高中数学必修三第二单元知识点总结-高中数学必修2第三章四章公式
高中数学-
抛物线及其性质
考点一 抛物线的标准方程
知识点
1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F
叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2
抛物线的标准方程
顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为:y
2
=2px(p>0);
顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为:y
2
=-2px(p>0);
顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为:x<
br>2
=2py(p>0);
顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为
:x
2
=-2py(p>0).
注意点 定义的理解和方程中p的意义
(
1)定义的实质可归纳为“一动三定”,一个动点,设为M;一个定点F,叫做抛物线的焦
点;一条定直
线l,叫做抛物线的准线;一个定值,即点M到点F的距离和它到直线l的距离的
比值等于1.
(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.
入门测
1.思维辨析
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
a
?
(2)方程y=ax
2
(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且
其焦点坐标是
?
?
4
,0
?
,准线方
a
程
是x=-.( )
4
(3)抛物线就是一元二次函数的图象.( )
答案
(1)× (2)× (3)×
2.经过点P(16,-4)的抛物线的标准方程为( )
A.y
2
=x或x
2
=-64y
B.y
2
=x或y
2
=-64x
D.y
2
=x
答案 A
D.x
2
=-64y
1
解析 当抛物线的开口向右时,抛物线的方
程为y
2
=2px(p>0),代入点P(16,-4)得:p=,
2
∴y<
br>2
=x;当抛物线的开口向下时,抛物线的方程为x
2
=-2py(p>0),
代入点P(16,-4)得:p=
32,∴x
2
=-64y;综上所述,y
2
=x或x
2
=-64y.
3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y
2
=-8x
C.y
2
=-4x
答案 B
p
解析 由准线方程x=-2得-=-2,且抛物线的开口向右(或焦点在
x轴的正半轴),所
2
以y
2
=2px=8x.
解题法
B.y
2
=8x
D.y
2
=4x
[考法综述] 四种不同的抛物线的标准
方程形式是考查重点,一种是求抛物线的方程,另一种是根据抛
物线的方程研究它的几何性质.与
抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题.
命题法
抛物线的定义及方程
典例
(1)点M(5,3)到抛物线y=ax
2
的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是(
)
A.x
2
=
1
y
12
1
y
36
B.x
2
=
11
y或x
2
=-y <
br>1236
C.x
2
=-D.x
2
=12y或x
2=-36y
(2)抛物线y
2
=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5,则
线段AB的中点到y轴的距离是
________.
1
[解析]
(1)将y=ax
2
化为x
2
=y,
a
当a>0时,准线y=-
由已知得3+
1
,
4a
111
=6,所以=12,所以a=.
4aa12
当a<0时,准线y=-
所以a=-
1
1
3+
?
=6,
,由已知得
?
?
4a
?
4a
11
或a=(舍).
3612
所以抛物线方程为x
2
=12y或x
2
=-36y
,故选D.
1
?
1
,0
,准线方程为x=-,设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则|AF|(2)
抛物线y
2
=2x的焦点为F
?
?
2
?
2
11
+|BF|=x
1
++x
2
+=5,解得x
1
+x
2
=4,故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y
22
轴的
距离是2.
[答案] (1)D (2)2
【解题法】 抛物线方程的求法
(1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.
(2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p的值,这里要注意抛物线标准方程
有四种形
式.从统一角度出发,焦点在x轴上,设为y
2
=ax(a≠0),焦点在y轴上,设为x2
=by(b≠0).
对点练
5
1.已知抛物线C:y
2<
br>=x的焦点为F,A(x
0
,y
0
)是C上一点,|AF|=x
0
,则x
0
=( )
4
A.1
C.4
答案 A
1
?
11
,0
,准线方程为l:x=-,设A点到解析 由y
2
=x得2p=1,即p=,因此焦点F
?
?
4
?
24<
br>15
准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x
0
+=x0
,解得x
0
=1,故选A.
