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高中数学-抛物线性质3

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-05 23:58
tags:高中数学抛物线

高中数学必修五章节结构图-高中数学划重点必修三

2020年10月5日发(作者:李立三)



抛物线性质3:过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B两点,则
AB的弦长 为x
1
+x
2
+p

证明:设抛物线方程为y
2
?2px,点A坐标为(x
1
,y
1
),点B坐标为(x
2
,y
2
),因点A、B都在抛物线上
因此,y
1
2
?2px
1
,y
2
2
?2px
2
AB的弦长为r= (y
1
?y
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
,即r?y
1
2
?2y
1
y
2
?y
2
2
?x
1
2
?2x
1
x
2
?x
2
2
r?2px
1
?2y
1y
2
?2px
2
?x
1
2
?2x
1< br>x
2
?x
2
2
y?0y
2
?0
p< br>因线段AB过抛物线的焦点F(,0),于是
1
?
pp
2
x
1
?x
2
?
22
pp
y
1
x2
?y
1
?y
2
x
1
?y
2
22
p
y
1
x
2
?y
2
x
1?(y
1
?y
2
)
2
y
2
2
y
1
2
p
y
1
?y
2
?(y
1< br>?y
2
)
2p2p2
y
1
y
2
p< br>(y
2
?y
1
)?(y
1
?y
2
)
2p2
y
1
y
2
??p
2
y
1< br>2
y
2
2
p
2
于是,x
1
x
2
??
4
4p
2
代入r的表达式,得
p
2
r?2px
1
?2p?2px
2
?x??x
2
2
2
2

2
1
p
2
r?2px
1
? p?2px
2
?x??x
2
2
2
2
2
1< br>r?2px
1
?p
2
?2px
2
?x
12
?2x
1
x
2
?x
2
2
r?(x< br>1
?x
2
?p)
2
r?x
1
?x
2
?p
证毕
p
2
同时可以看出还有性质,x
1
x2
=,y
1
y
2
??p
2
4

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