高中数学抛物线-高考经典例题

.
1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直
线l叫做抛物线的准线．
2抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：
FK?p

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为
2p
。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：
OF?OK?
p
。
2
M
2
C
N
K
M
1
P
⑤焦半径为半径的圆：以 P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、
o
Q
准线是公切线 。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样
的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
F
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为 直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：
y
2
?2px，y
2
??2px，x
2
?2py，x
2
??2py。

4抛物线
y
?
2px
的图像和性质：
2
y
M
2
?
p
?
0
?
， ①焦点坐标是：
?
，
2
??
②准线方程是：
x??
P
p
。
2
2
K
M
1
o
F
Q
x
③焦半径公式：若点
P
(
x
0
,
y
0
)
是抛物线
y?2px
上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称 为
焦半径）是：
PF?x
0
?
p
，
2
p p
?x
2
??x
1
?x
2
?p

22
2
④焦点弦长公式：过焦点弦长
PQ?x
1
?
y
2
2
2
⑤抛物线
y
?
2px
上的动点可设为P< br>(
?
,y
?
)
或
P(2pt,2pt)
或P
(x
?
,y
?
)其中y
?
?2px
?
2p
5一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
.

.
k>0时开口向右 到焦点(k4,0)的距离等
y
2
=kx (k4,0) x= ─k4 于到准线x= ─k4的距
k<0时开口向左
离
k>0时开口向上 到焦点(0,k4)的距离等
x
2
=ky (0,k4) y= ─k4 于到准线y= ─k4的距
k<0时开口向下
离
抛物线的定义：
例1：点
M
与点
F
(－4，0)的距离比它到直线
l：
x
－6=0的距离4.2，求点
M
的轨迹
程．
分析 ：点
M
到点
F
的距离与到直线
x
=4的距离恰好相等，符合 抛物线定义．
答案：
y
2
=－16
x
例2：斜率为1的 直线
l
经过抛物线
y
2
=4
x
的焦点，与抛物线相 交于点
A
、
B
，求线段
A
、
B
的长． < br>分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长
AB
转化为求
A
、
B
两点到准线距离的和．
解：如图8－3－1，
y
2
=4
x
的焦点为
F
(1，0)，则
l
的方程为
y
=
x
－1．
由
?
?
y
2
?4x
消去
y
得
x
2
?x?1
－6
x
+1=0．
?
y
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
) 则
x
1
+
x
2
=6．
又
A
、< br>B
两点到准线的距离为
A
?
，
B
?
，则 < br>AA
?
?BB
?
?
?
x
1
?1?
?
?
x
2
?1
?
?
?
x< br>1
?x
2
?
?2?6?2?8

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是
y
2
=10
x
，求 它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是
F
(0，3)求它的标准方程；
(3) 已知抛物线方程为
y
=－
mx
2
(
m
>0)求它的焦点坐标和准线方程；
.
方

.
(4) 求经过
P
(－4，－2)点的抛物线的标准方程；
分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础 题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求
P
值(注意
p
>0)．特
别是(3)题，要先化为标准形式：
x
2
??
答案：(1)
F
?
，0
?
，
x??
11

y< br>，则
2p?
．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．
mm
?
5
?
2
?
?
1
?
51< br>?
．(2)
x
2
=12
y
(3)
F
?
0，?
，；(4)
y
2
=－
x或
x
2
=－8
y
．
y?
?
4m
?
24m
?
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线
x
－2
y
－4=0上

分析：从 方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数
p
；从实际分析，一般需确定
p
和确定开口方向两
个条件，否则，应展开相应的讨论

解：（1）设所求的 抛物线方程为
y
2
=－2
px
或
x
2
=2
py
（
p
＞0），
∵过点（－3，2），
∴4=－2
p
（－3）或9=2
p
·2

∴
p
=
29
或
p
=

34
∴所求的抛物线方程为
y
2
=－
4919
x
或
x
2
=
y
，前者的准线方程是
x
=，后者的准线方程是
y
=－

3238
（2）令
x
=0得
y
=－2，令
y
=0得
x
=4，
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）

当焦点为（4，0）时，
p
=4，
2
∴
p
=8， 此时抛物线方程
y
2
=16
x
；
焦点为（0，－2）时，
p
=2，
2
∴
p
=4， 此时抛物线方程为
x
2
=－8
y

∴所求的抛物线的方程为
y
2
=16
x
或
x
2
=－8
y< br>，
对应的准线方程分别是
x
=－4，
y
=2


.

