高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题


y
2
?2px

(p?0)
抛
l
y
y
2
??2px

(p?0)
y
x
2
?2py

(p?0)
y
F
O
x
l
x
2
??2py

(p?0)
y
O
F

l
x

l
x
物
O
F
x
线

F O
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点
F
叫
定义 做抛物线的焦点，直线
l
叫做抛物线的准线。
{
MMF
=点M到直线
l
的距离}
范围
对称性
(
焦点
p
,0)
2
x?0,y?R

x?0,y?R

x?R,y?0

x?R,y?0

关于
x
轴对称
(
?
p
,0)
2
关于
y
轴对称
(0,
p
)
2
(0,
?
p
)
2
焦点在对称轴上
顶点
离心率
准线
方程
顶点到准
线的距离
x??
p

2
x?
p

2
O(0,0)

e
=1
y??
p

2
y?
p

2
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p

2

1

焦点到准
p

线的距离
焦半径
AF?x
1
?
A(x
1
,y
1
)
p

2
AF??x
1
?
p

2
AF?y
1
?
p

2
AF??y
1
?
p

2
焦 点弦
长


(x
1
?x
2
)?p

?(x
1
?x
2
)?p

(y
1
?y
2
)?p

?(y
1
?y
2
)?p

AB





焦点弦



以
AB
为直径的圆必与准线
l
相切
2p

sin
2
?
2p

cos
2
?
y

o

A
?
x
1
,y
1
?

x
B
?
x
2
,y
2
?

F
AB
的几
条性质
A(x
1
,y
1
)
B( x
2
,y
2
)

若
AB
的倾斜角为
?
，则
AB?
若
AB
的倾斜角为
?
，则
AB?
p
2
x
1
x
2
?

y
1
y
2
??p
2

4
11AF?BFAB2
????

AFBFAF?BFAF?BFp
切线
y
0
y?p(x?x
0
)

y
0
y??p(x?x
0
)

x
0
x?p(y?y
0
)

x
0
x??p(y?y
0
)


2

方程


1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
，消y得：
（1）当k=0时，直线
l
与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线
l
与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线
l
与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线
l
与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）



2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
l
：
y?kx?b
抛物线
① 联立方程法： < br>?
y?kx?b
?
k
2
x
2
?2(kb?p )x?b
2
?0

?
2
?
y?2px
，
(p?0)

设交点 坐标为
A
(
x
1
,
y
1
)
,B(x
2
,y
2
)
，则有
??0
,以及
x
1
?x
2
,x
1
x
2
，还可进一步求 出
y
1
?y
2
?kx
1
?b?kx
2?b?k(x
1
?x
2
)?2b
，

3

y
1
y
2
?(kx
1
? b)(kx
2
?b)?k
2
x
1
x
2
?k b(x
1
?x
2
)?b
2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1 ?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1?k
2
?

a
或
AB?1?
11
?
2
2
y?y?1?(y?y)?4yy

?1?k
121212
k
2
k
2
a
b. 中点
M
(
x
0
,
y
0
)
,
x
0
?
② 点差法：
x
1
?x
2
y?y
2
，
y
0
?
1

22
设交点坐标为
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B(x
2,y
2
)
，代入抛物线方程，得
y
1
?2px
1

y
2
?2px
2
将两式相减，可得
(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?2p(x
1< br>?x
2
)
所以
y
1
?y
2
2p?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2 2

a. 在涉及斜率问题时，
k
AB
?
2p

y
1
?y
2
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段
AB的中点为
M
(
x
0
,
y
0
)
，
p
y
1
?y
2
2p2pp
???
，即< br>k
AB
?
，
y
0
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2y
0
y
0
同理 ，对于抛物线
x
2
?
2
py
(
p?
0)< br>，若直线
l
与抛物线相交于
A、B
两点，点
M(x
0
,y
0
)
是弦
AB
的中点，则有
k
AB< br>?
x
1
?x
2
2x
0
x
0
??

