高中数学王老师-高中数学到底如何怎样能学好
抛物线
y
2
?2px
(p?0)
抛
物
线
l
y
y
2
??2px
(p?0)
y
x
2
?2py
(p?0)
y
F
O
x
l
x
2
??2py
(p?0)
y
O
F
l
O
x
l
x
O
F
x
F
定义
平面内与一个定点F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点
F
叫<
br>做抛物线的焦点,直线
l
叫做抛物线的准线。
{
MMF
=点
M到直线
l
的距离}
x?0,y?R
x?R,y?0
x?R,y?0
范围
对称性
焦点
顶点
离心率
准线
方程
顶点到准
线的距离
焦点到准
线的距离
焦半径
A(x
1
,y
1
)
x?0,y?R
关于
x
轴对称
(
p
,0)
2
关于
y
轴对称
pp
,0) (0,)
22
焦点在对称轴上
(
?
(0,
?
p
)
2
O(0,0)
e
=1
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p
2
p
AF?x
1
?
p
2
AF??x
1
?
p
2
AF?y
1
?
p
2
AF??y
1
?
p
2
.
焦点弦长
(x
1
?x
2
)?p
?(x
1
?x
2
)?p
(y
1
?y
2
)?p
?(y
1
?y
2
)?p
AB
焦点弦
y
o
A
?
x
1
,y
1
?
x
B
?
x
2
,y
2
?
F
AB
的几
条性质
A(x
1
,y
1
)
B(
x
2
,y
2
)
以
AB
为直径的圆必与准线
l
相切
2p2p
AB?
若的倾斜角为,则
AB
?
sin
2
?
cos
2
?
若
AB
的倾斜角为
?<
br>,则
AB?
p
2
x
1
x
2
?
y
1
y
2
??p
2
4
11AF?BFAB2
????
AFBFAF?BFAF?BFp
切线
y
0
y?p(x?x
0
)
y
0
y??p(x?x
0
)
方程
1.
直线与抛物线的位置关系
直线,抛物线,
x
0
x?p(y?y
0
)
x
0
x??p(y?y
0
)
,消y得:
(1)当k=0时,直线
l
与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,
Δ>0,直线
l
与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0,
直线
l
与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线
l
与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)
(4)
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
l
:
y?kx?b
抛物线
① 联立方程法:
.
,
(p?0)
?
y
?kx?b
?
k
2
x
2
?2(kb?p)x?b
2
?0
?
2
?
y?2px
设交点坐标为
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y2
)
,则有
??0
,以及
x
1
?x
2
,x
1
x
2
,还可进一步求出
y
1
?y<
br>2
?kx
1
?b?kx
2
?b?k(x
1
?
x
2
)?2b
y
1
y
2
?(kx
1
?b)(kx
2
?b)?k
2
x
1
x
2
?kb(x
1
?x
2
)?b
2
,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
a.
相交弦AB的弦长
AB?1?k
2
x
1
?x2
?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2?4x
1
x
2
?1?k
2
?
a
或
AB?1?
11
?
2
2
y?y?
1?(y?y)?4yy
?1?k
121212
22
kk
a
b.
中点M(x
0
,y
0
),
x
0
?
②
点差法:
x
1
?x
2
y?y
2
,
y
0
?
1
22
设交点坐标为
A(x1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,代入抛物线方程,得
y
1
?2px
1
y
2
?2px
2
22
将两式相减,可得
(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?2p
(x
1
?x
2
)
y
1
?y
2<
br>2p
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2p
y
1
?y
2
a.
在涉及斜率问题时,
k
AB
?
b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
,
y1
?y
2
2p2pp
???
,
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2y
0
y
0<
br> 即
k
AB
?
p
,
y
0
同理
,对于抛物线
x
2
?2py(p?0)
,若直线
l
与抛物线
相交于
A、B
两点,点
.
M(x
0
,y
0
)
是弦
AB
的中点,则有
k
AB
?
x
1
?x
2
2x
0
x
0
??
2p2pp
(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点
,2)直线的斜
率存在,且不等于零)
一、抛物线的定义及其应用
例1、设
P
是抛物线
y
2=4
x
上的一个动点.