.
常用结论
① 过抛物线y
2
＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
② 设A(x
1
，y)，
1
B(x
2
，y
2
)是抛物线y
2
＝2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y
1
y
2
＝－p
2

③ 设A， B是抛物线y
2
＝2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

例5：过抛物线
y
2
=2
px
(
p
>0 )的顶点
O
作弦
OA
⊥
OB
，与抛物线分别交于
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)两点，求证：
y
1
y
2
=－4
p
2
．
分析：由
OA
⊥
OB
，得到
OA
、
OB
斜率之积等于－1，从而得到
x
1
、
x
2
，
y
1
、
y
2
之间的关系．又
A
、
B
是抛物线上的
点，故(
x
1
，
y
1
)、(
x
2
，
y
2
)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到
y
1
、
y
2
的值．
证：由
OA
⊥
OB
，得
K
OA
? K
OB
2
2
y
1
y
2
y
1
2
y
2
y
1
2
y
2
????
1
，即
y
1
y
2
=－
x
1
x
2
，又
x
1
?
，
x
2
?
，所以 ：
x
1
x
2
?
，
2
x
1
x
2
2p2p
4p
2
y
1
2
y
2
即
y
1
y
2
??
． 而
y
1y
2
≠0．所以
y
1
y
2
=－4
p< br>2
．
2
4p
弦的问题
例1 A,B是抛物线y
2
=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积 ，纵坐标之
积为定值；
(2)直线AB经过一个定点

(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程

解：(1)设A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
), 则y
1
2
=2px
1
, y
2
2
=2px
2
,
∴y
1
2
y
2
2
=4p
2
x
1
x
2
,
∵OAOB, ∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
由此即可解得：x
1
x
2
=4p
2
, y
1
y
2
=─4p
2
(定值)

(2) 直线AB的斜率k=
y
2
?y
1
y?y
1
2p=
2
2
=,
x
2
?x
1
y
2
y
1
2
y
1
?y
2
?
2p2 p
y
1
2
2p
∴直线AB的方程为y─y
1
=(x ─),
2p
y
1
?y
2
.

.
即y(y
1
+y
2
)─y
1
y
2
=2px, 由(1)可得 y=
2p
(x─2p),
y
1
?y
2
直线AB过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=
2p
(x─2p) (i),
y
1
?y
2
2p
y
·= ─1 (ii)
y
1
?y
2
x
又ABOM, 故两直线的斜率之积为─1, 即
由(i),(ii)得x
2
─2px+y
2
=0 (x0)

解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出
例2 定 长为3的线段AB的两个端点在抛物线y
2
=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短 距离，并求此时
点M的坐标

解：如图，设A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
),M(x,y), 则x=
y?y
2
x
1
?x
2
, y=
1
,
2
2
又设点A，B，M在准线
l
:x= ─14上的射影分别为A

,B

,M

, MM

与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA

|=x
1< br>+
11
,|BF|=|BB

|=x
2
+,
44
111115
∴x=(x
1
+x
2
)=(|AF|+| BF|─)(|AB|─)=

222224
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线 AB的方程为y=k(x─
1
)

4
1
?
y?k( x?)
?
由
?
4
得16k
2
x
2
─8(k
2
+2)x+k
2
=0

?
y
2
?x
?
?
1?k
2
依题意|AB|=
1?k
|x
1
─x
2
|=
1?k
×
==3,
16k
2
k
2
22
2
8(k?2)
51
∴ k
2
=12, 此时x=(x
1
+x
2
)==
2
24
2?16k
∴y= ±
22
5
2
5
即M(,), N(,─)

22
4
2
4
例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线
y?x?
2
相交于B、C两点,点B、C在
x
轴上的射影分别为
B
1
,C
1
, P是线段BC
2
.

.
上的点,且适合
BP
BB
1
?
,求
?POA
的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
PCCC
1
解析: 设
B
(
x
1
,
y
1
),
C
(
x
2
,
y
2),
P
(
x
0
,
y
0
)
,< br>Q(x,y)

?
y
BP
BB
1
??
1
?
?
,
?y
0
?
PCCC
1
y
2
y
1
?
y
1
?y
2
y2
2y
1
y
2

?
y
1
y< br>1
?y
2
1?
y
2
?
y?x
2?2
222
由
?
得
y?
(
k?
4k
)
y?
6
k?
0

?
y?k(x? 2)
2?6k
2
12k
?y
0
?
2
? ①
k?4k
k?4
又
y
0
?
k< br>代入①式得
y
0
?
4
x
0
?
4 ②
x
0
?2
x
0
?2
?
x?
?
?
x
0
?3x?2
?
3
由
?
得
?
代入②式得:
12x?3y?4?0

y
?
y
0
?3y
?
y?
0
?
3
?< br>由
??0
得
k?4?26
或
k?4?26
, 又由① 式知
y
0
关于
k
是减函数且
y
0
?12< br>
?12?46?y
0
?12?46
,
4?
4646
?y?4?
且
y?4