44
2.如果抛物线的顶点在原
点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线
的方程是( )
A.y
2
=-16x
C.y
2
=16x
答案 C
解析 由题设知直线3x-4y-12=0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦
点,故其方程为y
2
B.2
D.8
B.y
2
=12x
D.y
2
=-12x
=16x.
3.
若抛物线y
2
=2px(p>0)的准线经过双曲线x
2
-y
2=1的一个焦点,则p=________.
答案 22
pp
解析 y
2
=2px的准线方程为x=-,又p>0,所以x=-必经过双曲线x
2
-y2
=1的左焦
22
p
点(-2,0),所以-=-2,p=22. 2
4.已知F
1
、F
2
分别是双曲线3x
2
-
y
2
=3a
2
(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y
2
=
8ax与双曲
线的一个交点,若|PF
1
|+|PF
2
|=12,则
抛物线的准线方程为________.
答案 x=-2
x
2
y
2
解析 将双曲线方程化为标准方程得
2
-
2
=1,则其焦点坐标为F
1
(-2a,0),F
2
(2a
,0),且
a3a
xy
?
?
a
2
-
3a<
br>2
=1,
(2a,0)与抛物线的焦点重合,联立抛物线与双曲线方程得
??x=3a,即点P的横
?
?
y
2
=8ax
?
?
|PF
1
|+|PF
2
|=12,
坐标为3a.而由?
?|PF
2
|=6-a,∴|PF
2
|=3a+2a=6-a
,得a=1,∴抛物线
?
|PF
1
|-|PF
2
|=2a<
br>?
22
的方程为y
2
=8x,其准线方程为x=-2.
5.如图,正方形ABCD
和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab
抛物线y
2
=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.
a
答案
1+2
a
?
解析
由题意,知C
?
?
2
,-a
?
,
a
b+,b
?
. F
?
?
2
?
又
C,F在抛物线y
2
=2px(p>0)上,
?
所以
?
?
b+
a
?<
br>,②b=2p
?
?
2
?
2
a
a
2<
br>=2p×, ①
2
b
2
2b+a
由②÷①,得
2
=,
aa
即b
2
-2ba-a
2
=0,
bb
解得=1±2(负值舍去).故=1+2.
aa
6.已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,
5
且|QF|=|PQ|.
4
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与
C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,
且A、M、B、N四点在同一圆
上,求l的方程.
8
解
(1)设Q(x
0,
4),代入y
2
=2px得x
0
=.
p
8pp8
所以|PQ|=,|QF|=+x
0
=+.
p22p
p858
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.
2p4p
所以C的方程为y
2
=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y
2
=4x得y
2
-4my-4=0.
设A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则y
1
+y
2
=4m,y
1
y
2
=-4.
故AB的中点为D(2m
2
+1,2m),
|AB|=m
2
+1|y
1
-y
2
|=4(m
2
+1).
1
又l′斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m
2
+3.
m
4
将上式代入y
2
=4x,并整理得y
2
+y-4(2m
2
+3)=0.
m
4
设M(x
3
,y
3
),N(x
4
,y
4
),则y
3
+y
4<
br>=-,y
3
y
4
=-4(2m
2
+3).
m
故MN的中点为E
(
22
2
-
2
+2m+3,
mm
)
,|MN|=
4?m
2
+1?2m
2
+1
1
1+
2
|y
3
-y
4
|=.
mm
2
11
由于MN垂直平分AB,故A
,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|
2
241
+|DE|
2
=|MN|
2
,
4
222m+
?
2
+
?
2
+2
?
2
即4(m
2
+1)
2
+
?
m
??
m
??
4?m
2
+1?
2
?2m
2
+1?
=,
m
4
化简得m
2
-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
考点二 抛物线的几何性质
知识点
1 抛物线的几何性质
2 抛物线焦点弦的性质
焦点弦:线
段AB为抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点弦,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
p
2
(1)x
1
x
2
=;
4
(2)y
1
y
2
=-p
2
;
p
(3)焦半径|AF|=x
1
+;
2
(4)弦长l=x
1
+x
2
+p.当弦AB⊥x轴时,弦长最短为2p,此时的弦又叫通径;
2p
(5)弦长l=
2
(θ为AB的倾斜角).
sin
θ
注意点 解抛物线问题的注意事项
(1)注意四种不同的方程下,焦点与顶点以及准线的对应位置.
