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上海高三数学应用题汇编(修改)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 23:45
tags:高中数学应用题

北师大版高中数学必修二视频教学设计-高中数学期末考试如何备考

2020年10月5日发(作者:苗地)


高三数学应用题汇编
一、函数
1、甲厂以x千克小时的速度匀速生产某种产 品(生产条件要求
1?x?10
),每一小时可获
3
??
得的利润是
100
?
5x
?
1
?
?
元.
x
??
(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最
大利润.
3
?
3
???
(1) 生产该产品2小时的利润为
100< br>?
5x
?
1
?
?
?
2
?
2 00
?
5x
?
1
?
?
.
x
?< br>x
???
3
?
1
?
由题意,
200
?
5x
?
1
?
?
?
3000
,解得
x?3

x??
.
x
?
5
?

1?x?10
,所以
3?x?10
.
(2) 生产900千克该产品,所用的时间是
900
小时,
x
3
?
900
??
31
?
?
90000
?
?
2
??
5
?

1
?
x
?
10
. 获得的利润为
100
?
5x
?
1
?
?
?
xxxx
????

f(x)
??
31
??< br>5

1
?
x
?
10

x
2
x
2
1
?
11
?

f(x)
? ?
3
?
?
?
??
5
,当且仅当
x?6时取到最大值.
?
x6
?
12
最大利润为
90000
?
61
?
457500
元.
12
因此甲厂应以6千克小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.
< br>2、某企业参加
A
项目生产的工人为
1000
人,平均每人每年创造利 润
10
万元.根据现实的需
要,从
A
项目中调出
x
人参与
B
项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润
10
?
a?< br>万元(
a?0
),
A
项目余下的工人每人每年创造利润需要提高
0.2x%

(1)若要保证
A
项目余下的工人创造的年总利润不低于原来
1000
名工人创造的年总利润,
则最多调出多少人参加
B
项目从事 售后服务工作?
(2)在(1)的条件下,当从
A
项目调出的人数不能超过总人数的
40%
时,才能使得
A

目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调 出的工人所创造的年总利润,求实数
a
的取值范
围.
【解】(1)根据题意 可得,
?
1000?x
??
10?10?0.2x%
?
?< br>1000?10
……3分
?
?
3x
?
?
500
?
1


展开并整理得,
x?500x?0
……5分
解得
0?x?500
,最多调出的人数为
500
人……6分
(2)
?
2
?
0?x?500
,解得
0?x?400……7分
?
x?1000?40%
3x
??
10
?< br>a?
对于任意的
x?
?
0,400
?
恒成立……9分
?
?x?
?
1000?x
?
?
?
10?1 0?0.2x%
?

500
??
3x
2
?1000 ?10?20x?10x?2x
2
%

10ax?
50
x
2
?x?1000
对于任意的
x?
?
0,400
?
恒成立……10分 即
ax?
250

x?0
时,不等式显然成立;

0?x?400
时,
a?
x10001
?
250000
?
??1?
?
x?
?
?1
……11分
250x25 0
?
x
?
250000
,可知函数
f(x)
在区间
?
0,400
?
上是单调递减函数……12分
x
x100 0

f(x)
min
?f
?
400
?
?1 025
,故
??1?5.1
……13分
250x

0?a ?5.1
,所以实数
a
的取值范围是
0?a?5.1
……14分
令函数
f(x)?x?

3、如图所示,沿河有
A

B
两城镇,它们相距20千米,以前,两城
镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经 处理才能排放,两
城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污水处理厂(在两城镇之间
或其中一 城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送),
依据经验公式,建厂的费用为
f(m )?25?m
0.7
(万元),
m
表示
A
x
污水处理厂★
污水流量,铺设管道的费用(包括管道费)
g(x)?3.2x
(万元),
x
表示输送污水管道的长度(千米);
已知城镇
A
和 城镇
B
的污水流量分别为
m
1
?3

m
2
?5

A

B
两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米 ;假定:经管道运输
的污水流量不发生改变,污水经处理后直接排入河中;请解答下列
问题(结 果精确到0.1)
(1)若在城镇
A
和城镇
B
单独建厂,共需多少总费用?



