高考数学应用题专项练习

应用题专项练习
1．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环 保知识竞赛”，共有
900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分
均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数
分布直方图，解答下列问题：


分组 频数 频率

50.5?60.5 4 0.08


60.5?70.5 a 0.16


70.5?80.5 10 b


80.5?90.5 16 0.32

90.5?100.5 c d


合计 50 e


（Ⅰ）填充频率分布表的空格(在答题纸上写出a，b，c，d，e的值)；
（Ⅱ）补全频数条形图；
（Ⅲ）若成绩在75.5?85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？

解：(1)
分组
50.5?60.5
60.5?70.5
70.5?80.5
80.5?90.5
90.5?100.5
合计
频数
4
8
10
16
12
50
频率
0.08
0.16
0.20
0.32
0.24
1.00







(2)
方图如右上所示
(3) 成绩在75.5?80.5分的学生 占70.5?80.5分的学生的
频数直
5
，因为成绩在70.5?80.5分的10
学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5?80.5分的学生频率为0.1 ，
成 绩在80.5?85.5分的学生占80.5?90.5分的学生的
5
，因为成绩在80.5? 90.5分的学生
10
频率为0.32 ，所以成绩在80.5?85.5分的学生频率为0.16
所以成绩在76.5?85.5分的学生频率为0.26，

1

由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26?900=234（人）
2．
在房屋装修 的过程中，估计需要用到学校的客货两用车，经实际探索，知该车的燃料
费与其速度的立方成正比。且知 其速度为每小时64公里时，燃料费为每小时40元，其余费
用（不随速度变化：如过桥费、使用年限等 ）为每小时250元，则当汽车的速度为每小时多
少公里时，行驶每公里的费用之和最小？最小值为多少 元？
解：设汽车的速度为每小时x公里时，燃料费用为m，由题意可得
m＝kx
3
，∵速度为每小时30公里时，燃料费为每小时20元，
11
∴ 64＝k·40
3
，从而k＝ ，即m＝ x
3
。
10001000
又设行驶每公里的费用总为y（元），则
0.001x
3
＋250
125125
y＝ ＝0。001x
2
＋＋
xxx
≥3
3
12512525
0.001x
2
·· ＝3× ＝7.5（元）
xx10
125
当且仅当0。001x
2
＝ ，即时成立x＝50时，等号成立．
x
即当车速为每小时50公里时，行驶每公里的费用总和为最小，最小值是7。5元．
3． 一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上
有一节邮 政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站
发往后面各站的邮袋各 一个，试求：
（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？
（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？
解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列
{a
n
}

（1）由题意得：
a
1
?n?1,a
2
?(n?1) ?(n?2)?1,a
3
?(n?1)?(n?2)?(n?3)?1?2.
…
2分
在第k站出发时，前面放上的邮袋共：
(n?1)?(n?2)???(n?k)
个
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个
故
a
k?(n?1)?(n?2)???(n?k)?[1?2???(k?1)]


?kn?
11
k(k?1)?k(k?1)?kn?k
2
(k?1, 2,?,n)

22

2

即列车从第k站出发时， 邮政车厢内共有邮袋数
kn?k(k?1,2,?n)
个
2
1
2
1
1
n
当n为偶数时，
k?n
时，最大值为
n
2

42
4
111
当n为奇数时，
k?(n?1)或k?(n?1)
时，最大值为
(n
2
?1)
。
224
n
1
所以，当n为偶数 时，第站的邮袋数最多，最多是
n
2
个；
2
4
n?1n ?11
当n为奇数时，第站的邮袋数最多，最多是
(n
2
?1)
个分
或第
224
（2）
a
k
??(k?)
2
?
4． 铁路线上的AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公理，已知铁路每
吨公 里与公路每吨公里的运费之比为3∶5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，
D点应改在何处 ？
分析：设参数并找出其与总运费y之间的函数关系再求最值取到时D点的位置。
解法一：设AD＝x， 则BD＝100－x， CD＝400＋x
2
，设总运费为y，
则y＝3k(100－x)＋5k400＋x
2

