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全面高中数学《抛物线》练习题.doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-06 00:00
tags:高中数学抛物线

高中数学函数图像大题-排列题目高中数学

2020年10月6日发(作者:冯国勤)


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高中数学《抛物线》练习题
一、选择题:
1.
(浙江)
函数y=ax
2
+1的图象与直线y=x相切,则a=( )
(A)
111
(B) (C) (D)1
842
2
2. (上海)过抛物线
y?4x
的焦点作一条直线与抛物 线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则
这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在
3. 抛物线
x
2
?4y
上一点
A
的纵坐标为4, 则点
A
与抛物线焦点的距离为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
2
4. (辽宁卷)已知双曲线的中心在原点,离心率为
3
.若 它的一条准线与抛物线
y?4x
的准线重合,则
该双曲线与抛物线
y?4x< br>的交点到原点的距离是
A.2
3
+
6
B.
21
C.
18?122

2

D.21
( )
5 .(江苏卷)抛物线y=4
x
2
上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
( A )
157
17
( B ) ( C ) ( D ) 0
168
16
x
2< br>y
2
??1(mn?0)
离心率为2,有一个焦点与抛物线
y
2
?4x
的焦点重合,则mn6. (湖北卷)双曲线
mn
的值为
A.

B.
( )
3

16
3

8
C.
16

3
D.
8

3
二、填空题:
7.顶点在原点,焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 .
8.若抛物线
y?
1
2
x?2x?m
的焦点在x轴上, 则m的值是 .
2
2
9.过(-1,2)作直线与抛物 线
y?4x
只有一个公共点,则该直线的斜率为 .
10.抛物线
y?2x
为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 .
2
三、解答题:
11. (江西卷)如图,M是抛物线上y
2
=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、
B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹
y

M

B

O
A

E

F

x





1




12.
(上海)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、 且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的
距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为 M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
当m<1时, AK与圆M相交.








13、(全国卷III)

A
?< br>x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
两点在抛物线
y?2x
上,
l

AB
的垂直平分线。
2
(Ⅰ)当且仅当
x
1
?x
2
取何值时,直线
l
经过抛物线的焦点
F
?证明你的结论;
(Ⅱ)当直线
l
的斜率为2时,求
l

y
轴上截距 的取值范围。






14 .(广东卷)在平面直角坐标系xOy中,抛物线
y?x
上异于坐标原点O的两不同动点A、B 满足
AO?BO
(如图4所示).
(Ⅰ)求
?AOB
得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ )
?AOB
的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
2
2


最新最新
y
A
B
x
O

抛物线练习题答案


解答:一。BB D BB A
三.1. 解:(1)设M(y
0
,y
0
),直线ME的斜率为k(l>0)
2
则直线MF的斜率为-k,方程为
y?y
0
?k(x?y
0
).

2
2
?
1?ky
0
(1?ky
0
)
2
?
y?y
0
?k(x?y
0
)
2
,?x
F
?
∴由
?
,消
x得ky?y?y0
(1?ky
0
)?0
解得
y
F
?

2
2
kk
?
?
y?x

k
EF< br>1?ky
0
1?ky
0
2
?
y?y
F
k?kk
??
1
(定值) 所以直线EF的斜率为定值
?
E??
x
E
?x
F
(1?ky
0
)
2< br>(1?ky
0
)
2
?4ky
0
2y
0
?
k
2
k
2
k
2
2
(2)
当? EMF?90
o
时,?MAB?45
o
,所以k?1,
直线ME的方 程为
y?y
0
?k(x?y
0
)

2
?< br>?
y?y
0
?x?y
0
22

?

E((1?y
0
),1?y
0
)
同理可得
F((1?y
0
),?(1?y
0
)).

2
?
?
y?x
22
?
?(1?y
0
)< br>2
?(1?y
0
)
2
2?3y
0
x
M
?x
E
?x
F
y
0
x???
?
?
333
设重心G(x, y),则有
?
?
x?
x
M
?x
E
?x
F
?
y
0
?(1?y0
)?(1?y
0
)
??
y
0
?
33 3
?
消去参数
y
0

y
2
?
12 2
x?(x?).

9273
pp
,于是4+=5, ∴p=2.

∴抛物线方程为y
2
=4x.

22
4. [解](1) 抛物线y
2
=2px的准线为x=-
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
3



又∵F(1,0), ∴k
FA
=
则FA的方程为y=
43
;MN⊥FA, ∴k
MN
=-,
34
438484
(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, ∴N的坐标(,).
345555
(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=
4
(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
4?m
2m?8
16?(m?4)
2
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d >2,解得m>1∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.



8. .解:(Ⅰ)
F?l?FA?FB?A、B
两点到抛物线的准线的距离相等,
∵抛物线的准线是
x
轴的平行线,
y
1
?0,y
2
?0
,依题意
y
1
,y
2
不同时为0
∴上述条件 等价于
y
1
?y
2
?x
1
?x
2
?
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x< br>2
?
?0

x
1
?x
2

22
∴上述条件等价于
x
1
?x
2
?0
即当且仅当
x
1
?x
2
?0
时,
l
经过抛 物线的焦点
F

(Ⅱ)设
l

y
轴上的截距为< br>b
,依题意得
l
的方程为
y?2x?b
;过点
A、B
的直线方程可写为
111
y??x?m
,所以
x
1
、x
2
满足方程
2x
2
?x?m?0

x
1
?x
2
??

224
11

A、B
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
???8mf0
,即< br>mf?

432
x
1
?x
2
?
x?
?
?
3
13.解:(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
?< br> …(1)
?
y?
y
1
?y
2
?< br>3
?
∵OA⊥OB ∴
k
OA
?k
OB
?? 1
,即
x
1
x
2
?y
1
y
2??1
,……(2)
又点A,B在抛物线上,有
y
1
?x1
,y
2
?x
2
,代入(2)化简得
x
1x
2
??1


y?
22
y
1
?y
2
1
2
1122
2
?(x
1
?x< br>2
)?[(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
]??(3x)
2
??3x
2
?

333333
2

3
4

所以重心为G的轨迹方程为
y?3x
2
?


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(II)
S
?AOB
?
111
22222222

|OA||OB|?(x
1
2
?y
1
2
)(x2
?y
2
)?x
1
x
2
?x
1
2
y
2
?x
2
y
1
?y
1
2< br>y
2
222
由(I)得
S
?AOB
?
16
111
66
x
1
?x
2
?2?2x
1
6
?x
2
?2?2(?1)
6
?2??2?1

2222
当且仅当
x
1
?x
2

x
1
??x
2
??1
时,等号成立。 所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1;
66
5

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