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高中数学抛物线的概念与性质

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 23:50
tags:高中数学抛物线

高中数学唐诗不等式秒杀秘籍收藏-高中数学1-1电子

2020年10月5日发(作者:方福林)



精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号

年 级:高二 辅导科目:数学 课时数:3

课 题 抛物线概念与性质
1、掌握抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程;

教学目标

2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程;应用抛物线定义解决一些与焦点
弦长有关的问题。
教学内容
一、知识梳理
1、抛物线的定义
定义:平面内与一个定点F和一条定直线
l
(定点F不在定直线
l
上)的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线,点F
叫做抛物线的焦点,直线
l
叫做抛物线的准线。
思考:如果定点F在定直线
l
上,动点的轨迹是什么?
2、抛物线的标准方程和性质

标准方程 图形 顶点
(0,0)
对称轴 焦点
(
准线
y
2
?2px

x

p
,0)
2
x??
p

2

y
2
??2px

(0,0)
x

(-
p
,0)
2
x?
p

2

x
2
?2py


(0,0)
y

(0,
p
p
)
y??

2
2
x
2
??2py

(0,0)
y

(0,-
p
)
2
y?
p

2

我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。

3、直线与抛物线
它们的位置关系无外乎三种情况,即相切、相交、相离。具体来说:
.



1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决;
2、只有一个公共点,对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行;
3、有两相异的公共点,表示相割,此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。

常见的问题有:
(1)直线与圆锥曲线位置关系的研究。
包括位置关系的判定,位置关系与参数值,位置关系与曲线方程等。
(2)直线与圆锥曲线相交成弦的问题。
包括弦长的计算,弦的中点,最值,由弦长或弦的中 点的几何性质确定直线方程或圆锥曲线的方程,对称性问
题等等。
弦长的求法:由
?
?
F(x,y)?0
?ax
2
?bx?c?0(a?0)

?
Ax?By?C?0
22
弦长
d?(x
1
?x< br>2
)(1?k)
?1?k
2
?
?
(k为直线l斜率)
.
|a|
11?
(k为
直线
l
斜率
)
. < br>)?1??
k
2
k
2
|a|
注意:消去
x< br>可得关于
y
的二元方程有
d?(y
1
?y
2
)
2
(1?
求解的基本策略是,将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题, 进而转化为一元二次方程的实
根问题,因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用,以及设而 不求、整体代入、数形结合的思想
方法技巧在这里起着极为重要的作用。

4、抛物线的特殊性质
(1)过抛物线
y?2px

p?0
)的焦点F的直线l交抛物线于
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)
两点,设
FA?m

2
p
2
112
2
(1)
x
1
x
2
?
;(2)
y
1
y
2
??p
;(3)< br>k
OA
k
OB
??4
;(4)
??
FB?n
,O为原点,则有:
4
mnp
(2)直线l交抛物线
y ?2px

p?0


A(x
1
,y
1< br>)

B(x
2
,y
2
)
两点,O为原点,若 OA⊥OB,则直线l经
过定点(2p,0),
y
1
y
2
? ?4p
,反之亦然(证明略)。
2
2
二、例题解析
1、抛物线< br>y??2x
的准线为___
y?
2
11
____ ,焦点坐标为______
(0,?)

88
2、已知圆
x
2
?y
2
?6x?7?0
,与抛物线
y
2
?2px (p?0)
的准线相切,则
p?
_______2
3、点M与点F< br>(4,0)
的距离比它到直线:
x?5?0
的距离小1,则点
M
的轨迹方程是
___________
y?16x

2
x< br>2
y
2
??1
有一个共同的焦点,则
P
的取值范围是 ______
(0,18)
4、抛物线
y?2px

p?0
)与椭圆
9m
2
.