(2)注意定义的应用:将到焦点的距离与到准线的距离进行灵活转化.
入门测
1.思维辨析
(1)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )
(2)
过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那
么抛物线x
2
=-2ay(a>0)的通径长为2a.( )
p
p
,0
?
的弦,若A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
x
2
=,(3)AB为抛物线y=2px(p>0)
的过焦点F
?
?
2
?
4
2
2
y
1
y
2
=-p
2
,弦长|AB|=x
1
+x
2
+p.( )
(4)若AB是焦点弦,则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(
)
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.过抛物线y
2
=
8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A,B两点,则弦AB的长
为( )
A.4
C.12
答案 D
解析 抛物线y
2
=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线AB的倾斜角为135°,故直线AB的方程
为y=-x+2
,代入抛物线方程y
2
=8x,得x
2
-12x+4=0.设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则弦AB的长<
br>|AB|=x
1
+x
2
+4=12+4=16.
3.设抛物
线y
2
=8x上一点P到焦点的距离是4,则P点坐标为________.
B.
8
D.16
答案 (2,±4)
解析 设y
2
=8x的焦点
为F,则F(2,0).设P(x,y).|PF|=x+2=4,∴x=2,代入抛物线
得y=±4.
∴P点坐标为(2,±4).
解题法
[考法综述] 抛物线虽只有一个焦点和
一
条准线,却有许多有趣的性质,尤其焦点弦的性质一直是高频考点,与向量等知识综合命题的
趋势较强,
应予以高度关注.高考对本考点要求较高,试题难度较大.
命题法 抛物线的几何性质及其应用
典例 (1)过抛物线y
2
=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐
标原点.若|AF|
=3,则△AOB的面积为( )
A.
C.
2
2
B.2
D.22
11
+
|FP||FQ|
32
2
(2)已知
抛物线y
2
=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则
=( )
1
A.
2
C.2
B.1
D.4
[解析] (1)焦点F(1,0),设A,B分别在第一、四象限,则点A到准线l
:x=-1的距离为3,
得A的横坐标为2,纵坐标为22,AB的方程为y=22(x-1),与抛物
线方程联立可得2x
2
-5x
1132
+2=0,所以B的横坐标为,纵坐标
为-2,S
△
AOB
=×1×(22+2)=.
222
(2)设P
(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),由
题意可知,|PF|=x
1
+2,|QF|=x
2
+2,
则
x
1
+x
2
+4
1111
+=+=,联立直线与抛物线方
程消去y得k
2
x
2
-(4k
2
|FP||FQ|
x
1
+2x
2
+2x
1
x
2
+2?x1
+x
2
?+4
x
1
+x
2
+4x<
br>1
+x
2
+4
111
+===,故选A.
|FP|
|FQ|
x
1
x
2
+2?x
1
+x
2?+42?x
1
+x
2
?+8
2
+8)x+4k
2
=0,可知x
1
x
2
=4,故
[答案] (1)C
(2)A
【解题法】 抛物线的性质应用技巧及焦
点弦问题解题策略
(1)用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直
观地看出抛物线的顶点、对称
轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.
(2)抛物线焦点弦问题求解策略
求解抛物线焦点弦问题时,除灵活运用焦点弦的有关性质外
,还要灵活应用抛物线的定义及
数形结合思想求解.