B
2


(2)考虑联合 建厂可能节约总投资,设城镇
A
到拟建厂的距离为
x
千米,求联合建厂的总< br>费用
y

x
的函数关系式,并求
y
的取值范围;
[解] (1)分别单独建厂,共需总费用
y
1
?25?3
0.7
?25?5
0.7
?131.1
万元 ……………4分
(2)联合建厂,共需总费用
y?25?
?
3?5
?
?3 .2?x?3.220?x

0?x?20

所以
y
与< br>x
的函数关系式为
y?25?8

h
?
x
?
?
0.7
0.7
?3.2
?
2
x?20?x

0?x?20
)……8分
?
x?20?x

0?x?20

h
2
?
x
?
?20?2x
?
20?x
?
?20?2?< br>?
x?10
?
?100?
?
20,40
?
………10分
121.5?25?8
0.7
?3.2?20?y?25?8
0.7
?3.2?40?127.4

y
的取值范围为
?
121.5,127.4
?
. …………………………14分

4、如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告 牌CD,其中D为顶端,AC长
35米,CB长80米. 设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为
α

β
.

(1) 设计中CD是铅垂方向. 如要求
α?2β
,问CD的
长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2) 施工完成后,CD与铅垂方向有偏差. 现在实测得
α
C

β
D
α?38.12?

β?18.45?
,求CD的 长(结果精确
到0.01米).
解:(1) 记
CD?h
. 根据已知得
tanα?tan2β?0

h
h
hh
80
?
0

,所以
?
tanα?

tanβ?
2
35
3580
?
h
?
1
?
??
?
80
?
2
?< br>A B
解得
h?202?28.28
. 因此,CD的长至多约为28.28米.
(2) 在△ABD中,由已知,
α?β?56.57?

AB?115

BD
sinα
AB
sin(α
?
β)
由正弦定理得
?
,解得
BD?85.064
.
3


在 △BCD中,由余弦定理得
CD?BC?BD?2BC?CD?cosβ

解得
CD?26.93
. 所以,CD的长约为26.93米.

5、如图,
A,B,C
三地有直道相通,
AB?5
千米,
AC?3< br>千米,
BC?4
千米. 现甲、乙两
警员同时从
A
地出发匀速 前往
B
地,经过
t
小时,他们之间的距离为
f(t)
(单位 :千米). 甲
的路线是
AB
,速度为
5
千米小时,乙的路线是ACB
,速度为
8
千米小时. 乙到达
B
地后在
原地等待. 设
t?t
1
时,乙到达
C
地.


(1) 求
t
1

f(t
1
)
的值;
(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是
3
千米.
222
C


t
1
?t?1
时,求
f(t)
的表达式,并判断
f(t)

?
t
1
, 1
?

的最大值是否超过
3
?说明理由.
解:(1)
t
1
?
A

B

3
.
8
15
千米.
8
2分
记乙到
C
时甲所 在地为
D
,则
AD?
在△
ACD
中,
CD
2
?AC
2
?AD
2
?2AC?ADcosA

所以
f(t
1
)?CD?
3
41
(千米).
8
··················· 6分
3
7
(2) 甲到达
B
用时
1
小时;乙到达
C
用时小时,从
A< br>到
B
总用时小时.
8
8

t
1
?

4
37
?t?
时,
f(t)?(7?8t)
2< br>?(5?5t)
2
?2(7?8t)(5?5t)??25t
2
?42 t?18

5
88
7
?t?1
时,
f(t)?5?5t
.
8
37
?
t
?
,
88

7
?
t
?
1.
8
······ 10分
?
25t
2
?
42t
?
18,
?
?所以
f(t)
?
?
?
5
?
5t,
?< br>?
······ 11分
?
37
?
因为
f(t)

?
,
?
上的最大值是
?
88
?
?
3
?
341
?
7
?
f
??
?< br>,
f(t)

?
,1
?
上的最大值是
8?
8
?
?
8
?
?
7
?
5f
??
?

?
8
?
8

34 1
?
3
?
所以
f(t)

?
,1
?
上的最大值是,不超过
3
.
8
8
??
······ 14分



4


6、 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱
AB
与地面垂直,灯杆
BC
与灯柱
AB
所在的平面与道路走向垂,路灯
C
采用锥形灯罩,射出的光线与平 面
ABC
的部分截面如图中
2
?
阴影部分所示.已知
?AB C?
?

?ACD?
,路宽
AD?24
米.
33

?BAC?
?
(
?
12

?

?
6
C
)

B
(1)求灯柱
AB
的高
h
(用
?
表示);
(2)此公司应该如何设置
?
的值才能使制造路灯灯柱
AB

灯杆
BC
所用材料的总长度最小?最小值为多少?
(结果精确到0.01米)
解.(1)三角形ACD中,
?CDA?
?
?

