高中数学抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质
一、抛物线定义
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点
F< br>叫
做抛物线的焦点,定直线
l
叫做抛物线的准线
想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系?
点F不在直线L上,即过点F做直线垂直于l于F，|FK|=P则P>0

求抛物线的方程
解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴 设︱KF︱= p 则
F（
p
p
,0
），l：x = -。
2
2
设抛物线上任意一点M（X，Y）定义可知 |MF|=|MN|
即：
(x?
P
2
p
)?y
2
?x?
化简得 y
2
= 2px（p＞0）
22
PP
，0），l：x = -
22
二、标准方程
把方程 y
2
= 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F（
而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK|
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方 程还有其
它形式.
1．四种抛物线的标准方程对比
图形

标准方程 焦点坐标

准线方程
y
2
?2px
(p?0)
?
p
?
?
,0
?

?
2
?
x??
p

2

y
2
??2px
(p?0)

?
p
?
,0
?

?
?
2
??
x?
p
2


x
2
?2py
(p?0)

p
??
?
0,
?
2
??

y??
p
2


x
2
??2py
(p?0)

p
??
?
0,?
?

2
??
p
y?
2


.

2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？
顶点在原点



对称轴为x轴 对称轴为y轴
标准方程为 标准方程为
y2=+ 2px(p>0) x2=+ 2py(p>0)





开口与x轴 开口与x轴 开口与y轴 开口与y轴
同向： 反向: 同向： 反向:
y2=+2px y2=-2px x2=+2py x2=-2py
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)


三、抛物线的性质
设抛物线的标准方程y
2
=2px(p＞0)，则 （1）范围：抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线 和它的轴的
交点叫做抛物线的顶点.
（3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
（4）离 心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其
值为1.
（ 5）在抛物线y
2
＝2px（p＞0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标 分
pp
(,p),(,?p)
，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p. 别为
22
（6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线.
（7）焦点弦长公式：过焦点弦长
PQ?x
1
?
四、例题讲解
例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p

22
1
y
（3）2x
2
+5y=0 (1)y
2
=6x （2）
x?
2
2
33
，0） 准线方程是x=-
22
1
11
（2）因为2p=，p=，所以焦点坐标是（0，）， 准线方程是Y=-
1

8
8
24
解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（
.

（3）抛物线方程是2x
2
+5y=0, 即x
2
=-
程是y=
5
55
y, 2p=，则焦点坐标是F（0，-）, 准线方
8
22
5

8
例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标是F（0，-2）
(2)焦点在直线3x-4y-12=0上
(3) 抛物线过点A（-3，2）。
解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且p2=2，p=4，
所以抛物线的方程是 x
2
=-8y(2)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，
即A（4，0）或 B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y
2
= 16x当焦点为B点时，
抛物线的方程是x
2
=-12y
(3) 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x
2
=2py，当焦点在x
92
把A（-3，2）代入y
2
= -2px，得 p=
43
94
∴抛物线的标准方程为x
2
=y或y
2
= -x
23
轴的负半轴上时 得 p=
例3. 设P是抛物线
y?4x
上的一个动点。
（1）求点P到点A（-1 ，1）的距离与点P到直线
（2）若B（3，2），求
PB?PF
的最小值。
解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是
由抛物线的定义知：点P到直线

的距离之和的最小值；
2
的距离等于点P到焦点F的距离。
于是，问 题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）
的距离之和最小 。
显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为
AF
，即为
5
。




图3
.

图4

（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点P
1
，则
P
1
Q?P
1
F
，则有
PB?PF?P
1
B?P< br>1
Q?BQ
=4
即
PB?PF
的最小值为4
巩固练习：
1、已知点
P
是抛物线
y?2x
上的一个动点 ，则点
P
到点
(0,2)
的距离与
P
到该抛
物线准 线的距离之和的最小值为
解析：运用抛物线的定义，将
P
到 该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离，如右
图，当点
A
(0,2)
与P
以及
F
三点共线时，距离之和最小，即为
AF?
2
1 7

2
x
2
2、已知A（3，1），抛物线
y?
上 一点P（x,y），则|PA|+y的最小值为 。
4
x
2
解析：抛物线
y?
的准线为：y= -1，焦点F（0，1），记P在直线y= -1上的射影为Q，
4
则y=|PQ|-1=| PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：
|PA|+|PF|≥|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值 为2。
3、求证：以抛物线
y?2px
过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。
证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、
D 。取线段AB中点M，作MH垂直于H。
2

图5
由抛物线的定义有：
AC?AF，BD?BF


∵ABDC是直角梯形

.

