高中数学抛物线训练题及解析

高中数学抛物线训练题及解析
选修1-1.2.3.抛物线

一、选择题
1．(2010·衡水七校联考)抛物线y
2
＝ax(a≠0) 的焦点到其准线的距离是( )
|a||a|
A.
4
B.
2

a
C．|a| D．－
2

2．已知点 P是抛物线y
2
＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到
该抛物线准 线的距离之和的最小值为( )
17
A.
2
B．3
9
C.5 D.
2

3．(2011·皖南八校)已知点P是抛物 线y
2
＝2x上的动点，点P到准线的距离
7
为d，且点P在y轴上的射影是 M，点A(
2
，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
7
A.
2
B．4
9
C.
2
D．5
4．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x
2
的切线方程是( )
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
5．(2010·辽宁卷)设抛物线y
2
＝8x的焦点为F， 准线为l，P为抛物线上一点，
PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )
A．43 B．8
C．83 D．16
6．(2010·山东卷)已知抛 物线y
2
＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交
抛物线于A、B两点，若 线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程
为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
二、填空题
7．如果直线l过定点M (1,2)，且与抛物线y＝2x
2
有且仅有一个公共点，那
么l的方程为_____ ___．
8．过抛物线y
2
＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段A B中点
的横坐标为3，则|AB|等于________．
9．(09·福建)过抛物线y< br>2
＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线
于A，B两点，若线段 AB的长为8，则p＝________.
1
10．抛物线y＝
2
x
2
上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取
值范围是______ __．
x
2
y
2
11．若椭圆
a
2
＋< br>b
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2，抛物线y
2
＝2bx
1 4

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→→
的焦点为F，若F
1F＝3FF
2
，则此椭圆的离心率为________．
12．(2010·湖 南卷，理)过抛物线x
2
＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与
该抛物线交于 A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD
的面积为122，则p＝____ ____.
13．(2011·合肥第一次质检)当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x< br>2
的下
方，则a的取值范围是________．
三、解答题
14 ．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛
物线C上的两个动点(AB不垂 直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分
线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线 的方程．
15．(2011·沧州七校联考)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2
＝
1
→→
2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是2
时，AC＝4AB.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

参考答案

1. 答案 B
|a||a|
解析 ∵y
2
＝ax，∴ p＝
2
，即焦点到准线的距离为
2
，故选B.

2. 答案 A
1
解析 记抛物线y
2
＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F 的坐标是(
2
，0)，
由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离， 因此要求点P
到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应
1
的最 小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于?
2
?
2
＋ 2
2
＝
17
2
，选A.
3. 答案 C
17
解析 设抛物线y
2
＝2x的焦点为F，则F(
2
，0 )，又点A(
2
，4)在抛物线的
1
外侧，抛物线的准线方程为x＝－
2
，
19
则|PM|＝d－
2
，又|PA|＋d＝|PA|＋| PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥
2
.故选C.
4. 答案 C
解析 y′＝4x＝4∴x＝1，y＝2，过(1,2)斜率为4的直线为y－2＝4(x－1)．
5. 答案 B
解析 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，
又由直线AF的斜率为－3，可知∠PAF＝60°.
2 4

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4
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝
cos60°
＝8.
6. 答案 B
p
解析 抛物线的焦点F(
2
，0)，所以过焦点 且斜率为1的直线方程为y＝x－
ppp
2222
，即x＝y＋，将其代入y＝2px ＝2p(y＋)＝2py＋p，所以y－2py－p＝0，
222
y
1
＋y< br>2
所以
2
＝p＝2，所以抛物线的方程为y
2
＝4x，准线方 程为x＝－1，故选B.
7. 答案 x＝1或y＝4x－2
解析 当过M(1,2)的直 线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有
一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设 直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物
线方程联立得2x
2
－k(x－1)－2＝ 0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x
－2.故x＝1或y＝4x－2.
8. 答案 8
解析 抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)
＝4 .由抛物线的定义得|AB|＝8.
9. 答案 2
解析 设点A、B的坐标分别为(x< br>1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，过抛物线y
2
＝2px(p>0)
pp
的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y＝x－
2
，把x＝y＋
2
代入y
2
＝2px得，y
2－2px－p
2
＝0，∵|AB|＝8，∴|y
1
－y
2
|＝42，∴(y
1
＋y
2
)
2
－4y
1
y
2
＝(42)
2
，∴(2p)
2
－4×(－p
2
)＝32，又p>0，∴p＝2.
10. 答案 0解析 设抛物线上一点P(x，y)，
则|PA|
2
＝x
2
＋(y－a)
2
＝2y＋y
2
－2ay＋a
2