A
D

?
6

ADAC
,得
?sin?ACDsin?CDA
AD?sin?CDA
?
AC??163sin(
?
?)
.................................3分
sin?ACD6三角形ABC中,
?ACB?

?
3
?
?

ABAC
,得
?
sin?ACBsin?ABC
AC?sin? ACB
??
??
h??32sin(
?
?)sin(?
?< br>)
(?
?
?)
...................6分
126
sin?ABC63
BCAC
,得
?
sin?B ACsin?ABC
AC?sin?BAC
?
BC??32sin(
?
?)sin
?
.................................9分
sin?ABC6
(2)三角形ABC中,

所以
AB?BC? 32sin(
?
?
?
)sin(?
?
)?32sin(?
?)sin
?

636
??
?16sin2
?
?83
..................................... ..................11分
因为
?
12
?
?< br>?
?
6
,所以
?
6
?2
?
?
?
3

所以当
?
?
?
12
时,
AB?BC
取得最小值
8?83?21.86
................. .....13分
制造路灯灯柱
AB
与灯杆
BC
所用材料的总长度 最小,最小值约为21.86米. .....14分



5


7、 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”,
兴趣小组同学 实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高,如图,记
O
点为塔基、
P
点为塔尖、

P
在地面上的射影为点
H
,在塔身
OP
射影所在 直线上选点
A
,使仰角
?HAP?45


O
点 与
OA

120
的地面上选
B
点,使仰角
?HBP ?45
(点
A

B

O
都在同一水平
面 上),此时测得
?OAB?27

A

B
之间距离为33. 6米,试求:
(1)塔高;(即线段
PH
的长,精确到0.1米)
(2)塔的倾斜度;(即
?OPH
的大小,精确到
0.1


解:(1)设塔高
PH?x,
由题意知,
?HAP?45,?HB P?45
,
所以
?PAH,?PBH
均为等腰直角三角形

AH?BH?x

……………2分

?AHB
中,
AH?BH?x

?HAB?27

AB?36.6

P
?
?
??
?
AB
16.8
2

x???18.86……………6分
cos?HABcos27?
(2)在
?BOH
中,< br>?BOH?120

O
???

?OBH?180??120?2?27

6

BH?18.86
120
H
OHBH
由 ,
?
B
sin?OBHsin?BOH
18.86?sin6?

OH??2.28
……………10分

sin120?
OH2.28

?OP H?arctan
……………13分
?arctan?6.89?
PH18.86

所以塔高
18.9
米,塔的倾斜度为
6.9
。 ……………14分
°
A

二、解析几何
1、有一块正方形菜地
EFGH

EH
所在直线是一条小河. 收获的蔬菜可送到
F
点或河边运
走. 于是,菜地分为两个区域
S
1

S
2
,其中
S
1
中的蔬菜运到河边较近,
S
2
中的蔬菜运到
F

较近,而菜地内
S
1
S
2
的分界线
C
上的点到河边与到
F
点的距 离相等. 现建立平面直角坐标
系,其中原点
O

EF
的中点,点< br>F
的坐标为
(1,0)
,如图.
(1) 求菜地内的分界线
C
的方程;
PF制作
y

H

(2) 菜农从蔬菜运量估计出
S
1
面积是
S
2
面 积的两倍,由此得到
S
1
G

S
1

8
面积的“经验值”为. 设
M

C
上纵坐标为
1
的点,请计算以
3
EH
为一边,另一边过点
M
的矩形的面积 ,及五边形
EOMGH

面积,并判断哪一个更接近于
S
1
面积的“经验值”.
E

?
M

S
2

F

x

6
O


解:(1) 因为
C
上的点到直线
EH
与到点
F
的距离相等,所以
C
是以
F
为焦点、以
EH
为 准
线的抛物线在正方形
EFGH
内的部分,其方程为
y
2
? 4x(0?y?2)
.
?
1
?
(2) 依题意,点
M
的坐标为
?
,1
?
.
?
4
?
5
11
所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为.
2
4
581
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为
??
,而 五边形面积与“经验值”之差的
236
绝对值为
1181
,所以五边形面积 更接近于
S
1
面积的“经验值”.
??
4312