(1)求点
P
到点
A
(-1,1)的距离与点
P
到
直线
x
=-1的距离之和的最小值;
(2)若
B
(3,2),求|
PB
|+|
PF
|的最小值.
例2、(2011·山东高考)设
M
(
x
0,
y
0)为抛物线
C
:
x
2=8
y
上一 点,
F
为抛物线
C
的焦点,以
F
为圆心、|
FM
|为半
径的圆和抛物线
C
的准线相交,则
y
0的取值
范围是( )
A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线
y<
br>2
=2
px
(
p
>0)的焦点为
F
,准线为
l
,经过
F
的直线与抛物线交于
A
、
B
两
点,交准线于
C
点,点
A
在
x
轴上方,
AK
⊥
l
,垂足为
K
,若|
BC
|=2|
BF
|,
且|
AF
|=4,则△
AKF
的面积是
( )
A.4 B.33 C.43
D.8
例4、过抛物线
y
2
=2
px
(
p
>0)的焦点
F
的直线交抛物线于点
A
、
B
,
交其准线
l
于点
C
,若|
BC
|=2|
BF
|,且|
AF
|=3则此抛物线的方程为 ( )
39
A.
y
2
=
x
B.
y
2
=9
x
C.
y
2
=
x
D.
y
2
=3
x
22
.
三、抛物线的综合问题
例5、(2011·江西高考)已知过
抛物线
y
2
=2
px
(
p
>0)的焦点,斜率为2
2的直线
交抛物线于
A
(
x
1
,
y
1),
B
(
x
2
,
y
2
)(
x
1
<
x
2
)两点,且|
AB
|=9.
(1)求该抛物线的方程;
uuur
ur
uuur
uu
(
2)
O
为坐标原点,
C
为抛物线上一点,若
OC
=
OA
+
λ
OB
,求
λ
的值.
例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点
P
到点
F
(1,0)的距离与点
P
到
y
轴的距离的差等于1.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程;
(2)过点
F
作两条斜率存在且互相垂直的直线
l
1
,
l
2
,设
l
1
与轨迹
C
相交于点
A
,
r
u
uur
uuu
B
,
l
与轨迹
C
相交于点
D
,
E
,求
AD
EB
的最小值
2
·
例
7、已知点
M
(1,
y
)在抛物线
C
:
y
2
=2
px
(
p
>0)上,
M
点到抛物线
C
的焦点
F
的
1
距离为2,直线
l
:
y<
br>=-
x
+
b
与抛物线
C
交于
A
,<
br>B
两点.
2
(1)求抛物线
C
的方程;
(2)若以
AB
为直径的圆与
x
轴相切,求该圆的方程.
.
练习题
1.
已知抛物线
x
2
=
ay
的焦点恰好为双曲线
y
2<
br>-
x
2
=2的上焦点,则
a
等于
(
)
A.1 B.4 C.8 D.16
2.抛物
线
y
=-4
x
2
上的一点
M
到焦点的距离为1,则
点
M
的纵坐标是 ( )
A.-
17
16
B.-
157
C.
1616
D.
15
16
3.(2011·辽宁高考)已
知
F
是拋物线
y
2
=
x
的焦点,
A
,
B
是该拋物线上的两点,
|
AF
|+|
BF
|
=3,则线段
AB
的中点到
y
轴的距离为 ( )
3
A.
4
5
B.1 C.
4
7
D.
4
4.已知抛物线
y
2<
br>=2
px
,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是
( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定
5.(201
2·宜宾检测)已知
F
为抛物线
y
2
=8
x
的焦点
,过
F
且斜率为1的直线交
抛物线于
A
、
B
两点,则||
FA
|-|
FB
||的值等于
B.8 C.82 D.16 ( ) A.42
6.在
y
=2
x
2
上有一点
P
,它到
A
(1,
3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点
P
的坐标是
( )
A.(-2,1) B.(1,2) C.(2,1)
D.(-1,2)
7.(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为
x=-2,则抛物线的
方程是
( )
A.
y
2=-8
x
B.
y
2=8
x
C.
y
2=-4
x
D.
y
2=4
x
8.(2012·永州模拟)以抛物线
x
2
=16
y
的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切
的圆的方程为______
__.
9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为
y
轴,抛物线上一点
Q(-3,
m
)到焦点
的距离是5,则抛物线的方程为________.
