锥体面积公式(完整版)高中物理功和功率

2020年10月5日发(作者：邵诲芳)
学习重点：
1、功的概念
2、功的两个不可缺少的要素
3、机械功的计算公式
4、功率的概念及其物理意义

知识要点：
（一）功的概念
1、定义：
如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，物理学中
就说力对物体做了功。

2、做功的两个不可缺少的要素：
力和物体在力的方向上发生的位移。（分析一个力是否做功，关键是要看物
体在力的方向上是否有位移）

（二）功的公式和单位
1、公式：
W=F·Scosα

即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦
三者的乘积。







2、功的单位：
在国际单位制中功的单位是“焦耳”，简称“焦”，符号“J”
1J=1N·m （1焦耳=1牛·米）
3、公式的适用条件：
F可以是某一个力，也可以是几个力的合力，但F必须为恒力，即大小和方
向都不变的力。

4、两种特殊情况：（从A运动到B）
（1）力与位移方向相同，即α=0°
W=F·S·cos0°=F·S

（2）力与位移方向相反，即α=180°
W=F·S·cos180°=-F·S

5、公式中各字母的正负取值限制：
F和S分别指“力的大小”和“位移的大小”即 公式中的F和S恒取正值，
α指力和位移之间的夹角，也就是力的方向和位移的方向之间的夹角，α的取
值范围是：0°≤α≤180°。

6、参考系的选择：
位移与参考系的选取有关，所以功也与参考系的选取有关。

在中学范围内，计算时一律取地面或相对于地面静止的物体作为参考系。

（三）正功与负功
1、功的正负完全取决于α的大小：
（1）当0°≤α<90° 时，cosα>0，W>0，此时力F对物体做正功，该力称
为物体的“动力”。

（2）当α=90°时，cosα=0，w=0，此时力F对物体做零功，或称力对物
体不做功。

（3）当90°<α≤180°时，cosα<0，W<0，此时力F对物体做负功，或 称
物体克服力F做功，该力称为物体的“阻力”。

2、功是标量，只有大小、没有方向。功的正负并不表示功有方向。

（四）合力所做的功等于各分力做功的代数和。
即：W
合
=W
1
+W
2
+…

（五）功率的概念：
1、功率是描述做功快慢的物理量。
2、功和完成这些功所用的时间的比值，叫做功率。
3、功率是标量。

（六）功率的公式和单位：
1、定义式：

用的时间，P代表功率）

（其中W代表功，t代表做功所





2、功率的单位：
（1）在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称“瓦”，符号“W”
1W=1JS（1瓦=1焦秒）
（2）千瓦：符号“kw”1kw=1000w（1千瓦=1000瓦）
（七）平均功率与瞬时功率
1、平均功率：

其中是物体在t时间内的平均速





度，α是F与

2、瞬时功率：
之间的夹角。
P=Fvcosα（当Δt→0时， 为瞬
时速度）
其中v是物体在某一时刻的瞬时速度，α是F与v之间的夹角。

3、说明：
如果作用于物体上的力为恒力，且物体以速度v做匀速直线运动，则力对物
体做功的功率保持不变。在这 种情况下，任意一段时间内的平均功率与任一瞬间
的瞬时功率都是相同的。

（八）额定功率与实际功率
1、额定功率：机械在正常工作时所允许的最大功率。

2、实际功率：机械在实际工作时的功率

3、机械正常工作的条件：P
实
≤P
额


（九）汽车运行问题
1、在汽车运行问题中，牵引力F和速度v通常方向是一致的，因此其瞬时< br>功率的表达式可以写作：P=F·v。

2、在功率恒定的情况下，牵引力与瞬时 速度v成反比。即有较大的牵引力，
就必须有较小的速度，用较小的牵引力，就一定有较大的速度。

3、汽车的两种启动方式：（设汽车所受的阻力恒为f，同F在一条直线上）
（1）以恒定功率P
0
启动：
汽车刚开动时，行驶速度v较小，由于P
0
=F·v是恒定的，所以牵引力F较
大。F>f，则汽车做加速运动。随着速度v的增大，由 P
0
=Fv可知，F逐渐减小，
所以汽车的加速度逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的 加速运动，当F减小至与
f相等时，即F=f，汽车的速度达到最大，
v
m
， 此后汽车以速度v
m
做匀速直线运
动。

特别地，如果汽车以 额定功率P
额
启动、运行，由上面的分析可知，汽车所
能达到的最大速度就是

这个过程可以简单地表示成：
v
小
，F
大
，a
大
v↑


F ↓
ΣF=F-f↓
a↓
v↑
F↓
……
F=f
vm


（2）以恒定牵引力F
0
（F
0
>f）启动：
汽车刚开动时， 行驶速度v较小，P
实
额
，由于ΣF=F
0
-f是恒定 的，所以
加速度a也是恒定的，汽车做匀加速直线运动，随着v的增大，汽车的实际功率
P实
=F
0
·v逐渐增大，当P
实
=P
额
时，安 全运行的要求使得此后汽车的牵引力必须
减小，则加速度a逐渐减小，汽车开始做加速度逐渐减小的加速 运动，当F=f
时，汽车的速度达到最大，v
m
汽车以v
m
做匀速直 线运动。

这个过程可以简单地表示成：

F
0
不变，v
小
，P
实
=F
0
v额
，Σ F=F
0
-f不变
a不变
，此后
v↑
P
实
P
实
=P
额
，
↑
v↑F↓
ΣF=F-f↓
a↓
v↑
F↓
……F=f
v
m


