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2017高考数学应用题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 23:42
tags:高中数学应用题

高中数学k表-高中数学数列求最值公式

2020年10月5日发(作者:夏禹)


18.(本题满分16分)
如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心 为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,
并且与天花板的距离
(即OB)
为 2m,在圆环上设置三个等分点A
1
,A
2
,A
3
。点C为
OB
上一点(不包含端
点O、B),同时点C与点A
1
,A
2
,A
3
,B均用细绳相连接,且细绳CA
1
,CA
2,CA
3
的长度相等。设细绳
的总长为
y

(1)设∠CA
1
O =
?
(rad),将y表示成θ的函数关系式;

(2)请你设计
?
,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并指明此时 BC应为多长。
B
C
A
3
A
1
O
A
2






18. (Ⅰ)解:在
Rt
△COA
1
中,
CA
1
?
2

CO?2tan
?
, ………2分
cos
?
2
?2?2tan
?
=
c os
?
y?3CA
1
?CB?3?
2(3?sin
?
)
?
?2

0?
?
?
)……7分
co s
?
4
?cos
2
?
?(3?sin
?
) (?sin
?
)3sin
?
?1
?2
(Ⅱ)
y?2

22
cos
?
cos
?

y
?
?0
,则
sin
?
?

sin< br>?
?
1
………………12分
3
11
时,
y
?
?0

sin
?
?
时,
y
?
?0

33

y?sin
?

[0,
?
4
]
上是增函数
2
1
时,y最小,最小为
42?2
;此时BC
?2?
m …16分
2
3
∴当角
?
满足
sin
?
?

19.由一个小区历年市场行情调查得知,某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量
P(t)< br>(单位:吨)与上
市时间
t
(单位:月)的关系大致如图(1)所示的折线< br>ABCDE
表示,销售价格
Q(t)
(单位:元/千克)
与上市时间
t
(单位:月)的大致关系如图(2)所示的抛物线段
GHR
表示(
H
为顶点).
(1)请分别写出
P(t)
,
Q(t)
关于
t
的函数关系式,并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份?


(2)图(1)中由四条线段所在直线围成的平面区域为
M
,动点
P(x,y)
M
内(包括边界),求
z?x?5y
....
的最大值;
(3) 由(2),将动点
P(x,y)
所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比 到乘法运算(如
1?2x?3y?3
x
2
类比为
1?
3?3
),试列出
P(x,y)
所满足的条件,并求出相应的最大值.
y


(图1) (图2)

?
?t?50?t?3,
?
t?13?t?6,
?
19.解 (Ⅰ)
P(t)?
?

?t?116?t?9,
?
?
?
t?79?t?12

Q(t)??
1
(t?4)
2
?6
16
(0?t? 12)

P( t)?Q(t)?(t?1)[?
(P(t)?Q(t))
'
??
1
(t?4)
2
?6]

3?t?6)

16
3
[(t?3)
2
?33]
?0

t?(3,6]
恒成立,所以函数在
(3,6]
上递增
16
Q(t)]
max
=34.5. ∴6月份销售额最大为34500元 . 当t=6时,
[P(t)g
(Ⅱ)
?
?
5?x?y?11
,z=x

5y


?
1?x?y?7
令x

5y=A(x+y)+B(x
—< br>y),则
?
?
A?B?1
?
A??2

?
?
?
A?B??5
?
B?3
∴z=x

5 y=

2(x+y)+3(x

y).由
?22??2(x?y)? ?10
,
3?3(x?y)?21


?19?z?11
,则(z)
max
=11 .
?
5?xy?11
x
x
x
?
x
(Ⅲ)类比 到乘法有已知
?
,求
z?
5
的最大值.由
5
=(< br>xy
)
A
·()
B

1??7
y
y
y
?
y
?
?
A?B?1
?
A??2
11
3?2
?(xy)?
.∴,
1?(xy)?343

?
??
12125
?
A?B??5
?
B?3





343
1343
,则(z)
max
= .
?z?
25
12125
18.(本题满分15分)
如图甲,一个正 方体魔方由27个单位(长度为1个单位长度)小立方体组成,把魔方中间的一层
EFGH?E
1
FG
11
H
1
转动
?
,如图乙,设
?< br>的对边长为
x

(1)试用
?
表示
x

E

(2)求魔方增加的表面积的最大值.
E
1







H
H
1



F
1
F
E
?

x

?

E

M

N

H
?

F

F
?

G
1
G


H

G

(图乙)
G
(图甲)
18.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.
解:(1)由题意得
x?
解得
x?
x
?
x
?3

sin
?
tan
?
?

3sin
?

?
?0,
?
,(6分)
1?sin
?
?cos
?
?
?
?
2
x< br> (2)魔方增加的表面积为
S?8?

tan
?
由(1)得
S?
72sin
?
c os
?

(10分)

?
?0,
?

2
?
(1?sin
?
?cos
?
)
??
?
t?1, ?
?

t?sin
?
?cos
?
?2sin
?
?
?

?

?
?
?

S?
36
?
t
2
?1
?
(1?t)
2
?361?
2

3 6?1?
2
?108?722
(当且仅当
t?2

?
?
?
时等
t?1
?
2?1
?
?
??号成立),
答:当
?
?
?
时,魔方 增加的表面积最大为
108?722
.(15分)
?

17.(本 题满分15分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它
的上 部是底面圆半径为5m的圆锥,下部是底面圆半径为5m的圆柱,且该仓库的总高度为5m.经过预算,
制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元
m
2
、100元
m
2
,问当圆锥的高度为多少时,
该仓库的侧面总造价(单位:元)最少?



17.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.
π
,解:(法一)设圆锥母线与底面所成角为
?
,且
?
?0,< br>(2分)
4
?
?
则该仓库的侧面总造价
y?
?2π?5?5(1?tan
?
)
?
?100?
?
1?2π?5?
5
?
?400

?
cos
??
?
2
?
?50π3+
2?sin
?
,(8分 )
cos
?
?
?
2sin
?
?1
??0

sin
?
?
1
,即
?
?
π
, 由
y
?
?50π
?
(13分)
??
6
2
?
cos
2
?
?
经检验得,当
?
?
π
时,侧面总造价
y
最小,此时圆锥的高 度为
53
m.(15分)
6
3
5
?
,(法二) 设圆锥的高为
x
m,且
x?
?
0,
(2分)
1
?2π?5?x
2
?25
?
?400
则该仓 库的侧面总造价
y?
?
2π?5?5(1?x)
?
?100?
?
?
2
?
??
?150π+10π2x
2
?25 ?x
,(8分)
?
?

y
?
?10π
?
2x
(13分)
?1?0
x?
53

2
3
x?25
?
经检验得,当
x?
53
时,侧面总造价
y
最小,此时圆锥的高度为< br>53
m.(15分)
3
3

3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN内,用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域(如图所示),已知
?A?120
?
,B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点.
(1) 若BC=a=20, 求储存区域面积的最大值;
(2) 若AB=AC=10,在折线
MB CN
内选一点
D
,使
BD?DC?20
,求四边形储存区域DBAC 的最大面
积.
解:(1)设
AB?x,AC?y,x?0,y?0.
< br>oo

20
2
?x
2
?y
2
?2x ycos120?2xy?2xycos120


20
2
20
2
.

xy??
o2o2?2cos1204sin60
1120
2
20
2
cos60
o
20
2
1003
ooo
?S?xysin120???2 sin60cos60???.
224sin
2
60
o
4sin60
o
4tan60
o
3


四边形DBAC 面积的最大值为
1003
,当且仅当x=y时取到.

3
(2) 由
DB?DC?20
,知点
D
在以
B

C
为焦点的椭圆上,

S
?ABC
?
13
?10?10?? 253


要使四边形
DBAC
面积最大,只需
?DBC< br>的面积最大,此
22
时点
D

BC
的距离最大
,

D
必为椭圆短轴顶点.由
BC?103
,得短半轴长
b?5,S
?BCD
面积的
最大值为
1
?103?5?253.
2
因此,四边形
ACDB
面积的最大值为
503


3.某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为2m.
(1)过点
P的一条直线与走廊的外侧两边交于
A,B
两点,且与走廊的一边的夹角

?
(0?
?
?
?
2
)
,将线段
AB
的长度
l
表示为
?
的函数;
(2)一根长度为5m的铁棒能否水 平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略
不计).
解:(1) 根据图得
l(
?
)?BP?AP?
22
?
?,
?< br>?(0,).

sin
?
cos
?
2
(2) 铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下:
l
?
(
?
)?(
22
)
?
?()
?

sin
?
cos?
0?sin
?
?2?cos
?
0?cos
?
?2?sin
?
2(sin
3
?
?cos
3
?)
?.

??
22
22
sin
?
co s
?
sin
?
cos
?

l
?
(
?
)?0
得,
?
?

0?
?
?< br>当
?
4

?
4
时,
l
?
(
?
)?0,l(
?
)
为减函数;
时,
l
?
(
?
)?0,l(
?
)
为增函数;
时,
l(
?
)
有最小值
42

?
4
?
?
?
?
2
所以当
?
?
?< br>4
因为
42?5
,所以铁棒能水平通过该直角走廊.

19.(本小题满分16分)
如图一块长方形区域ABCD,AD=2(
km
),AB=1(
km
).在边AD的中点O处,有一个可转动的
探照灯,其照射角∠ EOF始终为
π
,设∠AOE=α,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.
4


(1)当0≤α<
(2)当0≤α≤
π
时,写出S关于α的函数表达式;
2
π
时,求S的最大值.
4
(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来 回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略
OE在OA及OC反向旋转时所用时间 ),且转动的角速度大小一定,
设AB边上有一点G,且∠AOG=
π
,求点G在“一 个来回”中,
6
被照到的时间.






19.解:(1)过O作OH⊥BC,H为垂足.
①当0≤α≤
π
4
时,
E在边AB上,F在线段BH上(如图①),
此时,AE=
tan
?
,FH=
tan(
π
4
?
?
)
,… 2分 ∴S=S
正方形
OABH
-S

OAE
-S

OHF


1?
1
2
tan
?
?
1
2
tan(
π
4
?
?
)
. ………… 4分
②当
π
4
<α<
π
2
时,
E在线段BH上,F在线段CH上(如图②),
此时,EH=
1
tan
?
,FH=
1
,… 6分
tan(


4
?
?
)
∴EF=< br>1
tan
?
?
1

tan(

4
?
?
)
?
∴S=S
1
?
?
1< br>△
OEF

2
?
?
1
?
?
tan
?
?

?
tan(

4
?< br>?
)
?
?
C

F

B

G

E

?
D

O

?

A

(第19题)
C

H

F

B

G

E

?
D

O

?