10.已知抛物线
y
2
=4
x
与直线2
x
+y
-4=0相交于
A
、
B
两点,抛物线的焦点为
uuu
ruuur
F
,那么|
FA
| +|
FB
| =________.
.
<
br>11.过抛物线
y
2=4
x
的焦点作直线交抛物线于
A
(
x
1,
y
1),
B
(
x
2,
y
2)两点,
若
x
1+
x
2=6,那么
|
AB
|等于________
12.根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线
16
x
2
-9
y
2
=144的左顶点;
(2)过点
P
(2,-4).
13.已知点
A
(-1,0)
,
B
(1,-1),抛物线
C
:
y
2
=4
x
,
O
为坐标原点,过点
A
uuuur
的动直线
l
交抛物线
C
于
M
,
P
两点,直线
MB交抛物线
C
于另一点
Q
.若向量
OM
uuur
π
与
OP
的夹角为,求△
POM
的面积.
4
.
参考答案:
一、抛物线的定义及其应用 例1、(1)如图,易知抛物线的焦点为
F
(1,0),准线是
x
=-1
.
由抛物线的定义知:点
P
到直线
x
=-1的距离等于点
P
到焦点
F
的距离.
于是,问题转化为:在曲线上求一点
P
,使点
P
到点
A
(-1,1)的距离与点
P
到
F
(1,0)的距离之和最小.显然,连结
AF
交曲线于
P
点,则所求
的最小值为|
AF
|,
即为5.
(2)如图,自点
B
作<
br>BQ
垂直准线于
Q
,交抛物线于点
P
1,则|
P1
Q
|=|
P
1
F
|.则有
|
PB<
br>|+|
PF
|≥|
P
1
B
|+|
P
1
Q
|=|
BQ
|=4.即|
PB
|+|
PF|的最小值为4.
例2、解析:圆心到抛物线准线的距离为
p
,即
p
=4,根据已 知
只要|
FM
|>4即
可.根据抛物线定|
FM
|=
y
0+2由
y
0+2>4,解得
y
0>2,故
y
0的取值范
围是(2,
+∞).
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、设点
A(
x
1
,
y
1
),其中
y
1
>0.由点
B
作抛物线的准线的垂线,垂足为
B
1
.则有
|
BF
|=|
BB
1
|;又|
CB
|=2
|
FB
|,因此有|
CB
|=2|
BB
1
|,co
s∠
CBB
1
=
|
BB
1
|1
=,∠|
BC
|2
ππ
p
CBB
1
=.即直线
AB
与
x
轴的夹角为.又|
AF
|=|
AK
|=
x
1
+=4,因此
y
1
=
332
π11<
br>4sin=23,因此△
AKF
的面积等于|
AK
|·
y1
=×4×23=43.
322
例4.分别过点
A
、
B
作
AA
1
、
BB
1
垂直于
l
,
且垂足分别为
A
1
、
B
1
,由已知条件|
BC|
=2|
BF
|得|
BC
|=2|
BB
1|,∴∠
BCB
1
=30°,又|
AA
1
|=|
AF
|=3,
∴|
AC
|=2|
AA
1
|=6
,∴|
CF
|=|
AC
|-|
AF
|=6-3=3,∴F
为线段
AC
的中点.故
13
点
F
到准线的距
离为
p
=|
AA
1
|=,故抛物线的方程为
y
2<
br>=3
x
.
22
三、抛物线的综合问题
例5、(1)直线<
br>AB
的方程是
y
=22(
x
-),与
y
2<
br>=2
px
联立,从而有4
x
2
-5
px
2<
br>+
p
2
=0,所以:
x
1
+
x
2<
br>=
5
p
,由抛物线定义得:|
AB
|=
x
1
+
x
2
+
p
=9,
4
p
所以<
br>p
=4,从而抛物线方程是
y
2
=8
x
.
.
(2)由
p
=4,4
x
2
-5
px
+
p
2
=0可简化为
x
2
-5
x
+4=0,从而
x
1
=1,
x
2
=4,
y
1
=-
22,
y
2
=42,从而
A(1,-22),
B
(4,42);
设
OC
=(<
br>x
3
,
y
3
)=(1,-22)+
λ
(4,
42)=(4
λ
+1,42
λ
-22).
