2020高考应用题专题(含答案版)

2020届高三数学应用题专题
1. 经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场．据
测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(L)与速度v (kmh)的关系近似地满
100
＋23，0v
足u＝除燃油费 外，人工工资、车损等其他费用平均每小时为300
v
2
＋20，v>50.
500
元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．
(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；
(2) 卡车应该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？











2. 某城市受雾霾影响 严重，现欲在该城市中心
P
的两侧建造
A
，
B
两个空气净化 站（
A
，
P
，
B
三点共线），
A
，
B
两站对该城市的净化度分别为
a，
其中
a?(0，
1?a，1)
．已知对该城市总
净化效果为
A
，
B
两站对该城市 的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心
?
?
?
3a
P
到净化站距离成反比．若
AB?1
，且当
AP?
时，
A
站对该城市的净化效果为，
B
站对
43
该城市的净化效果为
1?a
．
（1）设
AP?x
，
x?(0，1)
，求A ，B两站对该城市的总净化效果
f(x)
；
2
（2）无论A，B两站建 在何处，若要求A，B两站对该城市的总净化效果至少达到，求
5
a
的取值集合．




3. 如图,直线
l
1
是某海岸 线，
l
2
是位于近海的虚拟线，
l
2
?l
1
于点P,点A,C在
l
2
上，AC的中
点为
O
，且
PA?AC?2km
.
（1）原计划开发一片以AC为一条对角线,周长为8 km的平行四边形水域ABCD,建深水养殖
场.求深水养殖场的最大面积;
（2）现因资金 充裕,计划扩大开发规模,开发如图五边形水域QABCD,建养殖场,其中ABCD是
周长为8 km的平行四边形,点Q在
l
1
上,且在点P的上方,
OQ?AD
,
?OCD?90?
. 养殖场
分两个区域,四边形QAOD区域内养殖浅水产品,其他 区域内养
殖深水产品,要求养殖浅水产品区域的面积最大.求点Q与点P
的距离.




1

4. 如图(1)是某水上 乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步
设计方案如下:如图(2)，自直 立于水面的空中平台CP的上端点P处分别向水池内的三个不
同方向建水滑道PA,PM,PB，水滑道 的下端点B,M,A在同一条直线上，CM = 10m,∠
BCA=120°，CM平分∠BCA，假 设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A均在过C且与PC
垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要 求
S
?PCB
?S
?PCA
?2S
?ACB
.
(1)求滑梯的高PC的最大值;
(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目 ，且为保证该项目的趣味性，设计
∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最 小值.




.



5.如图，已知
A
，
B
两镇分别位于东西湖岸
MN
的
A
处和湖中小岛的
B
处，点
C
在
A
的正
3
π
，现计划铺设一条电缆联通
A
，有
?BCN?
．
B
两镇．
44
两种方案供选择：①沿线段
AB
在水下铺设；②在湖 岸
MN
上设立一中转站
P
，先沿线段
AP
在地下铺设，再沿 线段
PB
在水下铺设．预算地下、水下的电缆修建费用分别为2万
km
、4万
km
．
B
（1）求
A
，
B
两镇间的距离；
（2）应该选择哪种方案，使总修建费用较低？
西方向
1
km处，经测量
tan?BAN?











N
P
(第17题)
C
A
M
2

江苏省如皋中学2019届高三数学应用题专题
400400400
?
100
＋23
?
＋300·1. 解：(1) 由题意，当0＜v≤50时，y＝7.5·u＋300·＝30·＝
?
v
?
100vv
123 000
＋690，
v
v
2
4004004003v
2
120 000
??
当v＞50时，y＝7.5·u＋300·＝30·
?
500
＋20?
＋300·
v
＝
50
＋
v
＋600，
100v
123 000
?
?
v
＋690，0＜
v
≤50，
所以
y
＝
?
3
v
120 000
?
?
50
＋
v
＋600，
v
＞50.2


(2) 当0＜v≤50时，y＝
123 000
＋690是单调减函数，
v
123 000
＋690＝3 150；
50
故v＝50时，y取得最小值y
min
＝
3v
2
120 000
当v＞50时，y＝＋＋600(v＞50)．
50v
3v120 000
3v
3
－3×10
6
由y′＝－＝＝0，得v＝100.
25v
2
25v
2
3v
2
120 000
当50＜v＜100时，y′＜0，函数y＝＋＋600单调递减；当v>100时，y′>0，
50v
3v
2
120 000
函数y＝＋＋600单调递增．
50v
3×100
2
120 000
所以当v＝100时，y取得最小值y
min
＝＋＋600＝2 400.由于3 150＞2
50100
400，所以当v＝100时，y取得最小值．
答：当卡车以100 kmh的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．

