2018年高三最新 高三数学应用题1 精品

应用题
1．某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于 广告促销。经调查,每投入
广告费
t
(百万元)，可增加销售额约为
?t?5 t
（百万元）（0≤
t
≤5）。
(1)若该公司将当年的广告控制在3百万 元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此
获得的收益最大？
(2)该公司准备共投入 3百万元，分别用于广告促销和技术改造。经预测，每投入技术改造
费
x
（百万元）， 可增加的销售额约为
?
2
1
3
。请设计一个资金分配方
x? x
2
?3x(百万元
）
3
案，使该公司由此获得的收益更大？（收益?销售额?投入
）

2．甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方
索 赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润
x
（元）与年产量t（吨）满足函数关系
x?2000t
.
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的
年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额
y?0.002t
（元）， 在乙方按照获得最大利
润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔 付价格s
是多少？
































2

3. 已知某商品的价格上涨
x
%，销售的数量就减少
mx
%，其中
m为正的常数.
m?
（1）当
1
2
时，该商品的价格上涨多少， 就能使销售的总金额最大？
（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求
m
的取值范围.

4．某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季 度
每担售价（单位：元）
第一季度
195.5
第二季度
200.5
第三季度
218.5
第四季度
199.5 今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平
方和取最小值 的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点，
计划可收购a万担， 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，
预测收购量可增加2x个百分点 .
（1）根据题中条件填空，m= （元担）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.

5．某厂家拟在2018年国庆节期间举行促销活动，经调查测算，该产品 的年销量（即该厂的
年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞
促销 活动，该产品的年销售量只能是1万件，已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，
每生产1万件 产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本
的1.5倍（产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金）
（1）将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的年利润最大？

6．某公司取消福利分房和 公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的
工资由三个项目并按下表规定实施
项目
基础工资
房屋补贴
医疗费
金额（元人·年）
一万元
400元
1600元
性质与计算方法
考虑物价因素，从2000年起每年递增10%（与工龄无
关）
按照职工到公司的年限计算，每年递增400元
固定不变
如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5名职工
（Ⅰ）若今年（2000年）算 第一年，试把第
n
年该公司付给职工工资总额
y
(万元)表示
成年限
n
的函数；
（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总 和能否超过基础工
资总额的20%？

7．某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社 会效益和经济利益，
对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：


初中
高中
班级学生数
60
40
配备教师数
2.0
2.5
硬件建设（万元） 教师年薪（万元人）
28
58
1.2
1.6
根据有关规定，除书本费 、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可
收取学费1500元.因生源和环境等条件 限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情
况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润 多少万元？
（利润=学费收入－年薪支出）

8． 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种实验基
地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上 。
（1） 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在
哪里？如果D E是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。

< br>9．A村在B地正北
3
km处，C村在B地正东4km处，已知弧形公路PQ上任一点到
B、C距离之和为8km,现在要在公路旁建造一个变电房M分别向A村、C村送电，但C村
有 一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此在C村要架两条线路分别给
村民和工厂送电， 要使得所用电线长最短，变电房M应建在A村的什么方位，并求出M到
A村的距离。

P
g
g
A
g
B
g
C
g
g
Q

1解：(1)设投入t（百万元）的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有
f(t )?(?t
2
?5t)?t??t
2
?4t??(t?2)
2
?4(0?t?3),

?
当t=2百万元时，f(t)取得最大值4百万元。即投 入2百万元广告费时，该公司由此获得
的收益最大。
(2) 设用于技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（
3?x
） （百万元）
（0≤x≤3），又设由此获得的收益是
g(x)
，则有
11< br>g(x)?(?x
3
?x
2
?3x)?[?(3?x)
2?5(3?x)]?3??x
3
?4x?3(0?x?3)

33
?g
'
(x)??x
2
?4

令g
'
(x)?0
，解得
x??2(舍）或x?2
.
又当0?x?2时，g
'
(x)?0;当2?x?3时，g
'
(x) ?0
.
?当x?2时，g(x)取得最大值.

