高中数学必修五章节结构图-高中数学划重点必修三
抛物线性质3:过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B两点,则
AB的弦长
为x
1
+x
2
+p
证明:设抛物线方程为y
2
?2px,点A坐标为(x
1
,y
1
),点B坐标为(x
2
,y
2
),因点A、B都在抛物线上
因此,y
1
2
?2px
1
,y
2
2
?2px
2
AB的弦长为r=
(y
1
?y
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
,即r?y
1
2
?2y
1
y
2
?y
2
2
?x
1
2
?2x
1
x
2
?x
2
2
r?2px
1
?2y
1y
2
?2px
2
?x
1
2
?2x
1<
br>x
2
?x
2
2
y?0y
2
?0
p<
br>因线段AB过抛物线的焦点F(,0),于是
1
?
pp
2
x
1
?x
2
?
22
pp
y
1
x2
?y
1
?y
2
x
1
?y
2
22
p
y
1
x
2
?y
2
x
1?(y
1
?y
2
)
2
y
2
2
y
1
2
p
y
1
?y
2
?(y
1<
br>?y
2
)
2p2p2
y
1
y
2
p<
br>(y
2
?y
1
)?(y
1
?y
2
)
2p2
y
1
y
2
??p
2
y
1<
br>2
y
2
2
p
2
于是,x
1
x
2
??
4
4p
2
代入r的表达式,得
p
2
r?2px
1
?2p?2px
2
?x??x
2
2
2
2
2
1
p
2
r?2px
1
?
p?2px
2
?x??x
2
2
2
2
2
1<
br>r?2px
1
?p
2
?2px
2
?x
12
?2x
1
x
2
?x
2
2
r?(x<
br>1
?x
2
?p)
2
r?x
1
?x
2
?p
证毕
p
2
同时可以看出还有性质,x
1
x2
=,y
1
y
2
??p
2
4
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