图①
A

C

F

H

E

B

G

?
D

O

?
图②
A


1ππ
?
1
1?tan
?
?tan(?
?
),(0≤
?
≤),
?
2244
?
?
?
综上所述,
S?
?
?
………… 8分
?
1
?
π11π
?
?
?
?
,(?
?
?).

?
2
?
tan
?
2
?
4
tan(?
?)
?
4?
?
?
(2)当0≤α≤
π
11π时,S=
1?tan
?
?tan(?
?
)

4
224
12
即S
?2?(1?tan
?
?)
. ……………… 10分
21?tan
?
∵0≤α≤
π
,∴0≤tan
?
≤1.即1≤1+
tan
?
≤2.
4
2
≥2
2

1?tan
?

1?tan
?
?
∴S≤2-
2


tan
?

2
-1时,S取得最大值为2-
2
. ……………… 12分
(3)在“一个来回”中,OE共转了2×
其中点G被照到时,共转了2×
3 π3π
=.
42
……………… 14分
ππ
=.
63
π
则“一个来回”中,点G被照到的时间为
9?
3
?2
(分钟).…… 16分

2

17.(本小题满分14分)
第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办.为营造优美的环境,举办方决定在某“葫芦”形花
坛中建喷泉.如图,该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成,两圆心
O
1

O
2
之间的距离为
10
米.
(1)如图甲,在花坛中 建矩形喷泉,四个顶点
A

B

C

D
均 在圆弧上,
O
1
O
2
?AB
于点
M
.设< br>?AO
2
Mq
,求矩形的宽
AB
为多少时,可使喷泉
ABCD
的面积最大;
(2)如图乙,在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用 ,则矩形喷泉变为两个全等的等腰
三角形,其中
NA?NB

NO
2
?4
米.若
?AO
2
M







C
(第17题图甲)

pp
q?[,]
,求喷泉的面积的取值范围.
64
A





D
A
D
θ

O
1

O
2

M
B
O
1

C


N
O
2

θ

M
(第17题图乙)








B




17.(1)在直角
ΔAO
2
M
中,
AM?10sin
?

O
2
M?10cos
?
,则
AD?20cos
?
?10

所以矩形
A BCD
的面积
S?20sin
?
(20cos
?
?10)? 200(2sin
?
cos
?
?sin
?
)
,…… …4分

f(
?
)?2sin
?
cos
?
?sin
?

0p

3

f' (
?
)?2cos2
?
?cos
?
?4cos
2< br>?
?cos
?
?2

p

f'(
?
)?0
,得
cos
?
?
33?1
.设
c os
?
0
?
33?1
,且
00
?,列表如下:
88
3
?

f'(
?
)

f(
?
)

?
0,
?
0
?

?

?
0

0
极大值
(?
0
,
?
)

3
?

↗ ↘
所以当
?
?
?
0
,即
AB?530?233
时,矩形
ABCD
的面积最大. ………………10分
2
(2)由(1)易得,喷泉的面积
S?20sin
?
(10cos
?
?4)?100sin2
?
?80sin
?

pp< br>pp

q?[,]
知,
2q?[,]
,所以函数
g(
?
)?100sin2
?
?80sin
?
是单调增函数,
32
64
所以
S?[503?40,100?402]
. ………………………………13分
答:(1)矩形的宽
AB?
530?233
(米)时,可使喷泉
ABCD
的面积最大;
2
(2)喷泉的面积的取值范 围是
[503?40,100?402]
(单位:平方米). ……14分





17. (本小题满分14分)
如图,某生态园 将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园,种植桃树,已知角A为120°,AB,
AC的长度 均大于200米.现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长为200米,如何围可使
三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,
造价均为每平方米100元.若围围墙用了2 0000元,
问如何围可使竹篱笆用料最省?


B
(第17题)
A
Q
P
C



17.解 设
AP?x
米,
AQ?y
米.
(1)则
x?y?200

?APQ
的面积
S?
1
2
xysin120??
3
4
xy
. …………………………………………………………3分
∴S

3x?y
2
()
?25003

42
当且仅当
x?y?100
时取“=”. …………………………………………………………6分
(注:不写“=”成立条件扣1分)
(2)由题意得
100?(1?x?1.5?y)?20000
,即
x?1.5y?2 00
. …………………8分
要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ最短,所以
22
PQ
2
?x
2
?y
2
?2xycos120?
?x?y?xy

?(200?1.5y)
2
?y
2
?(200?1.5y)y

?1.75y
2
?400y?40000
0?y?

y?
400
) ………………………………………11分
3
20021
800200
时,< br>PQ
有最小值,此时
x?
. …………………………13分
7
77
答:(1)当
AP?AQ?100
米时,三角形地块APQ的面积最大为
25003
平方米;
(2)当
AP?

18.(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中. 为了治污,根据环保部门的建议,现决定在
渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投 放
a(1?a?4
,且
a?R)
个单位的药剂,它
在水中释放的浓度
y
(克升)随着时间
x
(天)变化的函数关系式近似为
y?a?f( x)
,其中
200800

,AQ?
米时,可使竹篱笆用料最省.… …………………… 14分
77
?
16
?1(0?x?4)
??
8?x
.
f(x)?
?
?
5?
1
x(4?x?10)
?
?2
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂 在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于4(克升)时,它才能起到有效治污的作用.
(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?
(2)若第一次投放2个单 位的药剂,6天后再投放
a
个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治
污,试 求
a
的最小值(精确到0.1,参考数据:
2
取1.4).


?
64
?4(0?x?4)
?
18.解:(1)因为
a?4
,所以
y?
?
8?x
…………………………………………………1分

?
?
20?2x(4?x?10)
则当
0?x?4
时,由
64
?4?4
,解得
x?0
,所以此时
0?x?4
…………………………………… 3分
8?x

4?x?10
时, 由
20?2x?4
,解得
x?8
,所以此时
4?x?8
…… …………………………………5分
综合,得
0?x?8
,若一次投放4个单位的制剂 ,则有效治污时间可达8天
………………………… 6分

(2)当
6?x? 10
时,
y?2?(5?
116
x)?a(?1)
…………………… ………………………9分
28?(x?6)
=
10?x?
16a16a?a
=
(14?x)??a?4
,因为
14?x?[4,8]
, 而
1?a?4
,
14?x14?x
所以
4a?[4,8]
,故当且仅当
14?x?4a
时,y有最小值为
8a?a?4
………………………12分

8a?a?4?4
,解得
24?162?a? 4
,所以
a
的最小值为
24?162?1.6
………………14分

17.(本小题满分14分)
已知 A、B两地相距
2R
,以A B为直径作一个半圆,在半圆上取一点C,连接AC、BC,在三角形
ABC内种草坪(如图),M、N 分别为弧AC、弧BC的中点,在三角形AMC、三角形BNC上种花,其余
是空地.设花坛的面积为< br>S
1
,草坪的面积为
S
2
,取
?ABC?
?

(1) 用
?
及R表示
S
1

S
2

(2) 求


17.(1)因为
?ABC?
?
, 则
AC?2Rsin
?
,BC?2Rcos
?


S
2
?
S
1
的最小值.
S
2
1
AC?BC?2R
2
sin
?
cos
?
?R
2
sin2
?
.………………………………………3分
2
设AB的中点为O,连MO、NO,则
MO?AC,NO?BC

易得三角形AMC的面积为
Rsin
?
(1?cos
?
)
,三角形BNC的面积为
Rcos
?
(1?sin
?
)

22

S
1
?
Rsin
?
(1?cos
?
)
+
Rsin
?
(1?cos
?
)
22

?R(sin
?
?cos
??2sin
?
cos
?
)

2
S
1
R
2
(sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
)sin
?
?cos
?
(2)∵
???1

2
S
2
2Rsin
?
cos
?
2sin
?
cos
?
2

sin
??cos
?
?t?(1,2]
,则
2sin
?
cos< br>?
?t?1



S
S
1
t 1
?
2
?1??1
.∴
1
的最小值为
2?1

1
S
2
S
2
t?1
t?
t

17.(本小题满分14分)
据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比, 与到污染源距离的平方成反比,比例
常数为
k
(k?0)
.现已知相距18< br>km
的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为
a,b
,它们连
线上任意一点C处的污染指数
y
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
AC?x
km
).
(1)试将
y
表示为
x
的函数;
(2)若
a?1
,且
x?6
时,
y
取得最小值,试 求
b
的值.
17.解:(1)设点C受A污染源污染程度为
kb
k a
,点C受B污染源污染程度为,其中
k
为比例系
(18?x)
2< br>x
2
数,且
k?0
. ……………………………………………………………………4分
从而点C处受污染程度
y?
kakb
?
. …………………………………………6分
x
2
(18?x)
2
(2 )因为
a?1
,所以,
y?
kkb
, ……………………………8分
?
x
2
(18?x)
2
y< br>'
?k[
18
?22b
'
y?0
x?
,令, 得, ……………………………12分
?]
33
3
x(18?x)
1?b
又此时
x?6
,解得
b?8
,经验 证符合题意.
所以,污染源B的污染强度
b
的值为8. ……………………………14分




19.一走廊拐角处的横 截面如图所示,已知内壁
FG
和外壁
BC
都是半径为
1m
的 四分之一圆弧,
AB

DC
分别与圆弧
BC
相切于
B

C
两点,
EF

AB

GH

CD
,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是
1m

(1)若水平放 置的木棒
MN
的两个端点
M,N
分别在外壁
CD

AB
上,且木棒与内壁圆弧相切于点
P
.设
?CMN?
?
( rad)
,试用
?
表示木棒
MN
的长度
f(
?)

(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.
M
C
D

?

1m






1m
N
F
Q
B
P
G
H
1m
A
1m
E





19.(1)如图,设圆弧
FG
所在 的圆的圆心为
Q
,过
Q
点作
CD
垂线,垂足为点
T
,且交
MN
或其延长线与

S
,并连接
PQ
,再过
N
点作
TQ
的垂线,垂足为
W


Rt?NWS
中,因为
NW?2

?SNW?
?

所以
NS?
2

cos
?
B
C
T
M
?

D
1m
因为
MN
与圆弧
FG
切于点
P
,所以
PQ?MN

Rt?QPS
,因为
PQ?1

?PQS?
?

所以
QS?
P
S
G
Q
W
H
1m
1
1

QT?QS?2?

cos
?
cos
?
①若
S
在线段
TG
上,则
TS ?QT?QS


Rt?STM
中,
MS?
N
F
TSQT?QS

?
sin
?
sin
?
QT?QS

sin
?
A
1m
因此
MN?NS?MS
?NS?
1m
E
②若
S
在线段
GT
的延长线上,则
TS?QS?QT


Rt?STM
中,
MS?
TSQS?QT
?

sin
?
sin
?
QS?QTQT?QS
?NS?

sin
?
sin
?
因此
MN?NS?MS
?NS?
f(
?
)?MN
?NS?
QT?QS
221
??( ?)

sin
?
cos
?
sin
?
sin
?
cos
?
?
2(sin
?
?cos
?< br>)?1?
(0?
?
?)
.………………………………………8分 sin
?
cos
?
2
t
2
?1
(2) 设
sin
?
?cos
?
?t(1?t?2)
,则
s in
?
cos
?
?

