高中数学特殊公式大全-高中数学教师基本功大赛理论
抛物线的简单性质
教学目的:
1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;
2.掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式;
3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化
教学重点:抛物线的几何性质及其运用
教学难点:抛物线几何性质的运用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入: 抛物线的几何性质:
标准方程 图形
y
顶点
对称
轴
焦点 准线 离心率
y
2
?2px
?
p?0
?
l
O
F
x
?
0,0
?
x
轴
?
p
?
?
,0
?
?
2
?
x??
p
e?1
2
y
y
2
??2px
?
p?0
?
F
O
x
?
0,0
?
x
轴
p
?
p
?
?
?,0
?
x?
2
?
2
?
e?1
l
x
2
?2py
?
p?0
?
?
0,0
?
y
轴
?
p
?
?
0,
?
?
2
?
y??
p
e?1
2
x
2
??2py
?
p?0
?
?
0,0
?
y
轴
p
?
p
?
?
0,?
?
y?
2
?
2
?
e?1
注意强调
p
的几何意义:是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线
二、讲解新课:
1.抛物线的焦半径及其应用:
定义:抛物线上任意一点M与抛物线焦点
F
的连线段,叫做抛物线的焦半径
焦半径公式:
抛物线
y
2
?2px(p?0)
,
PF?x
0
?
pp
??x
0
22
pp
??x
0
22
抛物线
y
2
??2px(p?0)
,
PF?x
0
?
抛物线
x
2
?2py(p?0)
,
PF?y
0
?
pp??y
0
22
pp
??y
0
22
抛物线
x
2
??2py(p?0)
,
PF?y
0<
br>?
2.直线与抛物线:
(1)位置关系:
相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点);相切(一个公共点)
下面分别就公共点的个数进行讨论:对于
y
2
?2px(p?0)
当直线为
y?y
0
,即
k?0
,直线平行于对称轴时,与抛
物线只有唯一的交点
当
k?0
,设
l:y?kx?b
将
l:y?kx?b
代入
C:Ax
2
?Cy
2
?Dx
?Ey?F?0
,消去y,得到
关于x的二次方程
ax
2
?bx?c?0
(*)
若
??0
,相交;
??0
,相切;
??0
,相离
综上,得:
?
y?kx?b
联立
?
2
,得关于x
的方程
ax
2
?bx?c?0
?
y?2px
当<
br>a?0
(二次项系数为零),唯一一个公共点(交点)
当
a?0
,则
若
??0
,两个公共点(交点)
??0
,一个公共点(切点)
??0
,无公共点 (相离)
(2)相交弦长:
弦长公式:
d
?
?
1?k
2
,其中a和
?
分别是
ax
2
?bx?c?0
(*)中二次项系
a
数和判别式,k为直线
l:y?
kx?b
的斜率
当代入消元消掉的是y时,得到
ay
2
?by?c
?0
,此时弦长公式相应的变为:
d?
?1
1?
2
a
k
(3)焦点弦:
定义:过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式:设两交点
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
,可以通过两次焦半径公式得到:
当抛物线焦点在x轴上时,焦点弦只和两焦点的横坐标有关:
抛物线
y
2
?2px(p?0)
,
AB?p?(x
1
?x
2
)
抛物线
y
2
??2px(p?0)
,
AB?p?(x
1
?x
2
)
当抛物线焦点在y轴上时,焦点弦只和两焦点的纵坐标有关:
抛物线
x
2
?2py(p?0)
,
AB?p?(y
1
?y
2
)
抛物线
x<
br>2
??2py(p?0)
,
AB?p?(y
1
?y
2
)
(4)通径:
定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
直接应用抛物线定义,得到通径:
d?2p
(5)若已知过焦点的直线倾斜角
?
2p
p
?
?
2p
?
y?k(x?)
?
y
1
?y
2?
22
y?p?0
?
?
则
?
k
2
?y?
k
22
??
?
y?2px
?
y
1
y
2
??p
12p
4p
22p
2
?AB?y?y?
?y
1
?y
2??4p?
12
2
2
sin
?
sin
?
sin
?
k
(6)常用结论:
p
?
k
2
p
2
2p
?
y?k(x?)
222
22
?0
y?p?0
和
kx?(kp?2p)x?
?
2
?y?
4
k
2
?