＝k(300－3x＋54 00＋x
2
)＝k[300＋(4400＋x
2
－4x)＋(400＋x2
＋x)]
＝k[300＋
4×400
400＋x
2
＋x
＋(400＋x
2
＋x)]
n
2
≥k[300＋2< br>4×400
400＋x
2
＋x
4×400
·(400＋x2
＋x)]＝380k。
当且仅当
2
＋x时取等号。 ＝400＋x
400＋x
2
＋x
解此方程，求得＝15公里。
即当点D距A为15公里处时运费最低。
解法二：同解法二先得y＝3k(100－x)＋5k400＋x
2

y
设－300＝t， 则t＝－3x＋5400＋x
2
>0
k
则 (t＋3x)
2
＝25(400＋x
2
)
t
2
＋6xt＋9x
2
＝25×400＋25x
2

16x
2
－6tx＋400×25－t
2
＝0
Δ＝36t
2
－4×16×(400×25－t
2
)≥0
即t
2
≥16×400
∵ t>0
∴ t≥4×20＝80， ∴ 当且仅当，t＝80时，y最小。

3

b
6×80
此时，x＝－＝＝15 ∈(0，100)。
2a
2×16
即当点D距A为15公里时，运费最低。
解法三：设总运费为y，铁路每吨公里运费为3k，公路每吨公里运费为5k，其中k
20
为正常数，设∠ADC＝?，则AD＝20ctg?， BD＝100－20ctg?，CD＝，
sinα
5－3cosα
20
则y＝5k·＋3k(100－20ctg?) ＝20k()＋300k(k>0， k为常数)
sinαsinα
5－3cosαα
令P＝ 记 tg＝t(t>0)
2
sinα
αα
1－tg
2
2tg
2
1－t
2
2
2t
故 cos?＝＝，sin?＝＝
22
。
α1＋ tα1＋t
1＋tg
2
1＋tg
2
22
5(1＋t
2
)－3(1－t
2
)
1
∴P＝＝＋4t≥4(t≥0)。
2tt
α
2
α
1114
当且仅当＝4t， t＝时，P取最小值4，即 tg＝， tg?＝＝ 。
t222
α
3
1＋ tg
2
2
2tg
3
∴ AD＝AC ctg?＝20×＝15(公里）
4
当D点距A为15公里处时运费最低。
5．某 企业，在“减员增效”中，对部分人员实行分流，规定流人员第一年可以到原单
2
位领取工资的 百分之百，从第二年起以后每年只能在原单位按上一年的 领取工资，该企业
3
根据分流人员的 技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没
有利润，第二年每人可获b元 收入，从第三年起每人每年可在上一年的基础上递增50%，
如果某人分流前工资收入每年a元，分流后 第n年总收入为a
n
元。
（1）求a
n
;
8
（2）当b＝ a时，这个人哪一年收入最少？最少收入是多少？
27
（3）当时是否一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入？ 分析：这是一个减员增效问题，第一问求数列通项，属“数列模型”，第二、三问属“函
数最值模型 ”，这时，我们既要巡检头脑中的模型库，又要保持思维的灵活性。
解：（1）易知，a
1
＝a，n≥2时，
2
－
1
－
a
n
＝a( )
n1
＋b(1＋ )
n2
，
32

4

n=1时
?
a
所以 a
n
＝
?
2
n-1
3
n-2

a( )+b( ) n≥2时
2
?
3
82
－
23
－
2
－
2
－
(2) 当b＝ a时， a
n
＝ a( )
n1
＋a ( )
3
( )
n2
＝a[( )
n1
＋ ( )
n5
]≥
27 33233
?
2
?
2a
??
?
3
?
n?1
?
3
?
??
?
2
?
n?1
8
?
2
?
??
＝a。
9
?
3
?
4
2
－
3
－
8
当且仅当( )
n1
＝( )
n5
，即n＝3时，取等号。故第三年的收入最少，最少收入为 a。
3292
－
3
－
2
－
33
－
?
2< br>?
(3) a
n
＝ a( )
n1
＋b( )
n2
≥a( )
n1
＋ a( )
n2
≥2
a< br>2
??
32382
3
n?1
??
33
－? ?( )
n2
＝a
82
233
( )
n-1
= ?( )
n-2
382
11
当且仅当时取等号，此时， n＝log
2