2
因此
f(
?
)?g(t)?
4t?2

2
t?1
4(t
2
?t?1)
因为
g
?
(t)??
,又
1?t?2
,所以
g
?
(t)?0
恒成立,
22
(t?1)
因此函数
g(t)?
4t?2

t?(1,2]
是减函数,所以
g(t)
min
?g(2)?42? 2

2
t?1

MN
min
?42?2

答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为
42?2



17.(本小题满分14分)
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进
行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求
用栏栅隔开(栏栅要求在直线上),公共设施边界为曲线
f(x)?1?ax
2
(a?0)
的一部分,栏栅与矩形区域的边界交
于点M、N,切曲线于点P,设
P(t,f(t))

(1)将
?OMN
(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t);
(2)若
t?
1
,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
2
17.解:(Ⅰ)
y
?
??2ax
,直线
MN< br>的斜率为
?2at

?
直线
MN
的方程为
y?(1?at
2
)??2at(x?t)

1?at
2
1 ?at
2
?2at
2
1?at
2
1?at
2

y?0,

x?

?M(?t??,0)

2at2at2at2at

x?0
,得
y?1?at?2at?1?at, ?N(0,1?at)
,
2222
11?at
2< br>(1?at
2
)
2
2
??MON
的面积
S( t)??
,
(1?at)?
22at4at
3a
2< br>t
4
?2at
2
?1(at
2
?1)(3at
2
?1)
(Ⅱ)
S
?
(t)?
,
?
4 at
2
4at
2
因为
a?0,t?0
,由
S
?
(t)?0
,得
3at?1?0,得t?
2
2
1
,
3a

3at?1?0,即t?
2
1
时,
S
?
(t)?0
,
3a
11
时,
S
?
(t)?0
?当t?时,S(t)有最小值
.
3a 3a

3at?1?0,即0?t?
已知在
t?
114
1< br>处,
S(t)取得最小值
,故有
?,?a?

2
3
3a
2
41
,t?
时,
S(t)
min
32
故当
a?
41
(1??)
2
134
?
2

?S()?
41
23
4??
32

17.(本小题 满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门
(该图为轴 对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长为6分米的材料弯折而成,BC边的长
为< br>2t
分米(
1?t?
3
);曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种: 曲线
C
1
是一段余弦曲线(在如图所示
2


的平面直角 坐标系中,其解析式为
y?cosx?1
),此时记门的最高点O到BC边的距离为
h
1
?
t
?
;曲线
C
2
是一段抛物线,其焦 点到准线的距离为
9
,此时记门的最高点O到BC边的距离为
h
2
( t)

8
(1)试分别求函数
h
1
?
t
?

h
2
(t)
的表达式
(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时最大值是多少?
解:(1)
h
1
?
t
?
?4?t?cost
?
?1?t?
?
3
?
?

2
?
3
?
?
……………6分
2
?
4
h
2
?
t
?
?t
2
?t?3
9

?
?
1?t?
?
(2)由于
h
1?
(t)??1?sint
≤0
恒成立,
所以函数
h
1
(t)

?
1,
?
上单调递减,
2
因 此,
h
1
?
t
?
max
?h
1
?
1
?
?3?cos1
………10分


h
2
t
?
3
?
??
??
?
3
?
5
?h
??
?< br>, ………12分
max
?
2
?
2
Q3?cos1?3?cos

17.(本小题满分15分)
?
3
?
5
所以选用
C
2
………14分
2
某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖(如图),其中直
四 棱柱的高
AA
1
?
10m
,两底面
ABCD,A
1
B
1
C
1
D
1
是高为
2m
,面积 为
?
??
10m
2
的等腰梯形,且
?ADC?
?< br>?
0?
?
?
?
。若储水窖顶盖每平方
2
??
米的造价为
100
元,侧面每平方米的造价为
400
元,底部每平方 米的造
价为
500
元。
(1)试将储水窖的造价
y
表示为
?
的函数;
(2)该农 户如何设计储水窖,才能使得储水窖的造价最低,最低造价是多少元(取
3?1.73
)。 < br>17.【解析】(1)过
A

AE?DC
,垂足为
E
,则
AE?2

DE?
22
,AD?

tan
?
sin
?
4

tan
?

AB?x
,从而
CD?x?



14
?< br>?2?
?
x?x?
2tan
?
?
解得
x?5 ?
?
?
?10

?
2
2

CD?5?
, ················································· 4分
tan
?
tan
?

所以
y?
?< br>20?2AD?10
?
?400?
?
10AB
?
?5 00?
?
10CD
?
?100

22
?
2
???
?5000?
?
5??10005?
???
sin< br>?
tan
?
?
tan
?
???
1
? ?
?
??
2
?38000?8000
?
?0?
?< br>?
······································· 7分
???
·
2
??
sin
?
tan
???
?8000?8000?
(2)因为
y?38000?8000?
2 ?cos
?

sin
?
sin
2
?
?< br>?
2?cos
?
?
cos
?
8000
?1?2cos
?
?
?
所以
y
?
?8000 ················· 10分
2
sin
?
sin< br>2
?

y
?
?0
,则
?
?

?
?
?
0,

?
?
?
?
3

?
?
?
?
?
时,
y
?< br>?0
,此时函数
y
单调递减;
3
?
?
??
?
,
?
时,
y
?
?0
,此时函数
y
单调递增。
?
32
?
所以当
?
?
?< br>3
时,
y
min
?38000?80003?51840

o
答:当
?ADC?60
时,等价最低,最低造价为51840元。 ··················· 15分

18.
如图,矩形
A BCD
是一个观光区的平面示意图,建立平面直角坐标系,使顶点
A
在坐标原点
O

B

D
分别在
x
轴,
y
轴 上,
AD

3
百米,
AB

a
百米(3

a

4
)观光区中间叶形阴影部分
MN
是 一个人工湖,
它的左下方边缘曲线是函数≤
2
)的图象的一段.为了便于游客观光,拟 在观光区铺设一条
穿越该观光区的直路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段
MN< br>,并把该观
?
相切(切点记为
P

光区分为两部分,且直线左 下部分建设为花圃.设点
P

AD
的距离为
t

f

t
)表示花圃的面积.

(1)求花圃面积f(t)的表达式;
(2)求f(t)的最小值.





.某地拟模 仿图甲建造一座大型体育馆,其
设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲
第18题-甲
y
B
C
·
E

F
A O
D
x
第18题-乙

18


线
AB
是以点
E
为圆心的圆的一部分,其中
E(0,t)

0 ?t?25
,单位:米);曲线
BC
是抛物线
y??ax
2
?50(a?0)
的一部分;
CD?AD
,且
CD
恰好等于圆
E
的半径. 假定拟建体育馆的高
OB?50
米.
(1)若要求
CD?30
米,
AD?
245
米,求
t

a
的值;
(2)若要求体育馆侧面的最大宽度
DF
不超过
75
米, 求
a
的取值范围;
(3)若
a?
1
1
,求
AD
的最大值.(参考公式:若
f(x)?a?x
,则
f
?
(x)??

25
2a?x
解:(1)因为
CD?50?t?3 0
,解得
t?20
. …………… 2分
222
此时圆
E:x?(y?20)?30
,令
y?0
,得
AO?105

2
所以
OD ?AD?AO?245?105?145
,将点
C(145,30)
代入
y? ?ax?50(a?0)
中,
解得
a?
1
. ………… 4分
49
2
(2)因为圆
E
的半径为
50?t
,所以
CD?50?t
,在
y??ax?50
中令
y?50 ?t
,得
OD?
t

a
则由题意知
FD?50? t?
t
?75

t?(0,25]
恒成立, ………… 8分
a
所以
25
25
125
恒成立,而当t?
,即
t?25
时,
t?
取最小值10,
?t?
a
t
t
t

1
1
. ………… 10分
?10
,解得
a?
100
a
1
222
时,
OD?5t
,又圆
E
的方程为
x?(y?t)? (50?t)
,令
y?0
,得
x??1025?t

25< br>(3)当
a?
所以
AO?1025?t

从而
AD?f(t)?1025?t?5t(0?t?25)
, ………… 12分
又因为
f
?
(t)?5(?
215(25?t? 2t)
,令
f
?
(t)?0
,得
t?5
, ………… 14分
?)?
25?tt25?t?t

t?(0,5)
时,
f
?
(t)?0

f(t)
单调递增;当
t ?(5,25)
时,
f
?
(t)?0

f(t)
单 调递减,从而当
t?5

时,
f(t)
取最大值为25
5
.
答:当
t?5
米时,
AD
的最大值为25
5
米. …………16分
(说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分)
方 法二:令
t?25cos
?
,
?
?[0,
2
?2
)
,则
AD?1025?t?5t?10?5sin
?
?5? 5cos
?

1

2
?10?5sin
?
?5?5cos
?
?255sin(
?
?
?
)
, 其中
?
是锐角,且
tan
?
?


从而当
?
?
?
?
方法三:令
x?
?
2
时,AD
取得最大值为25
5
米.
22
25?t,y?t
,则题意相当于:已知
x?y?25(x?0,y?0)
,求
z?AD?5?(2x ?y)
22
的最大值.根据线性规划知识,当直线
y??2x?z
与圆弧x?y?25(x?0,y?0)
相切时,
z
取得最大
值为25
5
米.

19. 某园林公司计划在一块
O
为圆心,
R< br>(
R
为常数)为半径的半圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形
CMDC< br>区域用于观赏样板地,
?OCD
区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已 知观赏
样板地的成本是每平方米2元,花木的利润是每平方米8元,草皮的利润是每平方米3元. ?
?l
,分别用
?
,
l
表示弓形
CMDC的面积
S?f(
?
),S?g(l)
; (1) 设
?COD?
?
,
CMD
弓弓
(2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?
(参考公式:扇形面积公式
S?







19.(1)
S

?
1
2
1
R
?
?Rl
)
22
M
C
观赏样板地
D
花木地
A
草皮地
O
草皮地
B
1< br>2
R
?

S
?OCD
?
1
R
2
sin
?
,
2
2
1
S

?f(
?
)?R
2
(
?
?sin
?
).
2

QS

?
1
Rl

S
?OCD
?
1
R
2
sin
l
,
2
2R
1l
S

?g(l)?R(l?Rsin)< br>.
2R
(2)设总利润为
y
元,草皮利润为
y
1< br>元,花木地利润为
y
2
,观赏样板地成本为
y
3
< br>11
11
y
1
?3(
?
R
2
?lR )

y
2
?R
2
sin
?
?8

y
3
?R(l?Rsin
?
)?2
,
2222
1111
?y?y
1
?y
2
?y
3
?3(
?
R
2
?R
2
?
)?R
2
sin
?
?8?R
2
(
?
?sin
?
) ?2
.
2222

?
1
2
R[3
?
?(5
?
?10sin
?
)]
.
2

g(
?
)?5
?
?10sin
?