33
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
12x?3y?4?0

(
4?
4646
?y?4?
且
y?4
)
33
2
例4 已知抛物线
y?2px,(p?0)
,焦点为F,一直 线
l
与抛物线交于A、B两点,且
AF?BF?8
,且AB的垂直平分线恒过
定点S(6, 0)

①求抛物线方程; ②求
?ABS
面积的最大值

解: ①设
A
(
x< br>1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
, AB中点
M(x
0
,y
0
)

由
AF?BF?8< br>得
x
1
?x
2
?p?8,?x
0
?4?p

2
.

.
2
?
p
?
y
1
?2px
1
22
又
?
得
y
1

?y?2p(x?x),?y?
2120
2
k
?
?
y
2
?2px
2
p
pp
k
所以
M(4?
,)
依题意
?k??1
,
?p?4

p
2k
4??6
2
抛物线方程为
y
?
8x

2
②由
M
(2,
y< br>0
)
及
k
l
?
令
y?0
得
x
K
?2?
2
44
(x?2)
,
l
A B
:y?y
0
?
y
0
y
0
1
2< br>y
0

4
4
2
?
16
?
0

(x?2)
得:
y
2
?
2
y
0
y?
2
y
0
y
0
又由
y
?
8x
和
l
AB
:y?y
0
?
?S
?ABS?
111
222
?KS?y
2
?y
1
?(4? y
0
)4y
0
?4(2y
0
?16)

2 24
?S
?ABS
?
1
42
22
(16?y
0
)(32?2y
0
)?
264
3
64
()?6

839
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y
2
=x 上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时
点M的坐标

解：如图，设A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
),M(x,y), 则x=
y?y
2
x
1
?x
2
, y=
1
,
2
2
又设点A，B，M在准线
l
:x= ─14上的射影分别为A

,B

,M

, MM

与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA

|=x
1< br>+
11
,|BF|=|BB

|=x
2
+,
44
111115
∴x=(x
1
+x
2
)=(|AF|+| BF|─)(|AB|─)=

222224
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线 AB的方程为y=k(x─
1
)

4
1
?
y?k( x?)
?
由
?
4
得16k
2
x
2
─8(k
2
+2)x+k
2
=0

?
y
2
?x
?
?
1?k
2
依题意|AB|=
1?k
|x
1
─x
2
|=
1?k
×
==3,
16k
2
k
2
22
.

.
2
8(k?2)
51
∴k
2
=12, 此时x=(x
1
+x
2
)==
2
2?16k
2
4
∴y= ±


22
5
2
5
即M(,), N(,─)

22
4
2
4
综合类(几何)

例1 过抛物线焦 点的一条直线与它交于两点
P、Q
，通过点
P
和抛物线顶点的直线交准线于点
M
，如何证明直线
MQ
平行于抛物线的对称轴？
解：思路一：求出
M、Q
的纵坐标并进行比较，如果相等，则
MQx
轴，为此，将方程
y
2
?2px,y?k(x?
解出
p
)
联立，
2
p(k
2
?1?1)
2
p(1?k
2
?1)p(k
2
?1?1)
2
p(1?k
2
?1)
P(,),Q (,)

22
kk
2k2k
直线
OP
的方程为y?
2k(1?k
2
?1)
(k
2
?1?1)
2
?2(1?k
2
?1)
x.

x
,
即< br>y?
k
p(1?k
2
?1)
p
?y
Q
得证． 令
x??
，得
M
点纵坐标
y
M
?
k
2
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．
思路二：利用命题“如果过抛物 线
y
?
2px
的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为y
1
、
y
2
，那
2
么
y
1< br>y
2
??p
”来证．
设
P
(
x
1
,
y
1
)
、
Q(x
2
,y
2)
、
M(x
3
,y
3
)
，并从
y?2 px
及
y?k(x?
2
2
p
)
中消去
x< br>，得到
ky
2
?2py?kp
2
?0
，则有结
2
?p
2
论
y
1
y
2
??p
， 即
y
2
?
．
y
1
2
又直线
OP
的方程为
y?
?py
1
y
1
p
x
，
x??
，得
y
3
?
．
2x
1
x
1
2
2
y
因为
P
(
x
1,
y
1
)
在抛物线上，所以
2x
1
?
1
．
p
.