即
MH
为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。
4、已知抛物线
C:y?8x
的焦点为
F
，准线与
x
轴的交 点为
K
，点
A
在
C
上且
2
AK?2AF< br>，则
?AFK
的面积为
解析：如图，过点
A
作
AM
垂直于准线于点
M
，
由抛物线定义得
AM?AF
，又
AK?
则
AK?
2 AF

2AM
，在
Rt?AMK
中，
AM?MK

即
AF?MK
，此时
AF
垂直于
x
轴，
? AFK
为等腰直角三角形，故面积为
11
2
KF??4
2
? 8

22
5、设抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物
线的准线上，且BC∥x轴.。证明：直线AC经过原点O ,
∵抛物线的焦点为F（
p
，0），
2
p
，代入抛物线 方程，得y
2
-2pmy-p
2
=0.
2
∴经过点F的直 线AB的方程可设为x=my+
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)，则y
1
、y
2
是该方程的两根，∴ y
1
y
2
=-p
2
.
∵BC∥x轴，且点C在准 线x=-
pp
上，∴点C的坐标为（-，y
2
）.
22
∴ 直线OC的斜率为k=
y
2
2p
y
1
??
，即k也 是直线OA的斜率.
p
y
1
x
1
?
2
∴直线AC经过原点O.
6、A、B是抛物线y
2
=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原 点）.求证：
（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
（2）直线AB经过一个定点.
证明（1）设A(x
1
,y
1)、B(x
2
,y
2
)，则y
1
2
=2px< br>1
、y
2
2
=2px
2
.
∴OA⊥OB, ∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，y
1
2
y
2
2
=4p
2
x
1
x2
=4p
2
·(-y
1
y
2
).
∴ y
1
y
2
=-4p
2
，从而x
1
x
2
=4p
2
也为定值.
（2）∵y
1
2
-y< br>2
2
=2p(x
1
-x
2
)，∴
y
1
?y
2
2p
?
.
x
1
?x
2
y
1
?y
2
由两点式可得：
?
y?y
1< br>??
x
2
?x
1
?
?x

y?y< br>1
y
2
?y
1
??x?
1
x?x
1
x
2
?x
1
y
2
?y
1
令y=0 。可得直线AB与x轴的焦点坐标
.

x?
??y
1
??
x
2
?x
1
?
y
2
?y
1
?x
1
?
?
?y
1
??
y
1
?y
2
?
2p
?y
1
2?y
1
y
2
?y
1
y
2
?x
1
??x
1
??2p

2p2p
∴直线AB经过定点（2p，0）.
2
x
2
y< br>2
7、若椭圆
2
?
2
?1
(
a
＞< br>b
＞0)的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
， 线段
F
1
F
2
被抛物线
y
=2
bx
的焦
ab
点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ：
(A)
417
25
16
4
(B) (C) (D)
17
5
[来源:]
5
17
2
解析：抛物线
y
=2
bx
的焦点为F（
b
，0） ，∵F将线段F
1
F
2
分成5∶3的两段，
2
∴（
bb
25
+c）：（c -）=5∶3
?
c=2b
?
e=,选D。
5
22
2
8、斜率为1的直线
l
经过抛物线
y
=4
x
的焦 点，与抛物线相交于点
A
、
B
，求
线段
A
、
B
的长．
分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长
AB转化为求
A
、
B
两点到准线距离的和．
2
解：如图8－3－1，
y
=4
x
的焦点为
F
(1，0)，则
l
的方程为
y
=
x
－1．
?
y
2
?4x
2
由
?
消去
y
得
x
－6
x
+1=0．
?
y?x?1
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
) 则
x
1
+
x
2
=6．
又
A
、< br>B
两点到准线的距离为
A
?
，
B
?
，则 < br>AA
?
?BB
?
?
?
x
1
?1?
?
?
x
2
?1
?
?
?
x< br>1
?x
2
?
?2?6?2?8

9、如图，设抛物线
C:y?x
的焦点为F，动点P在直线
l:x?y?2?0
上运动，过P作< br>抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹
方程为 .
22
解析：设切点A、B坐标分别为
(x0
,x
0
)和(x
1
,x
1
)((x
1
?x
0
)
，

2
y

B

A

O

l

P

G

x

∵y=2x，∴两切线斜率分别为：2x
0
和2x
1
,
2
于是：切线AP的方程为：
2x
0
x?y?x
0
?0;

切线BP的方程为：
2x
1
x?y?x
1
?0;

2
x?x
1
,y
P
?x
0
x
1
解得P点的坐标为：
x
P
?
0
2
所以△APB的重心G的坐 标为
x
G
?
x
0
?x
1
?x
P
?x
P
，
3
.