又
y
2
2(2
λ
-1)]
2
=8(4
λ
+1).
3
=8
x
3
,即[2
即(2
λ
-1)
2
=4
λ
+1.解得
λ
=0,或
λ
=2.
例6、 (1)设动点
P
的坐标为(
x
,
y
),由
题意有
uuur
x
-1
2
+
y
2
-|x
|=1.化简得
y
2
=2
x
+2|
x
|. 当
x
≥0时,
y
2=4
x
;当
x
<0时,
y
=0.
所以,动点
P
的轨迹
C
的方程
为
y
2=4
x
(
x
≥0)和
y
=0(x
<0).
(2)由
题意知,直线
l
1的斜率存在且不为0,设为
k
,则
l
1的
方程为
y
=
k
(
x
-
?
y
=kx
-1
1).由
?
2
?
y
=4
x<
br>
,得
k
2
x
2
-(2
k
2
+4)
x
+
k
2
=0. (7分) 4
设
A
(
x
1
,
y
1
),<
br>B
(
x
2
,
y
2
),则
x
1
,
x
2
是上述方程的两个实根,于是
x
1
+x
2
=2+
2
,
k
x
1
x
2
=1. (8分)
1
因
为
l
1
⊥
l
2
,所以
l
2
的斜率
为-. 设
D
(
x
3
,
y
3
),
E
(
x
4
,
y
4
),则同理可得 <
br>k
x
3
+
x
4
=2+4
k
2
,
x
3
x
4
=1. =(
x
1
+1)(
x
2
+1)+(
x
3
+1)·(
x
4
+1)
=
x
1
x<
br>2
+(
x
1
+
x
2
)+1+
x3
x
4
+(
x
3
+
x
4
)+
1 (11分)
=1+(2+
2
)+1+1+(2
+4
k
)+1=8+4(
k
+
2
)≥8+4×2
4
22
1
k
2
k
k
·
2
=16.
k
2
1
uuur
uuur
当且仅当
k
=<
br>2
,即
k
=±1时,
AD
EB
取最小值16.
k
1
·
例7 、
(1)抛物线
y
=2
px
(
p
>0)的准线为
x<
br>=-,由抛物线定义和已知条件可知
2
|
MF
|=1-(-)=1+=2,解得
p
=2,
故所求抛物线
C
的方程为
y
2
=4
x
.
22
2
p
pp
?
y
=-
1
x
+<
br>b
,
2
(2)联立
?
?
y
=4
x<
br>2
消去
x
并化简整理得
y
2
+8
y
-8
b
=0.
依题意应有
Δ
=64+32
b<
br>>0,解得
b
>-2.设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2),则
y
1
+
y
2
.
=-8,
y
1
y
2
=-8
b
,设圆心Q
(
x
0
,
y
0
),则应用
x
0
=
x
1
+
x
2
2
,
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=-4.
因为以
AB
为直径的圆与
x
轴相切,所以圆的半径为
r
=|
y
0
|=4.
又|
AB
|=
5[
y1
+
y
2
x
1
-
x
2
22
+
y
1
-
y
2
2
=1+4
y
1
-
y
2
2
=
-4
y
1
y
2
]=5
64+32
b
64+32
b
所以|
AB
|=2
r
=5
8
=8,解得
b
=-.
5
48
,
5
所以
x
1
+x
2
=2
b
-2
y
1
+2
b
-2
y
2
=4
b
+16=
则圆心
Q
的坐标
为(
2424
,-4).故所求圆的方程为(
x
-)
2
+(
y
+4)
2
=16.
55
练习题:
1.C.解
析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,),双曲线的上焦点为(0,2),
4
依题意则有
=2解得
a
=8.
4
a
a
y
1
2.B.
解析:抛物线方程可化为
x
2
=-,其准线方程为
y
=.设
M
(
x
0
,
y
0
),则
416
由
抛物线的定义,可知
115
-
y
0
=1?
y
0=-.
1616
3.C.解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段
AB
中点到
y
轴的距离
11315
为:(|
AF
|+|
BF
|)-=-=.