5、抛物线
y??16x
上一点
P

x
轴的距离为12,则点
P
到焦点的距离为__________13
6、一个正三角形的顶点都在抛物线
y?4x
上,其中一个顶点在原点,则这个三角形 的面积是( A )
2
2
(A)
483
(B)
243

(C)
163
(D)
463

9
2
7、若点A的坐标是(3,2),F为抛物线y =2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MA|+|MF|取最小值的M的
坐标为_____(2, 2)_
8、若抛物线
y?(k?1)x
与双曲线
x?y?1?0
没 有公共点,则实数
k
的取值范围为______
(?1.1)?(1,3)

9、求顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。
解 :直线L与X轴交点(4,0),与Y轴交点(0,-3)所以抛物线方程为
y?16x或x??12y










焦点弦有关的问题
1、已知
P(x
0
,y
0
)< br>是抛物线
y?2px
上的点,
F
是该抛物线的焦点,求证:
| PF|?x
0
?
2
22
222
p
.
2< br>[说明]利用抛物线的定义,将点
P
到焦点的距离转化为到准线的距离,
|PF |
称为抛物线的焦半径.
证明:过点
P(x
0
,y
0)
作准线
l:x??
pp
的垂线,垂足为
Q
,则
Q(?,y
0
)
.根据抛物线的定义,
22
pp
|PF| ?|PQ|?x
0
?(?)?x
0
?
.
22



2、在抛物线y
2
=8x上一点到x轴的距离为4,则该点到焦点F的距离为 6
3、在抛物线y
2
=8x上与焦点F的距离等于6的点的坐标为 .

4,?42

4、过抛物线y
2
=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x
1
, y
1
) ,B(x
2
, y
2
)两点,如果x
1
+ x
2
=6,那么|AB|=
( A )
A.8
5、过抛物线
y?ax
2
??
B.10 C.6 D.4 ?
a?0
?
的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ得长分别 是
p

q

.




11
?
等于( C )
pq
A
2a
B
1
4
C
4a
D
2a
a
解析:考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于
x
轴。
6、抛物线
y?2px

p?0
)上有
A(x
1
, y
1
)

B(x
2
,y
2
)
、< br>C(x
3
,y
3
)
三点,
F
是它的焦点,若
AF

BF

2
CF
成等差数列,则( A )
A
x
1
,x
2
,x
3
成等差数列 B
x
1
,x
3
,x
2
成等差数列
C
y
1
,y
2
,y
3
成等差数列 D
y
1
,y
3
,y
2
成等差数列
7、
AB
是抛物线
y?x
的焦点弦,若
AB?4
,则
A B
的中点到直线
2x?1?0
的距离是________
8、若抛物线
y?4x
的焦点弦长为
5
,求焦点弦所在直线方程.
[说明]根据焦半径公式,焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示.
解:抛物线的焦点 为
F(1,0)
.设焦点弦的两个端点分别为
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
.
由 条件,
|AB|?|AF|?|BF|?(x
1
?
2
2
9< br>
4
pp
)?(x
2
?)?x
1
?x
2
?2?5
,所以
x
1
?x
2
?3
.
22
如果直线
AB
平行于
y
轴,那么
x
1
?x
2
?1
,这与
x
1
?x
2
? 3
矛盾,所以直线
AB
不平行于
y
轴.
设焦点弦所在直线方程为
y?k(x?1)
,联立方程
?
y?k(x?1),
2222
消去
y
,得到
kx?2(k?2)x?k?0

?
2?
y?4x,
2(k
2
?2)
?3
,求出
k? ?2
,于是焦点弦所在直线
AB
的方程为
2x?y?2?0
. 根据 韦达定理,
x
1
?x
2
?
2
k
9、过抛物 线
y?8x
的焦点
F
作抛物线的弦
AB
,当
AB? 32
时,求直线
AB
倾斜角的大小。
答案:
k?








10、已知抛物线的顶点 在原点,焦点在
y
轴上,抛物线上一点
M(m,?1)
到焦点的距离是
3
,求抛物线的方程、
.
2
2
1
00
,所以 倾斜角为
30

150

3



准线方程、焦点坐标以及
m
的值。
[说明]根据点
M
的纵 坐标为负值可以确定抛物线开口向下,进而确定抛物线的方程形式.
解:设抛物线方程为
x? ?2py(p?0)
,其准线方程为
y?
根据抛物线的定义,有
2
p
.
2
p
?1?3
,所以
p?4
.
2
2
抛物线的方程为
x??8y
,准线方程为
y? 2
,焦点坐标为
F(0,?2)
,将点
M(m,?1)
的坐标代入方 程
x
2
??8y
,算得
m??22




