线于点
G
，
由
tan?BCO?
6808505004
4
可得
O G?
，
CG?
，
AG?
，
cos?CGO?sin?GCO ?
，故
3
3335
4
千里之行 始于足下

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BG?cos?CGO?AG?
400
，在
?OCG
中，由
3
勾股定理得
CG?
850
，故
BC?150m

3
答：新桥
BC
的长度为
150
m.

（2）解法1：（解析法） 由题意设
M(0,a)(0?a?60)
，圆
M
的方程为
x?(y?a)?r
，且由题意
222
680
?a
680?3a
3
可知
r?
. 又古桥两端
O
和A
到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么
?
5
4
1?( ?)
2
3
?
r?a?80
680?3a
，解得
10 ?a?35
；由函数
r?
为区间
[10,35]
上的减函数，故当< br>a?10
时，
?
5
r?(60?a)?80
?
半径取 到最大值为
130
.
综上可知，当
OM?10m
时，圆形保护区的 面积最大，且最大值为
16900
?
.
解法2：（初中解法）设
BC
与圆切于点
N
，连接

MN
，过点
A
作
AHBC
交
MN
于点
H
.
设
OM?a
，则
AM?60?a
，由古桥两端
O
和
A
到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，那么
?
r?a? 80
43
tan?AMH?tan?OCN?MH?(60?a)
，由（1）
，解得由
，可得
10?a?35
?
.
35
r?(60?a )?80
?
解法3可得
AB?100
，所以
MN?100?
33
(60?x)??x?136
，故
MN
即圆的半径的最大值为130，< br>55
当且仅当
a?10
时取得半径的最大值. 综上可知，当
OM?10m
时，圆形保护区的面积最大.
5
千里之行 始于足下

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6. 如图，
O
为总信号源点，
A
，
B
，
C
是三个居民区，已知
A
，
B
都在
O
的正东方向上 ，
OA
= 10
km
，
OB
= 20
km
，
C
在
O
的北偏西45° 方向上，
CO
=
52
km
．
（1）求居民区
A
与
C
的距离；
（2）现要经过点
O
铺设一条总光缆直线
EF
（
E
在直线
OA
的上 方），并从
A
，
B
，
C
分别铺设三条最短分
光缆连 接到总光缆
EF
．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为
m< br>（
m
为常数）．设
∠
AOE
=
θ
（0≤
θ
<
π
），铺设三条分光缆的总费用为
w
（元）．
北
① 求
w
关于
θ
的函数表达式；
E
C
θ
O
A
F
B
② 求
w
的最小值及此时
tan
?
的值．






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【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？


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