2p2pp
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点， 2）直线的斜
率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

4

例1、设
P
是抛物线
y
2＝4
x
上的一个动点．
(1)求点
P
到点
A
(－1,1)的距离与点
P
到 直线
x
＝－1的距离之和的最小值；
(2)若
B
(3,2)，求|
PB
|＋|
PF
|的最小值．
例2、设
M
(x
0，
y
0)为抛物线
C
：
x
2＝8
y
上一 点，
F
为抛物线
C
的焦点，以
F
为
圆心、|
FM
|为半径的圆和抛物线
C
的准线相交，则
y
0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线
y
2< br>＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，准线为
l
，经过
F
的直线与抛物线交于
A
、
B
两点，交准线 于
C
点，点
A
在
x
轴上方，
AK
⊥
l
，垂足为
K
，若|
BC
|＝2|
BF
|，且< br>|
AF
|＝4，则△
AKF
的面积是 ( )
A．4 B．33 C．43 D．8
例4、过抛物线
y
2
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
的直线交抛物线于点
A
、
B
，交其准线< br>l
于
点
C
，若|
BC
|＝2|
BF
|，且|
AF
|＝3则此抛物线的方程为 ( )

39
22
A．
y
＝
x
B．
y
＝9
x
C．
y
＝
x
D．
y
2
＝3
x

22
2
三、抛物线的综合问题
例5、已知过抛物线
y
2< br>＝2
px
(
p
>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)(
x
1
<
x
2
)两点，且|
AB
|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)
O
为坐标原点，
C
r
uuur
uuur
uuu
为抛物线上一点 ，若
OC
＝

OA
＋
λ
OB
，求
λ
的值．


例6、已知平面内一动点
P
到点
F
(1,0)的距离与点
P
到
y
轴的距离的差等于1.
(1)求动点
P
的轨迹
C
的方程；
(2)过点
F
作两条斜率存在且互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，设
l
1
与轨迹
C
相交于点
A
，
B
，
r
uuur
uuu
l
2
与轨迹
C
相交于点
D
，
E
，求
AD
·

EB
的最小值

例7、已知点
M
(1，
y
)在抛物线
C
：
y
2
＝2
px
(
p>0)上，
M
点到抛物线
C
的焦点
F

5

1
的距离为2，直线
l
：
y
＝－
x
＋
b
与抛物线
C
交于
A
，
B< br>两点．
2
(1)求抛物线
C
的方程；
(2)若以
AB
为直径的圆与
x
轴相切，求该圆的方程．






练习题
1．已知抛物线
x< br>2
＝
ay
的焦点恰好为双曲线
y
2
－
x2
＝2的上焦点，则
a
等于( ）
A．1 B．4 C．8 D．16
2．抛物线
y
＝－4
x
2
上的一 点
M
到焦点的距离为1，则点
M
的纵坐标是 ( )
17
A．－
16
157
B．－ C.
1616

15
D.
16
3．(2011·辽 宁高考)已知
F
是拋物线
y
2
＝
x
的焦点，
A
，
B
是该拋物线上的两点，
|
AF
|＋|
BF
|＝3，则线段
AB
的中点到
y
轴的距离为 ( )
3
A.
4
5
B．1 C.
4

7
D.
4
4．已知抛物线
y
2< br>＝2
px
，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
5．已知
F
为抛物线
y
2
＝8
x
的焦点，过
F
且 斜率为1的直线交抛物线于
A
、
B
两
点，则||
FA
|－|
FB
||的值等于 ( )
A．42 B．8C． 82 D．16
6．在
y
＝2
x
2
上有一点
P
，它到
A
(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点
P
的坐标是 ( )
A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)
7．设抛物线
y
2
＝8
x
的焦点为< br>F
，准线为
l
，
P
为抛物线上一点，
PA
⊥
l
，
A
为垂足．如

6

果直线
AF
的斜率为－3，那么|
PF
|＝ ( )
A．43 B．8 C．83 D．16
8．抛物线的顶点在原点，准线方程为
x
＝－2，抛物线的方程 （ ）
A．
y
2＝－8
x
B．
y
2＝8
x
C．
y
2＝－4
x
D．
y
2＝4
x

9以抛物线
x
2
＝16
y
的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．
10．已知抛 物线的顶点在原点，对称轴为
y
轴，抛物线上一点
Q
(－3，
m)到焦点
的距离是5，则抛物线的方程为________．
11．已知抛物线
y
2
＝4
x
与直线2
x
＋
y
－4＝0相交 于
A
、
B
两点，抛物线的焦点为
uuuruuur
F
，那么|