2、如图,
A

B
是海岸线
OM

ON
上的两个码头,海中小岛有码头
Q
到海岸线
OM

ON
的距 离分别为
2km

710
km
.测得
tan?MON??3

OA?6km
.以点
O
为坐标原点,射
5
线OM

x
轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以
182k m小时
的平均速
度在水上旅游线
AB
航行(将航线
AB
看作 直线,码头
Q
在第一象限,航线
AB
经过
Q
).
(1)问游轮自码头
A
沿
AB
方向开往码头
B
共需多少分钟 ?
(2)海中有一处景点
P
(设点
P

xoy
平 面内,
PQ?OM
,且
PQ?6km
),游轮无法靠
近.求游轮在水 上旅游线
AB
航行时离景点
P
最近的点C的坐标.
解:(1)由已知得:

A(6,0)
,直线
ON
的方程为
y??3x
, ………1分

Q(x
0
,2)(x
0
?0)
,由
3x
0
?2
10
?
710
及图
x
0
?0

x
0
?4

?Q(4,2)
………3分
5
N
B
?
?
直线
AQ
的方程 为
y??(x?6)
,即
x?y?6?0
, ………5分
y< br>?
P
?
y??3x,
?
x??3,

?
?

B(?3,9)
, ………6分
x?y?6?0y? 9,
??
?
C
?
Q
A
?AB?(?3?6)
2
?9
2
?92
,即水上旅游线
AB
的长为
92 km

O
?
x
M

………8分 游 轮在水上旅游线自码头
A
沿
AB
方向开往码头
B
共航行30 分钟时间.
(2)解法1:点
P
到直线
AB
的垂直距离最近,则垂足 为
C
。 ………10分
由(1)知直线
AB
的方程为x?y?6?0

P(4,8)
,则直线
PC
的方程为
x?y?4?0
, ………12分
所以解直线
AB
和 直线
PC
的方程组,得点
C
的坐标为(1,5). ……14分
解法2:设游轮在线段
AB
上的点
C
处,
1

AC?182t

0?t?
, ………10分
2

?C(6?18t,18t)

,则
P(4,8)

?PC
2
?(2?18t)
2
?(18t?8)
2

7


t
2
6?

?18(3< br>?0?t?
t2?0)

6
0
8
?t?
1< br>, ………12分
2
1
时,
2
51

?t??
时,离景点
P
最近,代入C(6?18t,18t)
得离景点
P
最近的点的坐标为(1,5).
182

3、在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市A(看 做一点)的东
偏南
?
角方向
?
?
cos
?
?
?
?
2
?
?
,300 km的海面P处,并以20km h的速度向西偏北45°方向
10
?
?
移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当 前半径为60 km,并以10km h的速度不断增大.
(1) 问10小时后,该台风是否开始侵袭城市A,并说明理由;
(2) 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久?
解:(1)如图建立直角坐标系, …………1分
则城市
A
?
0,0
?
,当前台风中心
P302,?2102

?
?
x?302?102t
设t小时后 台风中心P的坐标为
?
x,y
?
,则
?

y??2 102?102t
?
?
??
此时台风的半径为
60?10t

10小时后,
PA?184.4
km,台风的半径为
r?
160 km,
?r?PA
, ……………………………5分
故,10小时后,该台风还没有开始侵袭城市A. ………1分
(2)因此,t小时后台风侵袭的范围可视为以
P302?102t,?2102?102t
为圆心,
60?10t
为半径的圆,
??
若城市A受到台风侵袭,则
?
302?102t?0
?
?
?
?2102?102t?0
?
?
?
60?10t?

????
?300t
2
?10800t?86400?0< br>,即
t
2
?36t?288?0
,……………………………5分
??
2
??
2
解得
12?t?24
……………………………1分
答:该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分




4、某校兴趣小组在如图所 示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛,在E处按
EP

8


向释放机器人甲,同时在A处按某方向释放机器人乙,设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界),则挑战成功,否则挑战失败.
已知
AB?18
米,E为AB中点,机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍,比赛中两
机器人均按 匀速直线运动方式行进,记
EP

EB
的夹角为
?
(1)若
?
?60?
,AD足够长,如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功? (结果精确到
0.1?