.
py
1
pp2
从而
y
3
??(?py
1
)?
2
? ??y
2
．
2x
1
y
1
y
1
这一证法运算较小．
y
p
思路三：直线
MQ
的方程为
y?y
o
的充要条件 是
M(?,y
0
),Q(
0
,y
0
)
．
22p
将直线
MO
的方程
y??
2
2py
2y
0
p
和直线
QF
的方程
y?
2
0(x?)
联立，它的解（
x ,y
）就是点
P
的坐标，消去y
o
p
2
y
o
?p
2
的充要条件是点
P
在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．
例2 已 知过抛物线
y?
2
px
(
p?
0)
的焦点且斜率为 1的直线交抛物线于
A、B
两点，点
R
是含抛物线顶点
O
的 弧
2
AB
上一点，求
△RAB
的最大面积．
分析：求RAB
的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以
AB
为三角形的底 ，只要确定高的最大值即可．
解：设
AB
所在的直线方程为
y?x?
2
p
． < br>2
22
将其代入抛物线方程
y
?
2px
，消去
x
得
y?2py?p?0

?AB?2y
1
?y
2
?2?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1y
2
?4p

当过
R
的直线
l
平行于
AB
且与抛物线相切时，
△RAB
的面积有最大值．
设直线
l
方程为
y?x?b
．代入抛物线方程得
y?
2
py?< br>2
pb?
0

2
由
??
4
p?8
pb?
0,
得
b?
2
2
pp
p ，这时
R(,p)
．它到
AB
的距离为
h?
2
22
∴
△RAB
的最大面积为
1
AB?h?2p
2
．
2
例3 直线
l
1
过点
M(?1,0)
，与 抛物线
y
2
?4x
交于
P
1
、
P
2
两点，
P
是线段
P
1
P
2
的中点，直线
l
2
过
P
和抛物线的焦点
F
，设直线
l< br>1
的斜率为
k
．
（1）将直线
l
2
的斜率 与直线
l
1
的斜率之比表示为
k
的函数
f(k)
；
（2）求出
f(k)
的定义域及单调区间．
分析：
l
2< br>过点
P
及
F
，利用两点的斜率公式，可将
l
2
的斜率用
k
表示出来，从而写出
f(k)
，由函数
f(k)
的特点求得
.

.
其定义域及单调区间．
解：（1）设
l
1
的方程为：
y?k(x?1)
，将它代入方程
y?4x
，得
2
k
2
x
2
?(2k
2
? 4)x?k
2
?0

4?2k
2
2?k
2
,x?
设
P

1
(
x
1
,
y
1
)
、P
2(
x
2
,
y
2
)
、P
(
x< br>,
y
)
，则
x
1
?x
2
?
k
2
k
2
2?k
2
2?k
2
2
2
,)
． 将
x?
代入
y?k(x?1)
得：
y?< br>，即
P
点坐标为
(
2
2
k
kk
k< br>2
k
2
k
由
y
?
4x
，知焦点F(1,0)
，∴直线
l
2
的斜率
k
2
?
?
22
2?k1?k
?1
k
2
∴函数
f(k)?
1
．
1?k
2
224
（2）∵
l< br>2
与抛物线有两上交点，∴
k?0
且
??(2k?4)?4k?0
解得
?1?k?0
或
0?k?1

∴函数
f?(k)
的定义域为
k?1?k?0或0?k?1

当
k?(?1,0)
时，
f(k)
为增函数．
例4 如图 所示：直线
l
过抛物线
y
?
2px
的焦点，并且与这抛物线 相交于
A、B
两点，求证：
2
??
对于这抛物线的任何给定的一条弦
CD
，直线
l
不是
CD
的垂直平分线．
分析：本 题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；
别一方面也可以根据l
上任一点到
C、D
距离相等来得矛盾结论．
证法一：假设直线
l
是抛物线的弦
CD
的垂直平方线，因为直线
l
与抛物线交于A、B
两点，
所以直线
l
的斜率存在，且不为零；直线
CD的斜率存在，且不为0．
设
C、D
的坐标分别为
(2
pt1
,2
pt
1
)
与
(2pt
2
,2p t
2
)
．则
k
CD
?
2
2
1
t
1
?t
2
∴
l
的方程为
y??( t
1
?t
2
)?(x?
∵直线
l
平分弦CD
p
)

2
.