，由于log
2

不是自然数，所
3
3
3
3
3
b= a
8
?
?
?
3
以等号不成立，这就是说，当b≥ a时，可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分
8
流前的年收入。
6． 某工 厂产值连续三年持续增长，这三年的增长率分别为x
1
，x
2
，x
3
，求年平均增
长率P。
分析：首先要解决两个问题：什么叫年增长率，什么叫年平均 增长率，年增长率是指
该年产值－前年产值x
1
＋x
2
＋x
3
，三年的年平均增长率不是，如果设去年的产值为a，则今
3
前一年产值
年 开始的第三年的产值为a(1＋P)
3
，依题意，今年 （第一年）产值为a(1＋x
1
)，第二年产值
为a(1＋x
1
)(1＋x
2
)，第三年 的产值为a(1＋x
1
)(1＋x
2
)(1＋x
3
)，所以 ：
a(1＋P)
3
＝a(1＋x
1
)(1＋x
2
)(1＋x
3
)
∴ P＝(1＋x
1
)(1＋x
2
)(1＋x
3
)－1。 1．某学校拟建一块周长为400
m
的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩 形，
学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的
长 和宽？
解：设中间区域矩形的长、宽分别为
x
、
y
，中间的
矩形区域面积为
S
．
则半圆的周长为
3

?
y
2
，因为操场周长为400，所以

5

2x?2?
?
y
2
?400
，即

2x?
?
y?400
．
112x?
?
y
2
20000
，
?(2x)?(
?
y)??()?
2
?
2
?
2
?
?
x?100，
?
x?100，
?
2x?
?
y，< br>??
由
?
解得
?
200
当
?
200
时等号成立．
2x?
?
y?400，
y?．y?
?
??
?
?
??
∴
S?xy?
设计矩形的长为100
m
宽约为
200
?
（
?63．7）
m
时，矩形面积最大．
7．某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设 高压电线，测量人员在相距6000m的C、
D两地（A、B、C、D在同一平面上），测得∠ACD= 45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°
（如图），假如考虑到电线的自然下 垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是
A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多 长的电线？（参
考数据：
2?1.4,3?1.7,7?2.6
）
解：在△ACD中，∠CAD=180°－∠ACD－∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理AD=
A
C
4 5
?
30
?
75
?
D
15
?
CD sin45?2
?CD
，
sin60?3
B
在△BCD中，∠CB D=180°－∠BCD－∠BDC=135°
CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理BD=
CDsin30?2
?CD
，
sin135?2
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC＋∠BDC=90°
根据勾股定理有
AB?AD
2
?BD
2
?
21< br>?CD
=1000
42
，
32
答：实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6（m）
8．甲、乙两大超 市同时开业，第一年的全年销售额均为
a
万元．由于经营方式不同，甲超
市前
n
年的总销售额为
a
2
(n?n?2)
万元，乙超市第
n< br>年的销售额比前一年销售额多
2
2
()
n?1
a
万元 。
3
（Ⅰ）求甲、乙两超市第
n
年销售额的表达式；

6

（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该 超市将被另一
超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
解：（Ⅰ）设甲、乙超市第
n
年销售额分别为
a
n
,b
n< br>，又设甲超市前
n
年总销售额为
S
n
，
a
2
(n?n?2)(n?2)
．因
n?1
时，
a
1
?a
，
2
a
2
a
2
当
n?2
时 ，
a
n
?S
n
?S
n?1
?(n?n?2)?[( n?1)?(n?1)?2]?n(n?1)
，
22
则
S
n
?
(n?1)，
?
a
故
a
n
?
?