(2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度,才能确 保无论
?
的值为多少,总可以通过
设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域AB CD内成功拦截机器人甲?
D
解:(1)
AEQ
中,
AQ?2E Q,?AEQ?120?
........2分
P
C
EQAQ
?
由正弦定理,得:
sin?QAEsin?AEQ
A
所以
sin?QAE?
E
B
3
........... .................................................. ...............................4分
4

3
?25.7?
4

所以
?QAE?arcsin
所以应在矩形区域
ABCD
内,按照与
AB
夹角为
25.7?
的向量
AQ
方向释放机器人乙,才
能挑战成功................. .................................................. ..........................................6分
< br>(2)以
AB
所在直线为
x
轴,
AB
中垂线为
y
轴,建平面直角坐标系,

Q(x,y)(y?0)
........ .................................................. .................................8分

由题意,知< br>AQ?2EQ

所以
(x?9)?y?2x?y
22
2222

所以
(x?3)?y?36(y?0)
................ .................................................. 11分
即点
Q
的轨迹是以
(3,0)
为圆心,6为半径的上半圆在 矩形区域
ABCD
内的部分
所以当
AD?6
米时,能确保无论?
的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机
器人乙在矩形区域ABCD内成功 拦截机器人甲...........................................1 4分
5.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为
y< br>轴正
9


方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度), 则救援船恰好在失事船正南方向12海里
12
2
x
;②定位后救援船即刻49
沿直线匀速前往救援;③救援船出发
t
小时后,失事船所在位置的横坐标为< br>7t

A
处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线
y?
(1)当
t?0.5
时,写出失事船所在位置
P
的纵坐标.若此时两 船恰好会合,求
救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?






10


三、数列
1、某市2017 年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张.为
了节能减排和控制总量 ,从2017年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车
牌照每一年比上一年减少
0.5
万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一
年发放的电动车的牌照的 数量维持在这一年的水平不变.
...
(1)记2017年为第一年,每年发放的燃油型汽车 牌照数构成数列
?
a
n
?
,每年发放的电动
型汽车牌照数构 成数列
?
b
n
?
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
a
1
?10

b
1
?2

解:(1)
a
2
?9.5

a
3
?

b
3
?

a
4
?

b
4
?



b
2
?
3
(2)从2017年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
a
1
?10

b
1
?2

a
2
?9.5

a
3
?
9
b
3
?
4.5
a
4
?
8.5
b
4
?
6.75


b
2
?
3
?

1?n?20

n?N
时,
a
n
?10?(n?1)?(?0.5)??
?

n?21

n?N
时,
a
n
?0

n21
?

22
?
n21
?
?
??,1?n?20且n?N
?
a
n
?
?
22
-- ----4分 而
a
4
?b
4
?15.25?15

?
0,n?21且n?N
?
?
?
3
n?1?
?
2?( ),1?n?4且n?N
?
b
n
?
?
---------- -------------------------------------------------- -7分
2
?
6.75,n?5且n?N
?
?
(2)当n?4
时,
S
n
?(a
1
?a
2
?a
3
?a
4
)?(b
1
?b
2
?b
3
?b
4
)?53.25
.---------------8分

5?n?20
时,
S
n
?(a
1
?a
2
?L?a
n
)?(b
1
?b
2
?b
3?b
4
?b
5
?L?b
n
)

32[1?()
4
]
n(n?1)1
2
?6.75(n?4)
?10n??(?)?
3
22
1?
2
16843< br>??n
2
?n?
---------------------------- --------------------------------11分
444
12
6843

S
n
?200

?n?n??200
,即
n
2
?68n?843?0

444
11


解得
n=34?313?16.30?21
----------- -------------------------------------------------- -13分
?
到2029年累积发放汽车牌照超过200万张--------------- -------------------------------------14分

2、某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将
受到环保部 门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资
500万元添加回收净化设 备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以
大大降低原料成本.据测算,添加回收 净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入
,且前3个月的累计生产净
g(n)
是生产时间
n
个月的二次函数
g(n)?n
2
?kn
k
是常数)
收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同. 同时,该厂不
但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入
g(8)
的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
解: (1)据题意
g(3)?3?3k?309
,解得
k?100
,﹒﹒﹒﹒﹒﹒ ﹒﹒﹒2分
第5个月的净收入为
g(5)
?g(4)?109
万元,﹒﹒﹒ ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以,
g(8)?g(5)?3?109?852
万元. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
2
?
n
2
?100n,(n ?5)
(2)
g(n)?
?

?
.n?5)
?g(5)?(n?5)
?
g(5)?g(4)(
?
n
2
?100n,(n?5)

g(n)?
?
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ ﹒﹒﹒2分
109n?20,(n?5)
?
要想投资开始见效,必须且只需
n(n?1)
??
g(n)?500?100?70n?
?
3n??2?