直线与抛物线
1、抛物线
y?x
上一点到直线
2x?y ?4?0
的距离最短的点的坐标是( A )
A.(1,1) B.(
2
11
,

24
2
C.
(,)

39
24
D.(2,4)
2、过点(0,1)作直线,使它与抛物线
y?4x
仅有一个公共点,这样的直线有( C )
A.1条 B.2条 C.3条 D.0条
2
3、直线
y?x? m
交抛物线
x?y

A

B
两点,若
OA ?OB
,则
m?
_______1
4、抛物线y
2
=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4
3
,则焦点到AB的距离为 2
2
5、过A(-1,1),且与抛物线
y?x?2
有一个公共点的直线方程为
?2?22x?y?1?22?0
??
及X=-1
6、在抛物线
y ?8x
中,以
(1.?1)
为中心的弦所在的直线方程为_________
4x?y?3?0

7、已知直线l过点A(4,0)且与抛物线
C:y?2px(p ?0)
交于P、Q两点,若以PQ为直径的圆恒过原点O,
求抛物线C的方程。










8 、给定直线
l

y?2x?16
,抛物线C:
y?ax(a?0)< br>。
(1)当抛物线C的焦点在直线
l
上时,确定抛物线C的方程。
.
2
2
2



(2)若△ABC的三个顶点都在 (1)所确定的抛物线C上,且点A的纵坐标
y
A
?8
,△ABC的重心恰在 抛物
线C的焦点上,求直线BC的方程。
答案:(1)
y?32x

(2)
?y
A
?8.
代入
y?32x

x
A
?2
则A(8,2),设
C
?
x
1
,y
1
?
B
?
x
2
,y
2
?
.l
AB
直线方程代入
y?32x
,
22
2
?
x
1
?x
2
?2
?8
?
1
?3< br>由韦达定理及重心坐标公式
?
求得
b?10,k??
.
?l< br>BC
:4x?y?40?0

4
?
y
y
?y
2
?8
?0
?
3
?



9、已知动圆过定点
P(1,0)
,且与定直线
l:x??1
相切,点C

l
上。
(1)求动圆圆心的轨迹
M
的方程; < br>(2)设过点
P
且斜率为
?3
的直线与曲线
M
相交于
A

B
两点,求线段
AB
的长;
(3)问:△< br>ABC
能否为正三角形?若能,求点
C
的坐标;若不能,说明理由。
解:(1)因为动圆
M
过定点
P(1,0)
,且与定直线
l:x?? 1
相切
所以由抛物线定义知:圆心
M
的轨迹是以定点
P(1,0)
为焦点,定直线
l:x??1
为准线的抛物线
所以 圆心
M
的轨迹方程为
y?4x
------4分
(2)由题知,直线
AB
的方程为
y??3(x?1)
------6分
2
?
123
16
?
y??3(x?1)
),B(3,?23)
所以
?
解得:
A(,
------8分
|AB|?
----10分
2
33< br>3
?
?
y?4x
(3)假设△
ABC
能为正三角形, 则设点
C
的坐标为
(?1,y)
---11分
由题知
|AB|?|AC|?|BC|?
16
13分
3
即:
()?(y?
4
3
2
23
2< br>16
)?4
2
?(y?23)
2
?()
2
------14分
33
由于上述方程无实数解,因此直线
l
上不存在这样的点C。 ------16分

10、若抛物线
y?2x
上两点
A(x
1
,y< br>1
)

B(x
2
,y
2
)
关于直线
y?x?m
对称,且
x
1
x
2
??
答案:
m?


.
2
1
,求
m
的值。
2
3

2











11、若抛物线
y?ax?1
上存在关于直线x+y=0对称的两点,求a的范围。
2
?
(1)
?
n?am?1
[解析]:提 示:设A(m,n),B(-n,-m)为抛物线
y?ax?1
上关于x+y=0对称的两点, 则
?