对点练
1.如图,设抛物线y
2
=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其
中A,B在
抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
|BF|-1
A.
|AF|-1
|BF|+1
C.
|AF|+1
答案 A
|BF|
2
-1
B.
|AF|
2
-1
|BF|
2
+1
D.
|AF|
2
+1
解析 由题可知抛物线
的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA
2
⊥y轴于点A
2
,过B作<
br>S
△
BCF
|BC||BB
2
|
|BF|-1
BB
2
⊥y轴于点B
2
,则===.
|AC||AA
2
|
|AF|-1
S
△
ACF
2.已知抛物线C:y
2
=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交
→
7A.
2
5
C.
2
答案 B
解析
如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.
→
点.若FP=4FQ,则|QF|=( )
B.3
D.2
过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.
由题意,得△PHQ∽△PMF,
|HQ||PQ|3
则有==,∴|HQ|=3.
|MF||PF|4
∴|QF|=3.
3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y<
br>2
=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )
4
A.-
3
3
C.-
4
答案 C
解析 由点A(-2,3)在抛物线C:y
2
=2px的准线上,得焦点F(2,0)
,∴k
AF
=
故选C.
4.设M(x
0
,y
0<
br>)为抛物线C:x
2
=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半<
br>径的圆和抛物线C的准线相交,则y
0
的取值范围是( )
A.(0,2)
C.(2,+∞)
答案 C
解析 设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心
,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相
交知4
,y<
br>0
)为抛物线C:x
2
=8y上一点,所以r=|FM|=y
0
+2>4,所以y
0
>2.故选
C.
x
2
y
2
5.平面直角坐标系xOy中,双曲线C
1
:
2
-
2
=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C
2
:x
2
=2py(p>0)
ab
交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C
2
的焦点,则C
1<
br>的离心率为________.
答案
3
2
B.[0,2]
D.[2,+∞)
33
=-,
4
-2-2
B.-1
1
D.-
2
p
b
0,
?
.不妨设点A解析 由题意,双曲线的渐近线
方程为y=±x,抛物线的焦点坐标为F
?
?
2
?
a
b?
?
y=
a
x
在第一象限,由
?
?
?
x
2
=2py
?
,解得
?
2pb
y=
?
a
x=
2
2pb
a
2
2pb
2
p
-
?
a
2
2
?
x=0
2pb2pb
2
??
或
?
,故A
?
a,
a
2
?
.所以k
AF
==
2pb
?
y=0
?
a
4b
2
-a
2
?<
br>-
b
?
=-1,即.由已知F为△OAB的垂心,所以直线AF与另一条渐近线
垂直,故k
AF
·
?
a
?
4ab
4b
2<
br>-a
2
?
b
?
593c3
×
?
-<
br>a
?
=-1,整理得b
2
=a
2
,所以c
2
=a
2
+b
2
=a
2
,故c=a,即e==. <
br>4ab442a2
x
2
y
2
6.若抛物线y=2px的焦点与
椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为
95
2
________.
答案 x=-2
x
2
y
2
p
解析 ∵c
2
=9-5=4,∴c=2.∴椭圆+=1的右焦点为(2,0),∴=2,∴抛物线的准线
9
52
方程为x=-2.
7.已知A是抛物线y
2
=4x上一点,F是抛物线
的焦点,直线FA交抛物线的准线于点B(点
B在x轴上方),若|AB|=2|AF|,则点A的坐标
为________.
123
?
答案
(3,-23)或
?
,
?
33
?
解析 依题意,
①若点A位于x轴上方,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足记为A
1
,则
有|AB|
=2|AF|=2|AA
1
|,∠BAA
1
=60°,直线AF的倾斜角为1
20°.又点F(1,0),因此直线AF:y=
-3(x-1).
?
?
y
=-3?x-1?
由
?
2
?
y=4x?y>0?
?
?
x=
3
得
?
23
y=
?
31
123
?
,此时点A的坐标是
?
,
?33
?
.②若点A位于x轴下方,
则此时点F(1,0)是线段AB的中点,又点
B的横坐标是-1,故点A的横坐标是2×1-(-1)=3,
相应的纵坐标是y=-4×3=-23,
点A的坐标是(3,-23).综上所述,点A的坐标是(3,
123
?
-23)或<
br>?