2
??

g(n)?n?68n?400?0.
﹒ ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

n?1,2,3,4,5
时,n?100n?n?68n?400?0,


n(n?16)?200
不成立;﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

n?5
时,
109n?20?n?68n?400?0,

n(n?41)?420
,﹒﹒﹒﹒2 分
验算得,
n?9
时,
n(n?41)?420
. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以,经过9个月投资开始见效. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
12

2
22
2< /p>


3、为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型
(n? N)

*
?
200?n?2000,(1?n?8)
?
n ?8
?

f(n)?
?
360?3
12
?3000 ,(9?n?32)
表示第
n
个时刻进入园区的人数;
?
3240 0?720?n,(33?n?45)
?
?
0,(1?n?18)
?
?

g(n)?
?
500?n?9000,(19?n?32)
表示 第
n
个时刻离开园区的人数.
?
8800,(33?n?45)
?
设定以
15
分钟为一个计算单位,上午
9

15
分 作为第
1
个计算人数单位,即
n?1

9

30< br>分作为第
2
个计算单位,即
n?2
;依次类推,把一天内从上午
9
点到晚上
8

15

分成
45
个计算 单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天
14
点至
15
点内,进入园区的游客人数
f(21)?f(22)?f(23)?f(24)
、离< br>开园区的游客人数
g(21)?g(22)?g(23)?g(24)
各为多少? (2)假设当日园区游客总人数达到或超过
8
万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数
学模型知晓当天
16
点(即
n?28
)时,园区总人数会达到最高, 请问当日是否要采取限流
措施?说明理由.
(3)假设从
13

4 5
分(即
n?19
)开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游
客总 人数最多的时刻,并说明理由.
解:(1)当天
14
点至
15
点这 一小时内进入园区人数为
f(21)?f(22)?f(23)?f(24)

?360?[3?3?3?3]?3000?4
?17460
(人) …………………3分
离开园区的人数
g(21)?g(22)?g(23)?g(24)=9000
(人) ………………6分
(2)当天下午
16
点(
n?28
)时
进入园区人数为
S
28
?[f(1)?f(2)?
1
12
13
12
14
12
15
12
16
12
?f (8)]?[f(9)?f(10)?
20
12
?f(28)]

? [2200?8?
8?7360?3?(3?1)
?200]?[]
?3000?20

1
2
(3
12
?1)
?23200?21563 .5?60000?104764
(人) ………10分
此时,离开园区的人数
T
28
?g(19)?9(20)? ?g(28)
?500?10?
10?9
?500
?27500
人… ……12分
2
此时,园区共有游客为
S
28
?T
28?77264
(人) ………13分
因为
77264?80000
,所以当天不会采取限流措施. ………14分
13


(3)当
f(n)?g(n)?0< br>时,游客人数递增;当
f(n)?g(n)?0
时,游客人数递减.…7分
① 当
19?n?32
时,由
f(n)?g(n)?360?3
n?8
1 2
?500n?12000?0
,可得:

19?n?28
时,进 入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;…9分

29?n?32
时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少; ……11分

f(28)?g(28)?246.49?0

f(29)? g(29)??38.13?0

② 当
33?n?45
时,由
f(n)?g(n)??720n?23600
递减,且其值恒为负数.进入园区
游客人数少 于离开游客人数,总人数将变少. ………………13分
综上,当天 下午
16
点时(
n?28
)园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共 有
77264
人. ………………14分

4、李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某 创客,白手起家,2018年一月
初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳
房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费 等开支为3000元,
余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1) 问到2018年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2) 如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
解法1:(1)设
n
个月的余款为
a
n
,则
a
1
?100000?1.2?0.9?3000?105000
a
2
?100000?1.2
2
?0.9
2
?3000 ?1.2?0.9?3000?110400

。。。。。。
a
12< br>?100000?1.2
12
?0.9
12
?3000?1.2
11
?0.9
11
?
1212
?3000

[1?(1.2?0.9)
12
]
?194890
(元)=
1000 00?1.2?0.9?3000?

1?1.2?0.9
解法2:
a1
?100000?1.2?0.9?3000?105000
,一般的,
an
?a
n?1
?1.2?0.9?3000

构造
a
n
?c?1.2?0.9(a
n?1
?c)

c??375 00

a
n
?37500?(105000?37500)(1.2?0.9 )
n?1

a
n
?37500?67500?1.08
n?1

a
12
?194890
. (2)194890-100000?1.05=89890(元),能还清银行贷款。
14

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