FA
| ＋|

FB
| ＝________.
12．过抛物线
y
2＝4
x
的焦点作直线交 抛物线于
A
(
x
1，
y
1)，
B
(
x
2，
y
2)两点，若
x
1＋
x
2＝6，那么 |
AB
|等于________
13．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点是双曲线 16
x
2
－9
y
2
＝144的左顶点；
(2)过点
P
(2，－4)．








14．已知点
A
(－1,0)，
B
(1，－1)，抛物线
C
：
y
＝4
x
，
O
为坐标原点，过点
A
的
uuuur
动直线
l
交抛物线
C
于
M
，
P
两点，直线
MB
交抛物线
C
于另一点
Q
.若向量
OM
2
uuur
π
与
OP
的夹角为，求△
POM
的面积．
4



7

解析
一、抛物线的定义及其应用
例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为
F
(1,0)，准线是
x
＝－1.
由抛物线的定义知：点
P
到直线
x
＝－1的距离等于点
P< br>到焦点
F
的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点
P
， 使点
P
到点
A
(－1,1)的距离与点
P
到
F(1,0)
的距离之和最小．显然，连结
AF
交曲线于
P
点，则 所求的最小值为|
AF
|，即为5.
(2)如图，自点
B
作
BQ
垂直准线于
Q
，交抛物线于点
P
1，则|
P
1
Q
|＝|
P
1
F
|.则有|
PB
|＋|
PF
|≥|
P
1
B
|＋|
P
1< br>Q
|＝|
BQ
|＝4.即|
PB
|＋|
PF
|的最小值为4.
例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为
p
，即
p
＝4，根据已 知 只要|
FM
|>4即
可．根据抛物线定|
FM
|＝
y
0＋2由
y
0＋2>4，解得
y
0>2，故
y
0的取值范 围是(2，
＋∞)．
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、设点
A(
x
1
，
y
1
)，其中
y
1
>0.由点
B
作抛物线的准线的垂线，垂足为
B
1
.则有
|
BB
1
|1
|
BF
|＝|
BB
1
|；又|
CB
|＝2|
FB
|，因此有|
CB
| ＝2|
BB
1
|，cos∠
CBB
1
＝＝，∠
CB B
1
|
BC
|2
ππ
p
π
＝.即直线AB
与
x
轴的夹角为.又|
AF
|＝|
AK
| ＝
x
1
＋＝4，因此
y
1
＝4sin＝23，
33 23
11
因此△
AKF
的面积等于|
AK
|·
y< br>1
＝×4×23＝43.
22
例4．分别过点
A
、
B
作
AA
1
、
BB
1
垂直于
l
， 且垂足分别为
A
1
、
B
1
，由已知条件|
BC|
＝2|
BF
|得|
BC
|＝2|
BB
1|，∴∠
BCB
1
＝30°，又|
AA
1
|＝|
AF
|＝3，
∴|
AC
|＝2|
AA
1
|＝6 ，∴|
CF
|＝|
AC
|－|
AF
|＝6－3＝3，∴F
为线段
AC
的中点．故点
13
F
到准线的距离为p
＝|
AA
1
|＝，故抛物线的方程为
y
2
＝ 3
x
.
22
三、抛物线的综合问题
例5、(1)直线
A B
的方程是
y
＝22(
x
－)，与
y
2
＝ 2
px
联立，从而有4
x
2
－5
px
＋
2
5
p
p
2
＝0，所以：
x
1
＋
x
2
＝，由抛物线定义得：|
AB
|＝
x
1
＋
x
2
＋
p
＝9，所以
p
＝4，
4
从而抛 物线方程是
y
2
＝8
x
.
(2)由
p
＝ 4,4
x
2
－5
px
＋
p
2
＝0可简化为
x
2
－5
x
＋4＝0，从而
x
1
＝1，< br>x
2
＝4，
y
1
＝－

8
p

22，
y
2
＝42，从而
A< br>(1，－22)，
B
(4,42)；
uuur
设
OC
＝(
x
3
，
y
3
)＝(1，－22)＋
λ
(4,42)＝(4
λ
＋1,42
λ
－22)．

