高三文科数学应用题专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料
——《应用题》专题
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型， 另外，估测计算型和信息
迁移型也时 有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化， 紧
扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.
1．解应用题的一般思路可表示如下

2．解应用题的一般程序

（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基
础. （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基
本数学模型， 正确进行建“模”是关键的一关.
（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中 元素的实际意义，
更要注意巧思妙作，优化过程.
（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.
3．中学数学中常见应用问题与数学模型 < br>（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和
“线性规划 ”问题解决.
（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决. （3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数
模型”，转化为 求函数的最值.
（4
（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.
练习题
1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变 化，
讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学
生 的注意力开始分散，设
f
(
t
)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律 （
f
(
t
)越大，

表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
?
?t
2< br>?24t?100(0?t?10)
?
f(t)?
?
240(10?t ?20)

?
?7t?380(20?t?40)
?
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数 学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经
过适当安排，老师能否在学 生达到所需的状态下讲授完这道题目？





2．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本
单价，又 不高于800元／件．经试销调查，发现销售量
y
（件）与销售单价
x
（元／ 件）
之间近似于如图所示的一次函数
y
＝
kx
＋
b
的关
系．
（1）根据图象，求一次函数
y
＝
kx
＋
b
的解析式；
（2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成
本总价）为
S
元．
① 试用销售单价
x
表示毛利润
S
．
② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的
销售量是多少？





3．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。为了
< /p>

获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十
万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下
表：
x
（十万元） 0
y 1
1 2 …
… 1.5 1.8
（1）求y与
x
之间的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去 成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告
费
x
（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10 ~ 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润
随广告费的增大而增大？


4．为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、
CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、EF，若当BC
的长为 xm时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求
（1）y关于x的函数解析式y=f(x);
（2）若BC的长不得超过40m，则当BC为何值时，y有最
小值，并求出这个最小值.


5． 已知某海滨浴场的海浪高度
y
（米）是时间
t
(0≤
t
≤24，单位小时）的函数，记作
y
=
f
(
t
)，
下表是某日各时的浪高数据
A B
C
2
河道
E
j
D
F
t
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y
（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5
经长期观测
y
=
f< br>(
t
)的曲线可近似地看成函数
y
=
A
cosωt
+
b
.
（1）根据以上数据，求出函数
y
=
A
cosω
t
+
b
的最小正周期
T
，振幅
A
及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（ 1）的结论，判断
一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.

6．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列

条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
(1) 标签的选取是无放回的；
(2) 标签的选取是有放回的．




7．已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30?，距离4公里，它们准
备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A
于是发射 麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里1秒，求
舰A炮击的方位角。
分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。


8．制定投 资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人
打算投资甲、乙两个项目 . 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和
50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪ 和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，
要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万
元，才能使可能的盈利最大？




9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，< br>试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．




2
10．某县与沙漠化进行长期的斗争． 全县面积为
p
， 2002 年底绿化率达 ，从 2003 年
5

11
开始，每年绿化原有沙漠面积的 ，但与此同时，原有绿化面积的 被沙化
．
设
520
2002 年底的绿化面积为
a
1
，经过
n
年后的绿化面积为
a
n
+1
．
(I) 求2003年底的绿化面积
7
(II ) 经过多少年后，绿化率达 ?
10


1 1．某观测站
C
在城
A
的南20?西的方向上，由
A
城出发 有一条公路，走向是南40?东，在
C
处测得距
C
为31千米的公路上
B
处有一人正沿公路向
A
城走去，走了20千米后，
到达
D
处，此时
C
、
D
间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达
A
城？

12．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公 积金贷款利率和
商业性贷款利率如下：
贷款期(年数) 公积金贷款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
商业性贷款月利率(‰)
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年
还清；商业贷款 15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
(1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他 想把余下的商业贷款也一次性
还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
(参考 数据：1.004455＝1.8966，1.005025＝2.0581，1.005025＝2.4651 )


参考答案
22
1．解：（1）当
0?t?10时
，
f(t)??t?24t?100??(t?12)?244
是增函数，且
144144180

f(10)?240
；
当20?t?4 0时
，
f(t)?7t?380
是减函数，且
f(20)?240
. 所以，讲
课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.
（2）
f(5) ?195,f(25)?205
，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5
分钟更 集中.
当
0?t?10
时，
f(t)??t
2
?24t? 100?180,则t?4
；当
20?t?40
，
（3）令
f (t)??7t
2
?38
?
?18
?
,则t?28.57< br>，则学生注意力在180以上所持续的时间
28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当 安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完
这道题.