?
?(0,
?
)
.
g
'
(
?
)?5?10cos
?
, …………12分


1
?
上为减函数;
g
'
(
?
)?0,cos
?
?,g(
?
)在
?
?(0, )
23
1
?
上为增函数.
g
'
(
?
)?0,cos
?
?,g(
?
)在
?
? (,
?

23

?
?
?
3
时,< br>g(
?
)
取到最小值,此时总利润最大.
所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

18.(本小题满分16分)
?
时,总利润最大.
3
如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上 的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径
都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一 块顶点都在圆P上的多边形活动场地.
(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;
(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.






S

T

R

M

A

B

P

Q

C

D

M



P

Q

N

N

1
解:(1)如右图,过S作SH⊥RT于H,S
△RST
=
SH?RT

2
(第17题甲) (第17题乙)
由题意,△RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离;
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有RT≤4,SH≤2,当且仅当RT
切圆Q于P时 (如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.
1
此时,场地面积的最大值为S
△RST
=
?4?2
=4(km
2
).
2






T
N

S
P
Q
C
D
N

R
M
B
θ
P
Q
A
M
(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,
AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=
?
,则有

S
四边形ABCD
?
1
?2?2?sin
?
?2?
1
?2?2?sin(π?2
?
)?4(sin
?
?sin
?
cos
?
)0?
?
?
π

222

y?sin
?
?sin
?
cos
?
,则
y
?
?cos
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
(?sin
?
)
?2cos
2
?
?cos
?
?1
.若
y
?
? 0

?
?


cos
?
?
1

?
?
π
,又
?
?0,
π
时,
y< br>?
?0

?
?
π

π
时,
y
?
?0
, 函数
y?sin
?
?sin
?
cos
?

?
?
π

3
23
3 32
?
?
?
?
取到极大值也是最大值,

??
π
时,场地面积取得最大值为
33
(km
2
).
3

19.(本小题满分16分)
几名大学毕业生合作开设
3D< br>打印店,生产并销售某种
3D
产品.已知该店每月生产
的产品当月都能销售完 ,每件产品的生产成本为
34
元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销
售产 品的生产成本,第二部分是其它固定支出
20000
元.假设该产品的月销售量
t(x )
(件)与销售价格
x
?
(元件)(
x?N
)之间满足如下 关系:①当
34

x

60
时,
t(x)??a( x?5)?10050
;②当
2
,月利润=月销售总额-月总成本.
60< br>≤
x

70
时,
t(x)??100x?7600
. 设该店月利润为
M
(元)
(1)求
M
关于销售价格
x
的函数关系式;
(2)求该打印店月利润
M
的最大值及此时产品的销售价格. < br>19.解:(1)当
x?60
时,
t(60)?1600
,代入
t(x)??a(x?5)
2
?10050

解得
a?2
. ………………………………………………………………2分
2?
?
?
(?2 x?20x?10000)(x?34)?20000,34

x?60,x?
Ν,

M(x)?
?

?
?
?
( ?100x?7600)(x?34)?20000,60

x

70,x?
Ν
.
32?
?
?
?2x?48x?10680x?3600 00,34

x?60,x?
Ν
,

M(x)?
?
……………4分
2?
?100x?1100x?278400,60

x

70,x?
Ν
.
?
?
(注:写到 上一步,不扣分.)
(2)设
g(u)?(?2u
2
?20u?10000 )(u?34)?20000

34
≤u
?60

u?R< br>,则
g
?
(u)??6(u
2
?16u?1780)


g
?
(u)?0
,解得
u
1
?8?2461< br>(舍去),
u
2
?8?2461?(50,51)
.……………7分

34?u?50
时,
g
?
(u)?0

g(u)
单调递增;

51?u?60
时,
g
?
(u)?0

g(u)
单调递减. … ………………………………10分

x?Ν
?

M(50)?44000

M(5 1)?44226
,∴
M(x)
的最大值为
44226
.………12 分

60

x

70
时,
M(x)?1 00(?x
2
?110x?2584)?20000
单调递减,
故此时
M(x)
的最大值为
M(60)?216000
. … ………………………………14分
综上所述,当
x?51
时,月利润
M (x)
有最大值
44226
元. ……………………15分
答:该打 印店店月利润最大为
44226
元,此时产品的销售价格为
51
元件. ……16分

19.(本小题满分16分)如图是一幅招贴画的示意图,其中ABCD是边长 为
2a
的正方形,周围是四个全
等的弓形.已知O为正方形的中心,G为AD的中点, 点P在直线OG上,弧AD是以P为圆心、PA为半


径的圆的一部分,OG的延长线交弧 AD于点H。设弧AD的长为
l

?APH?
?
,
?
?(
(1)求
l
关于
?
的函数关系式;
(2)定义比值
?
3
?
,)

44
OP< br>为招贴画的优美系数,当优美系数最大时,招贴画最优美。证明:当角
?
满足:
l
?
?
?tan(
?
?)
时,招贴画最优美
4




18.(本小题满分16分)
一位幼儿园老师给班上
k(k?3)
个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为
a
0
,就先从别处抓2块
糖加入盒中,然后把盒内糖果的
1
分给第一个 小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的
2
1
分给第二个小朋友;…, 以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖
3
果的
1
分给第
n(n?1,2,3,Lk)
个小朋友.如果设分给第
n
个小 朋友后(未加入2块糖果前)盒内
n?1
剩下的糖果数为
a
n
.
(1) 当
k?3
,
a
0
?12
时,分别求
a
1
,a
2
,a
3
;
(2) 请用
a
n?1
表示
a
n
;令
b
n
?(n?1)a
n
,求数列
{b
n
}
的通项公式;
(3) 是否存在正整数
k(k?3)
和非负整数
a
0
,使得数列
{ a
n
}
(n?k)
成等差数列,如果存在,请求出所有的
k

a
0
,如果不存在,请说明理由.
20. 解:(1)当
k?3
,
a
0
?12
时,
a
1
?
?
a
0
?2
?
?
1
?a
0
?2
?
?7
,
2
a
2
?
?
a
1
?2
?
?
1
?
a
1
?2
?
?6
,
a
3
?
?
a< br>2
?2
?
?
1
?
a
2
?2
?
?6
.……3分
3
4
(2)由题意知:
a
n< br>?
?
a
n?1
?2
?
?
1
?
a
n?1
?2
?
?
n
?
a
n?1
?2
?
,……6分
n?1n?1

?
n?1
?
a
n
?n
?
a
n?1
?2
?
? na
n?1
?2n
,
?
b
n
?(n?1)an
,
?b
n
?b
n?1
?2n,
……7分 < br>?b
n
?b
n?1
?2n,
b
n?1
?b< br>n?2
?2n?2,
M
b
1
?b
0
?2.< br>


累加得
b
n
?b
0
?
?< br>2?2n
?
n?n
?
n?1
?
,……9分 又
b
2
0
?a
0
,
?
b
n
?n< br>?
n?1
?
?a
0
.……10分
(3)由
b
n
?n
?
n?1
?
?a
0
,得
a
n
?n?
a
0
,……12分
n?1
若存在正整 数
k(k?3)
和非负整数
a
0
,使得数列
{a
n
}
(n?k)
成等差数列,
1a
?
a
?

a
1
?a
3
?2a
2
,……14分 即(1?a
0
)?3?
0
?2
?
2?
0
?
?a
0
?0
,……15分
243
??

a
0
?0
时,
a
n
?n
,对任意正整数
k(k?3)
,有
{a
n
}
(n?k)
成等差数列. ……16分
[注:如果验证
a
0
,a
1
,a
2
不能成等差数列,不扣分]
【说明】本题主要考查 数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅
读理解能力、建模能力 、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有5名小朋友,每个小朋友
都分到糖果,求
a
0
的最小值.

17(本题满分16分,第1小题8分,第2小题8分)
如图,某机场建在一个海湾的半岛上 ,飞机跑道AB的长为4.5km,且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为
60
o
(海 岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC=43km.D为海湾一
侧 海岸线CT上的一点,设CD=x(km),点D对跑道AB的视角为
?

(1)将tan
?
表示为x的函数;
(2)求点D的位置,使
?
取得最大值.






17、(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分)
解:(1)过A分别作直线CD,BC的垂线,垂足分别为E,F.
由题知,AB=4.5, BC=43,∠ABF=90
o
-60
o
=30
o

F
99
所以CE=AF=4.5×sin30
o
=,BF=4.5 ×cos30
o
=3,
44
25
AE=CF=BC+BF=3.
4
因为CD=x(x>0),所以tan∠BDC=
BC43
=.
CDx
D
C
D
E
图2
B
A
F
A
θ
l
C
x
(第17题)
D
T
B
A
B
C
E
25
图1
3
99AE
4
253
当x>时,ED= x-,tan∠ADC===(如图1);
44ED9
4x-9
x-
4


99AE253
当0<x<时,ED=-x,tan∠ADC=-=(如图2).… ………………4分
44ED
4x-9
tan∠ADC-tan∠BDC
所以 tan
?
=tan∠ADB=tan(∠ADC-∠BDC)=
1+tan∠ADC ·tan∠BDC
25343

x
4x-9
93(x+4)
9
==,其中x>0且x≠.
4
25343
x(4x-9)+3001+·
x
4x-9
9CE93
当x=时tan
?
==, 符合上式.
4BC48
93(x+4)
所以tan
?
=( x>0)………………………………………………………8分
x(4x-9)+300



93(x+4)
93
(2)(方法一)tan
?
===,x>0.……………11分
400
x(4x-9)+300
4(x+4) +-41
x+4
400
因为4(x+4)+-41≥2
x+4
400
4(x+4)·-41=39,
x+4
400
当且仅当4(x+4)=,即x=6时取等号.
x+4
400
所以当x=6时,4(x+4)+-41取最小值39.
x+4
33
所以当x=6时,tan
?
取最大值. …………………………………………………13分
13
π
由于y=tanx在区间( 0,)上是增函数,所以当x=6时,
?
取最大值.
2
答:在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大.…14分
93(x+4)93(x+4)
(方法二)tan
?
=f(x)==
2

x(4x-9)+3004x-9x+300
93[( 4x
2
-9x+300)-(x+4)(8x-9)]363(x+14)(x-6)
f ?(x)==-,x>0.
(4x
2
-9x+300)
2
(4 x
2
-9x+300)
2
由f ?(x)=0得x=6. ……………………………………………………………………11分
当x∈(0,6)时,f ?(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(6,+∞)时,f ?(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)在x=6时取得极大值,也是最大值f(6)=
33
. …………………13分
13
π
由于y=tanx在区间(0,)上是增函数,所以当 x=6时,
?
取最大值.
2
答:在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大.…14分


17.(本小题满分14分)
提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流
速度v(单 位:千米小时)是车流密度x(单位:辆千米)的函数.当车流密度不超过50辆千米时,车流速度为
3 0千米小时.研究表明:当50<x≤200时,车流速度v与车流密度x满足
v(x)?40?
k
.当桥上的车
250?x
流密度达到200辆千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0千米小时.
(1)当0(2)当车流密度x为多大时,车流 量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:辆小时)f(x)=x·v(x)可
以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据
5?2.236

17.解:(1) 由题意:当0<x≤50时,v(x)=30;
当50≤x≤200时,由于
v(x)?40?
k

250?k
再由已知可知,当x=200时,v(0)=0,代入解得k=2000.
?
30,0?x?50
?
故函数v(x)的表达式为
v(x)?
?