.
∴
CD
的中点
(
p
(
t
1
?t
2
),< br>p
(
t
1
?t
2
))
在直线
l上，
22
2
即
p(t
1
?t
2
)? ?(t
1
?t
2
)[p(t
1
2
?t
2< br>)?
2
由
p
(
t
1
?t
2
)
?
0
知
t
1
2
?t
2
?
p1
2
]
，化简得：
p(t
1
?t
2
) (t
1
2
?t
2
?)?0

22
1
?0
得到矛盾，所以直线
l
不可能是抛物线的弦
CD
的垂直平分线 ．
2
证法二：假设直线
l
是弦
CD
的垂直平分线
∵焦点
F
在直线
l
上，∴
CF?DF

由 抛物线定义，
C
(
x
1
,
y
1
),
D
(
x
2
,
y
2
)
到抛物线的准线x??
∵
x
1
?x
2
,y
1
??y< br>2
，
∴
CD
的垂直平分线
l
：
y?0与直线
l
和抛物线有两上交点矛盾，下略．
例5 设过抛物线
y?2
px
(
p?
0)
的顶点
O
的两弦
O A、OB
互相垂直，求抛物线顶点
O
在
AB
上射影
N
的轨迹方程．
2
p
的距离相等．
2
分析：求与抛物线有关的轨 迹方程，可先把
N
看成定点
(
x
0
,
y
0
)
；待求得
x
0
、y
0
的关系后再用动点坐标(x，y)
来表示，
也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．
解法一：设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
N
(
x
0
,
y
0
),

2
y
1
2?y
2
则：
y?2px
1
,y?2px
2
，< br>?x
1
x
2
?

4p
2
2
1
2
2
?OA?OB
，
?k
OA
?k
OB
??1
即
x
1
x
2
?y
1
y2
?0

2
y
1
2
y
2
?? y
1
y
2
?0

4p
2
?y
1< br>y
2
?0
，
?y
1
y
2
??4p< br>2
①
把
N
点看作定点，则
AB
所在的直线方程为：
y?y
0
??
2
x
0
(
x?x
0
),
显然
x
0< br>?0

y
0
yy?(x?y
0
)
2
222
代入
y?2px,
化简整理得：
x
0
y?2py0
y?2p(x
0
?y
0
)?0

?x?0
?x
0
22
?2p(x
0
?y
0
)
?x
0
?0
，
?y
1
y
2
? ②
x
0
22
?2p(x
0
?y
0
)
22
由①、②得：
?4p?
， 化简得
x
0
?y
0
?2px
0
?0(x
0
?0)

x
0
2
.

.
用
x、y
分别表示
x
0
、y
0
得：
x?y ?2px?0(x?0)

22
解法二：点
N
在以
OA、O B
为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设
A
(2
pt
,2pt
)
，则以
OA
为直径的圆方程为：
2
(x?pt< br>2
)
2
?(y?pt)
2
?p
2
(t
4
?t
2
)

x
2
?y
2
?2pt
2
?2pty?0
①
设
B
(2
pt
1
,2
pt
1
)
，
OA⊥OB
，则
t
1
t??1?t
1
??

2
1
t
在求以OB为直径的圆方程时以
?
代
t
1
，可得
1
t
t
2
(x
2< br>?y
2
)?2px?2pty?0
②
由①＋②得：
(1
?t
)(
x?y?
2
px
)
?
0

222
?x
2
?y
2
?2px?0(x?0)
< br>例6如图所示，直线
l
1
和
l
2
相交于点M，
l
1
⊥
l
2
，点
N?l
1
，以
A、B
为端点的曲线段
C
上的任一点到
l
2
的距离与到点
N
的距离相等，若△
AMN
为锐角三角形，
AM?7
，
AN?3
，且
BN?6
，建立适当的坐标系，求曲线段
C
的方
程．
分析：因为曲线段
C
上的任一点是以点N为焦点，以
l< br>2
为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确
定
C
所 满足的抛物线方程．
解：以
l
1
为x轴，
MN
的中点为坐 标原点
O
，建立直角坐
标系．
由题意，曲线段
C
是
N
为焦点，以
l
2
为准线的抛物线的一
段的两端点．
段 ，其中
A、B
分别为曲线
∴设曲线段
C
满足的抛物线方程为：
y?
2
px
(
p?
0)(
x
A
?x?x
B
,
y?
0),
其中
x
A
、
x< br>B
为
A、B
的横坐标
2
令
MN?p,
则< br>M(?
pp
,0),N(
,0)
，
?AM?17,AN?3< br>
22
.