24244
4.C.解析:设抛物线焦点弦为
AB
,中点为
M
,准线
l
,
A
1
、
B
1
分别为
A
、
B
在直
1
线
l
上的射影,则|
AA
1
|=|
AF
|,|
BB1
|=|
BF
|,于是
M
到
l
的距离
d
=(|
AA
1
|+
2
11
|
BB
1
|)=(|
AF
|+|
BF
|)=|
AB
|=
半径,故相切.
22
?
y
=
x
-2,
5.C.解
析:依题意
F
(2,0),所以直线方程为
y
=
x
-2由<
br>?
2
?
y
=8
x
,消去
y
得
x
2
-12
x
+4=0.设
A
(
x<
br>1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),则||
FA
|-|
FB
||=|(
x
1
+2)-(
x
2
+2)|=|
x
1
-
x
2
|=(
x
1
+
x
2
)2
-4
x
1
x
2
=144-16=82.
.
6.B.解析:如图所示,直线
l
为抛物线
y
=2
x
2
的准线,
F
为其
焦点,
PN
⊥
l
,
AN
1
⊥
l
,由抛物线的定义知,
|
PF
|=|
PN
|,∴|
AP
|
+|
P
F
|=|
AP
|+|
PN
|≥|
AN
1
|
,当且仅当
A
、
P
、
N
三点共线时取
等号.∴P
点的横坐标与
A
点的横坐标相同即为1,则可排除A、C、D.答案:B
7.B.解析:由准线方程
x
=-2,可知抛物线为焦点在
x
轴正
,半轴上的标准
方程,同时得
p
=4,所以标准方程为
y
2=2
px
=8
x
8.解析:抛物线的焦点为
F
(0,4),准线为
y
=-4,则圆心为(0,4),半径
r
=<
br>8.
所以,圆的方程为
x
2
+(
y
-4)
2
=64.
9.解析:设抛物线方程为
x
2
=
ay
(
a
≠0),则准线为
y
=-.∵
Q
(-3,
m
)在抛物4
线上,∴9=
am
.而点
Q
到焦点的距离等于点
Q<
br>到准线的距离,∴|
m
-(-)|=5.
4
99
a
将
m
=代入,得|+|=5,解得,
a
=±2,或
a
=±18
,∴所求抛物线的方程
aa
4
为
x
2
=±2
y,或
x
2
=±18
y
.
?
y
=4<
br>x
10.解析:由
?
?
2
x
+
y
-
4=0
2
a
a
,消去
y
,得
x
2
-5
x
+4=0(*),方程(*)的两根
为
A
、
B
两点的横坐标,故
x
1
+
x
2
=5,因为抛物
线
y
2
=4
x
的焦点为
F
(1,0),所
uuuruuur
以|
FA
| +|
FB
|
=(
x
1
+1)+(
x
2
+1)=7
11.解析
:因线段
AB
过焦点
F
,则|
AB
|=|
AF|+|
BF
|.又由抛物线的定义知|
AF
|
=
x1+1,|
BF
|=
x
2+1,故|
AB
|=
x
1+
x
2+2=8.
12.解析:双曲线方程化为-=1,左顶点为(-
3,0),由题意设抛物线方程
916
为
x
2
y
2
p
y
2
=-2
px
(
p
>0),则-=-3,∴
p
=6,∴抛物线方程为
y
2
=-12
x
. 2
(2)由于
P
(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方
程为
y
2
=
mx
或
x
2
=
ny<
br>,代入
P
点坐标求得
m
=8,
n
=-1,
∴所求抛物线方程为
y
2
=8
x
或
x
2
=
-
y
.
13.解:设点
M
(,
y
1
),
P
(,
y
2
),
44
y
2
1
y
2
2
.
∵
P
,
M
,
A
三点共线,
∴
k
AM
=
k
PM
,
即
y1
y
2
1
=
4
+1
y
1
-<
br>y
2
y
1
1
=,∴
y
1
y
2
=4.
22
,即
2
y
1
y
2
y
1
+4
y
1
+
y
2
4
-
4
uuuuruuur
y
2
uuuuruuur
y
2π
12
∴
OM
·
OP
=·+
y
1
y
2
=5.∵向量
OM
与
OP
的夹角为,
∴|
u
OM
uuur
|·|
u
OP
uur
.
444
·cos
π
4
=5.∴S
1
uuuuruu
ur
π5
△POM
=
2
|
OM
| ·|
OP
| ·sin
4
=
2
.
|
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