高中数学抛物线

台州学文教育黄岩校区
0576—84399688

一、抛物线的知识点学文教育编写：
对
标准方
图形
程
y
2
1
离
焦点 准线 心
率
x??
p
2
顶
称
点
轴
焦半径 焦点弦公式
?2px
?0
?
O
y
?
p
?
0,0
?
F
x
x

y
2
l

y

轴
?
p
?
?
,0
?
?
2
?
e?1
PF?
p
2


?x
0
AB?p?(x
1
?x
2
)

学文教育编写
??2px
?0
?
F
O
?
p
x
?
0,0
?
x
l


轴
?
p
?
?
?,0
?
?
2
?
x?
p
2
e?1
PF?
p
2

?x
0

AB?p?(x
1
?x
2
)


?
0,0
?
y

y??
p
2

p
2
x
2
?2py
?0
??
p



轴
?
p
?
?
0,
?
?
2
?
e?1
PF?


?y
0

AB?p?(y
1
?y
2
)


p
2
x
2
??2py
?0
??
p
?
0,0
?
y
p
??
?
0,?
?
2
??< br>


轴

y?
p
2
e?1
PF?

?y
0

AB?p?(y
1
?y
2
)


通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：
d?2p
抛物线
y
2
?
x?2pt
2
?2px(p?0)
的参数方程：
?
（t< br>y?2pt
?
为参数）
二．基本题型
1．过抛物线学文教育编 写
y
2
B
?
x
2
,y
2
?
两点，如果
x
1
?x
2
?6
?4x
的焦点作直线 交抛物线于
A
?
x
1
,y
1
?
，
，那么
|AB|
=
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
成才之路 学文起步
校区地址：
黄岩区劳动南路1038号（黄岩第二高级中学对面御景华庭）

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2．已知
M
为抛物线
y
2
则
|MP
?4x
2
上一动点，定点
P
?
3,1
?
，
F< br>为抛物线的焦点，
|?|MF|
的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）
6
3．过 抛物线
y?ax
2
?
a?0
?
的焦点
F
学 文教育编写作直线交抛物线于
P
、
Q
两点，若线段
PF
、< br>QF
的长分别是
p
、
q
，则
1
1
2 a
p
?
1
q
=（ ） （A）
4
2a
（B） （C）
4a
（D）
a
4．顶点 在原点，焦点在
y
轴上，且过点
P
（4，2）的抛物线方程是
（ ）
(A)
x
2
＝8
y
(B)
x
2
＝4
y
(C)
x
2
＝2
y
(D)
x
2
?
1
2
y

5．抛物线
y< br>2
＝8
x
上一点
P
到顶点的距离等于它们到准线的距离，这< br>点坐标是
(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，
2
6．过抛物线
y
2
?4x
2
） (D) （1，±
22
）
焦点
F
的直线
l
它交于
A
、
B
两点，则弦
AB
的中点
的轨迹方程是 ______
7．抛物线顶点在原点，学文教育编写以坐标轴为对称轴，过焦点且
与
y
轴垂 直的弦长等于8，则抛物线方程为

8．抛物线
y
2
＝－6
x
，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线
相切的圆的方程是
9．以双曲线
x
2
16
?
y
2
9
?1< br>的右准线为准线，以坐标原点
O
为顶点的抛物
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线截双曲线的左准线得弦
AB
，求△
OAB
的面积． （答案：
512
25
3
）
10．正三角形的一个顶点学文教育编 写位于坐标原点，另外两个顶点
在抛物线
y
2
?2px
?
p ?0
?
上，求这个正三角形的边长
（答案：边长为
43p
） （12答案：
x
2
?y?8px?0
）
2
11．正三角形 的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线
y?2px
?
p?0
?上，求正三角形外接圆的方程
2
12．已知
?ABC
的三个顶点是圆< br>x
2
?y?9x?0
2
与抛物线
y
2
?2p x
?
p?0
?
的交点，且
?ABC
的垂心恰好是抛物线的焦 点，求抛物线的方程
（答案：
y
2
?4x
）
1 3．已知直角
?OAB
的直角学文教育编写顶点
O
为原点，
A
、
B
在抛物
线
y
2
?2px
?
p
（1）分别求
A
?0
?
上，、
B
两点的横坐标之积，纵坐 标之
积；（2）直线
AB
是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若
不 经过，说明理由；（3）学文教育编写求
O
点在线段
AB
上的射影
M
的
轨迹方程 答案：（1）
y
1
y
2
??4p
2
；
x
1
x
2
2
?4p
2
2
；（2 ）直线
AB
过定
2
点
?
2p,0
?
;（3 ）点
M
的轨迹方程为
?
x?p
?
?y?p
?
x?0
?

2
A
、
B
在抛物线
y14．已知直角
?OAB
的直角顶点
O
为原点，
?2px
?
p?0
?
上，原点在直线
AB
上的射影为
D
?
2,1
?
，求抛物线的方程 （答案：
y
2
?
5
2
x
）
?2px15．已知抛物线
y
2
B
?
p?0
?
学文教育 编写与直线
y??x?1
相交于
A
、
两点，以弦长
AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程
?x
（答案：
y
2
）
x?b
16．已知直线y?
与抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
相交于
A
、
B
两点，若
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OA?OB
4
，（
O
为坐标原点）且
S
?AOB
）
?25
，求抛物线的方程 （答案：
y
2
?2x
17 ．顶点在坐标原点，焦学文教育编写点在
x
轴上的抛物线被直线
y?2x?1
截得的弦长为
15
，求抛物线的方程
（ 答案：
y
2





参考答案：
1．B
2．B
3．C
4．A
5．D
6．
y
2
?12x或
y
2
??4x
）
?2
?
x?1
?

7．
x
2
＝±8
y

8．
(x?
9．
512
25
3
2
)?y
22
?9


3p
10．边长为
4
11．分析：依题意可知圆心在
x
轴上，且过原点，故可设圆的方程为：
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x?y?Dx?0
，
22
5
又∵ 圆过点
A
?
6p,

12．
y
2
?4x
23
?
， ∴ 所求圆的方程为
x
2
?y?8px?0

2

??4p
2
13．（1）
y
1
y
2
；
x
1
x
2
?4p
2
；（2）直线
AB
过定点
?
2p,0
?

2
（3）点
M
的轨迹方程为学文教育编写
?
x?p
?
14．
y
2
?y
2
?p
2
?
x?0< br>?

?
5
2
x

15．
y
2
16．
y
2
17．
y
2



?x


或
y
2
??4x

?2x
?12x
成才之路 学文起步
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