?
y?2px
?y
1
y
2
??p
2
和
x
1
x
2
?
p
4
3.抛物线的法线:
过抛物线上一点可以作一条切线,过切点所作
垂直于切线的直线叫做抛物线
在这点的法线,抛物线的法线有一条重要性质:
经过抛物线上一
点作一直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分
这条直线和这点与焦点连线的夹角如图. <
br>抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如,在光学上,如果把光源放在
抛物镜的焦点F处
,射出的光线经过抛物镜的反射,变成了平行光线,汽车前灯、
探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设
计的.反过来,也可以把射来的平行光
线集中于焦点处,太阳灶就是利用这个原理设计的
y
平行于轴
x
切线<
br>O
法线
?
x?2pt
2
4.抛物线
y?2px(p?
0)
的参数方程:
?
(t为参数)
?
y?2pt
2
三、讲解范例:
例 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线
y
2
?2px(p?0)
上,求这个正三角形的边长.
分析:观察
图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们公共
的对称轴,则容易求出三角形边长.
(x
2
,y
2
)
,解:如图,设正三角形O
AB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
则
y
1
?2px
1
,
y
2
?2px
2
又|OA|=|OB|,所以
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222
2
2
y
A
x
O
即
x
1
?2px
1
?x
2
?2px
2
(x
1
?x
2
)?2p(x
1
?x
2
)?0
22
22
B
[(x
1
?x
2
)?2p](x
1
?x
2
)?0
∵
x
1
?0,x
2
?0,2p?0
,∴
x
1
?x
2
.
由此可得
|y
1
|?|y
2
|
,即线段AB关于x轴对称.
因为x轴垂直于AB,且∠AOx=30°,所以
y
1
3
?tan30
0
?
x
1
3
所以
y
1?2px
1
?
1
?23p
,
|AB|?2y
1
?43p
y
1
四、课堂练习:
1.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上,求这个正三角形的边长(答案:边长为
43p
)
2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线
y
2
?
2px
?
p?0
?
上,求正三角形外接圆的方程
分析:依题意可知
圆心在
x
轴上,且过原点,故可设圆的方程为:
x
2
?y
2
?Dx?0
,
又∵ 圆过点
A6p,23
, ∴
所求圆的方程为
x
2
?y
2
?8px?0
3.已
知
?ABC
的三个顶点是圆
x
2
?y
2
?9x?0
与抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
的交点
,
且
?ABC
的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程(答案:
y
2
?4x
)
??
4.已知直角
?OAB
的直角顶点O
为原点,
A
、
B
在抛物线
y
2
?2
px
?
p?0
?
上,
(1)分别求
A
、
B
两点的横坐标之积,纵坐标之积;(2)直线
AB
是否经过一
个定点,若经过
,求出该定点坐标,若不经过,说明理由;(3)求
O
点在线段
AB
<
br>上的射影
M
的轨迹方程
答案:(1)
y
1
y
2
??4p
2
;
x
1
x
2
?4p
2
;(2)直线
AB
过定点
?
2p,0
?
(3)点
M
的轨迹方程为
?
x?p
?
?y
2
?p<
br>2
2
?
x?0
?
5.已知直角
?OAB
的直角顶点
O
为原点,
A
、
B
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
上,
原点在直线
A
B
上的射影为
D
?
2,1
?
,求抛物线的方程(答案:y
2
?
5
x
)
2
6.已知抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
与直线
y??x?1
相交于
A
、
B
两点,以弦长
AB
为
直径的圆恰好
过原点,求此抛物线的方程(答案:
y
2
?x
)
7.已知直线y?x?b
与抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
相交于
A
、
B
两点,若
OA?OB
,
(<
br>O
为坐标原点)且
S
?AOB
?25
,求抛物线的方程(答案
:
y
2
?2x
)
8.顶点在坐标原点,焦点在
x
轴上的抛物线被直线
y?2x?1
截得的弦长为
15
,
求抛物线的方
程(答案:
y
2
?12x
或
y
2
??4x
)
五、小结 :焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、测 试 题:
1.顶点在原点,焦点在y轴上,且过点P(4,2)的抛物线方程是( )
(A)
x
2
=8y (B) x
2
=4y (C)
x
2
=2y (D)
x
2
?
1
y
2
2.抛物线y
2
=8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是(A)
(2,4)
(B) (2,±4) (C) (1,
22
) (D) (1,±
22
)
3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长等于8,
则抛物线方程
为
4.抛物线y
2
=-6x,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线
相切的圆的
方程是
x
2
y
2
??1
的右准线
为准线,以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲5.以双曲线
169
线的左准线得
弦AB,求△OAB的面积.
测试题答案:
1.A
3512
2.D 3.x
2
=±8y
4.
(x?)
2
?y
2
?9
5.
225
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