2
?
(2)
?
?m?an?1 < br>2
2
(1)-(2)得
m?n?
22
1
(m?n?0 )
(3)
a
22
(1)+(3)得
am?am?(1?a)?0
,故判别式
??a?4a(1?a)?0
,又a≠0

a?
3

4




三、总结与反思




四、课后作业
x
2
1、抛物线
y??
的准线方程是( C )
8
A.
x?
1

32
22
B.
x?
1

4
C.y=2 D.y=4
2、与椭圆
4x?5y?20
有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线方程是( B )
22
A.
y?4x
B.
y??4x
C.
x?4y
D.
x??4y

22
3、已 知A、B是抛物线
y?2px(p?0)
上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△ AOB的垂心恰是此抛物
线的焦点,则直线AB的方程是( C )
.
2



A.x=p B.
x?
3
p

2
C.
x?
5
p

2
D.3p
4、已知抛物线 的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点
P(m,?3)
到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )
A.
x
2
?8y
B.
x
2
?4y
C.
x
2
??4y
D.
x
2
??8y

5、已知抛物线x
2
=4y, 过焦点F,倾斜角为
?
的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB的长为 ( A )
4
A.8 B.4
2
C.6 D.3
2

6、过点M(2,4)作与抛物线y
2
=8x只有一个公共点的直线l有( C )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
7、直线
y?kx?2
与抛物线
y?8x
交于A、B两点 ,且AB中点的横坐标为2,则k的值为( )
(A)
?1
或2 (B)
?1
(C)2 (D)
1?3

2
8、抛物线y
2
=8x的焦点为F、P在 抛物线上,若|PF|=5,则P点的坐标为( C )
A. (3,2
6
) B.(3,-2
6
)
D.(-3,2
6
)或(-3,-2
6
) C.(3,2
6
)或(3,-2
6
)
2
9、设F为抛物线 y=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若
FA?FB?FC?0
则|FA|+|FB |+|FC|=( B )
(A)9

10、动圆
M
经过点
A
?
3,0
?
且与直线
l

x??3相切,则
M
的轨迹方程为
y?12x

2
(B) 6 (C) 4 (D) 3
11、若点M到点
F
?
1,0
?
的距离比它到直线
x?0
的距离大1,则点M的 轨迹方程为
y?4x

2
y?0
?
x?0
?

12、抛物线
y?4x
上的两点A、B到焦点的距离之和为10,则线段AB中点到y轴的距 离为 4
13、顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且焦点在直线< br>3x?4y?12
上的抛物线方程是
y?16x

2
2
x
2
??12y
14、等腰直角三角形AOB内接于抛物线y
2
=2px(p>0),O为抛物线的顶点, OA⊥OB,则△AOB的面积为
4p
2

15、抛物线y=4x
2
上的点到直线y=4x-5的最近距离是

16、顶点在原点,焦点在
x
轴上的抛物线,截直线
2x?y?1 ?0
所得弦长为
15
,求抛物线方程。
答案:
y?12x

y??4x






.
22









17、已知直线
l:y?x?m
与抛物线
y?4x
交于
A、B
两点,
(1)若
AB?10
,求
m
的值;
(2)若
OA?OB
,求
m
的值.
解:设
A?
x
1
,y
1
?
、B
?
x
2
,y
2
?

2
?
y?x?m
(1)
?
2
?
x
2
?
?
2m?4
?
x ?m
2
?0
------------------------------1分
?
y?4x
?
??
?
2m?4
?
2
?4m
2
?0
?
-------------------------- ---------------------2分
?
?
x
1
?x
2
?4?2m
?
2
?
x
1
x
2< br>?m
AB?x
1
?x
2
?2?10

4?2 m?2?10

m??2
---------------2分
?m?1< br>,
?m??2
--------------------------------- ------------------------1分
(2)
?OA?OB

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0-----------------------------------1分
x
1
x
2
?
?
x
1
?m
??
x
2
?m
?
?0

2x
1
x
2
?m
?
x
1
?x
2
?
?m
2
?0
-----------------------------------------2分 2m
2
?m
?
4?2m
?
?m
2
?0

m
2
?4m?0

m?0orm??4
,-- -------------------------------2分
经检验
m??4
满足----------------------------- --------------------------1分


.

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