,
?
33
?
.
8.已知△ABP的三个顶点都在
抛物线C:x
2
=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的
→→
中点,P
F=3FM.
(1)若|PF|=3,求点M的坐标;
(2)求△ABP面积的最大值.
解
(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.
设P(x
0
,y
0
),由抛物线定义知|PF|=y
0
+1,得到y
0
=2,所以P
(22,2)或P(-22,2).
222
??
22
,
2
?
. 由PF=3FM,分别
得M
?
-,
或M
?
33
??
33
?
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x
1
,y
1
),B(x<
br>2
,y
2
),P(x
0
,y
0
).
?
?
y=kx+m,
由
?
2
得x
2
-4
kx-4m=0.
?
x=4y
?
→→
于是Δ=16k<
br>2
+16m>0,x
1
+x
2
=4k,x
1
x
2
=-4m,
所以AB中点M的坐标为(2k,2k
2
+m).
→→
由PF=3FM,得(-x
0,
1-y
0
)=3(2k,2k
2
+m-1),
?
?
x
0
=-6k,
14
22
所以
?
由x=4y得k=-m+.
00
2
515
y=4-6k-3m.
?
0
?
14
由Δ>0,k
2
≥0,得-
又因为|AB|=41+k
2
·k
2
+m,
点F(0,1)到直线AB的距离为d=
|m-1|
1+k
2
. <
br>所以S
△
ABP
=4S
△
ABF
=8|m-1|k<
br>2
+m
=
16
15
3m
3
-5m
2
+m+1.
14
-
. 记f(m)=3m
3
-5m
2
+m+1
?
3
??
3
1
令f′(m)=9m
2
-10m+1=0,解得m
1
=,m
2
=1.
911141
-,
?
上是增函数,在
?
,1
?
上
是减函数,在
?
1,
?
上是增函数.又f
??
=可得f(m
)在
?
?
39
??
9
??
3
??
9
?
256
?
4
?
>f.
243
?3
?
125655
所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.
924315
所以,△ABP面积的最大值为
2565
.
135<
br>9.设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定
1
1
0,
?
的距离比点P到x轴的距离大.
点M
?
?
2
?
2
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且|AB|=26,求k的值; (3)设点P的轨迹是曲线C,点Q(1,y
0
)是曲线C上的一点,求以Q为切点的曲线
C的切线
方程.
1
解
(1)过P作x轴的垂线且垂足为N,则|PN|=y,由题意可知|PM|-|PN|=,∴
2
1
1
y-
?
2
=y+, x
2
+
?
?
2
?
2
化简得x
2
=2y(y≥0
),即为所求.
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2<
br>,y
2
),
?
y=kx+1,
?
联立
?<
br>2
化简得x
2
-2kx-2=0,
?
x=2y
?
∴x
1
+x
2
=
2k,x
1
x
2
=-2,
|AB|=1+k
2
?
x
1
+x
2
?
2
-4x
1
x
2<
br>=1+k
2
4k
2
+8=26,∴k
4
+3k
2
-4=0,又k
2
≥0,∴k
2
=1,∴k=±1.
1
(3)因为Q(1,y
0
)是曲线C上一点,∴1
2
=2y
0
,∴y
0
=,
2
1
1
1,
?
,由y=x
2
,求导得y′=x,
∴切点为
?
?
2
?
2
∴当x=1时,k=1.
1
则切线方程为y-=x-1,即2x-2y-1=0.
2
如图所示,过点P(0,-2) 的直线l交抛物线y
2
=4x于A,B两点,求以O
A,OB为邻边的
平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.
[错解]
[错因分析] 本题可以设出直线l的方程,通过参数法求解.容易忽视的是直线l与抛物线
交于不同两点时,直线的斜率k是有前提条件的.首先,k≠0;其次,消元后的一元二次方程的
根的判别式大于0.忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围.
[正解] 设A(x
1<
br>,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(x,y),设直
线l的方程为y=kx-2(k≠0).