又< br>y
2
2(2
λ
－1)]
2
＝8(4
λ
＋1)．
3
＝8
x
3
，即[2
即(2
λ
－1)
2
＝4
λ
＋1.解得
λ
＝0，或
λ
＝2.
例6、 (1)设动点
P
的坐标为(
x
，
y)，由题意有
x
－1
2
＋
y
2
－|
x
|＝1.化简得
y
2
＝2
x
＋2|
x
|. 当
x
≥0时，
y
2＝4
x
；当
x
<0时，
y
＝0.
所以，动点
P
的轨迹
C
的方程为
y
2＝4
x
(
x
≥0)和
y
＝0(
x< br><0)．
(2)由题意知 ，直线
l
1的斜率存在且不为0，设为
k
，则
l
1的方程为
y
＝
k
(
x
－1)．由
?
y
＝< br>kx
－1
?
2
?
y
＝4
x

，得
k
2
x
2
－(2
k
2
＋4)
x
＋
k
2
＝0. (7分)
4
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，则
x
1
，< br>x
2
是上述方程的两个实根，于是
x
1
＋
x
2
＝2＋
2
，
k
x
1
x
2
＝1. (8分)
1
因为
l
1
⊥
l
2
，所以l
2
的斜率为－. 设
D
(
x
3
，
y
3
)，
E
(
x
4
，
y
4
)，则同理可得
k
x
3
＋
x
4
＝2 ＋4
k
2
，
x
3
x
4
＝1.
＝(
x
1
＋1)(
x
2
＋1)＋(
x3
＋1)·(
x
4
＋1)
＝
x
1
x
2
＋(
x
1
＋
x
2
)＋1＋
x
3
x
4
＋(
x
3
＋
x
4
)＋1 (11分)
＝1＋(2＋
2
)＋1＋1＋ (2＋4
k
)＋1＝8＋4(
k
＋
2
)≥8＋4×2
4
22
1
kk
k
·
2
＝16.
k
2
1
uuur
uuu
1
r
当且仅当k
2
＝
2
，即
k
＝±1时，

AD
·
EB
取最小值16.
k
例7 、(1)抛物 线
y
＝2
px
(
p
>0)的准线为
x
＝－ ，由抛物线定义和已知条件可知
2
|
MF
|＝1－(－)＝1＋＝2，解得
p
＝2, 故所求抛物线
C
的方程为
y
2
＝4
x
.
22
2
p
pp
?
y
＝－
1
x
＋< br>b
，
2
(2)联立
?
?
y
＝4
x< br>2

消去
x
并化简整理得
y
2
＋8
y
－8
b
＝0.
依题意应有
Δ
＝64＋32
b< br>>0，解得
b
>－2.设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2)，则
y
1
＋
y
2
x
1
＋
x
2
y
1
＋
y
2
＝－8，
y
1y
2
＝－8
b
，设圆心
Q
(
x
0，
y
0
)，则应用
x
0
＝，
y
0＝＝－4.
22
因为以
AB
为直径的圆与
x
轴相切， 所以圆的半径为
r
＝|
y
0
|＝4.
又|
AB< br>|＝
5[
y
1
＋
y
2