＝y
2
－2(a－1)y＋a
2
＝[y－(a－1)]
2
＋2a－1.
∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|
2
有最小值，
而|PA|有最小值，此时y＝0，故02
11. 答案
2

b
→→
解析 ∵F(
2
，0)，F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)且F
1
F＝3FF
2
，
bbb3b
→→
∴F
1
F＝(
2
＋c,0) ，FF
2
＝(c－
2
，0)，∴
2
＋c＝3c－
2
，即2b＝2c.∴b＝c.∴a
2
c2
＝b
2
＋c
2
＝2c
2
.∴＝e＝.
a2
12. 答案 2
p
解析 依题意，抛物线的焦点F的坐标为(0，
2
)，设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
pp< br>2
2
直线AB的方程为y－
2
＝x，代入抛物线方程得，y－3py＋
4
＝0，故y
1
＋y
2
＝3p，|AB|＝|AF|＋|B F|＝y
1
＋y
2
＋p＝4p，直角梯形有一个内角为45°， 故|CD|
2211
＝
2
|AB|＝
2
×4p＝22p，梯形面积为< br>2
(|BC|＋|AD|)×|CD|＝
2
×3p×22p＝32
p< br>2
＝122，p＝2.
3 4

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13. 答案 (－∞，4]
?
y＝x
2
解析 由题可知，联立
?
，整理可得x
2
－ax＋a＝0，当Δ＝a
2
－4a
?
y＝ax－a
＝0 ，解得a＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切，因为直线恒过定点(1,0)，结
合图形可知当a∈( －∞，4)，x>1时直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x
2
的下方．
14. 解析 设抛物线的方程为y
2
＝2px(p>0)，
p
其准线方程为x＝－
2
，
设A(x
1
，y1
)，B(x
2
，y
2
)，
因为|AF|＋|BF|＝8，
pp
所以x
1
＋
2
＋x
2
＋
2
＝8，
即x
1
＋x
2
＝8－p.
因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
所以QA＝QB，
22
即(x
1
－6)
2
＋y
2
1
＝(x
2
－ 6)＋y
2
，
2
又y
1
＝2px
1
，y
2
2
＝2px
2
，
所以(x
1
－x2
)(x
1
＋x
2
－12＋2p)＝0，
∵x
1
≠x
2
，∴x
1
＋x
2
＝12－2p
故8－p＝12－2p
∴p＝4
∴所求抛物线方程是y
2
＝8x
11
15. 解 (1)设B(x
1
，y
1
)，C(x2
，y
2
)，当直线l的斜率是
2
时，l的方程为y＝
2
(x＋4)，即x＝2y－4.
?
x
2
＝2py，
由< br>?
得2y
2
－(8＋p)y＋8＝0，
?
x＝2y－4


?
y
1
y
2
＝4，①
?
→
＝4AB
→
，∴y＝4y，③ ∴
?
又∵AC
21
8＋p
y＋y＝，②
?
2
?
12
由①②③及p>0得：y
1
＝1，y
2
＝4，p＝2，则抛物线 G的方程为x
2
＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x< br>0
，y
0
)，
?
x
2
＝4y，
由
?
得x
2
－4kx－16k＝0，④
?
y＝k?x＋4?
x
C
＋x
B
∴x
0
＝
2
＝2k， y
0
＝k(x
0
＋4)＝2k
2
＋4k.
1∴线段BC的中垂线方程为y－2k
2
－4k＝－
k
(x－2k)， < br>∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k
2
＋4k＋2＝2(k＋1)
2
，
对于方程④，由Δ＝16k
2
＋64k>0得：k>0或k<－4.
∴b∈(2，＋∞)．




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