与抛物线方程y
2
=4x联立,消去y,得
k
2
x
2
-4(k+1)x+4=0.(*)
由根与系数的关系,
可得x
1
+x
2
=
4?k+1?
4
,x
1
x
2
=
2
,
2
kk
4
所以y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
)-4=.
k
又在平行四边形OAMB中,AB的中点为OM的中点.
所以x
1
+x
2
=x=
4?k+1?
4
,
y
1
+y
2
=y=,消去k,得(y+2)
2
=4(x+1
).
2
kk
又直线l与抛物线y
2
=4x交于不同的两点, 1
故对于(*),其Δ=[-4(k+1)]
2
-16k
2
=3
2k+16>0,解得k>-.
2
4
代入y=,可得y<-8或y>0.
k
故点M的轨迹方程为(y+2)
2
=4(x+1)(y<-8或y>0).
[心得体会]
课时练
基础组
1.若抛物线y
2<
br>=2px上一点P(2,y
0
)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y
2
=4x
C.y
2
=8x
答案
C
p
p
--2
?
解析 ∵抛物线y
2
=2px,
∴准线为x=-.∵点P(2,y
0
)到其准线的距离为4,∴
?
?
2
?
2
=4,∴p=4.
∴抛物线的标准方程为y
2
=8x,故选C.
x
2
y2
2已知双曲线C
1
:
2
-
2
=1(a>0,
b>0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C
2
:x
2
=2py(p>0)<
br>ab
的焦点到双曲线C
1
的渐近线的距离为2,则抛物线C
2
的方程为( )
A.x
2
=
83
y
3
B.x
2
=
163
y
3
B.y
2
=6x
D.y
2
=10x
C.x
2
=8y
答案 D
D.x
2
=16y
解析 ∵2c=4a,∴c=2a,又a
2+b
2
=c
2
,∴b=3a,∴渐近线y=±3x,又∵抛物线C
2
p
0,
?
, 的焦点
?
?
2
?
p
2
∴d==2,∴p=8,∴抛物线C
2
的方程为x
2
=16y.
2
3.如图,过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线
交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若
|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y
2
=9x
C.y
2
=3x
答案 C
B.y
2
=6x
D.y
2
=3x
解析 如图,分别过A,B作AA
1
⊥l于A
1
,BB<
br>1
⊥l于B
1
,由抛物线的定义知,|AF|=|AA
1
|,
|BF|=|BB
1
|,
∵|BC|=2|BF|,
∴|BC|=2|BB
1
|,
∴∠BCB
1
=30°,
∴∠AFx=60°.连接A
1
F,则△AA
1
F为等边三角形,过
F作FF
1
⊥AA
1
于F
1
,则F
1
为A
A
1
的
113
中点,设l交x轴于K,则|KF|=|A
1
F
1
|=|AA
1
|=|AF|,即p=,∴抛物线方程为y
2=3x,故选
222
C.
4. 已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若
抛物线y
2
=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上
的一动点,则|MQ|-|QF|的
最小值是( )
7
A.
2
5
C.
2
答案 C
B.3
D.2
1
解析 抛物线的准线方程
为x=-,当MQ∥x轴时,|MQ|-|QF|取得最小值,此时|QM|-
2
15
|QF|=3-=,选C.
22
5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且
经过点M(2,y
0
).若点M到该
抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.22
C.4
答案 B
p
?
p
,0
,准线方程为x=-, 解析 设抛物线方程为y
2
=2px(p>0),则焦点坐标为
?
?
2
?
2
∵M在抛物线上,∴M到焦点的距离等于到准线的距离,
∴
p
?
2-<
br>p
?
2
+y
0
2
=2+=3.
?
2
?
2
B.23
D.25
解得:p=2,y
0
=±22.
∴点M(2,±22),根据两点距离公式有:
∴|OM|=
2
2
+?±22?
2
=23.
6.已知抛物线方程为y
2
=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的
距离为d
1
,到直线l的距离为d
2
,则d
1
+d
2
的最小值
为( )
A.