2000
40?,50?x?200
?
250?x
?< br>?
30x,0?x?50
?
(2) 依题意并由(1)可得
f(x)?
?

2000x
40x?,50?x?200
?
250?x
?
当0≤x≤50时,f(x)=30x,当x=50时取最大值1500. 当50f(x)?
40x?
2000x
250?x
??40(250?x)?4 0?250?
500000
250?x
2000(250?x)?2000?250< br>250?x
500000
250?x

?12000?[40(250 ?x)?]?12000?
2
40(250?x)?
?12000?40005?12 000?4000?2.236?3056
取等号当且仅当
40(250?x)?
50 0000
,即
x?250?505?138
时,f(x)取最大值.
250?x
综上,当车流密度为138 辆千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3056辆小时.

17.(本小题满分14分)
第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥 中心所用地块的形状是大小一定的矩形
ABCD,
BC?a

CD?b
.a,b为常数且满足
b?a
.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形
地块
AEF
建游客休息区(点E,F分别在线段AB,AD上),且该直角三角形AEF的周长为< br>l

l?2b
),
F
A
D
如图.设
AE?x
,△
AEF
的面积为
S

(1)求
S
关于
x
的函数关系式;
(2)试确定点E的位置,使得直角三角形地

AEF
的面积
S
最大,并求出
S
的最大值.
B
a
C
E
b




17.解:(1)设
AF?y
,则
x?y?
l
2
?2lx
.………3分
x?y?l
,整理,得
y?
2(l?x)
2 2
1x(l
2
?2lx)

S?xy?

x?(0,b
?
. …………………………………4分
24(l?x)
?
l2x
2
?4 lx?l
2
2l2?2
??
2?2
?
(2)
S?? ?x?l?x?l
?
,x?(0,b
?

??
22
?
????
422
4
?
x?l
?
?
?x?l
?
???
'
?

b?
bl
?< br>2b?l
?
2?2

l
时,
S
'
?0

S

(0,b
?
递增,故当
x?b
时,
S
max
?
4
?
b?l
?
2

b?
?
2?2
??
2?2
?
2?2
'< br>上,,递增,在上,
S
'
?0

S

S?0
l
时,在
x?
?
0,
S
lx?l,b
?? ?
???
2
?
2
2
????
3?22
2< br>2?2
l
.
l
时,
S
max
?
4
2
减,故当
x?

17.

本小题满分15分< br>)
如图,有一块边长为
1
(百米)的正方形区域
ABCD
。在 点
A
处有一个可转动的
探照灯,其照射角
?PAQ
始终为
4 5
(其中点
P

Q
分别在边
BC

CD
上),设
?PAB?
?
,tan
?
?t
. (1)用
t
表示出
PQ
的长度,并探求
?CPQ
的周长
l
是否为定值;
(2)问探照灯照射在正方形
ABCD
内部区域的 面积
S
至多为多少(平方百米)?
解(1)
BP?t,CP?1?t,0?t?1.

D
Q
C
0
?DAQ?45
0
?
?
,DQ?tan(4 5
0
?
?
)?
CQ?1?
1?t2t
?.

1?t1?t
222
1?t
,

1?t
45
0

?

A
第19题图
P
B
2t
2
1?t
2
?PQ?CP?CQ?(1?t)?()?

1?t1?t
2t1?t
2
??1?t?1?t?2

?l ?CP?CQ?PQ?
1?t?
1?t1?t
(2)
S?S
正方形A BCD
?S
?ABP
?S
?ADQ
?1?1?
111?tt 11?t

?1?t??1??1???
221?t221?t
?1?
t12?(t?1)t121t1
???1???(?1)?1????

221?t221?t22t?1
?2?(
t?11
?)

2t?1
t?11t?11
?)?2?2??2?2

2t?12t ?1
?1?t?0
?S?2?(


(当且仅当
t?11
,即
t?2?1
等号成立)
?
2t?1
2
平方百米. 答:探照灯照射在正方形
ABCD
内部区域的面积
S
至多为
2?
17. 某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算, 该纪念品的年销
售量
x
万件与年促销费用
t
万元之间满足
3 ?x

t?1
成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有
1万件.已 知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当
工厂 把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)
(1)求出
x

t
所满足的关系式;
(2)请把该工厂2 010年的年利润
y
万元表示成促销费
t
万元的函数;
(3)试问:当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?
17. 解:( 1)设比例系数为
k(k?0)
.由题知,有
3?x?

t?0时,
x?1
,所以
3?1?
所以
x

t
的关系是
x?3?
k

t?1
k

k?2

0?1
2
(t?0)
.…………4分
t?1
(2)依据题 意,可知工厂生产
x
万件纪念品的生产成本为
(3?32x)
万元,促销费用 为
t
万元,则每件纪
t
?
t
?
?
3?32 x
?
3?32x
?150%?
?
元/件.于是,
y?x?< br>?
?150%?
?
?
?
3?32x
?
?t< br>,念品的定价为:
?
2x
?
2x
?
?
x?
x
进一步化简,得
y?
9932t
??(t?0)

2t?12
9932t
??(t?0)
万元.…8分
2t?12< br>因此,工厂2010年的年利润
y?
(3)由(2)知,
y?
9932 t
??(t?0)

2t?12
32t?1
?
32t?1< br>?
?
?50?2??42

?50?
??
2
?
t?12
?
t?1
当且仅当
t? 132
,即
t?7
时,取等号,
?
2t?1
所以,当20 10年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元.

18.(本小题满分16分)
某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其上部
分是以
AB
为直径的半圆,点
O
为圆心,下部分是以
AB
为 斜边的等腰直角三角形,
DE,DF
是两根支杆,


其中
AB? 2
米,
?EOA??FOB?2x(0?x?
?
4
)
. 现 在弧
EF
、线段
DE
与线段
DF
上装彩灯,在弧

BF
、线段
AD
与线段
BD
上装节能灯. 若每种灯的“心 悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,
AE

且彩灯的比例系数为
2k
,节能灯的比例系数为
k(k?0)
,假定该霓虹灯整体的“心悦效果”
y< br>是所有灯“心
悦效果”的和.
(1)试将
y
表示为
x
的函数;
(2)试确定当
x
取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?






18.解:(1)因为
?EOA??F OB?2x
,所以弧EF、AE、BF的长
分别为
?
?4x,2x,2x
连接OD,则由OD=OE=OF=1,
?FOD??EOD?2x?
D
第18题
2x
E
F
A
O
B
?
2
,所以

DE?DF?1?1?2cos(2x?
?
2
)?2?2sin2x?2(sinx?cosx)
…………6分
所以
y?2k(22(sinx?cosx)?
?
?4x)?k(22?4x)

?2k(22(sinx?cosx)?2x?2?
?
)
………………… ………………9分
(2)因为由
y
?
?4k(2(cosx?sinx)? 1)?0
…………11分
解得
cos(x?
又当
x?(0,

x?(
?
1
?
)?
,即
x?
………………13分
4212
)
时,
y
?
?0
, 所以此时y在
(0,
?
12
?
12
)
上单调递增;
,)
时,
y
?
?0
,所以此时y在
(,)
上单调递减.
124124
??
?
12
??
故当
x?

时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16分
17.(本小题满分14分)
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格
x
(单位:元千克)
a
满足关系式y=+10( x-6)
2
,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元千克时,每日可售
x- 3
出该商品11千克.


(1)求a的值;
(2)若该商品的成品为3元千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
a
17. 解:(1)由题设知x=5时y=11,则11=+10(5-6)
2
,解得a=2. 5-3
2
(2)由(1)知该商品每日的销售量y=+10(x-6)
2
,所以商场每日销售该商品所获得的利润为
x-3
2
f(x)=(x-3) [+10(x-6)
2
]=2+10(x-3) (x-6)
2
,3<x<6. ………………6分
x-3
对函数f(x)求导,得f ′(x)=10[(x-6)
2
+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).
令f ′(x)=0及3<x<6,解得x=4. ………………10分
当3<x<4时,f ′(x)>0,当4<x<6时,f ′(x)<0,于是 有函数f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,
所以当x=4时函数f(x)取得最大值f (4)=42. ………………13分
答:当销售价格x=4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.


15.(本小题满分14分)
如图,摩天轮的半径为50 m,点O距地面的高度为60 m,摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩
天轮上点P的起始位置在最低点处.
(1)试确定在时刻t(min)时点P距离地面的高度;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点P距离地面超过85 m?







15. (1)解:设点P离地面的距离为y,则可令 y=Asin(ωt+φ)+b.
由题设可知A=50,b=60. ………………2分
2π2π2π
又T==3,所以ω=,从而y=50sin(t+φ)+60. ………………4分
ω
33

π
再由题设知t=0时y=10,代 入y=50sin(t+φ)+60,得sinφ=-1,从而φ=-.
32

因此,y=60-50cost (t≥0). ………………8分
3
2π2π1
(2)要使点P距离地面超过85 m,则有y=60-50cost>85,即cost<-.
332
2π2π4π
于是由三角函数基本性质推得<t<,即1<t<2. ………………12分
333
所以,在摩天轮转动的一圈内,点P距离地面超过85 m的时间有1分钟.