2．分析：（1）本题 把一次函数、二次函数及其有关计算问题赋予实际意义，把市场
经济引进初中数学．观察图象可知，直线
y
＝
kx
＋
b
经过（600，400）、（700，300 ）两点，
利用待定系数法即可求出其解析式；（2）根据公
式“毛利润＝销售总价－成本总价” ，得
S
＝
xy
－
500
y
．
（2）本题 的解答要实现由一次函数向二次函数的
转化，即要灵活运用一次函数和二次函数的有关
知识，并 要考虑题设中对单价的限制，把求得的
值代入检验，看是否符合要求．
解：（1）把（600 ，400），（700，300）两点的坐标分别代入
y
＝
kx
＋
b
，得
?
400?600k?b

?
?
300?700k?b.
?
k??1
解得
?

b?1000.
?
∴
y
＝－
x＋1000，其中
x
的取值范围是500≤
x
≤800．
（2）①
S
＝
xy
－500
y

＝x
（－
x
＋1000）－500（－
x
＋1000），
即
S
＝－
x
＋1500
x
－500000（50 0≤
x
≤800）．
②
S
＝－
x
＋1500< br>x
－500000＝－（
x
－750）＋62500．

2 2
2

当
x
＝750时，
S
最大值
＝ 62500．
此时
y
＝－
x
＋1000＝－750＋1000＝250（件）．
故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．

3．解：（1）设二次函数的解析式为
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
．
2
1
?
a??
?
10
?
c?1
?
3
?
?
由关系表，得
?
a?b?c?1.5
解得
?
b?
< br>5
?
4a?2b?c??1.8
?
?
?
c?1
?
?
∴ 函数的解析式为
y
＝－
1
2
3
x
＋
x+
1．
105
2
（2）根据题意，得
S? 10y(3?2)?x??x?5x?10

（3）
S??x?5x?10??(x? )?
2
5
2
2
65

4

?1?x?3
?当1?x?2.5时，S随x的增大而增大.
故当年广告费为10 ~ 25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大

4．解：（1）
y?f< br>?
x
?
?2x?
5000
?20
x
?
x?0
?

河道
AB
C
E
j
D
F
5000
（2）令
2x?
得
x?50?（0，40]
< br>x
5000
?20
在（0，40]内递减，故y的最小值为因此
y?2 x?
x
f(40)=225m, x=40m.

5．解：（1）由表中 数据，知
T
=12，ω=
由
t
=0,
y
=1.5得
A
+
b
=1.5.
由
t
=3,
y
=1.0,得
b
=1.0.所以，
A
=0.5,
b
=1. 振幅
A
=
2
??
?
.
T6
1
，
2

∴
y
=
1
?
cost?1

26
1
?
?
cost?1
>1,
cost
>0.∴2
k
π–
6
26
(2)由题意 知，当
y
>1时，才可对冲浪者开放.∴
?
2
?
?
6
t?2k
?
?
?
2
,即有12
k
–3<
t
<13
k
+3.
由0≤
t
≤24,故可令k
=0,1,2,得0≤
t
<3或9<
t
<15或21<
t
≤24.
∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.

6．解：(1) 无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1， 3}，{1，
4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{ 4，5}总数为2×10个 ， 两
张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{ 3，4}，{4，5}总数为2×4个。
∴P=
8
?
2

205
(2) 有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3} ，{1，4}，{1，
5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4， 5}和（1，1），（2，2），（3，3），（4，
4），（5，5）总数为2×10+5=25个。
∴P=
8

25

7．分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。
解： 为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直
角坐标系（如图），据 题设，得B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2
3
)且动物P(x,y)在BC的中
垂线
l
上，
∵BC中点M的坐标为(-4,
3
)， k
BC
=-
3
.
∴
l
的方程为y-
3
=
3
(x+4)即：
3
y=
3
(x+7).... .............①
3
又∵ |PB|-|PA|=4(公里)
∴ P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。

x
2
y
2
?
双曲线方程为=1 (x≥2)...............②
45
由①②消去y得 11x-56x-256=0，解的x
1
=-
2
32
(舍去)， x
2
=8。
11
∴ P点坐标为(8,5
3
), 于是tg∠xAP=kAP=
53
=
3
,
8?3
∴ ∠xAP=60?, 故舰A炮击的方位角为北偏东30?。

8．解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.