2y
0
?y
1
?y
P
x
0
?x
1
2
?x
0
x
1
(x
0
?x
1< br>)
2
?x
0
x
1
4x
P
?y
p
y
G
????,

3333
2
∴
y< br>p
??3y
G
?4x
G
，结合
x
p
=
x
G
代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：
2
1
x?(?3y?4x
2
)?2?0,即y?(4x
2
?x?2).< br>
3
注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。
10、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别
作 抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点（ ）
A.共圆 B.共线
C.在另一抛物线上 D.分布无规律
【解析】设M(x
1，y
1
)，Ｎ（x
2
，y
2
），设抛物线方程为y2
＝2px.
则F（
p
2
，0），准线x=－
p
2
,
∴P（－
p
2
，y
p
1
），Ｑ（－
2
，y
2
）
由PF⊥QF得
y
1
y
2
?p?
?p
＝－1，∴y
1
y
2
＝－p
2

k
MF
?
y
1
?
2py
1
xp
y
2
1
?
2
1
?p
2
k?
y
2
y

2
x?
p
?
2pyNF
y
2
?
1
2
2
2
p
y< br>1
?p
2
2
2p
?
2
∴k
MF＝k
NF
∴M、N、F共线.
11、抛物线y
2
=4x的焦 点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（
A.m+n=mn B.m+n=4 =4 D.无法确定
【解析】抛物线y
2
=4x的焦点为(1，0)，
当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m=2,n=2,∴m+n=mn.
当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，
设焦点弦所在直线方程为y=k(x－1)(k≠0).
把y=k(x－1)代入y
2
=4x并整理得k
2
x
2－2（k
2
+2）x+k
2
=0.
∴x
1
· x
2
=1,∵m=x
1
+1,n=x
2
+1,
∴ x
1
=m－1,x
2
=n－1代入x
1
x
2
=1得(m－1)(n－1)=1即m+n=mn.
【答案】A
课后作业：
一、选择题
1．对抛物线y＝4x
2
，下列描述正确的是( )
.
）

A
．开口向上，焦点为(0,1)
B
．开口向上，焦点为(0，)
C
．开口向右，焦点为(1,0)
D
．开口向右，焦点为(0，) 11
22
解析：由y＝4x得x＝y，∴开口向上，焦点坐标为(0，)．答案：
B

416
2．焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( )
1
16
1
16
A
．y
2
＝2x
B
．x
2
＝4y
C
．y
2
＝－4x
D
．y
2
＝4x
p
解析：由焦点在x＝1上，故焦点坐标为(1,0)，∴抛物线开口向右且＝1，∴p＝2， ∴方程
2
为y＝2px＝4x.答案：
D

xy
3．若抛物线y＝ax的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则a的值为( )
62
2
22
2
A
．－4
B
．2
C
．－8
D
．4
p
解析：由椭圆可知左焦点坐标为(－2,0)，∴抛物线开口向左且＝2，
2
∴p＝4，故方程为y＝－8x，∴a＝－8.答案：
C

4．抛物线y＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为( )
2
2
A
．(，±
3
2
67793510
)
B
．(，±)
C
．(，±)
D
．(，±)
2424222
11
解析：设P(x，y)，则点P到焦点距离为2，∴点P到准线x ＝－的距离也是2，即x＋＝
44
77
2，∴x＝，∴y＝±.答案：
B
42
5．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与
l
相切的圆的圆心 的轨迹是( )
A
．圆
B
．椭圆
C
．双曲线一支
D
．抛物线
.

图1
解析：如图1，以直线
l
为y轴，以过点A且与
l
垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设动
圆的圆心为P，则|PA|＝|PB|.即动点P到定 点A和到定直线l的距离相等，依定义可知，
动圆圆心的轨迹为抛物线．答案：
D
< br>1
2
6．已知F是抛物线y＝x的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹 方程是( )
4
A
．x
2
＝2y－1
B
．x
2
＝2y－
C
．x
2
＝y－
D
．x
2
＝2y－2
x＋0
x＝
?
?< br>2
1
解析：由y＝x得x＝4y，∴F(0,1)．设PF中点M(x，y)，P(x， y)则
?
4
y＋1
y＝
?
?
2
0
22
00
0
1
16
1
2

即
?< br>?
x
0
＝2x
?
?
y
0
＝2y－1
?