18.(本小题满分15分)
轮滑是穿 着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑
运动员通过助 跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线
CDE(抛物 线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所
在平面上 建立如图所示的直角坐标系,
x
轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1 ),点B(2,
0),单位:米.
(Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程;
(Ⅱ)若助 跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同
线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员 的飞行距离在4
到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台
最大高度的取 值范围?
(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)
18.(本小题满分15分)
2
解:(1)设助跑道所在的抛物线方程为
f (x)?a
0
x?b
0
x?c
0

y
4
A
D

C
B
O
2


x
E
?
c
0
?4,
?
依题意:
?
4a
0
?2b
0
?c
0
?0,
…………………3分
?
9a?3b?c?1,
00
?
0
解 得,
a
0
?1

b
0
??4

c
0
?4

∴助跑道所在的抛物线方程为
f(x)?x?4x?4
. …………………7分
(2)设飞行轨迹所在抛物线为
g(x)?ax?bx?c
(< br>a?0
),
依题意:
?
2
2
?
f(3)? g(3),
?
9a?3b?c?1,
?
b?2?6a,

?
解得
?
…………………9分
?
f'(3)?g'(3),
?
6a?b?2,
?
c?9a?5,
2

g(x)?ax? (2?6a)x?9a?5?a(x?

g(x)?1
得,
(x?

x?
3a?1
2
1
)?1?

aa
3a ?1
2
1
3a?112
??3?
,…11分
)?
2
,∵
a?0
,∴
x?
aaa
a
a
13a?1
时,
g(x)
有最大值为
1?

a
a
则运动员的飞行距离
d?3?
22
?3??
, ………………13分
aa
11
?1??

aa
飞行过程 中距离平台最大高度
h?1?
依题意,
4??
21
?6
,得
2???3

aa


即飞行过程中距离平台最大高度的取值范 围为在2米到3米之间.………………15分

17.(本小题满分14分)
某公司有价值
a
万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而 提高
产品的附加值.改造需要投入,假设附加值
y
(万元)与技术改造投入
x
(万元)之间的关系满足:①
y

(a?x)

x
的乘积成正比;②当
x?
2
x
a
3
?t,
其中常数
t?(0,2]
. 时,
y?a
;③
0?
2(a?x)2
(1)设
y?f(x)
,求函数
f(x)
的解析式与定义域;
(2)求出附加值
y
的最大值,并求此时的技术改造投入
x
ka
3
a
33
解析:(1)
y

k(a?x) x
,由
x
=时,
y

a
得=
a

k
=8,
8
2
2

y

8(a ?x)x
,又0≤
2
x
2at

t
,∴0≤
x


2(a?x)
2t?1
f(x)

8ax
2
?8x
3
其定义域为[0,
2
2at
].
2t?1
2a

3
(2)
f
?
(x)
16ax?24x

?8x(3x?2a)
,令
f
?
(x)
=0,则
x
=0或
x


x
∈(0,
2a2a
)时,
f
?
(x)
>0,当
x
∈(,+∞)时,
f
?
(x)
<0,
33
2a2a
)上单调增,在(,+

)上单调减,

33
f(x)
在(
0




2 a
2at2at2at

,即
0

t
≤1
时,
f(x)
在(
0
,)上单调增,故当
x
=时,

3
2t?12t?12t?1
32a
3
t
2
f(x )
取极大值
f(x)
max


3
(2t?1)< br>②

2a
2at
2a2a
2at
<即
1
t
≤2
时,
f(x)
在(
0
,)上单调增, 在(,)上单调减

333
2t?12t?1
3
2a
32a

故当x
=时,
f(x)
取极大值
f(x)
max

3
27
由于
f(x)
在给定区间上只有一个极大点,故此极大值即为所求的最 大值.


17.(本小题满分14分)
如图,两座建筑物
AB, CD
的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9
cm
和15
cm
,从建筑物
AB
的顶部
A
看建筑物
CD
的视角
?CAD?45?
.
(1) 求
BC
的长度;
(2) 在线段
BC
上取一点
P(

P
与点
B,C
不重合),从点
P
看这两座建筑物的视角分别为


?A PB?
?
,?DPC?
?
,
问点
P
在何处时,?
?
?
最小?









17.⑴作
AE?
CD
,垂足为
E
,则
CE?9

DE?6
,设
BC?x


tan?CAD?tan(?CAE+?DAE)?
D

A

B

?

?

P

第17题图
C

tan?CAE+tan?DAE
…………………2分
1?tan?CAE?tan ?DAE
96
+
xx
?1
,化简得
x
2
? 15x?54?0
,解之得,
x?18

x??3
(舍)
?
96
1??
xx
答:
BC
的长度为
18m
.………………………………………………………………6分
⑵设
BP?t
,则
CP?18?t(0?t?18)

9 15
+
162+6t6(27+t)
tan(
?
+
?
)?
t18?t
?
2
?
2
.………………………8分 < br>915
?t+18t?135?t+18t?135
1??
t18?t
t
2
+54t?27?23
27+t

f(t)?
2

f
?
(t)?
2
,令
f
?
(t)?0
,因为
0?t?18
,得
t?156?27

2
( t?18t+135)
?t+18t?135

t?(0,156?27)
时 ,
f
?
(t)?0

f(t)
是减函数;当
t?( 156?27,18)
时,
f
?
(t)?0

f(t)
是增函数,
所以 ,当
t?156?27
时,
f(t)
取得最小值,即
tan(
?
+
?
)
取得最小值,………12分
?
因为
? t
2
+18t?135?0
恒成立,所以
f(t)?0
,所以
tan(
?
+
?
)?0

?
+
?
?(,?)

2
?
因为
y?tanx

(,? )
上是增函数,所以当
t?156?27
时,
?
+
?
取得最小值.
2
答:当
BP

(156?27)m
时,
?
+
?
取得最小值. ……………………………14分

17.(本小题满分14分)
图1是某斜拉式大桥图片,为了了解桥的一些结构情况,学校数学兴趣小组将大桥的结构进
行 了简化,取其部分可抽象成图2所示的模型,其中桥塔
AB

CD
与桥面AC
垂直,通过测量得

AB=50m

AC=50m
,当
P

AC
中点时,
?BPD=45
.


(1)求
CD
的长;
(2)试问
P在线段
AC
的何处时,
?BPD
达到最大.
D

B




图1
A

P

图2
C

17.(1)设
?BPA?
?

?DPC?
?

CD?h
,则
tan
?
?2

tan
?
?
h

25
h
25
??1
,解得
CD?h?75
.……………………………… ……6分 由题意得,
tan(
?
?
?
)?
h
1? 2?
25
2?
(2)设
AP?x(0?x?50)
,则
ta n
?
?
50
75

tan
?
?

x
50?x
5075
?
25(x?100)
?
ta n?BPD??tan(
?
?
?
)??
x50?x
?
2
,…………………………8分
5075
x?50x?50?75
1??
x50?x
Q
x
2
?50x?50?75?0

?
tan?BPD?0
,即
?BPD
为锐角,

t?x?100?(100,150)
,则
x?t?100
, < br>?
tan?BPD?
?
tan?BPD?
25t25t
?
22
(t?100)?50(t?100)?50?75t?250t?50?375
25251
??
,………………………12分
50?375
t?? 250
2t?
50?375
?250
230?10
t
t当且仅当
t?
50?375

t?2530?(100,150)

t
?
AP?2530?100
时,
?BPD
最大. …………………………………………………………14分

17.(本小题满分15分) < br>某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为
x
亿元,其中用于风景区改造 为
y
亿元。
该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件: ①每年用于风景区改造费用随


每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境 总费用至少
a
亿元,至多
b
亿元;③每年用于
风景区改造费用不得低 于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%。
(1)若
a ?2

b?2.5
,请你分析能否采用函数模型y=
(2)若
a
b
取正整数,并用函数模型y=
1

(x
3
?4x?16)
作为生态环境改造投资方案;
100
1
(x
3
?4x?16)
作为生态环境改造投资方案,请你求出
a

100
b
的取值.
17.解:(1)∵
y'?
∴函数y=

g( x)?
1
(3x
2
?4)?0

100
1
······································ 3分
(x
3
?4x?16)
是增函数,满足条件①。 ·
100
y116
?(x
2
?4?)

x100 x
116(x?2)(x
2
?2x?4)
(2x?
2
)?< br>则
g'(x)?

100
x50x
2

g '(x)?0
,得
x?2


x?2
时,
g'( x)?0

g(x)

(??,2)
上是减函数;
x?2
时,
g'(x)?0

g(x)

(2,??)
上是增函数,

a?2

b?2.5
,即
x?[ 2,2.5]

g(x)

[2,2.5]
上是增函数,
∴当
x?2
时,
g(x)
有最小值0.16=16%>15%, < br>当
x?2.5
时,
g(x)
有最大值0.1665=16.65%<2 2%,
∴能采用函数模型y=
(2)由(1)知
g(x)?
1
·· ··············· 9分
(x
3
?4x?16)
作为生态环境改造投资方案。 ·
100
y116
?(x
2
?4?)

x100 x
依题意,当
x?[a,b]

a

b?N*
时,
15%?g(x)?22%
恒成立;
下面求
15?x?4?
h(x)?x?4?
*
2
16
?22
的正整数解。
x
2
16
, ···························· ·················································· 12分
x
由(1)知
x?N

h(x)

(?? ,2)
上是减函数,在
(2,??)
上是增函数,
又由(1)知,在
x?0
时,
g(x)
min
?g(2)
,且
g(2)=16%∈[15%,22%],
?x?2
合条件,经枚举
g(1)

g(3)
∈[15%,22%],

g(4)?
[15%,22% ],可得
x?1

x?2

x?3


g(x)
单调性知
a?1,b?2

a?1,b?3

a? 2,b?3
均合题意。 ··················· 15分



17. 如图一块长方形区域
ABCD

AD?2

AB? 1
,在边
AD
的中点
O
处有一个可转动的探照灯,其
照射角
?EOF
始终为
(1)当
0?
?
?
(2)当
0?
?
?
?
,设
?AOE?
?
,探照灯照射在长 方形
ABCD
内部区域的面积为
S

4
F
CB?
2
时,求
S
关于
?
的函数关系式;
E
?
4
时,求
S
的最大值;
D
O
?
A
(3)若探照灯每
9
分钟旋转“一个来回”(
OE

OA
转到
OC
,再回到
OA
,称“一个来回”,忽略
OE

,且转动的角速度大小一定。设
AB
边上有一点
G
,且
?AOG?
OA

OC
处所用的时间)
“一个来回”中 被照到的时间。
17. (1)当
0?
?
?
?
6
,求点
G

?
4
时,
E

AB
上 ,
F

BC
上,
S?1?
11
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
?
?

22
?
4
?

?
4
?
?
??
2
时,
E

F
都在
BC
上,
S?
11
[?
2tan
?
1
]
……5分
3
?
??
tan
?
?
?
?
?4
?
(2)当
0?
?
?

tan
?< br>?
?
4
时,
S?1?
11
?
?
1< br>?
2
??
tan
?
?tan
?
?
?
?
?2?
?
1?tan
?
?
?
,
tan
?
?
?
0,1
?

22
?421?tan
?
???
2?1
时,
S
max
?2?2
…………………………10分
(3)在“一个来回”中,
OE
共转 动了
2?

G
被照到的时间为
t?9?(

17. (本小题满分14分)
3
?
3
?
??
,其中点
G
被照到时,
OE
共转动了
2??