?
x?y ?10,
?
0.3x?0.1y?1.8,
?
由题意知
?

x?0,
?
?
?
y?0.
目标函数
z
=< br>x
+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.
作直线
l< br>0
:x?0.5y?0
，并作平行于直线
l
0
的一组直线x?0.5y?z,z?R,

与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且
与直线
x?0.5y?0
的距离最大，这里M点是直线
x?y?10

和
0.3x?0.1y?1.8
的交点.






解方程组
?
?
x?y?10,
得
x
=4，y=6
0.3x?0.1y?1.8,
?



此时
z?1?4?0.5?6?7
（万元）.
?7?0

?
当
x
=4，y=6时z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲 项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万
元的前提下，使可能的盈利最大.
说明：本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

y
9．解：设甲到达时间为
x
，乙到达时间为
y
，则0<
x
,
y
<24．
24

6

若至少有一艘在停靠泊位时必须等待，
则0<
y
?
x
<6或0<
x
?
y
<6
2
必须等待的概率为：1?
18
2
=
7

24
16

211311
10．解：(I ) 已知
a
1
=
p
，
a
2
=
a
1
(1－ )+ (
p
－
a
1
)=
a
1
+
p
=
p
，

5205452
1
∴ 2003年底的绿化面积为
p；

2
1131
(II )
a
n+1
=
a
n
(1－ )+ (
p
－
a
n
)=
a
n
+
p
， (n ? N*)
20545
434443
n
∴ (
a
n+1
－
p
)= (
a
n
－
p
) ∴(
a
n+1
－
p
)= (
a
1
－
p
) ( )
545554
423

n
∴
a
n
+1
=
p
－
p
( )
554
423

n
713

n
∴
p
－
p
( ) >
p
? >( ) ? n≥5．
5541044
7
∴ 五年后绿化率达
10
11．解：根据题意得图02，其中
BC
=31千米，
BD
=20千米，
CD
=21千米，
∠
CAB=
60?．设∠
ACD
= α ，∠
CDB
= β ．
在△
CDB
中，由余弦定理得：
CD
2
?BD
2
?BC
2
21
2
?20
2
?31
2
1
cos
?
????
， 2?CD?BD2?21?207
43
sin
?
?1?cos
2
?
?
．
7
sin
?
?sin
?
180???CAD??CDA
?

?sin
?
180??60??180??
?
?

?sin
?
?
?60?
?
?sin
?
cos60? ?cos
?
sin60??
在△
ACD
中，由正弦定理得：
4311353
????
．
727214

AD?
CD21532153
?sin
?
?????15
． sinAsin60?1414
3
2
此人还得走15千米到达
A
城．
说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元
素，然后解三角形求之．

12． 解 设月利率为
r
，每月还款数为< br>a
元，总贷款数为
A
元，还款期限为
n
月
第1月末欠款数
A
(1＋
r
)－
a

第2月末欠款数 [
A
(1＋
r
)－
a
](1＋
r
)－
a
＝
A
(1＋
r
)－
a
(1＋
r
)－
a

第3月末欠款数 [
A
(1＋
r
)－
a
(1＋
r
)－
a
](1＋
r
)－
a
2
2

＝
A
(1＋
r
)
3
－
a
(1＋
r
)
2
－
a
(1＋
r
)－
a

……
第
n
月末欠款数
A(1?r)
n
?a(1?r)
n?1
?a(1?r)
n?2
?
?
?a(1?r)?a?0

得：
a?A(1?r)
n
?
r

(1?r)
n
?1
对于12年期的10万元贷款，
n
＝144，
r
＝4.455‰
∴
a?100000?1.004455
144
?
0.004455
?942.37

1.004455
144
?1
0.005025< br>?1268.22

180
1.005025?1
对于15年期的15万元贷款，
n
＝180，
r
＝5.025‰
∴
a?150000?1.005025
180
?
由此可知，汪先生家前 12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还
款1268.22元 ．