.
?
(x?
?
?
A
∴由两点间的距离公式，得方程组：
?
?
(x?
A?
?
p
2
)?2px
A
?17
2
< br>p
2
)?2px
A
?9
2
解得
?
?
p?4
?
p?2
或
?

x?2
x?1?
A
?
A
p
?x
A
，则
p?4
，
x
A
?1

2
p
?
6
?
2
?
4

2
∵△
AMN
为锐角三角形，∴
又
B
在曲线段
C上，
?x
B
?BN?
则曲线段
C
的方程为
y?
8
x
(1
?x?
4,
y?
0).

2
例7如图所示，设抛物线
y?
2
px
(0
?p?
1)
与圆
(x?5)?y?9
在
x
轴上方的交点为
A、B
，与圆
(x?6)?y?27
22222
在
x
由上方的交点 为
C、D，P
为
AB
中点，
Q
为
CD
的中 点．（1）求
PQ
．（2）求△
ABQ
面积的最大值．
分析：由于
P、Q
均为弦
AB、CD
的中点，故可用韦达定理表示出
P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出
PQ
．
解：（1）设
A
(
x
A
,
y
A
),
B
(
x
B
,
y
B
),
C
(
x
C
,
y
C
),
D
(
x
D
,
y
D),
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
)

22
?
?
(x?5)?y?9
2
由
?
得：
x?
2(5
?p
)
x?
16
?
0
，
2
?
?
y?2px
?x
1
?
x
A
?xB
?5?P

2
y
1
?
2p
y
A
?y
B
?(x
A
?x
B
)
22
2p
?x
A
?x
B
?2x
A
x
B
2

2p
?2(5?p)?8
2
?9p?p
2
.

.
22
?
?
(x?6)?y?27
2由
?
得
x?
2(6
?p
)
x?
9?
0
，
2
?
?
y?2px
?x
2< br>?
x
C
?x
D
?6?p

2
2p
(x
C
?x
D
)

2y
2
?
y
C
?y
D
?
2
同< br>y
1
类似，
y
2
?9p?p
2

则
x
1
?x
2
?
1,
y
1
?y2
?
0
，
?PQ?1

（2）
S
?A BQ
?S
?APQ
?S
?BPQ
?
1
PQ?yA
?y
B
?
2
2P
10?2p?8?
2
2P
2
x
A
?x
B

?p(1?p)

?0?p?1
，∴当
p?
11
时，
S
?ABQ取最大值．
22
例8 已知直线
l
过原点，抛物线
C
的顶点在原点，焦点在
x
轴的正半轴上，且点
A(?1,0)
和点
B (0,8)
关于直线
l
的
对称点都在
C
上，求直线
l
和抛物线
C
的方程．
分析：设出直线
l
和抛物线
C
的方程，由点
A
、
B
关于直线
l
对称，求出对 称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设
?B
'
Ox?
?
，利用对称 的几何性质和三角函数知识求解．
解法一：设抛物线
C
的方程为
y
?
2px
(p?0)
，直线
l
的方程为
y?kx(k?0)
，
2
则有点
A(?1,0)
，点
B(0,8)
关 于直线
l
的对称点为
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，
''
2
x
1
?1
?
y
1
?
k?1
?k?,
x?,
?
?
2
?
2
?
1
k
2
?1
则有
?
解得
?

y?
1
?k??1,
?
y?
?2k
;
1
?
?
k
2
?1
?
?
x
1
?1.

.
x
2
16k
?
y
2< br>?8
?
?k?,
x?,
2
?
?
2
?
2
?k
2
?1
解得
?

?
y?8
2
?
2
?
y?
8(k?1)
.
?k??1 ,
2
?
?
k
2
?1
?
?
x
2
如图，
A
'
、
B
'
在抛物线上
< br>?
4k
2
k
2
?1
?2p?
2
,< br>?
22
k?1
?
(k?1)
∴
?

