高考数学椭圆与双曲线抛物线的经典性质(绝对的全,超级好)

祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！

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抛物线焦点弦性质总结30条

A'
A(X1,Y1)
C'C(X 3,Y3)
a
OF
B'
B(X2,Y2)



基础回顾
1. 以AB为直径的圆与准线
L
相切；
2
2.
x
1
x
2
?
p
4
;
3.
y
1
y
2
??p
2
;
4.
?AC'B?90
;
5.
?A'FB'?90
;
6.
AB?x
p2p
1
?x
2
?p?2(x
3
?
2
)?
sin
2
?
;
7.
1
AF
?
12
BF
?
P
;
8. A、O、
B
'
三点共线；
9. B、O、
A
'
三点共线；

S
AOB
?
P
2
10.
2sin
?
；
S
2
11.
AOB
?(
P
2
)
3
AB
（定值）；
12.
AF?
P
1?cos
?
；
BF?
P
1?cos
?
；
13.
BC
'
垂直平分
B
'
F
；
14.
AC
'
垂直平分
A
'
F
；
15.
C
'
F
?AB
；

16.
AB?2P
；
17.
CC'?
1
2
AB?1
2
(AA'?BB')
；
18.
K
AB
=
P
y
；
3
19.
tan
?
=
y
2
x
p
;
2
-
2
20.
A'B'
2
?4AF?BF
;
21.
C'F?
1
2
A'B'
.
22. 切线方程
y
0
y?m
?
x
0
?x
?

性质深究
一)焦点弦与切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有
何特殊之处？

结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦
AB?x
轴时，则点P的坐标为?
?
?
p
?
2
,0
?
?
?< br>在准线上．
证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．

3、A B是抛物线
y
2
?2px
（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的 准线，
AA
1
?l
，
BB
1
?l
，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有
结论6PA⊥PB．
结论7PF⊥AB．
结论8 M平分PQ．
结论9 PA平分∠A
1
AB，PB平分∠B
1
BA．
结论10
FA?FB?PF
2

结论11
S
?PAB
min
?p
2

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二)非焦点弦与切线
思考：当弦
AB
不过焦点，切线交于
P
点时，
也有与上述结论类似结果：
结论12 ①
x
p
?
y< br>1
y
2
y?y
2
，
y
p
?
1

2p
2
结论13 PA平分∠A
1
AB，同理PB平分∠B
1
BA．
结论14
?PFA??PFB

结论15 点M平分PQ
结论16
FA?FB?PF



相关考题
1、已知抛物线x?4y
的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且
AF?
?
FB（
?
＞0），过A，B两点分别
作抛物线的切线，设其交点为M，
（1）证明：
FM?AB
的值；
（2）设
?ABM
的面积 为S，写出
S?f
?
?
?
的表达式，并求S的最小值．
2 、已知抛物线C的方程为
x?4y
，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；
（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：
AF?DF
；
（2 ）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．
3、对每个正整数n，
A
n
?
x
n
,y
n
?
是抛物线
x?4y
上的点，过焦点F的直线FA
n
交抛物线于另 一点
B
n
?
s
n
,t
n
?
， < br>2
2
2
2
（1）试证：
x
n
?s
n
??4
（n≥1）
n
（2）取
x
n
?2
，并C
n
为抛物线上分别以A
n
与B
n
为切点的两条切线的 交点，求证：







































FC
1
?FC
2
???FC
n
?2
n?2
?n?1
?1
（n≥1）



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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2. PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，则焦点在直线PT上 的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
xxyy
x
2
y
2
5. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
? 1
上，则过
P
0
的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1
外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，则 切点弦P
1
P
2
的直线方程
ab
xxyy
是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7. 椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆的焦点
ab
角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?btan
2xxyy
x
2
y
2
5. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上，则过
P
0
的双曲线的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P
1
、P
2
，则
ab
xxyy
切点弦P
1
P
2的直线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为双曲线上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
，< br>ab
则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2< br>?bcot
2
?
2
.
?
2
x
2
y
2
8. 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(
F
1
(?c, 0)
,
F
2
(c,0)