.又(x
0
，y
0
)在x＝4y上，故4x＝ 4(2y－1)得x＝2y－1.答案：
A

222
二、填空题
7．过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________．
解析：由已知可设抛物线方程为x＝my代入点(2,4)得4＝4m，∴m＝1故方程为x＝y.
答案：x＝y
1
2
8．已知抛物线y＝x，过焦点且垂直于对称轴的直线与 抛物线交于A、B两点，则坐标原点
4
与A、B两点构成的三角形的面积为________．
解析：由抛物线的方程可得：x＝4y，∴焦点坐标F(0,1)，将y＝1代入方程可得：x＝±2.
11
∴|AB|＝4，∴S
△OAB
＝·|OF|·|AB|＝×1×4＝2 .答案：2
22
2
2
22
.

< br>→→→→
2
9．设F为抛物线y＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋ FB＋FC＝0，则|FA|
→→
＋|FB|＋|FC|＝________.
→→ →
2
解析：由y＝4x得F(1,0)，准线方程为x＝－1，又FA＋FB＋FC＝0，可知 F是△ABC的重心，
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2< br>，y
2
)，C(x
3
，y
3
)，
∴
x
1
＋x
2
＋x
3
＝1，即x
1
＋x< br>2
＋x
3
＝3.
3
又∵抛物线定义可得
→→→< br>|FA|＝x
1
＋1，|FB|＝x
2
＋1，|FC|＝x
3
＋1
→→→
∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝x
1
＋x
2
＋x
3
＋3＝3＋3＝6.
答案：6
三、解答题
x y
10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线
2
－
2
＝1的一个焦 点，并且这条准线垂直于x
ab
3
轴，又抛物线与双曲线交于点P(，6)，求抛物线 和双曲线的方程．
2
22

图2
解：∵交点在第一象限，抛物线 的顶点在原点，其准线垂直于x轴，∴可设抛物线方程为
y＝2px(p>0)．
33
2
∵点P(，6)在抛物线上，∴(6)＝2p×，p＝2，
22
∴y＝4x.
∵y＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，
∴－c＝－1，c＝1，即有a＋b＝1， ①
.
22
2
2
2

396
又∵点P(，6)在双曲线上，∴
2
－
2
＝1. ②
24ab
134
2222
联立①②，解得a＝，b＝，双曲线方程为4x－y ＝1.
443
4
222
故所求的抛物线与双曲线方程分别为y＝4x和4x －y＝1.
3
11．抛物线y＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点， 一直角边的方程是y＝
2x，斜边长是53，求此抛物线方程．
解：设△AOB为抛物线的内 接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y＝2x，则OB
1
边的方程是y＝－x. < br>2
?
?
y＝2x，
由
?
2
?
y＝2 px，
?
2

p
可得点A坐标为(，p)．
2
1
?
?
y＝－x，
2
由
?
?
?
y< br>2
＝2px，

2
可得点B坐标为(8p，－4p)．
∵|AB|＝53，
∴p＋4p＋
p
－8p
2
2
＝53.
239
∵p>0，解得p＝，
13
∴所求的抛物线方程为y＝
2
439
x.
13
12．已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P< br>的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心 M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x
1,
0)、
G(x
2,
0)，求线段EG的长度．
.

图3
解：(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．
∵焦点到准线的距离p＝2，
∴曲线C方程是x＝4y.
(2)∵圆M的半径为a＋b－2
222
22
2

2
∴其方程为(x－a)＋(y－b)＝a＋(b－2)
令y＝0得：x－2ax＋4b－4＝0.
则x
1
＋x
2
＝2a，x
1
·x
2
＝4b－4.
∴(x
1
－x
2
)＝(x
1
＋x
2
)－4x
1
·x2
＝(2a)－4(4b－4)＝4a－16b＋16.
又∵点M(a，b)在抛物线x＝4y上，∴a＝4b，
∴(x
1
－x2
)＝16，即|x
1
－x
2
|＝4.
∴线段EG的长度是4.

2
22
2222
2
.