?
63
42
?
3
?
3
?
)?2
分钟……………………14 分
2
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱,其轴截面如图所示,设三个圆 柱体积之和为
V?f(h)
.
(1)求
f(h)
的表达式,并写出
h
的取值范围是 ;
(2)求三个圆柱体积之和V的最大值;



17.(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为:
r
1
?1?h
2
,r
2
?1?(2h)
2
,r
3
?1?(3h)
2
. …
……………………………3分


它们的高均为
h
,所以体积和
3
222
?
V?f(h)??r
1
2
h??r
2
2
h??r< br>3
2
h
??
?
??(3h?14h)
6分
(1?h)?(1?4h)?(1?9h)h
??
1
因为
0?3h?1,所以
h
的取值范围是
(0,)
; ………………………………………7分
3
⑵ 由
f(h)
??(3h?14 h
3
)

f
?
(h)
??(3?42h
2
)?3?(1?14h
2
)
, ………………9分
h?(0,)
,所以
h?(0,
所以
f(h)

(0,
所以
h?
1
3
14141
)
时,
f
?
(h)?0

h?(,)
时,
f
?
(h)?0
.11分
14143
14141
)
上为增函数,在
(,)
上为减函数,
14143
141414?
时,
f(h)
取 最大值,
f(h)
的最大值为
f(
. ………13分
)?
147
14
14?
. …………………………………………14分
7
答:三个圆柱体积和
V
的最大值为

17.(本小题满分14分)
根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率
p
与日产量
?
2
*
,  1≤x≤9,x?N,
?
日废品量
? 15?x
x
(件)之间近似地满足关系式
p?
?
2
(日产品 废品率
?
×100%).已知
日产量
x?60
?
,  1 0≤x≤20,x?N
*
?
?
540
每生产一件正品可赢利2千元, 而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润
y?
日正品赢利额
?
日废< br>品亏损额)
(1)将该车间日利润
y
(千元)表示为日产量
x
(件)的函数;
(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?
17.(1)由题意可知,
?
24x?2x
2
,1 ≤x≤9,x ?N
*
,
?
?
15?x
y?2x(1?p)?px?
?
…………………………4分
3
?
5
x?
x
,  10≤x≤20,x?N
*< br>.
?
180
?
3
?
24x?2x
2
,1 ≤x≤9,
?
?
15?x
(2)考虑函数
f(x)?
?

3
?
5
x?
x
,  10≤x≤20,
?
180
?
3

1 ≤x≤9
时,
f'(x)? 2?
90
,令
f'(x)?0
,得
x?15?35
(15?x)
2

1≤x?15?35
时,
f'(x)?0,函数
f(x)

[1,15?35)
上单调增;

15?35?x≤9
时,
f'(x)?0
,函数
f(x)

(15?35,9]
上单调减.


所以当
x?15?35
时,
f(x)
取得极大值,也是最大值,

x
是整数,
f(8 )?
64
64

f(9)?9
,所以当
x?8
时,
f(x)
有最大值.……10分
7
7
5x
2
10 0?x
2

10≤x≤20
时,
f'(x)???≤0
,所 以函数
f(x)

[10,20]
上单调减,
36060
所以当
x?10
时,
f(x)
取得极大值
由于
100
,也是最大值.
9
10064
?
,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大.
97
答:当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是

100
千元.……14分
9
1
r
,残缺部分位
2
17.已知一块半径为
r
的残缺的半圆形材料
ABC
,O为半圆的 圆心,
OC?
于过点
C
的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角 形,有两种设计方案:如图
AB
上.要使截出 甲,以
BC
为斜边;如图乙 ,直角顶点
E
在线段
OC
上,且另一个顶点
D

?
的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积
的最大值.

17.如图甲,设
?DBC?
?


BD?
3r
3r
cos
?

DC?sin?
, ………………………………………………2分
2
2
所以
S
△BDC
?
当且仅当
?
?
9
29
rsin2
?
≤r
2

16
16
π
时取等号, ………………6分
4
3
此时点
D

BC
的距离为
r
,可以 保证点
D
在半圆形材料
ABC
内部,因此按照图甲方案得到直角三角形
4
的最大面积为




B
O C
B
O
E
C
(第17题甲图)
(第17题乙图)
9
2
r
. …………………………………………………7分
16
D
D
A
A





如图乙,设
?EOD?
?
,则
OE?rcos
?

DE?rsin
?

所以
S
△BDE
?

f(
?
)?
1
2
ππ
r(1?cos
?
)sin
?

?
?[,]
. …………………………………10分
32
2
1
2
1
r(1 ?cos
?
)sin
?
,则
f
?
(
?)?r
2
(1?cos
?
)(2cos
?
?1)

22
π
时,即点
E
与点
C
重合时,
3

?
?[,]
时,
f
?
(
?
)≤0
,所以
?
?
ππ
32
△BDE
的面积最大值 为
因为
33
2
r
. ………………………………………………………13分
8
33
2
9
2
r?r

816
33
2
r
.…………14分
8
所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,最大值为

17.如图 ,在海岸线
l
一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在
l
上设 立了A、B两个报名
点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作:先将 A、B两处游客分别乘
车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一
艘 游轮前往C岛。据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4
辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每 千米耗费12元。设∠
CDA?
?

每批游客从各自报名点到C岛所需运输成 本S元。
(1)写出S关于
?
的函数表达式,并指出
?
的取值范围;
(2)问中转点D距离A处多远时,S最小?
17.解: (1)由题在
?ACD< br>中,
?CAD?
由正弦定理知
?
3
,?ADC?
?< br>3
,AC?10,?ACD?
2
?
?
?

3
CD
sin
?
3
?
AD10
?
,得 < br>2
?
??
sin
?
sin
?
?
?< br>?
?
3
?
?
2
?
?
10sin?
?
?
?
53
?
3
?
CD?,AD?
sin
?
sin
?
2
?
?
603?40s in
?
?
?
?
?
3
?
?80
< br>?S?4AD?8BD?12CD?12CD?4AD?80?
sin
?
?20 3
3?cos
?
2
?
??
?
?60
??x?
?

sin
?
3
??
3


(2)S?203

cos
?
?
'
1?3cos
?< br>1
'
,令,得
S?0
cos
?
?
3
sin
2
?
111
''
时,
S?0
;当
cos
?
?
时,
S?0

?

cos?
?

S
取得最小值此时
333
sin
??
2253cos
?
?5sin
?
56
,AD??5?

3sin
?
4
20?56
千米时,运输成本
S
最小
4
?
中转站距
A





17.(本小题满分14分)
如图,在
C
城周边已有两条公路
l< br>1
,l
2
在点
O
处交汇.已知
OC?(2+6)km

?AOB?75?
,
?AOC?45?
.现规划在公路
l
1
,l
2

分别选择
A,B
两处为交汇点(异于点
O
)直接修建
一条 公路通过
C
城,设
OA?xkm

OB?ykm

(1)求
y
关于
x
的函数关系式并指出它的定义域;
(2)试确定点
A,B
的位置,使
?OAB
的面积最小.
B

C

l
1

O

l
2

第17题图
A



1 7.⑴因为
△AOC
的面积与
△BOC
的面积之和等于
△AOB的面积,
111
所以
x(2?6)sin45
o
?y(2?6 )sin30
o
?xysin75
o
,……………………………4分
222

216?2
x(2?6)?y(2?6)?xy

224
22x
(x?2)
.………………………………………………………………… ……6分
x?2
所以
y?
3?1x
2
16?2
o

△AOB
的面积
S?xysin75?
………………………8分
g
xy
=
2x?2
28
3?143?1
=
(x?2??4)≥g8?4(3?1)
. ……………12分
2x?22
当且仅当
x?4
时取等号,此时
y?42
. < br>故当
OA?4km

OB?42km
时,
?AOB
的 面积最小. ……………………………14分

18.(本小题满分16分)


如图,有一个长方形地块ABCD,边AB为2km,AD为4 km.,地块的一角是 湿地(图中阴影部分),其
边缘线AC是以直线AD为对称轴,以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设 一条过边缘线AC上一点P的直
线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越湿地, 且占地面积忽略不计).设点P到边AD的
距离为t(单位:km),△BEF的面积为S(单位:
km
).
(1)求S关于t的函数解析式,并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3
km
?并说明理由.






18.(1)如图,以
A< br>为坐标原点
O

AB
所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则
C
点坐标为
(2,4)

设边缘线
AC
所在抛物线的方程为
y=ax
2
, 把
(2,4)
代入,解得
a=1

所以抛物线的方程为
y =x
2
.…………………………………………………………3分
因为
y?
=2x
,……………………………………………………………………………4分
所以过
P(t,t
2
)
的切线
EF
方程为
y=2 tx-t
2
.………………………………………5分

y=0
,得
E(,0)
;令
x=2
,得
F(2,4t-t
2
)
,…………………………………7分
所以
S?
所以
S?
( 2)
S
?
?
2
2
t
2
1t
(2? )(4t?t
2
)
,…………………………………………………………8分
22
1
3
(t?8t
2
?16t)
,定义域为
(0 ,2]
.………………………………………9分
4
1
2
34
(3t?16t?16)?(t?4)(t?)
,……………………………………………12分
443
4

3
4
3

S
?(t)?0
,得
0?t?
所以
S
?
(t)
在< br>(0,)
上是增函数,在
(,2]
上是减函数,…………………………14分
所以
S

(0,2]
上有最大值
S()?
又因为< br>4
3
4
3
64

27
6417
?3??3

2727


所以不存在点
P
,使隔离出的△
BEF
面积
S
超过3km
2
.…………………………16分
y
C
D
F
P











18.(本小题满分16分)
在长为20 m,宽为16 m 米的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C),展厅入口位
于长方形的长边的中间.在展 厅一角B点处安装监控摄像头,使点B与圆C在同一水平面上,且展台
与入口都在摄像头水平监控范围内 (如图阴影所示).
(1)若圆盘半径为
25
m,求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值;
(2)若监控摄像头最大水平摄像视角为60°,求圆盘半径的最大值.
(注:水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角.)
【解】(1)解法一:如图,过B作圆C的切线BE,
切点为E,设圆C所在平面上入口中点为A,
连结CA,CE,CB,则
CE?BE

CA?AB

则摄像水平视角为∠ABE时,
水平摄像视角最小.在
Rt

ABC
中,
E
g

20 m
16 m
C
A
4
g

,…………………………………………2分
B
5
入口
22
AB?10

AC?8

t an?ABC?