2
，求
a
的取值集合．
5
ka
解：（1）设A站 对城市的净化效果为
y
1
，比例系数为
k
1
，则
y
1
?
1
，
x
a
ka
3a1
由题意
x?
，
y
1
?
，即
?
1
， 所以
k
1
?
，…
3
3
434
4
1?a
设B站对P城市的净化效果为< br>y
2
，比例系数为
k
2
，则
y
2
? k
2
，
1?x
31
由
x?
，
y
2
?1?a
得
k
2
?

44
a1?a
?
所以A、B两站对该城市的总净化效果
f(x )?y
1
?y
2
?
，
x?(0，1)
；…6分
4x4(1?x)
1
（2）由题意得
f(x)≥
对任意的
x?(0，1)
恒成立，
2
2. 何处，若要求A，B两站对该城市的总净化效果至少达到
3

只要
x?(0，1)
时
f(x)
min
≥
即可； 又
1
2
a1?a1a1?a
??(?)(x?(1?x))

4x4(1?x)4x1?x
1a(1?x)(1?a)x
1a(1?x)(1?a)x1< br>?)

?(1?2a(1?a))

?(1?? )
≥(1?2
4x1?x
4x1?x4
1
a(1?x)(1?a)x
1
1
当且仅当即
?1?
则
f(x)
min?(1?2a(1?a))
，
?1
时等号成立，
?
xa
x1?x4
12919
又若
(1?2a(1?a))≥
，则
a
2
?a?≤0
，即< br>≤a≤
，
451001010
2
综上，无论A、B两站建在何处，若 要求A、B两站对P城市的总净化效果至少达到，
5
?
19
?
a< br>的取值集合为
?
,
?
． ………………………………14分
1010
??
3


4. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步
设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP的上端点P处分别向水池内的三个不
同方向 建水滑道PA,PM,PB，水滑道的下端点B,M,A在同一条直线上，CM = 10m,∠
BCA =120°，CM平分∠BCA，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A均在过C且与PC
垂直的 平面内，为了滑梯的安全性，设计要求
S
?PCB
?S
?PCA
?2 S
?ACB
.
(1)求滑梯的高PC的最大值;
(2)现在开发商考虑把 该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计
∠PBC=30°，求该滑梯装置( 即图(2)中的几何体)的体积最小值.
4

5

5.
．（1）过
B
作
MN
的垂线，垂足为
D
．
在
Rt△ABD
中，
tan?BAD?tan?BAN?
所以
AD ?
BD3
?
，
AD4
B
4
BD
，
3
BD
?1
，
CD
在
Rt△BCD
中，
tan?BCD?tan?BCN?
所以
CD?BD
．
N
D
41
则
AC?AD?CD?BD?BD?BD?1
，即
BD?3
，
33
所以
CD?3
，
AD?4
，
P
(第17题)
C
A
M
由勾股定理得，
AB?AD
2
?BD
2
?5
(km)．
所以
A< br>，
B
两镇间的距离为
5
km．……………………………………………4 分
（2）方案①：沿线段
AB
在水下铺设时，总修建费用为
5?4?20< br>(万元)．………6分
方案②：设
?BPD?
?
，则
??(
?
0
,)
，其中
?
0
??BAN
，
π
2
BD3BD3
，
BP?
，
??
tan
?
tan
?
sin
?
sin
?
3< br>所以
AP?4?DP?4?
．
tan
?
6122?cos< br>?
则总修建费用为
2AP?4BP?8?
．………8分
??8?6?
tan
?
sin
?
sin
?
2
sin?
?(2?cos
?
)cos
?
1?2cos
?
2?cos
?
令
f(
?
)?
，则
f'(
?
)?
，
?
sin
2
?
sin
2
?
sin
?
π
令
f'(
?
)?0
，得< br>?
?
，列表如下：
3
πππ
π

?

(
?
0
,)

(,)

332
3
f'(
?
)

0

?

?

f(
?
)

极小值
↘

↗

π
所以
f(
?
)
的最小值为
f()?3
．
3
所以方案②的总修建费用最小为
8?63
(万元)，此时
AP?4 ?3
．……12分
在
Rt△BDP
中，
DP?
而
8?63?20
，
所以应选择方案②，中转站
P
设在
A
的正西方向
(4?3)
km处，
总修建费用较低．…

总修建费用较低．…
6