22
?
64(k?1)
?2p?
16k
.
22
?< br>k
2
?1
?
(k?1)
两式相除，消去
p
， 整理，得
k
2
?k?
1
?
0
，故
k?1?5
，
2
由
p?0
，
k?0
，得
k?
1?51?525
．把
k?
代入，得
p?
．
225
∴直线
l
的方程为
y
?
1?545
x
，抛物线
C
的方程为
y
2
?x
．
25
''
解法二：设点
A
、
B
关于
l
的对称点为
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B(x< br>2
,y
2
)
，
又设
?B
'
Ox?
?
，依题意，有
OA
'
?OA?
1
，
OB
'
?OB?8
．
故
x
2
?
8cos?
，
y
2
?8sin
?
．
由
?BO A?90?
，知
?
B
'
OA
'
?90?
．
∴
x
1
?
cos(
?
?
90
?< br>)
?
sin
?
，
y
1
?sin(
?
?90?)??cos
?
．
又
x
1
?
0
，
x
2
?0
，故
?
为第一象限的角．
∴
A
(sin
?
,
?
cos
?
)
、
B(8cos
?
,8sin
?
)
．
''
2
?
?
cos
?
?2psin
?
,
将A
、
B
的坐标代入抛物线方程，得
?

2
?< br>?
64sin
?
?16pcos
?
.
''
.

.
∴
8sin
3
?
?cos
3< br>?
，即
tan
?
?
525
1
从而
s in
?
?
，
cos
?
?
，
55
2
∴
p?
2545
2
x
． ，得抛物 线
C
的方程为
y?
55
又直线
l
平分
?< br>B
'
OB
，得
l
的倾斜角为
?
?
∴
k?tan(
90??
??
??45?
．
22
?
2
?45?)?
sin(
?
?90?)cos
?
1 ?5
．
??
1?cos(
?
?90?)1?sin
?2
1?5
x
．
2
∴直线
l
的方程为
y
?
说明：
(1) 本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉
着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方 法，需要
重点掌握．
例9 如图，正方形
ABCD
的边
AB
在直线
l：y?x?4
上，
C
、
D
两点在抛物线
y?x
上，求正方形
ABCD
的面积．
2

分析：本题考 查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题
的 能力．
解：∵直线
AB：y?x?4
，
ABCD
，∴设
C D
的方程为
y?x?b
，且
C
(
x
1
,< br>y
1
)
、
D(x
2
,y
2
)
．
?
y
2
?x
2
由方程组
?
，消去< br>x
，得
y?y?b?
0
，于是
?
y?x?b
y
1
?y
2
?1
，
y
1
y
2< br>?b
，∴
CD?1?
1
y
1
?y
2
(其中
k?1
)
2
k
.

.
∴
CD?
2
?
(
y
1
?y
2
)2
?
4
y
1
y
2
?
2(1
?
4
b
)
．
由已知，
ABCD
为正方形，
CD?AD
，
∴
CD
可视为平行直线
AB
与
CD
间的距离，则有
CD?
4?b
2
，于是得
2(1?4b)?
4?b
2
．
两边平方后，整理得，
b
2
?
8
b?
12
?
0
，∴
b??6
或
b??2
．
当
b??6
时，正方形
ABCD
的面积
S?CD?
2(1< br>?
24)
?
50
．
当
b??2
时，正方形
ABCD
的面积
S?CD?
2(1
?
8)
?
18
．
∴正方形
ABCD
的面积为18或50．
说明：运用方 程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正
方 形这一条件．
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处 ，当此彗星离地球为
d?10
4
km
时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴 的夹角为
30?
，求这彗星与地球的最短距离．
分析：利用抛物线有关性质求解．
解：如图，设彗星轨道方程为
y
?
2px
，
p?0
，焦点为
F(
2
2
2
p
,0)
，
2彗星位于点
P
(
x
0
,
y
0
)
处．直线
PF
的方程为
y?
3p
(x?)
．
32

?
y
2
?2px,
(7?43)p
?
x?
解方程组
?
得
，
3p
2
(x?),
?
y?
32
?
.

.
故
x
0
?
(7?43)p
．
2
23p23(7?43)pp
|x
0
?|?|?|?(4?23) p
．
32322
2?3
d
．
2
PF?
故
(4?23)p?d
，得
p
?
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近 的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为
p2?3
2?32 ?3
?d
，所以彗星与地球的最短距离为
d?10
4
km
或
d?10
4
km
，（
P
点在
F
点的左边与 右边时，所
24
44
求距离取不同的值）．
说明：
(1)此题结论有两个，不要漏解；
(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的 点到焦点距离最近的点，其证明如下：设
P
(
x
0
,
y0
)
为抛物线
y
2
?2px
上一点，焦点为
F (
pppp
,0)
，准线方程为
x??
，依抛物线定义，有
PF??x
0
?
(x
0
?0)
，当
x
0< br>?0
时，
2222
PF
最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线 的顶点．
例11 如图，抛物线顶点在原点，圆
x
?
y
?
4x
的圆心是抛物线的焦点，直线
l
过抛物线的焦点，且斜率为2，直
22< br>线
l
交抛物线与圆依次为
A
、
B
、
C
、
D
四点，求
AB?CD
的值．

分析：本题考查抛物 线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把
AB?CD
转化
为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．
解：由圆的方程
x
?
y?
4x
，即
(x?2)?y?4
可知，圆心为
F(2,0)，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆
2222
心，得到抛物线焦点为
F(2 ,0)
，设抛物线方程为
y
?
8x
，
2
.