(n?1)a(n?2)，
?
2
又因
b
1
?a ,n?2
时，
b
n
?b
n?1
?()
n?1
a
，
3
故
b
n
?b
1
?(b
2
?b
1
)?(b
3
?b
2
)???(b
n
?b
n?1
)

222222
?a?a?()
2
a???()
n?1
a?[1??()
2
???()
n?1
]a
，
333333
2
1?()
n
3
a ?[3?2?(
2
)
n?1
]a
．
?
2
3
1?
3
2
n?1*
显然
n?1
也适合，故
b
n
?[3?2?()]a,(n?N)
．
3
51
（Ⅱ ）当
n?2
时，
a
2
?a,b
2
?a
，有
a
2
?b
2
；
3
2
191
n? 3
时，
a
3
?2a,b
3
?a
，有
a3
?b
3
；
9
2
当
n?4
时，a
n
?3a
，而
b
n
?3a
，故乙超市有可能 被收购．
当
n?4
时，令
1
122
a
n
?b
n
，则
(n?1)a?[3?2?()
n?1
]a?n?1?6 ?4?()
n?1
，
233
2
22
即
n?7?4 ?()
n?1
．又当
n?7
时，
0?4?()
n?1
?1
，
33
2
*
故当
n?N
且
n?7
时，必有
n?7?4?()
n?1
．
3
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
9．某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元件，出厂价为流程图的输
出结果
p
元件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需 求，
计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为
x
（
0?x?1
），则
出厂价相应提高的比例为
0.75x
，同时预计销售量增 加的比例为
0.8x
．已知得利润
?
（出厂
价
?
投 入成本）
?
年销售量．

7

（Ⅰ）写出2008年预计的年利润
y
与投入成本增加的比例
x
的关系式；
（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例
x
应 在什么范围
内？

解：（Ⅰ）由流程图可知：
p?1.2
．依题意，得
开始
y?[1.2?(1?0.75x)?1?(1?x)]?10000?(1?0.8x)


??800x
2
?600x?2000
（
0?x?1
）；
（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当
i?0.1,p?0.2

p?p?i

?
?800x2
?600x?0
?
y?(1.2?1)?10000
，即
?< br>．
?
0?x?1
0?x?1
?
?
解之得
0 ?x?
i?i?0.1

N
3
．
p?1.1

4
9．现有长度为48m的钢管和面积为S
m
2
的铁皮，用钢管焊接一个长方体框架，
Y
再用铁皮围在框架的 六个表面做成一个长方体水箱（不考虑裁剪和焊接的损
输出
p

失）．
（1）无论如何焊接长方体，若要确保铁皮够用，求铁皮面积S的取值范围；
结束
（2）若铁皮面积为90
m
2
，如何设计长方体的尺寸才能使水箱容积最大?并求最大容积．

19、（1）设长方体的长宽高分别为
a、b、c
，∴
4a?4b?4c?48

S
表
?2ab?2bc?2ac
，
∵
a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ac?144

又 ∵
2a
2
?2b
2
?2c
2
?2ab?2bc?2 ac
∴
ab?bc?ac?
∴
S
表
?2ab?2bc? 2ac?96

∴铁皮面积S的取值范围为
?
96,??
?

（2）
S?S
表
?2ab?2bc?2ac?90
，
4a?4b?4c?48
V?abc?a(45?ab?ac)?a
?
45?a(12?a)
?
?a
3
?12a
2
?45a

144
?48

3
?
b?c
??
12?a
?
∵
ab?bc?ac?45
∴
bc?a(12?a)?45
∴
45?a(12?a)?
??
?
??

?
2
??
2
?
22
∴
2?a?6

而
V
?
(a)?3a
2
?24a?45
令
V
?
(a)?0a?3或5


8

2





2，3）
（
+

大54
3
3，5）
0
极
（
—

小
5
5，6）
0
极
（
+

4
6

5
当
a?3
时，
b?3,c?6或b?6,c?3

当
a?6
时，
b?3,c?3

∴当长方体的长宽高为3，3，6 时，体积最大为54
m
3

10．可能使用的公式和数据：
P(k
2
>k) 0.50
k
2
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.83 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84
n(ad?bc)
2
k?