即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大.
2．解 ：因为赔付价格为s元吨,所以乙方的实际年利润为：
w?2000t?st
.（2分） 由
w'?
1000
2
10001000?st
，令
w' ?0
得
t?t
0
?()
. （5分）
?s?
s
tt
当
t?t
0
时，
w'?0
； 当
t?t
0
时
w'?0
，所以
t?t
0
时 ，
w
取得最大值.（可略）
因此乙方取得最大年利润的年产量
t
0
?(
1000
2
)
（吨）. （6分）
s
2
（2）设甲方净收入为
v
元，则
v?st? 0.002t
. （8分）
将
t?(
1000
2
)
代入上式，得到甲方净收入
v
与赔付价格s
之间的函数关系式
s
.
1000
2
2?1000
3
v??
ss
4
1000
2
8?1000
3
1000
2
?(8000?s
3
)
??
又
v'??
，令
v'?0
，得
s?20
.（11分）
s< br>2
s
5
s
5
当
s?20
时，
v'? 0
；当
s?20
时，
v'?0
，所以
s?20
时，
v
取得最大值.
因此甲方向乙方要求赔付价格
s
?20
（元吨）时，获最大净收入。
3解：（1）设商品现在定价
a
元，卖出的数量为
b
个。
由题设：当价格上涨x%时，销售总额为
y?a(1?x%)?b(1?mx%)
，

y?
即
ab
100
[? mx
2
?100(1?m)x?10000]
0?x?
10000
m
），（，
1ab9
y?[?(x?50)
2
?22500]ymax
?ab
200008
，
2
得：，当
x?50< br>时，
m?
取
即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。
y?
（2）二次函数
ab
[?mx
2
?100(1?m)x?10000 ]
10000
，
(??,
在
50(1?m)
50(1? m)
[,??)
]
m
m
上递增，在上递减，
?
1 00
?
?
0,
?
m
??
内存在一个区间，使函数< br>y
在此区间上是适当地涨价能使销售总金额增加，即 在
50(1?m)
?0
?
0,1
?

m
增函数，所以 ， 解得
0?m?1
，即所求
m
的取值范围是
4．（1）200；
（2）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为
a(1?2x%)
万担，收购总金
额为
200a(1?2x%)
. 依题意，
y?200 a(1?2x%)?(10?x)%?
?
200
a(100?2x)(10?x)
10000
1
a(100?2x)(10?x),(0?x?10)

50
（3）原计划税收为
200a?10%?20a
（万元），依题意，
1
得
a(100?2x)(10?x)?20a?83.2%
，
5 0
即
x?40x?84?0,解得?42?x?2.又0?x?10,?0?x?2.

答：
x
的取值范围是
0?x?2.

.5 解：（1）设2018年生产产品x万件
时，代入

2
则年成本：
年利润：

（2）
当且仅当
时，
，即
万元
时取等号
6.解：（Ⅰ）第n年共有5n个职工，那么基础工资总额为5n(1+
1
n
)（万元）
10

医疗费总额为5n×0.16万元，房屋补贴为
5×0.18+5×0.18×2+5×0. 18×3+…+5×0.18×n=0.1×n(n+1)（万元）
1
n
)+0.1×n(n+1)+0.8n
10
1
n
=n［5(1+)+0.1(n+1)+0.8］（万元）
10
1
n
（Ⅱ）5(1+)×20%-［0.1(n+1)+0.8］
10
1
n
1
=(1+)-(n+9)
1010
11
n
=［10(1+)-(n+9)］
1010
1
1
n
1
∵10(1+)=10(1+C
n
1
C
n
1
+C
n
2
+…)
100
1010
n
＞10(1+)＞10+n＞n+9
10
∴y=5n(1+

故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20%
7解：设初中x个班，高中y 个班，则
?
设年利润为s，则

s?60?0.06x?40? 0.15y?2?1.2x?2.5?1.6y?1.2x?2y
……（6分）
作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值.
由
?
?
20?x?y?30
?
28x?58y?1200
( 1)
(2)
……………（4分）
?
x?y?30
解得A（18，12）.……（10分）
?
28x?58y?1200

?s
max
?1.2?18?2?12?45.6
（万元）.
即学校可规划初中18个班，高中12个班，
可获最大年利润为45.6万元.……（12分）

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