.
AB?CD?AD?BC

∵
BC
为已 知圆的直径，∴
BC?4
，则
AB?CD?AD?4
．
设
A
(
x
1
,
y
1
)
、
D(x2
,y
2
)
，∵
AD?AF?FD
，而
A、
D
在抛物线上，
由已知可知，直线
l
方程为
y?2(x?2)
，于是，由方程组 < br>?
y
2
?8,
消去
y
，得
x
2?
6
x?
4
?
0
，∴
x
1
? x
2
?6
．
?
?
y?2(x?2).
∴
AD?6?4?10
，因此，
AB?CD?10?4?6
．
说明：本题如果 分别求
AB
与
CD
则很麻烦，因此把
AB?CD
转化成AD?BC?AD?4
是关键所在，在求
AD
时，又巧妙地运用了抛物线的定义， 从而避免了一些繁杂的运算．
11.已知抛物线y
2
=2px(p>0)，过焦点F 的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
（1）求证：|AB|=
2p
;
sin
2
?
(2)求|AB|的最小值.
（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（
p
,0）.
2

设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-
22
p?tan
?
tan
2
θ·x
2
-(2p+ptan
2
θ)x+=0.
4
p
）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得
2
2p?ptan
2
?
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x
1
+x
2
=.
2
tan
?
设A、B到抛物线的准线x=-< br>p
的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有
2
|AB|=|A F|+|FB|=|AQ|+|BN|=x
1
+x
2
+p=
（2）解 析：因|AB|=
2p
.
2
sin
?
2p
的定义 域是0<θ<π，又sin
2
θ≤1，
2
sin
?
.

.
所以，当θ=
?
时，|AB|有最小值2p.
2
11
?
为定值，本题若推广到椭圆、双
mn
12.已知抛物线y< br>2
=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：
曲线，你能 得到什么结论？
解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴
11
2
?
=
.
mn
p
p
),
2
（2）当AB不垂直于x轴时，设AB: y=k(x-
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
),|AF|=m,|BF|=n,
∴m=
pp
+x
1
,n=+x
2
.
22
将AB方程代入抛物线方程，得
22
kp
k
2
x
2
-(k
2
p+2p)x+=0,
4
?
k< br>2
p?2p
x?x
2
?,
?
2
?
1
k
∴
?

?
x?x?
p
2
.12
?
4
?
∴
=
11m?n

?=
mnmn
x
1
?x
2
?p
2
. < br>?
2
p
pp
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
24
本题若推广到椭圆，则有
11
2
；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，
?
=
（e是 椭圆的离心率）
mn
ep
同样有
11
2
?
=
(e为双曲线的离心率).
mn
ep
t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1 ），若点C满足
OC
=
点C的轨迹与抛物线y
2
=4x交于A、B两 点.
（1）求证：
OA
⊥
OB
;
.

.
(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条 弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m
的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
( t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：
y+3=
1?(?3)
·(x-1),即y=x-4.
4
?
y?x?4,
?
(x -4)
2
=4x
?
x
2
-12x+16=0. 由
?
2
?
y?4x,
∴x
1
x
2
=16，x
1
+x
2
=12，
∴y
1
y
2
=(x
1
-4)(x
2
-4)=x
1
x
2
-4(x
1
+x
2
)+16=-16.
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.故
OA
⊥
O B
.
（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y< br>2
=x，得y
2
-4ky-16=0,
∴y
1
+y
2
=4k,y
1
y
2
=-16.
k
OA
·k
OB
=
y
1
y
2
yy
161 6
??
1
2
?
2
2
??
=-1.
x
1
x
2
y
1
y
2
?16
y< br>1
y
2
44
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y)，
则x=
11
(x
1
+x
2
),y=(y
1
+y
2
).
22
x< br>1
+x
2
=ky
1
+4+ky
2
+4=k( y
1
+y
2
)+8=k·(4k）+8=4k
2
+8. < br>?
x?2k
2
?4,
∴弦AB的中点M的轨迹方程为：
?消去k，得y
2
=2x-8.
?
y?2k,

.