Rt

BCE
中,
CE?25

BE?CB?CE?12

tan?CBE?
4
?
5
所以
tan?ABE?tan(?ABC??CBE)?
56
?1?
35< br>,
10
1?
4
?
5
56
(第18题)
5
6
,…4分
所以最小摄像视角的正切值为
1?
35
. ……………………………………8分
10
解法二:过B作圆C的切线BE,切点为E,
设圆C所在平面上入口中点为A,
连结CA,CE,CB,则
CE?BE

CA?AB

则摄像视角为∠ABE时,摄像视角最小.
在平面ABC内,以B为原点,BA为x轴
20 m
(10,)8
, 建立直角坐标系,则
C
设直线BE的方程为
y?kx

E
g

16 m
C
g

B
入口


由圆C与直线BE相切得,
25=
|10k?8|
k?1
2
, ………………………4分

解得,
k?1?
35
(其中
k? 1?
35
不合题意,舍去).

1010
答:所以最小摄像视角的正切值为
1?
35
. ………………………………8分
10
(2)解法一:当
?ABE
=
60?
时,若直线BE与圆C相切,则圆C的半径最大..
在平面ABC内,以B为坐标原点,BA为x轴建立平面直角坐标系,
所以直线BE方程为:
y?3x
,…………………………………………… 12分 < br>所以
CE?
103?8
(3)+1
2
?53-4
,则 圆C的最大半径为
53-4
m.………16分
解法二:设圆盘的最大半径为r,当
?ABE
=
60?
时,若直线BE与圆C相切,则
圆C的半径最大.

Rt

ABC
中,
AB?1 0

AC?8

tan?ABC?
4

5

Rt

BCE
中,
CE?r

BE?CB2
?CE
2
?164?r
2

tan?CBE?
r
, ……………………………………………………… 10分 < br>2
164?r
4
?
r
2
5
164?r
?3
,…………… 12分 由
tan?ABE?tan(?ABC??CBE)
得 ,
4r
1??
5
164?r
2

4164?r2
?5r?3(5164?r
2
?4r)

所以
( 53?4)164?r
2
?(5?43)r
,即
r
2
?91 ?403?(53?4)
2

所以,
r?53?4
. ……………………………………………………………15分
答:圆C的最大半径为
53-4
m. …………………………………………16分

17.(本小题满分14分)
某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛
O
附近.现派出四艘搜救船
A,B
,
C,D
,为方便联
络,船
A,B
始终在以小岛O为圆心,100海里为半径的圆周上,船
A,B
,
C,D
构成正方形编队展开搜索,
小岛
O
在正方形编队外(如图) .设小岛O到
AB
的距离为
x

?OAB?
?
, D船到小岛O的距离为
d
.
(1)请分别求
d
关于
?的函数关系式
d?f(
?
)
,并写出定义域;
(2)当
A,B
两艘船之间的距离是多少时?搜救范围最大(即
d
最大).















18.(本小题满分15分) 如图,某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道.某公园P位于商业中心北偏东
?
角(
0?
?
?
?
2

tan
?
?33
),且与商业中心O的距离为
21
公里处.现要经过公园P修一条直路 分
别与两条街道交汇于A、B两处.
⑴当AB沿正北方向时,试求商业中心到A、B两处的距离和;
⑵若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短,请确定A、B的最佳位置.










18⑴以O为原点,OA 所在直线为
x
轴建立坐标
B

P
O
y
A< br>系.设
P(m,n)


0?
?
?
?2

tan
?
?33

cos
?
?< br>7
321

sin
?
?

14
1 4
B

m?OP?sin
?
?
9
3
n?OP?cos
?
?
, ……4分
2
2
O
2
P
Ax
依题意,AB⊥OA,则OA=
9
,OB=2O A=9,商业中心到A、B两处的距
离和为13.5km.
⑵方法1:当AB与< br>x
轴不垂直时,设AB:
y?
3
?k(x?
9
),①
22

y?0
,得
x
A
??
3
?
9
;由题意,直线OB的方程为
y?
2k2
解①②联立的 方程组,得
x
B
?
3x
,②
9k?3
k?3

9k?3
2(k?3)
,∴
O B?
22
x
B
?y
B
?2x
B
?

y?OA?OB??
399k?3
,由
x
A
?0

x
B
?0
,得
k?3
,或
k?0

??
2k2
k?3
3?3(3k?3)(5k?3)
3
,令
y'?0
,得
k??

?
2
22
3
2k
2k(k?3)

y' ?
?83
(k?3)
2
?
3

k??
3< br>时,
y'?0

y
是减函数;当
??k?0
时,y'?0

y
是增函数,
3
3
∴当
k??< br>3
时,
y
有极小值为9km;当
k?
3
3
时 ,
y'?0

y
是减函数,结合⑴知
y?13.5
km.
综上所述,商业中心到A、B两处的距离和最短为9km,此时OA=6km,OB=3km,
方法2:如图,过P作PMOA交OB于M,PNOB交OA于N,设∠BAO=
?

△OPN中
PNONOP
,得PN=1,ON=4=PM,
??
o o?
sin(90?
?
)sin(
?
?30)sin120
PNNA
sin(120
?
?
?
)
△PNA中∠NPA=1 20°-
?
∴得
NA?

?
?
sin
?< br>sin
?
sin(120?
?
)


同理在△PMB中,
BMPM
4sin
?
,得,
?
MB?
?
sin
?
sin(120
?
?
?
)sin(120?
?
)
sin(120
?
?
?
)4sin
?

y?OA?OB???1?4?24?5?9

sin
?
sin(120
?
?
?
)
3sin(120
?
?
?
)4sin
?
?
sin (120?
?
)?2sin
?
tan
?
?
当且仅当 即即时取等号.
?
?
3
sin
?
sin(120?
?
)






B

M
O
N
P
A
3:若设点
B(m,3m)
,则AB :
9
2
,得
?
3
m?
9
3m?
2
2
y?x?
3
2
方法
A(
4
?4,0)< br>,
2m?1

OA?OB?2m?
44
?4?2m?1?1 ??4?9

2m?12m?1
当且仅当
2m?1?
3
4

m?
时取等号.
2
2m?1
21
?
, 方法4:设
A(n,0)
, AB:
y?0
?
x?n
,得
x
B
?
n?4 2
9
3
?n
?0
2
2
OA?OB?n?2x
B
?n?4?4?
当且仅当
n?4?
44
?1?(n?4)??5?9

n?4n?4
4

n?6
时取等号.
n?4
答:A选地址离商业中心6km,B离商业中心3km为最佳位置.

17.某公司生产的某批产品的销售量
P
万件(生产量与销售量相等)与促 销费用
x
万元满足
P?

0?x?a

a
为正常数).已知生产该批产品还需投入成本
6(P?
价格定为
(4?
x?2
(其
4
1
)
万元(不含促销费用),产品的销售
P
20
)
元/件.
P
(1)将该产品的利润
y
万元表示为促 销费用
x
万元的函数;


(2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
17.(本小题满分14分)
解:(1)由题意知,
y?(4?
201
)p?x?6(p?)
………………………… 3分
pp

P?
x?2
代入化简得:
4

y?19?
243
?x

0?x?a
). …………………………………… 5分
x?22
(2)
y?22?
3161 6
(?x?2)?22?3?(x?2)?10

2x?2x?2
当且仅当
16
?x?2
,即
x?2
时,上式取等号. ………………… 8分
x?2
243
243
?)

?x

y
?
?
(x?2)
2
2
x?22

a?2
时, 促销费用投入2万元时,厂家的利润最大; ………………… 9分
y?19?

x?2
时,
y
?
?0
,此时 函数
y

?
0,2
?
上单调递增,
所以当
a?2
时,函数
y

?
0,a
?
上单调递增, …………………………… 11分
所以
x?a
时,函数有最大值.
即促销费用投入
a
万元时,厂家的利润最大 . …………………………… 12分
综上,当
a?2
时, 促销费用投入2万元,厂家的利润最大;

a?2
时促销费用投入
a
万元,厂家的利润最大
.
……………
14



17.(本小题满分14分)
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积
为900 m
2
的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间 隔1m,
三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m
宽的通道,如图.设矩形温室的室内 长为
x
(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为
S
(m
2
).
...
(1)求
S
关于
x
的函数关系式;
(2)求
S
的最大值.







1
1
3
11
3
x
(?第17 题?)



17.解:(1)由题设,得
7200
?
900
?
S?
?
x?8
?
?
?2
?
??2x??916

x?
?
8,450
?
. ………………………6分
xx
??
(2)因为
8?x?450
,所 以
2x?
72007200
≥2
2x??240
, ……………………8分
xx
当且仅当
x?60
时等号成立. ………………………10分
从而
S
≤676
. ………………………12分
答:当矩形温室的室内长为60 m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为
676
m
2
. ………………………14分

17.如图,建立平面直角坐标系
xoy
,< br>x
轴在地平面上,
y
轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于
坐 标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
y?kx?
关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3. 2千米,试问它的横坐标
a
不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
1
(1?k
2
)x
2
(k?0)
表示的曲线上,其中k
与发射方向有
20

解:(1)在
y?kx?
11< br>(1?k
2
)x
2
(k?0)
中,令
y?0
,得
kx?(1?k
2
)x
2
=0

20
20
由实际意义和题设条件知
x>0,k>0


x=
20k2020
=?=10
,当且仅当
k=1
时取等 号。
2
1
1?k
?k
2
k
∴炮的最大射程是10千米。
(2)∵
a>0
,∴炮弹 可以击中目标等价于存在
k?0
,使
ka?
即关于
k
的方程
a
2
k
2
?20ak?a
2
?64=0
有正根。

?=?
?20a
?
?4a
2
a
2
?64?0

a?6

2
1
(1?k
2
)a
2
=3.2
成立,
20
??
此时,
k=
20a?< br>?
?20a
?
2
?4a
2
?
a
2< br>?64
?
2
2a
>0
(不考虑另一根)


∴当
a
不超过6千米时,炮弹可以击中目标。
(1)求炮的最大射程即求
y ?kx?
1
(1?k
2
)x
2
(k?0)

x
轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。
20
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。

17. 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立 平面
直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线
y?
12
49
x

O
A
2
y
P
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发
t
小时后,失事船
所在位置的横坐标为7t.
(1)当
t?0.5
时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向(求
?OAP
的正切值);
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
[解](1)
t?0.5< br>时,P的横坐标x
P
=
7t?
7
2
x
,代入抛物线方程
y?
12
49
x
2

中,得P的纵坐标y
P
=3. ……2分
由|AP|=
949
2
,得救援船速度的大小为
949
海里时. ……4分
7
由tan∠OAP=
3?
2
12
?
7
30
……6分
2
(2)设救援船的时速为
v
海里,经过
t小时追上失事船,此时位置为
(7t,12t)
.

vt?(7t)?(12t?12)
,整理得
v
2
?144(t
2
?
1
)?337
.……10分
t
2
因为
t
2
?
2
222
1
t
2
?2
,当且仅当
t
=1时等号成立,
2
所以
v?144?2?337?25
,即
v?25
.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分

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