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高考数学-应用题专题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 23:40
tags:高中数学应用题

人教版高中数学必修二教学视频教学-全国三卷高中数学三角函数知识

2020年10月5日发(作者:翟文瑞)


高考数学-应用题
应用题类型:
1.代数型(1)函数型(2)不等式型(3)数列型(4)概率统计型
2.几何型(1)三角型(2)解析几何型(3)立体几何型
1. 某渔业公司年初用98万 元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为12万元,以后每年都增
加4万元,每年捕鱼收益50万元.
(1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:
方案一:年平均获利最大时,以26万元出售该渔船
方案二:总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.
解析. (1)由题意知,每年的费用以12为首项,4为公差的等差数列.
设纯收入与年数
n
的关系为
f

n
),则
f(n)?50n?[12?16?

?(8?4n)]?98??2n
2
?40n?98

由题知获利即为
f

n
)>0,由
?
2
n
2
?
40
n?
98
?0
,得
10?
51?n?10?51

∴ 2.1<
n
<17.1.而
n
?
N,故
n
=3,4,5,…,17.
∴ 当
n
=3时,即第3年开始获利.
(2)方案一:年平均收入
?
由于
n?

f(n)49
?40?2(n?
)

nn
4949
?2n?
14
,当且仅当
n
=7时取“=”号.
nn
f (n)
?
40
?
2
?
14
?
12
(万元).
n
即第7年平均收益最大,总收益为12×7+26=110(万元).
方案二:
f

n
)=
?2n
2
+40
n
-98=-2
(n?10)
2
+102.

n
=10时,
f

n
)取最大值102,总收益为102+8=1 10(万元).
比较如上两种方案,总收益均为110万元,而方案一中
n
=7,故 选方案一.

1


2. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善 整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流
速度
v
(单位:千米小时)是车流 密度
x
(单位:辆千米)的函数.当桥上的车流密度达到
200辆千米时,造成堵塞, 此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆千米时,车流速度
为60千米小时.研究表明:当
20?x?200
时,车流速度
v
是车流密度
x
的一次函数. (Ⅰ)当
0?x?200
时,求函数
v
?
x
?
的表达式;
(Ⅱ)当车流密度
x
为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的 车辆数,单位:辆
小时)
f
?
x
?
?x?v
?x
?
可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆小时)
解析:(Ⅰ)由题意: 当
0?x?20
时,
v
?
x
?
?60
;当
20?x?200
时,设
v
?
x
?
?ax?b,显然
1
?
a??
?
?
200a?b?0
?< br>3
v
?
x
?
?ax?b

?
20, 200
?
是减函数,由已知得
?
,解得
?

200
20a?b?60
?
?
b?
?
3
?
0?x ?20,
?
60,
?
故函数
v
?
x
?的表达式为
v
?
x
?
=
?
1

?
200?x
?
,20?x?200.
?
3
?
0 ?x?20,
?
60x,
?
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得
f
?
x
?
?
?
1

??
x200?x,20 ?x?200.
?
?
3

0?x?20
时,
f?
x
?
为增函数,故当
x?20
时,其最大值为
60? 20?1200

11
?
x?
?
200?x
?< br>?
10000

20?x?200
时,
f
?
x
?
?x
?
200?x
?
?
?

?
?
33
?
23
?
2
当且仅当
x?20 0?x
,即
x?100
时,等号成立.
10000

3
10000
?
3333

综上,当
x?100
时,
f
?
x
?
在区间
?
0,200
?
上取得最大值
3
所以,当
x?100
时,
f
?
x
?
在区间
?
20,200
?
上取得最大值
即当车流密度为100辆千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆小时.

2


3. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量< br>y
(单位:千克)与销售价格
x
(单
位:元千克)满足关系式
y?
a
?10(x?6)
2
,其中
3?x?6

a
为常数,已知销售价格为5
x?3
元千克时,每日可售出该商品11千克。
(1)求
a
的值
(2)若该商品的成本为3元千克,试确定销售价格
x
的值,使商场每日销售该商品所获得
的利润最大。
解:(1)根据题意有,
(5,11)
在函数
y?
解得:
a?2

(2)商场日销售利润为
f(x)?(x?3)?y?(x?3)?[

?
2
?
10(
x?
3)
?
(
x?
6 )
2
(3
?x?
6)


f(x)
求导 数得:
f
?
(
x
)
?
10[2
?
(
x?
3)(
x?
6)
?
(
x?
6)2
]
?30(x?4)(x?6)

?3?x?6
,当
3?x?4
时,
f
?
(x)?0
,当
4?x?6
时 ,
f
?
(x)?0

aa
?10(x?6)
2的图像上,所以
11??10(5?6)
2

x?35?3
2< br>?
10(
x?
6)
2
]

x?3
?
函数
f(x)

(3,4)
上为单调增函数,在
(4,6)
上为单调减函数,
所以函数
f(x)

x?4
时取到最大 值
f(4)?42



3

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