(a?b)(c?d)(a?c)(b? d)
对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,< br>调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示：

心脏搭桥手术
血管清障手术
合计
2
又发作过心脏病 未发作过心脏病
39
29
68
157
167
324
合计
196
196
392
试根据上述数据计算
?
=________▲ ________比较这两种手术对病人又发作心脏病
的影响有没有差别. _________▲ _______
11．已知按A设计方案,建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部分 造价组成,若建
造一栋面积为M的房子,地面部分的造价
Q(M)＝K
1
MM
,基础部分的造价
2
P(M)?K
2
M
（其中
K< br>1
,K
2
为正实数）,又知按A设计方案建造一栋面积为1600
m< br>的住房,共造价是176.8万元,且地面部分的造价是基础部分的36％,
求：（1）求
K
2

（2）现要按A设计方案,建造总面积为 40000
m
的住房若干栋,试问：建造多少栋可使
其总造价最少？
2?
176.8＝K
1
?16001600?K
2
?160013
（ 3分） ?K
2
?
（6分）
4
?
K
1
?16001600?K
2
1600?36%
40000（2）设建造n栋房子,可使总造价最低,则
M?
（8分）
n
解：（1）由题意：
?

9

设面积为M 的一栋房子造价为
y?K
1
MM?K
2
M

4
??K
2
?

n
nn
?
400 00K
1
?
?
?200?400K
1
K
2
（10分） 总造价
W?n?y?200
?
?n?K
2
??
n
??
40000K
1
40000K
1
36
当且仅 当
K
2
n??n??40000??9时
取等号
K160000
n
2

?K
1
?
即n=9时, w最小 （16分）

12 ．）建筑业中,建筑成本费用由城市土地使用权取得费和材料工程费两部分组成.某市今年的
土地使用权 取得费为2000元
m
；材料工程费在建造第一层时为400元
m
；以后每增 加
一层费用增加40元
m
；求楼高设计为多少层时，才能使平均每平方米建筑面积的成 本费
最省.
解：设楼高设计为n层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y元.（n∈
N
）
依题意得：
y=
*
22
2
2000?[400?(400 ?40)?(400?40?2)???(400?40?(n?1))]

n
200 0?400n?40[1?2?3???(n?1)]
2000?380n?20n
2
==
n
n
100
?20(?n?19)?20(2?10?19)
=780
n
(当且仅当n=10时，等号成立)
答：楼高设计为10层时，平均每平方米建筑面积的成本费最省.
13．某兴趣小组欲研究昼 夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某
医院抄录了1至6月份每月10号的昼 夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
昼夜温差
x
（
C
）
就诊人数
y
（个）
o
1月10号 2月10号 3月10号 4月10号 5月10号 6月10号
10
22
11
25
13
29
12
26
8
16
6
12
该兴趣小组确定的研究方案是 ：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归
方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据 ，现根据2至5月份的数据，计算得
b?
求出
y
关于
x
的线 性回归方程
$$
y?bx?a
；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为

10
18
，试
7

得到的线性回归方程是理想的，试 问该小组所得线性回归方程是否理想？
51
?
；
6?5
3
2
1830
（Ⅱ）
$$
y?x?

77
13．（Ⅰ）
P?

（Ⅲ）理想

14、已 知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1.8
元千克,每 次购买配料除需支付运输费236元外,还需支付保管费,其标准如下:7天以内(含7
天)无论重量多 少,均按10元天支付,超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天
0.03元千克支付．
⑴ 当9天购买一次配料时,求该厂的配料保管费P是多少?
⑵ 当x天购买一次配料时 ,求该厂在这x天中用于配料的总支出
y
?
x
?
关于函数x的函数< br>关系式；
⑶ 求多少天购买一次配料时,才能使该厂的平均每天的总支出最少?(总支出=购买 配料
费+运输费+保管费)．
15．某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市 初期和后期会因供不应求
使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价 格模拟函数：
x
①
f(x)?p?q
；②
f(x)?log
q
x?p
；
2
③
f(x)?(x?1)(x?q)?p
（以上三式中
p,q
均为常数，且
q?2
）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若
f(1)? 4,f(3)?6
，（1）求出所选函数
f(x)
的解析式（注：函数的定义域是[1,6]
，
其中
x?1
表示4月1日，
x?2
表示5 月1日，…，以此类推）；（2）为保证果农的收益，
打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水 果在哪几个月内价格下跌．
15．（1）用函数③
f(x)?(x?1)(x?q)?p
；
（ 2）由
f
?
(x)?0?2?x?4
，所以是5月、6月两个月的价格下降了 ．



2

11