C.
52
+2
2
52
B.+1
2
D.
52
-1
2
52
-2
2
答案 D
解析 因为抛物线的方程为
y
2
=4x,所以焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,因为点P到y
轴的距离
为d
1
,所以到准线的距离为d
1
+1,又d
1
+1=|P
F|,所以d
1
+d
2
=d
1
+1+d
2
-1=|PF|
+d
2
-1,焦点F到直线l的距离d=
|PF|+d
2
-1≥
52
-1,选D.
2
|1-0+4|
5525
2
==,而|PF|+d
2
≥d=,所以d
1
+d
2
=
22
22
7.已知抛物线y
2
=2px(p>0),过其焦点且
斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段
AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为(
)
A.x=1
C.x=-1
答案 C
p
x-
?
,与抛物线方程联立得,解析 设A(x
1
,y<
br>1
),B(x
2
,y
2
),直线AB的方程为y=-
?
?
2
?
B.x=2
D.x=-2
p
?
?
y=-
?
x-
?
p
2
3p
2
??
2
,消去y整理得:x-3px+
=0,可得x
1
+x
2
=3p.根据中点坐标公式,有=3,
?42
?
?
y
2
=2px
p=2,因此抛物线的准线方程
为x=-1.
8.过抛物线y
2
=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B
、C两点,l与抛物线的准线交于
→
9
A.
2
C.
13
2
→
点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=( )
B.6
D.8
答案 A
π
解析 不妨设直线l的倾斜角为θ,其中0
<θ<,点B(x
1
,y
1
)、C(x
2
,y
2<
br>),则点B在x轴的
2
|AF|p
上方.过点B作该抛物线的准线的垂线,垂足
为B
1
,于是有|BF|=|BB
1
|=3,=,由此得
|AB||
BB
1
|
p=2,抛物线方程是y
2
=4x,焦点F(1,0),c
osθ=
p2122sinθ
==,sinθ=1-cos
2
θ=
,
tanθ=
|AF|633cosθ
?
?
y=22?x-1?
=22
,直线l:y=22(x-1).由
?
2
得8(x-1)
2
=4x,
即2x
2
-5x+2=0,x
1
+x
2
=
?
?
y=4x
559
,|BC|=x
1
+x
2
+p=+2=,选A. <
br>222
9.已知P为抛物线y
2
=4x上一个动点,Q为圆x
2
+(y-4)
2
=1上一个动点,那么点P到点
Q的距离与点P到抛物线准线的距离
之和的最小值是________.
答案 17-1
解析 由题意知,圆x
2+(y-4)
2
=1的圆心为C(0,4),半径为1,抛物线的焦点为F(1,0).根
据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点
P
到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1=17-1. <
br>10.已知圆C:x
2
+y
2
+6x+8y+21=0,抛物线y2
=8x的准线为l,设抛物线上任意一点P
到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小
值为________.
答案 41
解析 由题意得圆C的方程为(x+3)
2<
br>+(y+4)
2
=4,圆心C坐标为(-3,-4).由抛物线定
义知,当m+
|PC|最小时,为圆心与抛物线焦点间的距离,即(m+|PC|)
min
=?-3-2?<
br>2
+?-4?
2
=
41.
11.已知直线l与抛物线y2
=8x交于A、B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),
则线段A
B的中点到准线的距离是________.
答案
25
4
解析
由y
2
=8x知2p=8,
∴p=4,则点F的坐标为(2,0).
由题
设可知,直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2),点A,B的坐标分别为(x
A
,
y
A
),
(x
B
,y
B
).
4
又点A(8,8)在直线上,∴8=k(8-2),解得k=.
3
4
∴直线l的方程为y=(x-2).①
3
将①代入y
2
=8x,整理得2x
2
-17x+8=0,则x
A
+x
B
=
是
x
A
+x
B
p1725
+=+2=.
