高中数学抛物线的常见结论

抛物线的常见结论
一、知识点总结
1. 抛物线的弦长公式 < br>其中k是弦所在直线的
l?1?k
2
x
1
?x
2?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2
，
斜率，
x
1
,x
2< br>是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。
l?1?m
2
y
1
?y
2
?1?m
2
?(y
1
?y
2< br>)
2
?4y
1
y
2
，其中弦长所在直线
方程 为
x?my?b
，
y
1
,y
2
是交点的纵坐标，本 表达式包含斜率不存在的情况。
2.

抛物线的焦点弦
C
A
α
O
D
F
B
对于抛物线，
y?< br>2
px，p?
0
，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两< br>点，过A,B做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D，那么有：
2
p
2,y
1
y
2
??p
2
①
x
1
x
2
?
4
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一 位想成功的人去努力、去奋斗，而每一
条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力 、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候 ，你就成功了！

?
y
1
y
2
? ?p
2
?
y
2
?2px
?
?
22
由
?
，因此
?
(y
1
y
2
)
2< br>p
2

p
得
y?
2
pmy?p?
0
（＊）
x
1
x
2
??
x?my?
2< br>?
?
2
?
4p4
?
②焦点弦长
AB?x1
?x
2
?p
，焦点弦长
AB?
2P

2
sin
?
(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
1
，结合（＊）式与
m?
得： AB??
tan
?
sin
?
sin
?
y
1
?y
2
4p
2
m
2
?4p
2
?
sin
?
4p
2
1cos
2
?
sin< br>2
?
2
?4p2p?12p?
2222
tan
?tan
?
sin
?
sin
?

??
s in
?
sin
?
sin
?
AB?
2p
?< br>1
sin
2
?
?
2p

sin
?< br>sin
2
?
③
112
??

AFBFP2P
2
AF?BF
112p2p2
sin
?
简单证明如 下:
?????
2
?

y
1
y
2
AFBFAFBFy
1
y
2
pp
sin
?
sin< br>?
P
2
④焦点三角形面积
S?

2sin
?
简单证明如下：以
AB
为底，以O到AB的距离为高，该三角形面积课表示为：
S
AOB
112ppp
2
?ABOFsin
?
??
2
?sin
?
?

22sin
?
22sin
?
⑤焦点弦相关的几何关系：
a.
b.
c.
d.
以AFBF为直径的圆与y轴相切
以AB为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.
以CD为直径的圆与AB相切
A,B在准线上的投影对F的张角为90°，
?CFD?90?

每一个人的 成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一
条成功之路 ，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点 我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

e. 以A,B为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，
两切点所在 直线一定经过抛物线的焦点。
3. 经过x轴上一点
?
a,o
?
的 直线与抛物线相交与两点
A:
?
x
1
,y
1
?,B:
?
x
2
,y
2
?
，不论其斜率为何值， 都有
x
1
x
2
?
a,y
1
y< br>2
??
2pa
成立。
2
特别地，当
a?2p
时，
x
1
x
2
?y
1
y
2
?a?
2
pa?
0
，此时
OA?OB?0,OA?OB
。 反之
结论亦能成立，当
OA?OB,OA?OB?0,
a?2p
,AB所在直 线经过定点
?
2p,0
?
。
二、相关题型总结
1、与焦点弦相关的求值问题
例1：过抛物线C：
x?4y
的焦点F的直线 交C于A，B两点，若
|AF|?
A．2
例2：已知F为抛物线
y?
2
2
2
5
，则
|BF|
=（ ）
4
D．5
B．
5

2
C．4
1x
的焦点，过F作两条夹角为45°的直线
l
1
l
2
，
l
1
交抛物线于A，B两
2
11
?
的最大值为（ ）
ABCD
C．
1?
点，
l
2
交抛物线于C，D 两点，则
A．

1+2

4
B．
1+2

2
2
D.
2?2

例3:已知直线
y?
焦点，那么
3(x?1)
交抛物线
y
2
?4x
于A，B两点 （点A在x轴上方），点F为抛物线的
=（ ）
AF
BF
A．5 B．4
2
C．3 D．2
例4：已知抛物线
y?2px，p?0
的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB， CD与抛物分别
相交于A，B以及C，D，若


每一个人的成功之路或许都 不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一
条成功之路，都是充满坎坷 的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那 就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
11
??
1
，则四边形ACBD的面积的最小值为（ ）
AFBF

2
例
5
： 过抛物线
y?2px,p?0
的焦点做倾斜角为
60
?的直线，与抛物线交于 A,B两点(A在
上方)，则
|AF|
?

|BF|
2例6：已知F是抛物线
y?4x
的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为
1
的直 线，与抛物线交于A,
B两点(A在上方)，则
|AF|
?

|BF |
2
例7：过抛物线抛物线
y?4x
的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A, B两点，若
|AF|?3
,则
三角形 AOB的面积为

2、抛物线中与结论3相关的求值问题
例1：设抛物线C：
y?2px，p?0，过点M
(p,0)
的直线
l
与抛物线相交于A，B两点，O为
坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为
k
1
,k
2
，则
k
1
k
2
=
（ ）
A．-1 B．2
2
2
C．﹣2 D．不确定
例2：已知直线与抛物线
y?4x< br>交于两点A，B且两交点纵坐标之积为
?32
，则直线恒过定点
（ ）
A．（1，0） B．（2，0）
2
C．（4，0） D．（8，0） < br>例3:如图，已知直线与抛物线
x?2py
交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB 交AB于点D，点
D的坐标为
(2,4)
，则p的值为（ ）

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一
条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

A．2
2
B．4 C．
3

2
D．
5

2
例4：设抛物线
y?4x
的焦点为
F
，过点
交于点
C
，若
?
2,0
?
的直线交抛物线于
A,B
两点，与抛物线准线
S
S
ACF
BCF
?
2
，则
AF?
（ ）
5
(C) 3 (D) 2
(A)

2
(B) 4
3
2、抛物线综合问题
例1：直线l与抛物线y
2
=4x相交与A，B两点，若OA⊥OB（O是坐标原点），则△AOB面积的
最小值为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
例2：若抛物线y
2
=4 x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为
（ ）
A．6 B． C．9 D．
例3：已知A，B是过抛物线y
2
= 2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且
满足
AB
A．



?3
FB
,
S
?OAB
?
2
AB
,则
AB
的值为（ ）
3
C．4 D．2 B．
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、 去奋斗，而每一
条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能 取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！