x
1
－
x
2
2
2
＋
y
1
－
y
2
2
＝1＋4
y
1
－
y
2
2< br>＝
－4
y
1
y
2
]＝564＋32
b

9

8
64＋32
b
＝8，解得
b
＝－.
5
48
所以
x
1
＋
x
2
＝2
b
－2
y
1
＋2
b
－2
y
2
＝4
b＋16＝，
5
2424
22
则圆心
Q
的坐标为(，－ 4)．故所求圆的方程为(
x
－)＋(
y
＋4)＝16.
55
所以|
AB
|＝2
r
＝5
练习题：
1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依
4
题 意则有＝2解得
a
＝8.
4
a
a
y
1
2 ．解析：抛物线方程可化为
x
2
＝－，其准线方程为
y
＝.设
M
(
x
0
，
y
0
)，则由
416
115
抛物线的定义，可知－
y
0
＝1?
y
0
＝ －.
1616
3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段
AB
中 点到
y
轴的距离为：
11315
(|
AF
|＋|
B F
|)－＝－＝.
24244
4．解析：设抛物线焦点弦为
AB
， 中点为
M
，准线
l
，
A
1
、
B
1
分别为
A
、
B
在直
1
线
l
上的射 影，则|
AA
1
|＝|
AF
|，|
BB
1
|＝|
BF
|，于是
M
到
l
的距离
d
＝( |
AA
1
|＋|
BB
1
|)
2
11
＝(|
AF
|＋|
BF
|)＝|
AB
|＝半径，故相切．
22
?
y
＝
x
－2，
5．解析：依题意
F
(2,0)，所以直线方程为
y
＝
x
－2由
?
2< br>，消去
y
得
x
2
?
y
＝8
x
－12
x
＋4＝0.设
A
(
x
1
，
y< br>1
)，
B
(
x
2
，
y
2
) ，则||
FA
|－|
FB
||＝|(
x
1
＋2)－ (
x
2
＋2)|＝|
x
1
－
x
2
|
＝(
x
1
＋
x
2
)
2
－4x
1
x
2
＝144－16＝82.
6．解析：如图所示，直线
l
为抛物线
y
＝2
x
2
的准线，
F
为其焦点，
PN
⊥
l
，
AN
1
⊥
l，由抛物线的定义知，|
PF
|＝|
PN
|，∴|
AP
|＋|
PF
|＝
|
AP
|＋|
PN
|≥|
AN
1
|，当且仅当
A
、
P
、
N
三点共线 时取等号．∴
P
点的横坐标与
A
点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D .答
案：B
7．解析：设抛物线
y
2
＝8
x
的焦 点为
F
，准线为
l
，
P
为抛物线上一点，
PA⊥
l
，
A
为垂足．如果直线
AF
的斜率为－3，那么|
PF
|＝ ( )
A．43 B．8
C．83 D．16
8．解析：由准线方程
x
＝－2，可知抛物线为焦点在
x
轴正 ，半轴上的标准方
程，同时得
p
＝4，所以标准方程为
y
2＝2
px
＝8
x

9．解析：抛物线的焦点为
F
(0,4)，准线为
y
＝－4，则圆心为(0,4)，半径
r
＝8 . 所
以，圆的方程为
x
2
＋(
y
－4)
2
＝64.

10

10．解析：设抛物线方 程为
x
＝
ay
(
a
≠0)，则准线为
y
＝ －.∵
Q
(－3，
m
)在抛物
4
线上，∴9＝
am
.而点
Q
到焦点的距离等于点
Q
到准线的距离，∴|
m－(－)|＝5.
4
99
a
将
m
＝代入，得|＋|＝5 ，解得，
a
＝±2，或
a
＝±18，∴所求抛物线的方程为
aa4
x
2
＝±2
y
，或
x
2
＝±18< br>y
.
?
y
＝4
x
11．解析：由
?
，消去
y
，得
x
2
－5
x
＋4＝0(*)，方程 (*)的两根为
A
、
?
2
x
＋
y
－4＝0
uuur
2
B
两点的横坐标，故
x
1
＋
x
2
＝5，因为抛物线
y
＝4
x
的焦点为
F
(1,0)，所以|

FA
| ＋
uuur
|

FB
| ＝(
x
1
＋1)＋(
x
2
＋1)＝7
12．解析 ：因线段
AB
过焦点
F
，则|
AB
|＝|
AF|＋|
BF
|.又由抛物线的定义知|
AF
|＝
x
1< br>＋1，|
BF
|＝
x
2＋1，故|
AB
|＝
x
1＋
x
2＋2＝8.
13．解析：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为
916
2
2
a
a

x
2
y
2
p
y
2
＝－2
px
(
p
>0)，则－ ＝－3，∴
p
＝6，∴抛物线方程为
y
2
＝－12
x
.
2
(2)由于
P
(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可 设抛物线方程为
y
2
＝
mx
或
x
2
＝ny
，代入
P
点坐标求得
m
＝8，
n
＝－1，
∴所求抛物线方程为
y
2
＝8
x
或
x
2< br>＝－
y
.
14．解：设点
M
(，
y
1)，
P
(，
y
2
)，∵
P
，
M
，
A
三点共线，∴
k
AM
44
＝
k
PM
，
y
1
y
1
－
y
2
y
1
1
即
2
＝
22
，即
2
＝，∴
y
1
y
2
＝4.
y
1
y
1
y2
y
1
＋4
y
1
＋
y
2
＋1 －
444
2
uuuuruuur
y
2
uuuuruuur< br>π
1
y
2
∴

OM
·

OP
＝·＋
y
1
y
2
＝5.∵向量

OM
与

OP
的夹角为，
∴
444
uuu uruuururuuur
π1
uuu
π5
|
OM
|·|
OP
|·cos＝5.∴S
△POM
＝|
OM
| ·|
OP
| ·sin＝.

4242

y
2
1
2
y
2

11