2244
12.已知过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点,斜率为22的
直线交抛物线于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(x
1
)
两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
→
p
x-
?
, 解 (1)直
线AB的方程是y=22
?
?
2
?
与y
2
=2px
联立,从而有4x
2
-5px+p
2
=0,
所以x
1
+x
2
=
5p
.
4
→→
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.
17
,∴线段AB的中点到准线的距离
2
由抛物线定义得|AB|=x
1
+x
2
+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y
2
=8x.
(2)由p=4,4x
2
-5px+p
2
=0可得x
2
-5x+4=0,
从而
x
1
=1,x
2
=4,y
1
=-22,y
2
=42,
从而A(1,-22),B(4,42).
→
设OC=(x
3
,y
3
)=(1,-22)+λ(4,42)
=(4λ+1,42λ-22),
22
又y
2
3
=8x<
br>3
,即[22(2λ-1)]=8(4λ+1),即(2λ-1)=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
能力组
13. 设抛物线y
2
=2x的焦
点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物
S
△
BCF线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=( )
S
△
ACF
4
A.
5
4
C.
7
答案 A
2
B.
3
1
D.
2
1
解析 如图,过A,B作准线l:x=-的垂线,垂足
分别为A
1
,B
1
,由于F到直线AB的
2
距离为定值,
S
△
BCF
|BC|
∴=.
|CA|
S
△
ACF
又∵△B
1
BC∽△A
1
AC,
S△
BCF
|BC||BB
1
||BB
1
||BF|2|
BF|
∴=,由抛物线定义知==,∴=.
|CA||AA
1
||AA1
||AF||AF||AF|
S
△
ACF
3
由|BF
|=|BB
1
|=2知x
B
=,y
B
=-3,
2
∴直线AB的方程为y-0=(x-3).
3
3-
2
3
y
2
把x=代入上式,求得y
A
=2,x
A
=2,
2
5
∴|AF|=|AA
1
|=.
2
S
△
BCF
|BF|24
故===.故选A.
|AF|55
2
S
△
ACF
14.已知点P是抛物线y
2<
br>=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影
7
,4
?,则|PA|+|PM|的最小值是( ) 是M,点A
?
2
??
7
A.
2
9
C.
2
答案 C
B.4
D.5
1
?
7
,
0
,又点A
?
,4
?
在抛物线外,抛物线的准线解析 设抛物线y<
br>2
=2x的焦点为F,则F
?
?
2
??
2
?
111
方程为x=-,则|PM|=d-,又|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=
5,所以|PA|+|PM|=|PA|+d-≥5
222
199
-=,即(|PA|
+|PM|)
min
=.故选C.
222
15.如图是抛物线形拱桥,当水
面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,
水面宽________米.
答案 26
解析 建立适当的坐标系,如图所示,可求出抛物线的方程是x
2
=-2y,当y=-3时,x
2
=-2×(-3)=6,所以x=±6,即水面宽是26
米.
16.设抛物线C:x
2
=2py(p>0)的焦点为F,准线为l
,A为C上一点,已知以F为圆心,FA
为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,
B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐
标原点到m,n距离的比
值.
解
(1)由题意易知B,D两点关于y轴对称,所以|FB|=|FD|.故△BFD为等腰直角三角形.
设BD交y轴于点E,则|BE|=|DE|=|EF|=p.所以|BD|=2p.故圆F的半径|FA|=
|FB|=2p.由
抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=2p.
11
因为△
ABD的面积为42,所以|BD|·d=42,即·2p·2p=42,得p=-2(舍去)或p=
2
2
2.所以F(0,1).故圆F的方程为x
2
+(y-1)
2
=8
.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
133
由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.
233
当m的斜率为
3323
时,由已知可设n:y=x+b,代入x
2
=2py得x
2
-px-2pb=0.
333
4p
由
于n与C只有一个公共点,故Δ=p
2
+8pb=0,解得b=-.
36
p|b
1
|
因为m的截距b
1
=,=3,
2|b|
所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-
3
时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
3
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