（3）两种启动方式的v-t图线如下图所示：

以恒定功率启动 以恒定牵引力启动
典型例题：
例1、一个质量m=1kg的物体，受到与斜面平 行向上的拉力F=10N，沿斜面
向上做匀速直线运动，从斜面底端运动到斜面顶端，已知斜面的倾角为 37
0
，高
为H=3m,求各力对物体所做的功，以及各力对物体所做的总功。（g取 10ms
2
）

分析：
物体从斜面底端匀速滑至顶端， 由此可见物体所受到的合外力为零。这是本
题的一个突破口，对物体进行受力分析，然后通过所给的F的 大小，以及质量的
大小，推导出其它各力的大小，在确定了物体所受各力的大小之后，应确定各力
与物体位移之间的夹角，再根据求功的公式进行计算。
求合力对物体做的功，可以直接将合力 、位移、合力与位移的夹角代入公式
计算，也可以求各分力做的功，合力功等于分力功的代数和。两种方 法都可以，
在本题中由于合外力为零，因此可直接由W=F·Scosα得出合力功为零，当然也
可以由各分力的功的代数和来验证。

解：
对物体进行受力分析（先假设物体受到斜面对它的滑动摩擦力f），对各力
进行正交分解，

由于物体做匀速运动，所以ΣF =0
x轴：mgsin37°+ f=F
y轴：mgcos37°=N
∴
物体的位移

∴W
G
=mg·s·cos(90°+37°)=10×5×(-

)=-30(J)
W
F
=F·s·cos0°=10×5=50(J)
W
f
=f·s·cos180°=4×5×(-1)=-20(J)
W
N
=N·s·cos90°=0
W
合
=ΣF·s=0
（或W
合
=W
G
+W
F
+W
f
+W
N
=(-30)+50+(-20)+0=0）

所以，重力对 物体做功为-30焦，拉力F对物体做功50J，摩擦力对物体做
功-20焦，支持力对物体不做功。合 力对物体做功为零。

在本题中，重力做功W
G
=-30J，也可以说物体克服重力做了30J的功。

求重力做功的另外一种简便算法是：物体在重力的方向上发生的位移
s'=H=3m，与重 力的方向相反，所以W
G
=mg·s'·cos180°=10×3×(-1)=-30(J) ，
可见重力对物体做功与始末位置的高度差有关。

例2、质量m=2kg的物体从静止开始自由下落，求：
（1）重力G在t=3s内对物体做的功
（2）重力G在t=3s内对物体做功的平均功率
（3）在3s末，重力G对物体做功的瞬时功率。（取g=10ms
2
）

分析：
物体只在重力作用下从静止开始做自由落体运动，由运动学知识可知，物体
在t= 3s内的位移
s=at
2
=
×10×9=45(m)，物体在3s末的速度< br>v=at=10×3=30(ms)。知道了重力G=mg=20(N)、S、v就可以算出功和功率。

解：
（1）重力在t=3s内对物体所做的功为：W=mg·s=20×45=900(J)
（2）重力在t=3s内对物体做功的平均功率：

（3）在3s末，重力对物体做功的瞬时功率为：P=mg·V=20×30=600（W）

注意：
重力在t=3s内的平均功率也可以这样计算：
物体在t=3s内的平均速度
平均功率：
=mg· =20×15=300（W）

练习：
1、用同样的力F分别推放在光滑水平面上的质量较小的物体A和 放在粗糙
水平面上的质量较大的物体B。若A、B运动相同的位移，则：（ ）
A、F对A做功多
B、F对B做功的平均功率大
C、F对A、B做功一样大
D、F对A和B做功的平均功率相等

2、关于摩擦力做功的说法正确的是：（ ）
A、滑动摩擦力总是做负功
B、滑动摩擦力可能做正功
C、静摩擦力一定不做功
D、静摩擦力可能做负功

3、一悬绳吊着质量为m的物体，以大小为a的加速度竖直向上减速运动了
一段 距离h，则拉力对m做的功为：（ ）
A、mah B、m(a-g)h C、m(g+a)h D、m(g-a)h

4、质量为m的物体固定在一斜面上，当 斜面向左以加速度a做匀加速直线
运动了距离S时，斜面对物体做功是多少：（ ）
A、mas B、mgscosθ C、mgssinθ D、mascosθ

5、质量为m的物体放在倾角为θ的斜面上，物体相对斜面静止向右匀速运
动了距离s，则 斜面对物体做功是多少：（ ）
A、mgscosθ B、mgsinθ C、0 D、无法计算

6、从空中以40ms的初速度平抛一个重为10N的物体，物体在空 中运动3s
落地，不计空气阻力，取g=10ms
2
，则物体落地时重力的瞬时功率是 ：（ ）
A、400W B、300W C、500W D、700W

7、质量为2t的汽车的以30kW的功率在平直公路上行驶，能达到的 最大速
度为15ms，当汽车速度为10ms时，其加速度为：（ ）
A、0.5ms
2
B、1ms
2
C、1.5ms
2
D、2ms
2


8、一辆 汽车以恒定的功率沿倾角为30°的斜坡行驶时，汽车所受的摩擦阻
力等于车重的2倍，若车匀速上坡时 速度为v，则它下坡时的速度为：（ ）
A、v B、2v
C、3v D、v

9、质量为5×10
6
kg的 列车以恒定的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速
度增大到v
1
=2ms时，加速度 a
1
=0.9ms
2
；当速度增大到v
2
=10ms时，加 速度
a
2
=0.1ms
2
。如果列车所受阻力不变，求：
（1）汽车所受阻力多大？
（2）在该功率下列车的最大速度是多少？

答案：
1、C 2、BD 3、D 4、A 5、C 6、B 7、A 8、A 9、f=5×10
5
N，
v
m
=20ms