ab
当
M( x
0
,y
0
)
在右支上时，
|MF
1
|? ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a< br>.
当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时，|MF
1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线 实轴上的顶点，A
1
P和A
2
Q交于
点M，A
2
P 和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
.
x
2
y
2
8. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a? ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦
点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上 的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P
和A< br>1
Q交于点N，则MF⊥NF.
b
2
x
2
y
2
11. AB是椭圆
2?
2
?1
的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
k
OM
?k
AB
??2
，
a
ab
b
2
x
0
即
K
AB
??
2
。
ay
0
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2
12. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则被Po所平分的中点弦的方程 是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
x
2
y
2
13. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
ab
x
2
y
2
11. A B是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦， M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
K
OM
?K
AB
?
2
，即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay
0
x
2
y
2
12. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.
a
2
bab
x
2
y
2
13. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??< br>2
?
2
.
a
2
b
2
ab
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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
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4a
2
b
2
a
2
b
2
1111
22
? ?
2
?
2
;（2）|OP|+|OQ|的最大值为
2
;（3 ）
S
?OPQ
的最小值是
2
.
22
22
a?ba?b
|OP||OQ|ab
x
2
y
2
9. 过椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN的垂直平分线交x
ab
|PF|e
?
. 轴于P，则
|MN|2
x
2
y
2
10. 已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点 ，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
P(x
0
,0)
, 则
??x
0
?
.
aa
x
2
y
2
11. 设P点是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点 ,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2< br>?
?
，则
ab
2b
2
?
2
(1)< br>|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?btan
.
1?cos
?
2
椭 圆
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞o）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴平行的直线交椭圆于P
1
、
P
2< br>时
ab
x
2
y
2
A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，ab
b
2
x
0
则直线BC有定向且
k
BC?
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为椭圆
2?
2
?1
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
ab
?P F
2
F
1
?
?
，则
a?c
??
? tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4. 设椭 圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的两个焦点为F
1
、 F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF
1
F
2ab
中，记
?F
1
PF
2
?
?
, < br>?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
x
2
y
2
1 2. 设A、B是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
?PAB?
?
,
ab
2ab
2
|cos
?
|
.(2)
? PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则 有(1)
|PA|?
222
a?ccos
?
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
sin
?
c
??e
. sin
?
?sin
?
a
2a
2
b
2< br>?
2
cot
?
.
2
b?a
x
2
y
2
13. 已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过椭圆右焦点
F
的直线与椭圆相交
ab
于A、B两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直线 AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
x
2
y
2
5. 若椭圆
2
?
2
? 1
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则 当0＜e≤
2?1
时，可在
ab
椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为椭圆内一 定点，则
ab
2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|? 2a?|AF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共 线时，等号成立.
7. 椭圆
(x?x
0
)(y?y
0
)
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
a
2
b
2
A
2
a
2
?B
2
b
2
?(Ax
0
?By
0
?C)
2
.
22
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
x
2
y
2
8. 已知椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
OP?OQ
.（1）
ab
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4a
2
b
2
a
2
b
2
1111
22
??
2
?
2
;（2）|OP|+|OQ|的最小值为
2
（1）; （3）
S
?OPQ
的最小值是
2
.
22
22b?ab?a
|OP||OQ|ab
x
2
y
2
9. 过 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线 的右支于M,N两点，弦MN的垂
ab
|PF|e
?
. 直平分线交x轴于P，则
|MN|2
x
2
y
2
10. 已知 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点， 线段AB的垂直平分线与x轴相
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
交于点
P(x
0
,0)
, 则
x
0
?
或
x
0
??
.
a
a
x
2
y
2
11. 设P点是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2
?
?< br>，
ab
2b
2
?
2
则(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?bcot
.
1?cos
?
2
x
2
y
2
12. 设A、 B是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲 线上的一点，
?PAB?
?
,
ab
2ab
2
|cos
?
|
.
?PBA ?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有( 1)
|PA|?
22
|a?ccos
2
?
|
(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
x
2
y
2
1. 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴平行的直线交双曲 线于
ab
x
2
y
2
P
1
、
P2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交 点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）上任一点
A(x
0
,y
0)
任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
ab
b
2
x
0
B,C两点，则直线BC有定向且
k
BC
??
2
（常数） .
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
ab
?P F
2
F
1
?
?
，则
c?a
??
c ?a
??
?tancot
（或
?tancot
）.
c?a 22c?a22
2a
2
b
2
?
2
cot
?
.
b?a
2
x
2
y
2
4. 设双曲线< br>2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F
1
、 F
2
,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
ab
sin
?c
??e
. 在△PF
1
F
2
中，记
?F1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?< br>，则有
?(sin
?
?sin
?
)a
x
2< br>y
2
13. 已知双曲线
2
?
2
?1
（a＞ 0,b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过双曲线右焦点
F的直线与
ab
双曲线相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径 的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
x
2
y
2
5. 若双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为 L，则当1＜e≤
2?1
ab
时，可在双曲线上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为双 曲线内一定点，则
ab
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和< br>A,F
2
在y轴同侧时，等号成立.
xy
??1
（a＞0, b＞0）与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
22
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2.
x
2
y
2
8. 已知双曲线
2
?
2
?1
（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且
OP?OQ
.
ab
7. 双曲线
22
第 7 页 总策划：小柏--- 武汉中学高三数学组